5.2.1
Hamiltoniano do sistema, equação mestre e condições iniciais
Para modelar o hamiltoniano assumimos que a interação entre os qubits A(s) e o B é do tipo dipolar [1, 2] e equivalente à usada na seção 2.2.0.4. No caso da interação entre A1 e A2 vamos assumir que é muito fraca comparada com B, de tal modo que não é levada em conta. De acordo com o descrito anteriormente, o hamiltoniano do sistema pode ser escrito como:
ˆ H = 2 X i=1 1 2~ωAσ z Ai+ ~σ y Aiσ y B + 1 2~ωBσ z B + X k=1 ησBz ˆa†k+ ˆak + ~υkˆa † kˆak. (5.2.1)
No hamiltoniano Eq. (5.2.1) os operadores σ correspondem às matrizes de Pauli associadas ao espaço Ai o B, é a constante de acoplamento entre os qubits A com o qubit
B, η é a constante de acoplamento entre o qubit B com a coleção de osciladores harmônicos com frequência υk, ˆa
†
k e ˆak são os operadores de criação e aniquilação dos osciladores do
reservatório. O termo P2 i=1~σ y Aiσ y
B do hamiltoniano Eq. (5.2.1), na representação de interação 1 é
dado por: 1Usaremos ˆH I = ei ˆ H0 ~tHeˆ −i ˆ H0 ~ tcom ˆH0=1 2~ωBσ z B+ P2 i=1 1 2~ωAσ z Ai .
96 ˆ HI = 2 X i=1 ~ σAi−σ + Be i∆t + σ+ Aiσ − Be −i∆t . (5.2.2) onde σ±= (σx± iσy) /2 e ∆ = ω
A− ωB é a dessintonia entre os qubits. O hamiltoniano Eq.
(5.2.2) é diferente aos estudados na seção anterior e no trabalho de Arecchi[6] dado que tem uma dependência temporal que é produto da não ressonância do sistema. Se nós fizéssemos ∆ = 0 não poderíamos distinguir entre os qubits A e o B, razão pela qual vamos manter ∆ 6= 0 e então poder estudar como dessintonia modifica a dinâmica do sistema . No caso da interação entre o qubit B e o reservatório vamos considerar um regime Markoviano de tal maneira que a dinâmica do sistema é dada pela equação mestra na representação de interação
d dtρ (t) = −i/~ˆ h ˆHI, ˆρ (t) i + Lγ,nth[ ˆρ (t)] 2: d dtρ (t) = −ˆ i ~ h ˆHI, ˆρ (t)i + Lγ,nth[ ˆρ (t)] = −i ~ h ˆHI, ˆρ (t)i + γ (nth+ 1) × 2σB−ρ (t) σˆ +B− σ+ Bσ − Bρ (t) − ˆˆ ρ (t) σ + Bσ − B + γnth 2σ+Bρ (t) σˆ − B− σ − Bσ + Bρ (t) − ˆˆ ρ (t) σ − Bσ + B . (5.2.3) onde γ é a taxa de decaimento do subsistema B, nth = [e1/ ˜T − 1]−1 é o número médio de
fótons no reservatório térmico, ˜T ≡ kBT /~ωB é uma temperatura adimensional e kB é a
constante de Boltzman.
Para analisar a dinâmica deste sistema consideramos o seguinte estado inicial:
ˆ
ρ (0) = |ψAi hψA| ⊗ ˆρBth (5.2.4)
ˆ
ρBth = (nth+ 1) |0Bi h0B| / (2nth+ 1) + nth|1Bi h1B| / (2nth+ 1) (5.2.5)
onde |ψAi é um estado emaranhado e ˆρBth é a matriz densidade do qubit B em equilíbrio
térmico com o reservatório tal como foi definido na eq. 3.1.6 da seção 3.1. A escolha da condição inicial ˆρBth é importante para poder obter o efeito Zeno [8]. Isto é porque a matriz
densidade ˆρBth pertence ao núcleo do superoperador limblandiano, dado que Lγ,nth[ ˆρBth] = 0,
2Nas seguintes equações a matriz densidade será calculada na representação ˜ρ (t) = eˆ i ~
ˆ
H0tρ (t) eˆ −~i
ˆ H0tde
e para γ o operador Lγ,nth[.] é robusto comparado com o operador ˆHI de tal modo que
que a evolução do sistema seja dominada pelo operador Lγ,nth[.]. Isto tudo implica que o
reservatório vai tentar manter o qubit B no estado de equilíbrio e assim, como B tende a não mudar, temos que os qubits A ficam blindados por ele.
tendo em conta nosso objetivo temos que estado inicial dos qubits A deve ser emaranhado e, lembrando do já estudado na seção 2.2 teremos dois conjuntos:
|φAi = cos θ |0A1i |1A2i + sin θ |1A1i |0A2i , (5.2.6) |ϕAi = cos θ |0A1i |0A2i + sin θ |1A1i |1A2i , (5.2.7) |ψAi = |φAi |ϕAi . (5.2.8)
5.2.2
Solução do sistema de equações diferenciais
5.2.2.1 Elementos diferentes de zero e simetrias
Aqui também a equação mestra Eq. (5.2.3) é muito diferente daquele estudado nas seções anteriores dado que o hamiltoniano Eq. (5.2.2) também depende explicitamente do tempo, o que implica que não podemos usar o método de solução descrito na seção emissão espontânea 4.4.3.1 do capitulo 4.
Para obter uma solução do sistema definido em Eq. (5.2.3) sob as condições dadas em Eq. (5.2.8) temos primeiro que fazer uma análise da evolução do sistema e, como temos um sistema de 3 qubits, podemos ter a certeza que vamos trabalhar no máximo num espaço vectorial isomorfo 3 a C16 . Em termos das condições iniciais, é claro que não vamos a ter
um sistema de equações diferenciais de 63 × 63 dado que nem todos os elementos da matriz densidade do sistema vão a evoluir. O número de elementos de ˆρ (t) diferentes de zero só vai depender do estado inicial dos qubits A. Um fato importante de lembrar é dado pela invari- ância de troca de subíndices 1 e 2 em nossa equação mestra Eq. (5.2.3), o que vai gerar mais vínculos que vão diminuir ainda mais a dimensão do espaço vetorial onde pertence a matriz densidade ˆρ (t) de nosso sistema. Outro fato que podemos afirmar sem fazer cálculos é que o sistema de equações gerado pela condição inicial |φAi = cos θ |0A1i |1A2i + sin θ |1A1i |0A2i
vai ser menor que o sistema de equações gerado pela condição inicial do subsistema A
3
Só para lembrar, como temos um sistema 3 qubits, temos uma matriz densidade de M8×8, dado que
o traço da matriz densidade é 1, temos que, dos 64 elementos da matriz densidade, um dos elementos da diagonal vai depender dos outros. finalmente sempre é importante levar em conta que todo espaço vetorial Mk×k é isomorfo a Ck
2
98
|ϕAi = cos θ |0A1i |0A2i + sin θ |1A1i |1A2i dado que este último gera uma condição inicial
junto com o qubit B que tem uma probabilidade de ter os três qubits exitados, enquanto |φAi só tem uma probabilidade de ter no máximo dois qubits exitados.
Se usarmos uma representação na base dos estados próprios do hamiltoniano livre ˆH0
{|1A1i , |0A1i , |1A2i , |0A2i , |1Bi , |0Bi} podemos definir ρ
l,m,n
o,p,q (t) ≡ hlA1, mA2,nB| ˆρ (t) |oA1, pA2,qBi,
para obter uma representação de dtdρl,m,n
o,p,q (t) quando usamos a equação mestra Eq. (5.2.3):
d dtρ
l,m,n
o,p,q = −i
ei∆tρl−1,m,n+1o,p,q δl1δn0− ρl,m,no+1,p,q−1δo0δq1
+ e−i∆tρl+1,m,n−1o,p,q δl0δn1− ρl,m,no−1,p,q+1δo1δq0
+ e−i∆tρl,m+1,n−1o,p,q δm0δn1− ρl,m,no,p−1,q+1δp1δq0
+ ei∆t ρl,m−1,n+1o,p,q δm1δn0− ρ l,m,n o,p+1,q−1δp0δq1 + γ (nth+ 1) 2ρl,m,n+1o,p,q+1δn0δq0− ρo,p,ql,m,n(1 + 2δn1δq1) (1 − δn0δq0) + γnth 2ρl,m,n−1o,p,q−1δn1δq1 − ρo,p,ql,m,n(1 + 2δn0δq0) (1 − δn1δq1) . (5.2.9)
Analisando a evolução temporal dos elementos da matriz da Eq. (5.2.9), para a condição inicial ˆρ (0) = |φAi hφA|⊗ ˆρBth se obtém um sistema de equações diferenciais lineares
20 × 20, com coeficientes dependentes do tempo. Enquanto que para o estado inicial ˆρ (0) = |ϕAi hϕA| ⊗ ˆρBth temos o mesmo sistema de 20 × 20 da condição anterior mais dois outros
sistemas 6 × 6 equivalentes, que contém só elementos fora da diagonal e dependentes do tempo.
Representação dos elementos da matriz densidade diferentes de zero para as duas condi- ções iniciais consideradas. Os quadros azuis são os elementos diferentes de zero, no sistema com condição inicial |ϕAi = cos θ |0A1i |0A2i + sin θ |1A1i |1A2i os quadros azuis com pontos
vermelhos correspondem aos novos elementos do sistema de equações de 6 × 6.
Depois de conhecer os elementos diferentes de zero temos ainda um grande problema: Não podemos usar os métodos anteriores porque mesmo sendo o sistema de equações linear, tem uma dependência temporal, o que impede o cálculo dos autovalores e utilizar o formalismo da matriz exponencial. Afortunadamente nós conseguimos resolver este problema com uma engenhosa transformação que leva as matrizes associadas aos sistemas 20 × 20 e 6 × 6 a matrizes independentes do tempo. Na próxima seção vamos a descrever o método.
5.2.2.2 Transformação do sistema de equações para eliminar a dependência tem- poral
Quando temos um sistema de equações diferenciais dependente explicitamente do tempo a primeira ideia é de resolvê-lo de maneira numérica. Se as condições iniciais são bem definidas qualquer método tradicional pode dar uma boa solução aproximada, entretanto, se estamos em busca de uma solução analítica o primeiro que devemos fazer é identificar o sistema. O sistema definido na Eq. (5.2.9) é linear e além disso a matriz associada tem uma propriedade especial, se definimos ela como 4A (t), temos que A (t) = A (t + 2π/∆), o que implica que a
matriz associada é periódica, isso implica segundo a teoria de Floquet [51] que as soluções são do tipo ρl,m,n
o,p,q (t) = exp [µt] f (t) onde µ ∈ C e f (t) é uma função periódica. Outro fato
4A matriz A (t) depende do sistema que escolhermos para estudar, seja o de 20 × 20 ou 6 × 6, bem como
100
importante é a natureza da dependência temporal, que é dado por termos e±i∆t. Com esta informação podemos tentar uma substituição adequada que gere um sistema auxiliar mais fácil, a pergunta é: como encontrar a transformação?
Dada a forma da dependência temporal da Eq. (5.2.9), a qual somente tem termos exponenciais, nós podemos fazer uma transformada de Laplace, definindo Lρl,m,n
o,p,q (t) ≡
Fl,m,n
o,p,q (s) e aplicando as transformações de Laplace ao conjunto de equações diferenciais de
20 × 20, vamos ter um novo conjunto de equações algebraicas que incluem termos F (s), F (s + i∆) e F (s − i∆), que não é fechado pelas translações na variável s. Analisando essas as equações, é possível fazer translações nas funções F (s) para obter um novo conjunto de equações lineares com coeficientes constantes. Estas translações de funções F (s) representam produtos de elementos de matriz de densidade ρl,m,no,p,q (t) com funções exponenciais do tipo e±i∆t. A partir disso, obtemos, para ρl,m,no,p,q (t), o seguinte conjunto de transformações 5:
˜
ρ011110(t) = e−i∆tρ110011(t) ; ρ˜010001(t) = e−i∆tρ010001(t) ; ˜
ρ110101(t) = e−i∆tρ110101(t) ; ρ˜100001(t) = e−i∆tρ100001(t) . (5.2.10) Os outros 12 elementos do sistema 20 × 20 não são modificados. Quando substituímos este conjunto de transformações na Eq. (5.2.9) geramos um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, o que nos leva a um sistema que podemos resolver usando o método da seção (3.3.3) dado que as equações vão ter a forma Eq. (3.3.20) e solução Eq. (3.3.21).
Na Eq.(5.2.9), quando tentamos resolver o sistema 20 × 20 após as transformações que geram um sistema de coeficientes constantes, pudemos notar em Eq.(5.2.9) que existe uma constante que faz a matriz associada singular. A análise mostrou que existe uma constante relacionada com a probabilidade de transferência de um fóton do qubit B para o reservatório térmico, que poderia então ser transferido para um dos dois qubits, A1 ou A2. Esta constante
é a média do operador ˆΓ dada por:
ˆ Γ = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 A ⊗ ˆ1B. (5.2.11)
é indispensável considerar a constante ˆΓ porque o sistema 20 × 20 tem uma matriz associada
5Na Eq. (5.2.10) só apresentamos 4 transformações porque as outras 4 são as conjugadas delas respecti-
linearmente dependente, se considerarmos a constanteD ˆΓEe o traço constante de ρ(t), pode- mos obter um sistema equivalente 18 × 18 da forma d−→R (t) /dt = M−→R (t) +−→P com−→P vetor constante e −→R (t) ∈ C18 o vetor com os elementos da matriz densidade ρ(t) não constantes
(O sistema de equações de −→R (t) esta explicito no apêndice B).
Para o sistema de 6 × 6 é usado o mesmo truque fazendo uma transformada de Laplace. Encontramos que de novo existe um conjunto de transformações que levam o sistema de equações diferencias a um equivalente com matriz associada de coeficientes constantes, as transformações são6: ˜ ρ000 011(t) = e −i∆tρ000 011(t) ; ρ˜000101(t) = e −i∆tρ000 101(t) ; ˜ ρ010 111(t) = e−i∆tρ010111(t) ; ρ˜100111(t) = e−i∆tρ100111(t) . (5.2.12) Isto posto, resolvendo o sistema de equações diferenciais, obteremos a matriz densidade ρ (t) do sistema na representação de interação e, fazendo a transformação inversa obtemos a matriz na representação de Schrödinger 7. De agora em diante, para analisar o compor- tamento do sistema usaremos uma variável de tempo adimensional τ = tγ e o parâmetro
˜
∆ = ∆/γ. Na Fig. 5.2.1, apresentamos os elementos de ˆρ (t), relativos ao subsistema A, com o estado inicial ˆρ (0) = |ϕAi hϕA| ⊗ ˆρBth, ˜T = 20, /γ = 20 e ˜∆ = 2.
Figura 5.2.1: Parte real dos elementos da matriz densidade ˆρ (τ ) para diferentes valores de tempo, o estado inicial do subsistema A é |ϕAi = cos θ |0A1i |0A2i + sin θ |1A1i |1A2i com
˜
T = 20, /γ = 20 e ˜∆ = 2
Nesta figura podemos ver um comportamento esperado para este tipo de interações, dado que para valores grandes de tempo os elementos diagonais da matriz densidade são pre-
6Na Eq. (5.2.12) só apresentamos 4 transformações porque as outras 4 são as conjugadas delas respecti-
vamente.
7Pode se demonstrar que as transformações usadas em Eq. (5.2.10) e Eq. (5.2.12) não modificam a matriz
102
dominantes. No que segue vamos focar nossa análise em parâmetros onde a interação do qubit B com o reservatório é forte de tal maneira que o efeito Zeno quântico e o comportamento de ancila sejam predominantes na dinâmica dos 3 qubits.
5.2.3
Emaranhamento quântico no regímen de alta temperatura
Para quantificar o grau de emaranhamento no sistema A, calculamos a negatividade tal como definimos na seção 2.2.2.1, onde N (t) = PN
i=1|λi| − λi. Neste caso os λi são
autovalores da matriz transposta parcial de ρA(t) = T rB{ρ (t)} em relação aos estados do
qubit A1. Quando calculamos a matriz densidade reduzida ρA(t) = T rB{ρ (t)} observamos
que esta é do tipo X como definido na seção 2.2.2.1, o que implica que a negatividade e a concurrence são iguais, além de ter uma formula simplificada para calcular N (t), que foi dada tanto 2.2.14 como em 2.2.15.
Primeiramente estudamos os efeitos da temperatura na perda de emaranhamento, na região onde o efeito Zeno é relevante, isto é, na condição γ . Nesta condição a interação entre a ancila B e o reservatório é maior do que a interação entre a ancila e os qubits A. Na Fig. 5.2.2 mostramos a negatividade N (t) do subsistema A para os parâmetros /γ = 5 × 10−2, ˜∆ = 2 e dois estados iniciais para o subsistema A: Na Fig. 5.2.2 (a) temos o estado inicial 1/√2 (|01i + |10i) e na Fig. 5.2.2 (b) 1/√2 (|00i + |11i) com temperatura escalada ˜T = kBT /~ωB.
Figura 5.2.2: Negatividade N (τ ) para o subsistema A com o estado inicial (a) 1/√2 (|01i + |10i) e (b) 1/√2 (|00i + |11i) com /γ = 5 × 10−2 e ˜∆ = 2.
Na Fig. 5.2.2 (a) e 5.2.2 (b), podemos observar que um incremento da temperatura implica uma menor taxa de decaimento no emaranhamento do subsistema A. Para valores
de temperatura ˜T > 80, o emaranhamento é substancialmente mantido por longos intervalos de tempo (τ = tγ 1). Isto é devido à forte interação entre o qubit B e o reservatório térmico. Neste caso, o reservatório desempenha o papel de agente de medição no sistema A, processo que minimiza a perda de emaranhamento. Comparando as diferentes condições iniciais de A pode-se ver que uma escolha adequada gera uma evolução que promove a conservação do emaranhamento como é mostrado na Fig. 5.2.2 (a) e 5.2.2 (b). Para o estado inicial1/√2 (|00i + |11i) (Fig. 5.2.2 (b)), a perda de emaranhamento é menor do que no sistema que é preparado com o estado inicial 1/√2 (|01i + |10i) (Fig. 5.2.2 (a)). Este resultado pode ser entendido através da análise do comportamento da matriz densidade num longo período de tempo. O emaranhamento na condição inicial 1/√2 (|00i + |11i) é melhor preservado comparado com a condição inicial 1/√2 (|01i + |10i) para todos valores de τ . Isso já era esperado, pois o estado |00i faz parte da condição inicial imposta em (b) e, o estado |00i tem uma maior probabilidade de ser obtido num processo de perda dado que sempre num sistema em contato com um reservatório térmico os estados de mínima energia 8tem
maior probabilidade de serem obtidos. O comportamento do emaranhamento quântico N (τ ) neste regime foi diminuindo monotonicamente [52], na condições iniciais de emaranhamento máximo, como mostrado em Fig. 5.2.2. Consequentemente, é importante determinar se esse comportamento é preservado para outras condições iniciais onde o emaranhamento não seja máximo.
Figura 5.2.3: Negatividade N (τ ) do subsistema A para os estados iniciais (a) cos θ |01i + sin θ |10i e (b) cos θ |00i + sin θ |11i com θ = π/6, /γ = 5 × 10−2 e ˜∆ = 2.
8Considerando o hamiltoniano Eq. (5.2.2) dado por ˆH
I = P2i=1~ σAi−σ + Be i∆t+ σ+ Aiσ − Be
−i∆t que des-
creve a interação entre os qubits A e o qubit ancila B, é fácil ver que ˆHI|000i = 0, o que implica que |000i
104
Na Fig. 5.2.3 temos a negatividade para o caso em que o estado inicial do sis- tema A não é maximamente emaranhado. Nesta situação, consideramos os estados iniciais: cos θ |01i + sin θ |10i e cos θ |00i + sin θ |11i, com θ = π/6; podemos ver que a negatividade do subsistema A é sempre inferior ao valor no tempo inicial N (0). Observamos também que o emaranhamento preserva seu comportamento de redução monotônico independentemente de ter estados iniciais diferentes aos usados nas Fig. (5.2.2). No entanto, à medida que a temperatura aumenta, a taxa de perda de emaranhamento do subsistema A é reduzida pelo acoplamento dinâmico entre o subsistema B e o reservatório térmico. Em outras palavras, o efeito Zeno é capaz de manter, a altas temperaturas, um emaranhamento maior no subsis- tema A, em comparação com o emaranhamento existente quando o subsistema auxiliar de dois níveis B não é estruturado. Em resumo, como se observou nas Fig. 5.2.2 e Fig. 5.2.3, para as condições iniciais estudadas, podemos afirmar que ao utilizar uma ancila em equilí- brio térmico com o ambiente provoca uma diminuição da taxa de perda de emaranhamento, sempre que o acoplamento seja forte entre a ancila e o sistema emaranhado. Das referidas figuras ainda podemos falar que não estamos gerando esmaranhamento, dado que sempre nas curvas o máximo esta no valor inicial τ = 0. Agora, uma pergunta importante que se coloca é: o que acontece quando modificamos os outros parâmetros do sistema como a dessintonia ∆ ou temos um acoplamento forte entre a ancila e os qubits do sistema A (γ )? Isto vai para a seguinte seção onde estudaremos precisamente como o sistema é sensível à modificação dos parâmetros indicados anteriormente e apresentaremos quais são as condições que melhoram a preservação do emaranhamento.
5.2.4
Emaranhamento em função da constante de acoplamento e
a dessintonia ∆
Na seção anterior conseguimos mostrar que numa condição onde o acoplamento entre a ancila B e o reservatório é forte temos uma preservação do emaranhamento. Se fixarmos nossa atenção na mudança do acoplamento entre a ancila B e os qubits A podemos tirar o sistema da situação de efeito Zeno e analisar o que acontece com a preservação do emaranhamento. Para resolver isso, na Fig. 5.2.4 (a) plotamos uma superfície de Negatividade N (τ, /γ) , em função do tempo τ e da constante de acoplamento entre os qubits A e a ancila B. Como condição inicial para os qubits A temos o estado 1/√2 (|00i + |11i), com uma dessintonia
˜
∆ = 2 e ˜T = 1. Também usamos o parâmetro adimensional /γ no intervalo entre 0, 01 até 0.3. Como pode-se observar, a negatividade para tempos longos é sensível ao parâmetro /γ, embora a temperatura seja pequena ˜T = 1. Quanto maior seja o acoplamento entre a
ancila e o reservatório (/γ 1) maior é o tempo em que o emaranhamento que se consegue preservar. Na figura vemos ainda que para um acoplamento /γ < 0.1, o emaranhamento é mantido até um tempo τ ≤ 200. Se o acoplamento entre a ancila e o reservatório é fraco vemos que o emaranhamento é perdido rapidamente. Para /γ = 0.3 o emaranhamento é perdido em τ ≈ 37.. Como podemos ver, o limite onde o sistema é separável tem um contorno curvilíneo, o que mostra que se pode ter claridade sobre quais parâmetros usar para manter o sistema emaranhado num valor de τ particular.
Figura 5.2.4: Negatividade N (τ, /γ) dos qubits Ai para o estado inicial 1/
√
2 (|00i + |11i), para τ = 200 com /γ = 5 × 10−2.(a) com ˜T = 1 e ˜∆ = 2; (b) Negatividades N ( ˜T , ∆) .
106
diferentes valores de temperatura ˜T , da dessintonia ˜∆ e com /γ = 5 × 10−2. Para a condição inicial dos qubits A temos o estado 1/√2 (|00i + |11i). Nesta figura, a negatividade, para valores pequenos da temperatura ˜T é sensível às variações da dessintonia ˜∆. Porém para valores de ˜T > 10, as variações da dessintonia ˜∆, não modificam substancialmente os valores da negatividade. Para valores pequenos da temperatura vemos como valores pequenos da dessintonia geram perda do emaranhamento. Quanto maior é o valor de ˜∆ mais o emaranha- mento é preservado. Além disso, no casso ressonante ˜∆ = 0, se a temperatura for pequena o emaranhamento é perdido a partir de τ = 200 entre tando, se a temperatura for alta o emaranhamento pode ser mantido.
Por fim, da Fig. 5.2.4 observamos que sempre que /γ 1 pode-se preservar o ema- ranhamento, para valores de tempo τ grandes, sempre que a temperatura escalada ˜T 1. Este é um resultado interessante, pois vai de certa forma de encontro com o que se sabe sobre os efeitos com a interação com o ambiente. É importante lembrar que em nosso sistema a interação com o ambiente é mediado pelo qubit ancila B e essa mediação é a que faz toda a diferença na evolução da perda do emaranhamento.
Figura 5.2.5: Negatividade N (τ ) dos qubits A para o estado inicial 1/√2 (|00i + |11i). (a) com /γ = 20 e ˜∆ = 2 para diferentes valores de temperatura escalada ˜T ; (b) Negatividades N ( ˜T ) para τ = 200 com /γ = 5 × 10−2
Na situação onde /γ 1, isto é, onde o acoplamento da ancila com o reservatório é fraco comparado com a interação entre a ancila e os qubits A. Na Fig. 5.2.5 (a) é mostrada a negatividade N (τ ) para o subsistema A, preparado na condição inicial 1/√2 (|00i + |11i), /γ = 20 e ˜∆ = 2. Neste caso, a negatividade mostra oscilações no intervalo de baixas tem- peraturas, fenômeno não encontrado nos resultados anteriores deste capítulo. Curiosamente, este comportamento oscilatório é semelhante ao apresentado no modelo do exemplo da seção 3.3.3, concretamente na Fig. 3.3.3, onde temos tempos onde o emaranhamento morre e volta
a se apresentar.9Este comportamento é devido à magnitude da interação (do tipo Jaynes- Cummings) entre os qubits de A e B, que é muito maior do que o efeito dissipador entre o qubit B e o reservatório térmico. Isso torna a dissipação mais fraca e a troca de estados entrem |0i e |1i torna-se notável na escala de tempo do sistema. Por outro lado, temperatu- ras mais elevadas fazem diminuir a taxa de perda de negatividade N (τ ), mas apenas para intervalos de tempo curtos (pelo menos na faixa de τ < 2 para as condições iniciais dadas na Fig. 5.2.5 (a) ).
A partir desses resultados, podemos inferir que o valor máximo de emaranhamento entre os sistemas é dado por τ = 0, como esperado. Após este período inicial, o emaranhamento pode ser sustentado sempre que o sistema e a ancila fossem mantidos às mesmas temperaturas altas. Finalmente, na Fig. 5.2.5 (b) apresentamos a negatividade como função da temperatura escalada ˜T , em τ = 200, para o estado inicial 1/√2 (|00i + |11i), para vários valores da dessintonia ˜∆, cuja diferença principal desta figura com os resultados da Fig. 5.2.4 (b) correspondem à faixa de temperaturas que é maior ( ˜T ≤ 30). Como pode ser visto, mesmo na presença de dessintonia, o aumento de temperatura leva a um incremento de emaranhamento. Em altas temperaturas ( ˜T 1), a negatividade tende a 1.0, independentemente do valor de ∆ preservando o emaranhamento, vindo de encontro com o nosso objetivo que era de encontrar formas de manter emaranhamento mesmo quando o sistema em consideração sofresse ações não desprezíveis do meio ambiente.
9Na seção 3.3.3 estudamos a interação Jaynes-Cummings entre dois qubis onde cada um deles esta em
contato com um reservatório térmico com mesmos valores de temperatura e taxa de dissipação. Na Fig. 3.3.3 tínhamos a evolução de um estado inicial |01i que apresenta morte súbita de emaranhamento.