Simula¸c˜ ao Num´ erica da Microgeometria Hexagonal em Regime

6.5 Simula¸c˜ ao para Microgeometria em Formato Hexagonal

6.5.1 Simula¸c˜ ao Num´ erica da Microgeometria Hexagonal em Regime

Como extensão da simula¸cão 2 proposta na se¸cão anterior, para a microgeometria

hexagonal simulamos um caso de remedia¸c˜ao do solo argiloso considerando condi¸c˜oes

de contorno do tipo slab. Na simula¸c˜ao proposta, assumimos um valor inicial de pH =

4. Al´em disso, consideramos uma salinidade inicial de C_{N a}0 (x, y, 0) = 10 mol/m3, a

concentra¸cão inicial do cádmio de C_X0_b(x, y, 0) = 5 × 10−3 mol/m3 e pressão inicial de

p(x, y, 0) = 105 _{P a. As condi¸c˜}_{oes de contorno s˜}_{ao dadas na forma:}

• CN ab(x, 0, t) = 10 mol/m 3 _{e C} N ab(x, L, t) = 1 mol/m 3_; • pH(x, 0, t) = pH(x, L, t) = 4; • CCdb(x, 0, t) = 0.005 mol/m 3 _{e C} Cdb(x, L, t) = 0.001 mol/m 3 _. • φ(x, 0, t) = 1 V e φ(x, L, t) = 0 V ; • p(x, 0, t) = p(x, L, t) = 105 _{P a;} • (∇CN ab· η) (x, 0, t) = (∇CHb · η) (x, 0, t) = (∇CCdb· η) (x, 0, t) = (∇φ · η) (x, 0, t) = 0; • (∇CN ab· η) (x, L, t) = (∇CHb · η) (x, L, t) = (∇CCdb· η) (x, L, t) = (∇φ · η) (x, L, t) = 0;

6.5 Simula¸c˜ao para Microgeometria em Formato Hexagonal 92

Para as variáveis sódio e cádmio obtivemos as Figuras 6.21 e 6.22. Os resultados mos-

tram que a evolu¸cão da concentra¸cão de sódio e cádmio é caracterizada pelo decaimento

na dire¸cão do ânodo, na mesma dire¸cão do gradiente de potencial elétrico, produzindo

uma diminui¸cão da concentra¸cão dos solutos iônicos no interior da amostra. Além

disso, verificamos que o perfil da solu¸c˜ao ´e quantitativamente o mesmo para cada linha

vertical do dom´ınio macrosc´opico, tal comportamento ´e justificado observando que as

condi¸c˜oes de fluxo nulo nas laterais x = 0 e x = L determinam que o campo de veloci-

dade ´e predominantemente na dire¸c˜ao y e pela homogeneidade do meio. Por sua vez, a

Figura 6.23 demonstra uma tendência do pH aumentar na dire¸cão do cátodo, gerando

um processo de basifica¸c˜ao da amostra. Finalmente, nas figuras 6.24 e 6.25 apresenta-

mos os perfis para evolu¸cão do potencial elétrico e pressão no interior da amostra.

(a) t = 1s (b) t = 312s

6.5 Simula¸c˜ao para Microgeometria em Formato Hexagonal 93

(a) t = 1s (b) t = 312s

6.5 Simula¸c˜ao para Microgeometria em Formato Hexagonal 94

(a) t = 1s (b) t = 312s

6.5 Simula¸c˜ao para Microgeometria em Formato Hexagonal 95

(a) t = 1s (b) t = 312s

6.5 Simula¸c˜ao para Microgeometria em Formato Hexagonal 96

(a) t = 1s (b) t = 312s

6.5 Simula¸c˜ao para Microgeometria em Formato Hexagonal 97

As simula¸cões numéricas apresentadas analisam os efeitos hidrodinâmicos e ele-

troqu´ımicos no transporte reativo dos solutos iˆonicos CN ab, CCdb, CHb e potencial el´e-

trico φ. Nas simula¸c˜oes apresentadas verificamos que, para um regime de basifica¸c˜ao da

amostra, a descontamina¸cão de cádmio se assemelha à descontamina¸cão de sódio, com

a diferen¸ca de que ocorre um maior decaimento de c´admio durante o processo, tornando

a concentra¸c˜ao do ´ıon bivalente menor que a condi¸c˜ao inicial em uma parte da amostra.

Além disso, também constatamos que o fluxo eletroosmótico é invertido para o pH = 6,

um efeito provocado pela invers˜ao do sinal do potencial ζ na escala nanosc´opica. Fi-

nalmente, realizamos uma simula¸c˜ao num´erica para um dom´ınio bidimensional do tipo

slab para uma microgeometria hexagonal. O resultado proposto ilustra as potenciali- dades do simulador computacional desenvolvido em simular numericamente dom´ınios mais gerais.

Do ponto de vista funcional, ´e importante salientar que o simulador num´erico In

house desenvolvido é capaz de simular uma grande variedade de cenários de satura¸cão

de solu¸c˜ao eletrol´ıtica em meios porosos carregados eletricamente. Dentre os cen´a-

rios podemos estabelecer mudan¸cas nas condi¸c˜oes de contorno ou iniciais, alterar as

rea¸cões de adsor¸cão eletroqu´ımica, acrescentar a adsor¸cão qu´ımica ou elétrica em um

determinado ´ıon, adicionar novos ´ıons, entre outras possibilidades.

Por fim, mais uma vez destacamos a dependˆencia entre o modelo macrosc´opico

implementado e os parâmetros efetivos das escalas nano e microscópica. À t´ıtulo de

exemplo, temos a simula¸c˜ao acima do ponto isoel´etrico, onde a mudan¸ca do potencial

zeta altera o sinal da permeabilidade eletroosm´otica, alterando o sentido da velocidade

de Darcy e consequentemente do fluxo eletroosm´otico. A correla¸c˜ao entre as escalas

torna de suma importˆancia obter parˆametros efetivos tais como a permeabilidade hi-

dr´aulica efetiva e tortuosidade efetiva para variadas microgeometrias. A importˆancia

´e justificada por dois motivos, primeiro que o simulador num´erico se torna ainda mais

flex´ıvel e generalizado, segundo que parˆametros de grande influˆencia no comportamento

macro podem ser gerados, de modo a enriquecer a modelagem multiescala sem as di-

ficuldades, imprecisões e limita¸cões do cálculo experimental de parâmetros efetivos,

Cap´ıtulo 7

Conclus˜oes

Neste trabalho desenvolvemos a modelagem matem´atica e computacional multies-

cala do transporte de solutos iˆonicos em meios porosos carregados eletricamente. Ini-

cialmente modelamos os fenˆomenos nanosc´opicos a partir da teoria da dupla camada

elétrica. Adicionalmente, consideramos três rea¸cões qu´ımicas incorporadas ao modelo

nanoscópico. Com tais considera¸cões, deduzimos um novo modelo nanoscópico para

modelagem da dupla camada el´etrica em um meio poroso carregado eletricamente.

Na escala microsc´opica, consideramos a imers˜ao de eletrodos na fronteira externa da

célula microscópica. Para tal célula, foi modelada a intera¸cão entre um fluido contendo

quatro ´ıons monovalentes e um bivalente e a matriz s´olida. O excesso de ´ıons na

dupla camada el´etrica junto com o campo el´etrico produzido pelos eletrodos origina um

deslizamento nas camadas carregadas eletricamente, e devido `as for¸cas viscosas, o fluido

é impulsionado originando o fluxo eletroosmótico. O fluxo eletroosmótico é modelado

usando o problema de Stokes e as condi¸c˜oes de contorno de Helmhotz-Smoluchowski.

O transporte de soluto ´e regido pelas equa¸c˜oes de Nernst-Planck.

De posse do modelo nano/microsc´opico, consideramos a hip´otese de periodicidade

da microestrutura do meio poroso e a separa¸c˜ao de escalas para deduzir um modelo

macroscópico efetivo via técnica de homogeneiza¸cão de estruturas periódicas, processo

denominado de upscaling. Ao final do upscaling, obtivemos um modelo macrosc´opico

dependente dos problemas de c´elula para a tortuosidade e permeabilidade efetiva. Com

isso, resolvemos numericamente os problemas de c´elula para quatro microgeometrias

bidimensionais. Para o problema da tortuosidade utilizamos o m´etodo Galerkin cl´assico

com condi¸cões de periodicidade na fronteira externa da célula microscópica e Neum-

man na interface fluido/s´olido. Por outro lado, para o problema da permeabilidade

efetiva, utilizamos o m´etodo de elementos finitos enriquecido Mini-Element com pe-

riodicidade na fronteira externa e condi¸c˜ao de Dirichlet na interface fluido/s´olido. A

resolu¸c˜ao num´erica foi comparada com a literatura, os resultados obtidos possibilitaram

constatar a acurácia e estabilidade da formula¸cão proposta. Além disso, os resultados

computacionais possibilitaram a proposi¸c˜ao de leis constitutivas lineares, quadr´aticas,

cúbicas, potência polinomial, exponenciais para os parâmetros efetivos microscópicos

em fun¸c˜ao da porosidade. As leis constitutivas permitem desacoplar os modelos micro

e macroscópicos, possilitando simular numericamente o problema macroscópico através

de leis obtidas numericamente.

Por fim, com a obten¸c˜ao do novo modelo multiescala e dos parˆametros efetivos,

discretizamos e simulamos computacionalmente o modelo multiescala aplicado a um meio poroso argiloso de microgeometria circular (unidimensional) e a um meio poroso

argiloso com microgeometria hexagonal (bidimensional). Tais simula¸c˜oes quantifica-

ram, como estudo de caso, os efeitos eletrocin´eticos de um potencial el´etrico externo

no transporte de ´ıons em meios porosos carregados eletricamente e apontaram a cor-

rela¸cão entre os efeitos nano/microscópicos e o modelo macroscópico, mostrando que

a modelagem multiescala enriquece as modelagens puramente macrosc´opicas. Al´em

disso, verificamos as particularidades do transporte reativo de solutos incluindo os ´ıons

bivalentes de c´admio.

Como propostas de trabalho futuro, pretendemos incorporar condi¸c˜oes de contorno

mais realistas como a condi¸c˜ao de Danckwerts, pretendemos tamb´em extrair os pa-

râmetros efetivos de modelos com dom´ınio macroscópico tridimensional, que são os

problemas de maior aplica¸c˜ao na literatura. Por fim, planejamos executar modelos

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Apˆendice A

A.1 Rea¸c˜oes Qu´ımicas

As rea¸c˜oes que seguem foram descritas em Angove et al. (1997) e, sem perda de

generalidade, consideramos o ´ıon bivalente X2+ = Cd2+. Associamos tais rea¸c˜oes com

as rea¸c˜oes (2.15),(2.16) e (2.17), descritas no Cap´ıtulo 2.

Sejam os s´ıtios {X−} tais que:

XK + H+ = XH + K+. (A.1)

Pela lei de a¸c˜ao de massas, temos:

k1 =

γXHCK₀+

γXKCH₀+

, (A.2)

2XK + Cd2+ = X2Cd + 2K+. (A.3)

Novamente, pela lei de a¸c˜ao de massas:

k2 = γ2 XKCCd2+₀ γX2CDC 2 K+₀ . (A.4) S´ıtios {SO−}:

SOH + H+ = SOH₂+. (A.5)

Pela lei de a¸c˜ao de massas:

k3 = γ_SOH+ 2 γSOHCH₀+ . (A.6) SOH = SO−+ H+. (A.7) 107

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