Capítulo 3 – DESENVOLVIMENTO E IMPLEMENTAÇÃO DE
3.2 Sistema de controlo por modo de deslizamento
Nesta secção, é apresentada uma breve introdução aos controladores por modo de deslizamento de forma a que o leitor se familiarize com os conceitos básicos utilizados no seu desenvolvimento.
Um sistema de estrutura variável, por definição, consiste num conjunto de subsistemas contínuos associados a uma lógica de comutação adequada. O comportamento do sistema será dependente do subsistema que estiver a ser utilizado. Logo, uma propriedade interessante e um caso particular dos sistemas de estrutura variável, é referida como a possibilidade da existência do modo de deslizamento nas superfícies descontínuas da estrutura devido à comutação imposta (Young et al., 1999).
O controlo por modo deslizamento é um controlo descontínuo com retroacção da saída conforme apresenta a figura 3.1.
Figura 3.1: Representação simplificada de um sistema com retroacção da saída. Esta estratégia de controlo é diversificada em termos da aplicação dos métodos no seu desenvolvimento e projecto, dependendo em muito do caso particular a ser implementado. É conveniente, de uma forma sucinta, introduzir a terminologia utilizada para descrever e caracterizar cada parte que compõe este sistema de controlo.
Modo de deslizamento – o modo de deslizamento existe quando o vector velocidade da trajectória de espaço de estados permanece na vizinhança da superfície de comutação dada por S (3.1).
{
( )=0}
= xs xS com x ∈ Rn (3.1)
Controlador Sistema Saída
- + Referência
O comportamento dinâmico do sistema é determinado pela expressão s(x) = 0, que é a função de comutação.
As superfícies de deslizamento podem ser lineares ou não lineares de acordo com o tipo de sistema dinâmico em causa e com a função de comutação escolhida. Todavia as superfícies que são aplicadas a sistemas não lineares permanecem um problema em discussão e em desenvolvimento (Utkin, 1993c). Os métodos mais comuns para definir as superfícies de deslizamento são através da caracterização da função de comutação e do sistema a controlar. Estes métodos poderão ser definidos por equações diferenciais na forma padrão (Hung et al., 1993), na forma canónica controlável (Utkin, 1977), na forma de transformada de coordenadas, na forma de uma função de custo linear quadrática (Utkin e Young, 1978), na forma do controlo equivalente (Utkin, 1993a), na forma de superfície variável no tempo (Slotine e Li, 1991), na forma de superfície variável na dinâmica (Young e Ozguner, 1993 e Mehta e Bandyopadhyay, 2009), na forma de superfície através da abordagem de Riccati (Kim et al., 2000) e Lyapunov (DeCarlo e Drakunov , 1994 e Ho et al., 2004) entre outros.
Associado às superfícies de deslizamento deve ser definido o modo como o sistema, em termos de espaço de estados, é conduzido na sua trajectória desde o estado de partida até ao estado pretendido. Para tal é necessário certificar que o sistema seja globalmente estável e convergente. Aplicam-se diversos métodos que são escolhidos conforme a sensibilidade do projectista. Os mais populares são:
• Método da função de comutação directa: caracteriza-se por considerar que é condição suficiente para existir modo deslizamento a satisfação da condição s &i.si <0 , i = 1,...,n. Esta lei de convergência é global contudo não garante que a mesma se efectue num tempo finito.
• Método da função de Lyapunov: caracteriza-se pela escolha de uma função candidata, por exemplo; V(x,t)=12.s2, para a análise da estabilidade e convergência. A condição de
convergência global é verificada pela existência de derivada negativa da função candidata, tal como V&(x,t)<0.
• Método da lei de convergência de Gao (Gao e Hung, 1993): consiste em propor uma lei de convergência que especifica a dinâmica da superfície de comutação através da equação
diferencial s&=−εsgn(s)−qs, onde ε > 0 , q>0 , s a função de comutação e sgn(s) seu respectivo sinal. Uma versão simplificada denominada por razão constante de convergência tem sido utilizada e que é dada por s&=−εsgn(s). Outras versões têm surgido tal como a razão da potência de convergência dada por s&=−ε.s p.sgn(s) , onde 0 < p
<
1em que se obtém uma rápida convergência e baixas oscilações no estado estacionário.
A lei de controlo completa é baseado nos modelos matemáticos do sistema físico e do controlador por modo de deslizamento e é geralmente a que é implementada nos modelos simulados e experimentais. Também neste contexto há vários métodos para obter a lei de controlo e que são:
• Método do controlo equivalente aumentado u: consiste no controlo equivalente ueq e no controlo descontínuo ud tal que u=ueq +ud. O controlo equivalente permite obter as condições de existência de deslizamento sobre a superfície de comutação através das equações da dinâmica do modelo de estado correspondente. Este é determinado quando a condição necessária de s(x)= 0 para que a trajectória de estados permaneça na superfície de deslizamento tal como se refere em (3.1) contudo, este controlo por si só não consegue conduzir o sistema na superfície de deslizamento quando as condições iniciais não estiverem contidas em S. Para satisfazer a condição de convergência é necessário adicionar o controlo descontínuo ud e, aqui também, há várias abordagens;
Uma, denominada por relé com ganhos ou somente relé, consiste numa expressão por ramos em que ud = 0 se s = 0, ou ud = -
ε
sgn(s) se s ≠ 0, eε
> 0.ε
pode ser uma constante ou matriz ou variável dependente.Outra, conhecida por retroacção linear de ganho único, é dada por ud =-β s(x) com β ≠ 0 . A retroacção linear com matriz de ganhos é dado por ud = ξ x em que ξ = [ξij ] e ξij =-
α
ij se si xj > 0 ou ξij = βij se si xj < 0 com βij,α
ij ≠ 0. Todos estes métodos carecem da verificação da condição de convergência utilizando o método da função de comutação directa anteriormente explanado.• Método da lei da convergência: também já foi anteriormente referido e apresentado. Esta abordagem simplifica o desenvolvimento do controlador e garante que a convergência se inicia independentemente da localização do estado inicial. Recentemente Vivekananda em
(Vivekananda e Prabhakar, 2009) propôs um melhoramento ao nível da expressão que caracteriza a lei de convergência mantendo-se toda a essência do trabalho de Gao.
Como se subentende no texto de apresentação deste sistema de controlo, encontram-se na literatura diversos tipos de sistemas de controlo por modo deslizamento aplicados aos mais diversos sistemas sendo que não parece existir nenhuma metodologia sistemática que permita determinar qual ou quais a aplicar para cada caso.
3.2.1 Vantagens
O controlador por modo de deslizamento, desenvolvido de tal forma cuja lei de comando satisfaça as condições de deslizamento, tem sido utilizado para resolver problemas de controlo de sistemas não lineares (Utkin, 1993b). O seguimento perfeito da trajectória de controlo pretendida face às incertezas do modelo, face às variações dos parâmetros do sistema e face às perturbações externas que não são previsíveis, modeláveis ou mensuráveis, caracterizam as principais vantagens deste controlador (Hung et al., 1993). A actuação descontínua deste controlador, ao longo da superfície de deslizamento, adequa-se perfeitamente, no caso da sua implementação, aos sistemas electrónicos microprocessados ou sistemas electrónicos discretos.
A aplicação desta técnica no desenvolvimento da superfície de deslizamento permite transformar o problema de ordem n, noutro de modelo de estado com retroacção de ordem n-
1. Esta redução de ordem é por vezes considerada como uma simplificação (Utkin, 1993a).
Para finalizar, destaca-se que a teoria dos sistemas de estrutura variável também é aplicada em observadores, para determinação da amplitude de grandezas ou parâmetros de estado não mensuráveis.
3.2.2 Desvantagens
Esta metodologia, no inicio do seu desenvolvimento, não foi logo aceite para as aplicações práticas. Um dos problemas residia no procedimento de aplicação desta metodologia. Vários investigadores têm vindo a demonstrar a sua aplicação nos diversos campos da engenharia
contudo ainda existem limitações relativamente a sua adequação a processos complexos (Hung et al., 1993). O modo de deslizamento, por si só, é muito exigente para as partes que compõem um sistema devido à lei de comutação ser descontínua e implicar uma mudança brusca nos seus regimes de funcionamento. Em termos físicos, o sistema pode produzir uma resposta inaceitável que se caracteriza por ser oscilatória em torno do valor de referência (Utkin e Hoon, 2006). Estas oscilações podem estimular frequências de ressonâncias nos sistemas electromecânicos ou mesma a fadiga de alguns elementos construtivos.
Outra desvantagem, segundo Ertugrul em (Ertugrul e Kaynak, 1998), é a difícil determinação da lei de controlo equivalente porque requer um profundo conhecimento da dinâmica e dos parâmetros do sistema a controlar. Por vezes os parâmetros dos sistemas, assim como a dinâmica, são difíceis de obter e até podem ser imensuráveis ou desconhecidos o que inviabiliza o cálculo da lei de controlo equivalente. Uma solução tem sido a aplicação de técnicas baseadas em sistemas difusos, redes neuronais, entre outras, a cooperarem com o controlo por modo de deslizamento a fim de colmatar essa ausência de conhecimento. Esta solução, devido ao significativo aumento de parâmetros, é considerada dispendiosa em tempo que é necessário para ajustar os respectivos parâmetros a fim de obter uma solução satisfatória.