Controle, preservação e transferência de emaranhamento quântico em sistemas abertos a altas temperaturas

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Julio Cesar González Henao

Campinas 2018

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Julio Cesar González Henao

Controle, preservação e transferência de emaranhamento quântico em sistemas abertos a altas temperaturas

Tese apresentada ao Instituto de Física "Gleb Wataghin" como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Ciências

Orientador: José Antonio Roversi

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO JULIO CESAR GONZÁLEZ HENAO, E ORIENTADA PELO PROF. DR. JOSÉ ANTONIO ROVERSI

Campinas 2018.

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Dedico esta tesis a mi hija Isabella Gonzalez, que esta meta que he alcanzo solo sea un ejemplo para que tu alcances otras mucho mas grandes

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Agradecimentos

A meu Deus, porque este trabalho é para sua gloria e louvor.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio financeiro. Ao meu orientador o professor José Antonio Roversi, que é um exemplo de pa-ciência, inteligencia e sabedoria, do qual tente aprender o máximo possível. Aos integrantes do grupo de óptica quântica, que junto comigo lutamos por entender o comportamento da natureza, Ao professor Ricardo Meucci e ao instituto nazionale de Otica em Firenze por me acolher. Ao IFGW e todos os professores e funcionários pelo seu apoio.

À minha família: Minha mãe Fabiola Ines Henao e minhas irmãs Lina Marcela e Laura Sofia pela sua incondicionalidade e amor, a meu pai Julio Cesar, meus primos Victor Fernando e Ricardo Andres, porque nas situações mais complexas estiverem para me dar sua mão.

À meus amigos: A todos os Colombianos que conheci no Brasil por tudo, a meus colegas de sala Jose e Erick, á Jessyca e Diana Carolina por estar a meu lado em tudo momento e me oferecer sua amizade. A toda a comunidade da ICCC de Sincelejo que me acolheu e me ensino a importancia da fe.

À Universidade de Sucre, pelo seu apoio para poder terminar de escrever minha tese, ao professor Pablo Villamil por me convidar a ser parte dessa instituição e aos professores do Departamento de Física. A todos os estudantes de mestrado SUE Caribe, porque com sua amizade me deram força para continuar nesta luta que foi terminar de escrever a teses, em especial às professoras Yurimar Ruiz e Claudia Negrete e ao professor Carlos Mercado .

Ao Conselho da Faculdade de Educação e Ciências da Universidade do Sucre, porque aprendi muito deles, às Professoras Aidee Muñoz e Tania Medrano pela sua amizade e carinho e em geral a todos os funcionários da Universidade do Sucre.

Finalmente, e não menos importante, a todos os meus estudantes durante estes 15 anos, porque sempre são eles os que me levam a estudar mais e com suas perguntas consegui entender um pouco mais a física e a vida mesma.

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Nesta tese estudamos diferentes condições para desacelerar a perda de emaranhamento em sistemas quânticos nos quais o reservatório térmico se encontra num regime onde os va-lores de energia típicos do sistema são menores ao valor da energia térmica KBT . Na analise

dos efeitos de decoerência consideramos três sistemas independentes: (1) Transferência de emaranhamento em cavidades ópticas com íons aprisionados em seu interior acopladas por fibra óptica (2) Preservação do emaranhamento de dois qubis acoplados a um reservatório térmico não lineares e (3) Controle por amplitude e fase do emaranhamento em osciladores paramétricos quânticos acoplados com um banho térmico comum. Com relação a transferên-cia de estados emaranhados foram consideradas duas cavidades (emissora e receptora) com íons em seu interior onde inicialmente na cavidade emissora o íon está com seus graus de liberdade eletrônicos e vibracionais num estado de Bell. Neste caso estudamos a transferência do emaranhamento deste íon ao íon receptor. Na análise de perdas estudamos dois tipos de dissipação: (1) perdas por emissão espontânea e (2) perdas na armadilha. Para cada um dos tipos de perda levamos em conta diferentes graus de qualidade entre as cavidades onde mostramos que uma maior eficiência da transferência é dada para o sistema onde a cavidade receptora tem um fator de qualidade maior que a cavidade emissora. No caso da preservação analisamos um sistema A de dois qubits, inicialmente num estado de Bell, em contato com um reservatório não linear, que consiste num banho térmico C acoplado com um terceiro qubit B em equilíbrio térmico a t = 0 que faz o papel de ancila entre os qubit A e o banho C. Usando diferentes valores de acoplamento conseguimos mostrar que, para condições onde o acoplamento entre qubit B-banho é maior que o acoplamento entre qubit B-qubits A, a taxa de perda de emaranhamento dos qubits A diminuí com o aumento da temperatura. Por último no processo de controle estudamos dois osciladores paramétricos acoplados, inicial-mente em estados separáveis, em contato com um mesmo reservatório térmico. Neste sistema usamos uma frequência paramétrica periódica dependente de uma amplitude e de uma fase. Para valores particulares destes parâmetros onde o sistema clássico equivalente e instável é possível gerar e controlar emaranhamento até altas tempeturas. Neste trabalho também mostramos que o coeficiente de Floquet, que define as regiões de instabilidades dinâmicas, é uma função bem comportada da taxa média de emaranhamento dos osciladores.

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Abstract

In this thesis we studied different conditions to decrease the entanglement loss in quantum systems in which the thermal reservoir is in a high temperature regime. In the analysis of decoherence effects, we consider three independent systems:(1) entanglement transfer in optical cavities with trapped ions in the interior coupled by fiber optics; (2) Preservation of the entanglement of two quakes coupled to a nonlinear thermal reservoir and (3) Control by amplitude and entanglement phase in quantum parametric oscillators coupled with a common thermal bath.

In relation to the transfer of entangled states, two cavities (emitter and receiver) with ions inside it were considered where initially in the emitting cavity the ion has its electronic and vibrational degrees of freedom in a Bell state. In this case, we studied the transfer of the entanglement of this ion to the receptor ion. In the analysis of losses we studied two types of dissipation: (1) losses by spontaneous emission and (2) losses in the trap. For each of these types of loss we take into account different degrees of quality between the cavities. We show that a higher transfer efficiency is given to the system where the receiving cavity has a higher quality factor than the emitting cavity.

In the case of entanglement preservation we analyzed a two-qubit system A, initially in a Bell state, in contact with a non-linear reservoir,consisting of a thermal bath C coupled with a third qubit B,in thermal equilibrium at T = 0 which acts as the quench between qubit A and bath C. Using different coupling values we could show that, for conditions where the coupling between qubit B-bath is greater than the coupling between qubit B-qubits A, the rate of loss of entanglement of qubits A decreased with increasing temperature. Finally in the control process we studied two parametric oscillators coupled, initially in separable states, in contact with a same thermal reservoir. In this system, we use a periodic parametric frequency dependent on an amplitude and a phase. For particular values of these parameters, where the equivalent and classical system is unstable, it is possible to generate and to control the entanglement until high temperature. In this work, we also show that the Floquet coefficient, which defines the regions of dynamic instabilities,is a well-behaved function of the average entanglement rate of the oscillators.

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Capítulo 1

Introdução

O emaranhamento quântico é um dos fenômenos mais importantes da mecânica quântica, dado que pode ser usado em campos como a informação, criptografia e computação quântica. O estudo do emaranhamento em sistemas discretos ou contínuos, em contato com o ambi-ente, tem uma relevância cada dia maior, dada à necessidade de implementar estes estados a temperaturas ambiente. O principal problema da interação de um sistema quântico ema-ranhado com o ambiente consiste no fato de que em muitos casos o ambiente gera perdas de emaranhamento, na literatura este processo de perda é bem descrito[1, 2, 3] principalmente por modelos Markovianos.

Diferentes autores nestes últimos anos vem tentado entender este problema, Davidovich et al. em [4] mostra como o ambiente induz uma morte súbita do emaranhamento e em [5] analisou experimentalmente como as correlações entre qubits são transferidas entre eles na presença do meio ambiente.

No estudo de decoerência a altas temperaturas, em 2008 Arecchi et al.. [6] propõem, teoricamente, um sistema onde um qubit em equilíbrio térmico com o ambiente faz o papel de ancila entre o reservatório térmico e um qubit numa superposição de estados base e excitado. Nesse trabalho é mostrado que ao aumentar a temperatura do reservatório a taxa de perda de decoerência do qubit em superposição diminui, como explidado em termos do efeito Zeno [7, 8]. Posteriormente em 2011 Kim [9] mostra experimentalmente que uma serie de medidas fracas num sistema de qubits emaranhados pode melhorar a preservação do estado utilizando o mesmo principio do efeito Zeno.

Nohama et al.. [10, 11], em 2011, mostram a possibilidade de transferir estados emara-nhados, a temperatura T = 0, num sistema de duas cavidades ópticas com íons aprisionados no seu interior, mesmo com perdas nas cavidades, nos íons e nas armadilhas. Neste sistema

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eles demostram que, dependendo das taxas de dissipação, o estado é transmitido com uma boa fidelidade. Além disso no mesmo trabalho se conclui que a transferência de estados emaranhados é mais eficiente quando é utilizado um estado com superposição dos estados fundamentais do íon.

Em relação ao emaranhamento em sistemas de base continua, Galves et al. [12] mos-traram que num sistema de osciladores paramétricos quânticos em contato com o ambiente é possível ter, a altas temperaturas, emaranhamento quântico. Mais tarde Roque et al.. [13] demostraram que este emaranhamento a altas temperaturas só é possível se os oscila-dores clássicos associados aos oscilaoscila-dores paramétricos quânticos apresentam uma dinâmica instável.

Considerando a literatura anterior, o problema da perda do emaranhamento quântico por interação com o ambiente pode ser enfrentado de três maneiras: Analisar como controlar o emaranhamento, como transferir estados emaranhados e estudar como proteger os mesmos. Nesta tese abordamos cada uma destas três situações e propusemos uma possível solução contextualizada num sistema particular.

Na parte de transferência foi estudado um sistemas de duas cavidades acopladas por fibra óptica, cada uma com uma armadilha com um íon aprisionado em seu interior, neste sistema analisamos as condições adequadas para transferir o emaranhamento dos estados eletrônicos e vibracionais do íon 1 para o íon 2 a altas temperaturas, neste sistema conseguimos mostrar que uma escolha ade cuada da cavidade “receptora” do estado pode fazer muito mais eficiente a transferência do emaranhamento.

No problema da conservação do emaranhamento consideramos um sistema A de dois qubits em contato com um banho térmico não linear composto de um qubit B e um reser-vatório de osciladores harmônicos em equilíbrio térmico, para este sistema mostramos que, em condições onde o acoplamento entre o qubit B e o reservatório é forte comparado com o acoplamento dos qubits A com o qubit B temos o surgimento do efeito Zeno onde o qu-bit B emerge como um “medidor” no sistema A e consegue diminuir a taxa de perda de emaranhamento ao aumentar a temperatura.

Por último, com relação ao controle de emaranhamento, decidimos estudar um sistema de estados gaussianos (muito diferente aos sistemas de qubits anteriores por ser de variável continua), onde utilizando um controle externo de amplitude e fase nas frequências de um par de osciladores paramétricos, acoplados com um reservatório a alta temperatura, consegui-mos emranhamento e controlar este através da estabilidade clássica dos osciladores clássicos associados.

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mais fundamentais da mecânica quântica, iniciando com o estudo da dinâmica quântica e apos fazendo una discussão sobre o emaranhamento quântico onde damos a definição e algumas das medidas do mesmo.

No capítulo 3 estudamos a interação do ambiente em sistemas quânticos através da apro-ximação Markoviana onde tratamos três sistemas: osciladores harmônicos, qubits e estados gaussianos.

No capítulo 4 analisamos o sistema das cavidades acopladas com fibra óptica com íons em seu interior, neste capítulo definimos concretamente o sistema, os parâmetros de quantificação de transferência e emaranhamento e consideramos duas situações: uma onde temos perda por emissão espontânea nos íons, onde conseguimos uma solução analítica da dinâmica, e a outra onde a armadilha apresenta perdas, neste situação conseguimos fazer uma solução numérica.

No capítulo 5 apresentamos o sistema A de 2 qubits em contato com o banho térmico não linear, neste capitulo estudamos a dinâmica (onde obtemos uma solução analítica) e as con-dições para ter o efeito zeno além de considerar diferentes intensidades para o acoplamentos entre os diferentes subsistemas.

No capítulo 6 temos o sistema de osciladores paramétricos acoplados com o ambiente, neste capitulo definimos o sistema, a frequência paramétrica o hamiltoniano do sistema e a diagonalização do mesmo. É definido ademas o equivalente clássico do sistema e estudado seu mapa de estabilidade para ao final calcular o emaranhamento quântico entre os osciladores e as condições de controle do mesmo. No capítulo 7 apresentamos as principais conclusões de nosso trabalho e perspectivas futuras.

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Conceitos Fundamentais

2.1 Dinâmica quântica

Em qualquer modelo teórico que tente descrever uma gradeza física é necessário termos as ferramentas conceituais para podermoss analisá-las em termos de uma evolução temporal. Na mecânica clássica por exemplo, temos as equações de Newton para descrever a evolução de uma grandeza relacionada com uma coordenada de movimento, as equações de Lagrange e Hamilton Jacobi descrevem de uma maneira mais fácil a evolução temporal do sistemas, além de usar variáveis que não precisa ser de posição, um exemplo disso esta nas coordenadas obtidas baixo transformações canônicas[14]. Nesta seção vamos fazer um pequeno resumo dos postulados da mecânica quântica, para poder fazer um estudo da dinâmica dos estados quânticos e as diferentes formas de descrevê-los, particularmente abordaremos a equação de Schrödinder que é a equação mais utilizada, em seguida abordaremos a representação de Heisenberg que é útil no caso do análise da evolução de observáveis e por último propagador para função de estado que é apropriado para sistemas de base continua.

2.1.1 Postulados da mecânica quântica

Na mecânica quântica temos um objeto matemático que chamamos estado que é um vetor unitário1 que pode ser representado por uma combinação linear de vetores ortonormais 2, cada um desses vetores ortogonais determinando um dos possíveis valores de uma grandeza

1_{Matematicamente falando é conhecido como raio.}

2_{Em geral também podemos utilizar uma representação em termos de funções continuas, mas aqui podemos}

utilizar esta hipótese, nas seções seguintes analisaremos com mais detalhes sistemas quânticos com estados de são representados por estados contínuos de base não finita.

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física do sistema (chamada observável). Para cada grandeza física é a assinalada um operador que atua sobre os vetores ortogonais, sendo cada um deles um autovetor, cujo autovalor é a própria medida da grandeza física. Por exemplo, no experimento de Stern-Gerlath, os vetores ortonormais podem ser |+i_z e |−i_z 3que representam o sentido do spin na direção Z e se associamos o operador ˆSz ao spin na direção Z temos que ˆSz|±i_z = ±~₂ |±i_z . Para

estabelecer um modelo adequado são formulados os seguintes postulados[15]4_:

• Cada sistema físico esta associado a um espaço de Hilbert5

• Para um sistema de muitos corpos é definido o espaço de Hilbert como o produto tensorial de cada um dos espaços de Hilbert de cada partícula

• Cada observável A é associando a um operador hermítico ˆA

• O valor esperado experimentalmente de um observável A para um estado |ψi é dado por Dψ | ˆA | ψE

2.1.1.1 Equação de Schrödinder

Tendo definido o conceito de estado podemos tentar encontrar uma equação que descreva a evolução temporal deste, para isso vamos assumir que temos um estado quântico definido num tempo t0 como |ψ, t0i e pretendemos conhecer o estado para um tempo posterior t0+ dt > t0

denotado por |ψ, t0; t0+ dti. Se definirmos o operado U (t0, t0+ dt) tal que:

|ψ, t0; t0+ dti = ˆU (t0, t0+ dt) |ψ, t0i (2.1.1)

este operador ˆU (t0, t0+ dt) tem que satisfazer as seguintes propriedades :

• limdt→0U (tˆ 0, t0+ dt) = ˆI onde ˆI é o operador identidade

• Û (t0, t0− dt) · Û (t0, t0+ dt) = Î • Como hψ, t0; t0+ dt| ψ, t0; t0+ dti = 1 ⇒ hψ, t0| Û†(t0, t0+ dt) Û (t0, t0+ dt) ψ, t0 E ⇒ ˆ U†_(t 0, t0+ dt) Û (t0, t0+ dt) = Î • Û (t0, t0+ dt1+ dt2) = Û (t0+ dt1, t0+ dt1+ dt2) Û (t0, t0+ dt1)

3_{Para ser mais especifico, esses vetores estão conteúdos num espaço vetorial onde é definido o produto}

interno como hα|βi onde o estado < α| representa vetor adjunto de |α >

4_{Para ter uma formulação completa é preciso incluir nestes postulados os correspondentes a sistemas de}

muitas partículas onde se tem bossones o fermiones, para nossa discussão não é relevante

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Hipoteticamente podemos propor o operador na forma ˆ

U (t0, t0+ dt) = Î − i ˆKdt (2.1.2) onde ˆ_{K é um operador hermítico. É claro que o operador da Eq. (2.1.2) satisfaz as quatro} propriedades anteriores: • limdt→0U (tˆ 0, t0+ dt) = limdt→0Î − iKdt =ˆ Î • Û (t0, t0− dt) · Û (t0, t0+ dt) =Î + iKdtˆ Î − iKdtˆ = Î + ˆKdt 2 ≈ Î • Û†_(t 0, t0+ dt) Û (t0, t0+ dt) =Î + iKdtˆ Î − iKdtˆ = Î + ˆKdt 2 ≈ Î • Û (t0+ dt1, t0+ dt1+ dt2) Û (t0, t0+ dt1) = Î − iKdtˆ 2 Î − iKdtˆ 1 = Î−i ˆK (dt1+ dt2)+ O (dt2_{) ≈ ˆ}_{U (t} 0, t0+ dt1+ dt2)

Mas a pergunta que se coloca agora é: Qual é o operador ˆ_{K? Para isso podemos fazer uso da} mecânica clássica. Na teoria de transformações canônicas, temos uma transformação (q, p) → (P, Q) que gera uma evolução temporal e, se temos uma função geratriz[14] F (q, P ) = qP +H o primeiro termo qP representa a transformação unitária, igual ao que temos no primeiro termo da Eq. (5.2.1). Considerando agora que é um termo infinitesimal equivalente ao termo dt da na Eq. (5.2.1), então podemos deduzir que ˆ_{K é proporcional ao operador hermítico} Hˆ que representa o hamiltoniano do sistema. Por último dado que ˆ_{K tem unidades de frequência}

ˆ

H deve estar dividido por alguma constante universal com unidades de ação, então como proposta podemos assumir ˆ_{K =}_{H/~ e ter o operador evolução em primeira ordem como:}ˆ

ˆ

U (t0, t0+ dt) = ˆI − i

ˆ H

~dt. (2.1.3)

Agora tendo o operador infinitesimal podemos tentar obter uma equação que nos permite ter a evolução temporal do operador, para isso podemos fazer:

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A Eq.(2.1.4) é a conhecida equação de Schrödinger. Esta equação também pode ser adaptada para o análise de ensambles estadísticos de um conjunto de estados. Este tipo de conjuntos não pode ser representado por |ψi e, uma representação mais geral consiste na definição da matriz densidade que é dada por:

ˆ ρ = N X i=1 wi|ψii hψi| (2.1.5)

onde os wi representam as probabilidades, numa medida, de se obter os estados |ψii . O valor

médio de um observável para estes sistemas é dado por Tr ˆA. ˆρ

e por definição se toma Tr ( ˆρ) = 1.

Assim a evolução temporal de ˆρ é dada por:

d dtρ =ˆ N X i=1 wi d dt(|ψii hψi|) = N X i=1 wi d dt (|ψii) hψi| + |ψii d dt(hψi|) = N X i=1 wi ˆ_H i~|ψii hψi| − |ψii hψi| ˆ H i~ ! = ˆ H i~ N X i=1 wi|ψii hψi| ! − N X i=1 wi|ψii hψi| ! ˆ H i~ = 1 i~ h ˆ_{H, ˆ}_ρi (2.1.6) Curiosamente, esta equação é muito parecida à encontrada na mecânica clássica no estudo

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de ensambles.

2.1.1.2 Representação de Heisenberg

Uma maneira alternativa de estudar um sistema quântico é pensar que a evolução do sistema não é dada através dos estados e sim por meio da evolução do observável. Para fazer este analise podemos utilizar um dos postulados da mecânica quântica, se temos um observável Â temos que seu valor esperado é hψ| Â |ψi ≡D ÂE, calculando a derivada temporal do valor médio temos:

Esta equação mostra que conhecendoD ˆAE

t=0podemos calcular

D ˆ_AE

em função do tempo, sem precisar do calculo de |ψi em função do tempo. Outra possibilidade é pensar que o estado |ψ (t)i = ˆU (t) |ψ (0)i , o operador ˆU (t) pode ser obter facilmente se ˆH for independe do tempo e dividimos o tempo em pequenos intervalos t/N onde N é grande:

ˆ U (t) = U (0, t) = limˆ N →∞ ˆ U 0, t N N = lim N →∞ ˆ_{I − i}Hˆ ~ t N !N = e−iH~ˆt (2.1.7)

com a forma explicita da Eq. (2.1.7) podemos escrever a media do operadorD ˆAE como: D ˆ_AE = hψ (t)| ˆA |ψ (t)i = hψ (0)| eiHˆ~tAeˆ −i ˆ H ~t|ψ (t)i ⇒ ˆ A (t) = eiH~ˆtAeˆ −i ˆ H ~t (2.1.8)

Dada a forma da Eq. (2.1.8) vemos que o observável A pode ser definido como um operador que evolui no tempo e o valor médio sendo aplicado no estado inicial. Por ultimo para o operador ˆA pode-se obter uma equação diferencial da mesma maneira que para o

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24 estado: d dt ˆ A (t) = d dte iHˆ ~tAeˆ −i ˆ H ~t = d dte iHˆ ~t ˆ Ae−iHˆ~t+ ei ˆ H ~tAˆ d dte −iHˆ ~t + eiH~ˆt ∂ ∂t ˆ Ae−iHˆ~t = iHˆ ~ eiHˆ~tAeˆ −i ˆ H ~t− iei ˆ H ~tAeˆ −i ˆ H ~t ˆ H ~ + eiH~ˆt ∂ ∂t ˆ Ae−iH~ˆt = i ~ h ˆ_{H, ˆ}_{A (t)}i + ∂ ∂t ˆ A (t) . (2.1.9)

2.1.1.3 Propagador da função de estado quântico

Uma terceira forma de representar a evolução de um sistema consiste em escrever o estado na representação da posição h~r| ψi = ψ (~r, t), onde temos em função da equação de Schrödinger6: d dtψ (~r, t) = d dt h~r| ψi = h~r| d dt|ψi = h~r| ˆ H i~|ψi = ˆ d~r03h~r|Hˆ i~|~r 0_{i h~r}0_{| |ψi} = ˆ d~r03H (~ˆ r 0_{, ~}_p0₎ i~ h~r| ~r 0_{i h~r}0_{| ψi =} ˆ d~r03δ (~r − ~r0)H (~ˆ r 0_{, ~}_p0₎ i~ h~r 0_{| ψi} = ˆ H (~r, ~p) i~ h~r| ψi = ˆ H (~r, ~p) i~ ψ (~r, t) (2.1.10)

e como podemos ver a equação de Schrödinger aplica também para a evolução da função estado na representação de posição. Agora vamos ver como podemos escrever ψ (~r, t) em termos do estado inicial ψ (~r, 0)

|ψ (~r, t)i = e−iH~ˆt|ψ (~r, 0)i

h~r| |ψ (~r, t)ii = h~r| e−iHˆ~t|ψ (~r, 0)i

= ˆ d~r03h~r| e−iHˆ~t|~r0i h~r0| |ψ (~r, 0)i = ˆ d~r03K (~r0, ~r, t) ψ (~r0, 0)

A função K (~r0, ~r, t) é conhecido como o propagador que nada mais é que a função de

6_{Nesta parte vamos usar a propriedade}´_d~_r03_|~r0_{i h~r}0

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Green da equação de Schrödinger. Este operador pode ser expresso facilmente em termos dos estados próprios |φni de ˆH com ˆH |φni = En|φni, dado que7:

Para o cálculo do propagador da matriz densidade podemos fazer um tratamento seme-lhante, o problema é que precisamos escrever o operador em função do tempo em termos de ˆ

ρ (t = 0) = ˆρ (0). Neste casso é fácil demostrar que ˆρ (t) = eiHˆ

~tρ (0) eˆ −i ˆ H ~t: d dtρ (t) =ˆ d dt eiH~ˆtρ (0) eˆ −i ˆ H ~t = d dt eiH~ˆt ˆ ρ (0) e−iH~ˆt+ ei ˆ H ~tρ (0)ˆ d dt e−iHˆ~t = iHˆ ~ eiHˆ~tρ (0) eˆ −i ˆ H ~t− iei ˆ H ~tρ (0) eˆ −i ˆ H ~t ˆ H ~ = 1 i~ h ˆ_{H, ˆ}_{ρ (t)}i (2.1.11) que é a mesma Eq. (2.1.6) o que implica que é solução da mesma. Dado que nosso interesse esta em sistemas bipartitos (sistemas compostos por dois sub sistemas) vamos a calcular o propagador da matriz densidade para um sistema definido por dois subsistemas, o primeiro definido por coordenadas x e o segundo definido por q. O operador ˆρ em termos das coordena-das de posição é representado por ρ (x, q, x0, q0, t) = hx|⊗hq| ˆρ (t) |x0i⊗|q0_{i = hx, q| ˆ}_{ρ (t) |x}0_{, q}0_i8

e escrito em função do propagador de K :

7_{Nesta parte vamos usar a propriedade}PN

n=1|φni hφn| = ˆI e hφn| φmi = δnm

8_{É muito importante lembrar que ˆ}_{ρ é um operador e não um estado, pelo qual para fazer uma representação}

em coordenadas é preciso aplicar um ket pela direita e um bra pela esquerda para ter ρ (x, q, x0, q0, t) como um campo escalar.

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O calculo do propagador K não é fácil e depende do hamiltoniano ˆH, porém nas próximas seções vamos ver que este propagador pode ser calculado analiticamente para alguns casos particulares.

2.2 Emaranhamento quântico

O emaranhamento é um dos fenômenos mais intrigantes da mecânica quântica e foi um dos primeiros em gerar polêmica na comunidade cientista, Einstein e et al.. em seu famoso artigo [16] de 1935 fazem uma discussão sobre a não localidade da mecânica quântica através do estudo de estados de posição relativa não factoráveis 9, posterior a este trabalho, John Bell em 1964 mostra em [17] como estados emaranhados violam um conjunto de desigualdades (que levariam depois seu nome) e prova que estados emaranhados não satisfazem o principio de realismo local. Experimentalmente estados emaranhados podem se obter em estudo com fótons, pontos quânticos, cavidades com íons no seu interior e inúmeros sistemas e suas aplicações vão desde o protocolo de teleportação (Estados emaranhados são indispensáveis neste protocolo), criptografia quântica e codificação densa de informação quântica[2].

O fenômeno consiste na impossibilidade de escrever um sistema quântico como soma de produtos de cada um dos subsistemas dos que esta composto, a continuação temos uma definição precisa em termos da matriz densidade do sistema:

Definição 1. Emaranhamento quântico: Um sistema composto por n subsistemas com ma-triz densidade total ˆρS é dito emaranhado se sua matriz densidade não pode-se escrever de

maneira separável em termos das matrizes densidades de cada um dos subsistemas, isto é:

ˆ ρS 6= X i=1 Piρˆ (1) i ⊗ ˆρ (2) i ... ⊗ ˆρ (n) i , Pi > 0, N X i=1 Pi = 1. (2.2.1)

9_{No artigo EPR [16] são utilizadas variáveis continuas, funções em representação de posição e além disso}

são definidas condições de realidades físicas, aqui apresentaremos o emaranhamento num contexto mais simples onde usamos kets e matrizes densidades.

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Para sistemas composto descritos unicamente com um ket |ψi_S a matriz densidade é dada por ˆρS = |ψi hψ|S e a Eq. (2.2.1) pode se reduzir a:

|ψi_S 6= |ψi(1)⊗ |ψi(2)... ⊗ |ψi(n). (2.2.2) Um exemplo simples de estados emaranhados é dado para sistemas bipartitos, nestes sistemas temos um conjunto de estados emaranhados ortonormais:

|φ1i =

1 √

2(|0i ⊗ |0i + |1i ⊗ |1i) |φ2i =

1 √

2(|0i ⊗ |0i − |1i ⊗ |1i) |φ3i =

1 √

2(|1i ⊗ |0i + |0i ⊗ |1i) |φ4i =

1 √

2(|1i ⊗ |0i − |0i ⊗ |1i) (2.2.3) que são conhecidos como estados de Bell [2].

2.2.0.4 Exemplo de geração de emaranhamento em sistema bipartito de qubits Como exemplo de geração de emaranhamento podemos considerar o estudo de um sistema de 2 qubits isolados interagindo através de um termo de acoplamento do tipo Jaynes–Cummings [15, 2]. Neste sistema o acoplamento consiste na possibilidade de troca de energia e por conseguinte troca de estados entre os qubits. O hamiltoniano do sistema é dado por:

ˆ H = 2 X i=1 ~ 2ωˆσzi− ~g (ˆσ+1σˆ−2+ ˆσ−1σˆ+2) (2.2.4)

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onde usamos a notação10

|li ⊗ |mi = |lmi ˆ σz1|lmi = (−1)l+1|lmi ˆ σz2|lmi = (−1) m+1 |lmi ˆ σ±1|lmi = |l ± 1mi ˆ σ±2|lmi = |lm ± 1i (2.2.5)

com os sub-índices l e m tendo valores possíveis de 0, 1. Se usamos um isomorfismo en-tre os kets e o espaço vetorial R4 onde |ψi = c00|00i + c01|01i + c10|10i + c11|11i →

(c00, c01, c10, c11)T 11 temos que o hamiltoniano pode ser escrito na forma matricial por:

H = ~       −ω 0 0 0 0 0 −g 0 0 −g 0 0 0 0 0 ω       (2.2.6)

nesta representação matricial podemos calcular facilmente os autovalores e os autovetores:

Autovalores Autovetores −~ω (1, 0, 0, 0)T → |00i ~ω (0, 0, 0, 1)T → |11i −~g (0, 1, 1, 0)T → _√1 2 (|10i + |01i) = |φ3i ~g (0, −1, 1, 0)T → √1₂(|10i − |01i) = |φ4i

Tabela 2.1: Tabela de auto estados e autovetores

Como é possível diagonalizar a matriz H, podemos assim calcular a evolução do sistema, dada um condição inicial e, usando o operador de evolução unitária definido na Eq. (2.1.7). Se consideramos o estado inicial |ψ (0)i = |10i, que é separável, pode-se escrever em termos dos auto estados de ˆH como |ψ (0)i = |10i = _√1

2(|φ3i + |φ4i) e aplicar o operador de evolução

10_{É muito importante lembrar que σ}

−1|0mi = 0, σ−2|l0i = 0, σ+1|1mi = 0 e σ+2|l1i = 0, dado que não

é possível descer a um estado aquém do que o |0i nem ir além de um estado superior ao |1i.

(29)

para obter:

|ψ (t)i = e−iHˆ~t|ψ (0)i

igt_{(|10i + |01i) + e}−igt

(|10i − |01i)

= cos (gt) |10i + i sin (gt) |01i (2.2.7) Note-se que a Eq. (2.2.7) é um estado não separável o que implica que é um emaranhado.

2.2.1 Emaranhamento em estados puros

As Eq. (2.2.1) e Eq. (2.2.2) são muito complicadas de verificar, pelo qual é preciso ter um critério mais simples para determinar se estados quânticos estão ou não emaranhados. Neste ponto é importante saber qual é a natureza do estado que estamos estudando.

Para uma matriz densidade ˆρSi = |ψi hψ| temos uma série de propriedades interessantes:

Teorema. Matrizes ˆρS = |ψi hψ| são idempotentes12

Teorema. Matrizes ˆρS = |ψi hψ| só tem valores próprios 1 ou 0

Demonstração. Seja |λi um auto estado de ˆρScom autovalor λ, então ˆρS|λi = λ |λi aplicando

0, 1.

Sistemas representados por matrizes do tipo ˆρS = |ψi hψ| são conhecidos como sistemas

puros e |ψi um estado puro. Estados onde esta condição não seja possível serão ditos como mistos.

(30)

30

2.2.1.1 Entropia de von Neumann e entropia linear

Para estados puros a quantificação do emaranhamento é relativamente simples, dado que se fazemos o traço parcial[2] 13 _{de ˆ}_ρ

S sobre um dos sub sistemas temos ˆρ (1)

S = Tr2{ˆρS}

e ˆρ(2)_S = Tr1{ˆρS}, as matrizes ˆρ (i)

S não precisam ser idempotentes. Particularmente para

estados emaranhados isso não é satisfeito, o que implica que ρˆ(j)_S

2

6= ˆρ(j)_S e que ˆρ(j)_S pode ter autovalores diferentes de 1 e 0. Estas duas propriedades nos levam a definir dois medidas de emaranhamento:

• Entropia de von Neumann

Shρˆ(j)_S i= −Trnρˆ(j)_S log ˆρ(j)_S o= −X k=1 λk(j)log λk(j) (2.2.8) • Entropia Linear EL h ˆ ρ(j)_S i = Trnρˆ(j)_S o− Tr ˆ ρ(j)_S 2 = 1 −X λk(j) 2 (2.2.9) Estas duas quantidades são 0 se o estado é separável. Considerando |ψi = |Ψ1i ⊗ |Ψ2i

então ˆρS = |Ψ1i hΨ1| ⊗ |Ψ2i hΨ2| e ˆρ (j)

S = |Ψji hΨj| e, como ˆρ (j)

S é uma matriz de um

sis-tema puro então ela é idempotente, então λk(j) = 0, 1. Observando Eq. (2.2.8) e Eq.(2.2.9)

pode-se ver que a entropia linear é uma aproximação linear da entropia de von Neumann

14_{. Para se ter uma idéia de como aplicar estas funções iremos usar como exemplo o estado}

evoluído |ψ (t)i, definido em Eq. (2.2.7). Para este estado a matriz densidade ˆρS = ˆρ (t) =

|ψ (t)i hψ (t)| = cos2_{(gt) |10i h10| + sin}2_{(gt) |01i h01| + i sin (gt) cos (gt) (|10i h01| − |01i h10|)}

e a matriz reduzida do sub sistema 1 é ˆρ(1)_{(t) = cos}2_{(gt) |0i h0| + sin}2_{(gt) |1i h1|. Se}

imple-mentarmos um isomorfismo semelhante ao utilizado na seção anterior podemos verificar que ˆ

ρ(1)_{(t) é uma matriz diagonal, o que implica que seus autovalores são cos}2_{(gt) e sin}2_{(gt). Na}

figura 1 plotamos a entropia linear e a entropia de von Neuman para este sistema:

13_{O traço parcial é definido por Tr}

i( ˆρS) =Pn=1hn| ˆρS|ni onde os |ni são uma base ortonormal do espaço

de Hilbert Hi.

14_{Isso pode-se ver facilmente dado que uma aproximação linear de log x ao redor de x = 1 é log x ≈}

(31)

Figura 2.2.1: Entropia linear e entropia de von Neumann em função do tempo escalado τ = gt Na figura acima temos os valores máximos de S e EL para τ = π/4 + nπ, n = 0, 1, 2, ....

Para todos estes tempos, dado que cos2(π/4 + nπ) = sin2(π/4 + nπ) = 1/2, os autovalores são iguais. Nos casos onde a entropia seja máxima (isto é, quando temos maior ignorância do sistema) diremos que o sistema esta maximamente emaranhado.

2.2.2 Emaranhamento em sistemas mistos

No caso de sistemas mistos, o análise das condições nas quais uma matriz densidade é não separável é muito mais complexa. Nos casos de sistemas bipartitos de tamanhos 2 ⊗ 2 e 2 ⊗ 315 _{existe um critério que facilita a análise do emaranhamento. Este critério foi deduzido}

em [18] por Peres e Horodecki em 1996 e estabelece que:

Proposição. Critério PPT 16 - Um sistema é separável se ao aplicar uma transposição parcial sobre um dos elementos do subsistema a matriz transposta é ainda definida semi-positiva17.

Uma transposição parcial consiste em fazer uma troca entre kets e bras só num dos sub espaços de Hilbert. Para ter uma ideá vamos fazer uma transposição parcial numa matriz densidade de dois qubits utilizando a notação matricial e o isomorfismo com M4×418:

15_{Nesta notação é equivalente a dim H}

1⊗ dim H2onde Hi é o espaço vetorial do subsistema i 16_{A sigla PPT corresponde a positive partial transpose}

17_{Uma matriz se define positiva se todos seus autovalores são positivos}

18_{Uma escolha muito útil para fazer transposições parciais consiste em utilizar uma notação binaria dos}

elementos de matriz e não uma notação de fila coluna, isso é utilizar Aij_lmonde os índices superiores e inferiores são 0 e 1 e não a notação tradicional de elemento de matriz Alm onde l, m = 1, 2, 3, 4 no caso de sistemas

(32)

32 ˆ ρ =       ρ00 00 ρ0001 ρ0010 ρ0011 ρ01 00 ρ0101 ρ0110 ρ0111 ρ10 00 ρ1001 ρ1010 ρ1011 ρ11₀₀ ρ11₀₁ ρ11₁₀ ρ11₁₁       −→ ˆρT1 ₌       ρ00 00 ρ0100 ρ0010 ρ0110 ρ00 01 ρ0101 ρ0011 ρ0111 ρ10 00 ρ1100 ρ1010 ρ1110 ρ10₀₁ ρ11₀₁ ρ10₁₁ ρ11₁₁       (2.2.10)

Os resultados de Peres e Horodecki implicam que si temos uma matriz densidade, após fazermos a transposição parcial, se pelo menos um dos autovalores desta for negativo, indis-cutivelmente temos emaranhamento neste sistema.

2.2.2.1 Negatividade e concurrence

Considerando o critério de Peres e Horodecki a negatividade N ( ˆρ) é definida como:

N (ˆρ) ≡ ρˆT1 − 1 = 4 X i=1 |λi| − λi (2.2.11)

Onde os λi correspondem aos valores próprios de ˆρT1. A definição dada na Eq. (2.2.11)

difere de um fator 2 da definição original dada por Vidal e Werner em [19], para ter um valor máximo de 1. Em contraste, a concurrence é também uma função que quantifica o emaranhamento e está relacionada com o emaranhamento de formação. É apresentada em [20] na forma:

C(ˆρ) ≡ max(0, λ1− λ2− λ3− λ4) (2.2.12)

onde os λi são os autovalores em ordem decrescente da matriz p√ρ˜ρ

√

ρ, com ˜ρ sendo o “spin-flipped” de ˆρ dado por ˜ρ = (σy ⊗ σy) ˆρ∗(σy⊗ σy) tendo σy como as matrizes de Pauli.

Tanto a Negatividade como a concurrence definidas na Eq. (2.2.11) e na Eq.(2.2.12) têm os seus valores máximos igual a 1 e mínimo igual a 0 se os sistemas estão maximamente emaranhados ou se são separados, respectivamente. Para sistemas puros, isto é, se o estado pode ser escrito na forma |ψi = c00|00i + c11|11i + c10|10i + c01|01i, a negatividade e a

concurrence são iguais e são dadas por:

N (ˆρ) = C( ˆρ) = 2 |c00c11− c10c01| .

Entretanto a negatividade e a concurrence em geral não são iguais para sistemas mistos. Em [21] é demostrado que a negatividade é inferior o igual à concurrence e explicitamente

(33)

se tem que q

(1 − C( ˆρ))2+ C( ˆρ)2 _{− (1 − C(ˆ}_{ρ)) < N ( ˆ}_{ρ) ≤ C( ˆ}_{ρ) . Para pelo menos um caso}

particular de estados mistos foi demostrado que a negatividade e a concurrence são iguais. Estes estados são conhecidos como estados X e são definidos como estados onde a matriz densidade tem uma distribuição geométrica semelhante à letra X do alfabeto:

ˆ ρ =       ρ00 00 0 0 ρ0011 0 ρ01 01 ρ0110 0 0 ρ10 01 ρ1010 0 ρ11 00 0 0 ρ1111.       (2.2.13)

Para estes estados a negatividade e a concurrence são dadas por:

N (ˆρ) = C ( ˆρ) = 4 X i=1 |λi| − λi λ1 = 1 2 − q (ρ01 01) 2 − 2ρ01 01ρ1010+ (ρ1010) 2 + 4ρ00 11ρ1100+ ρ 01 01+ ρ 10 10 λ2 = 1 2 q (ρ01 01) 2 − 2ρ01 01ρ1010+ (ρ1010) 2 + 4ρ00 11ρ1100+ ρ 01 01+ ρ 10 10 λ3 = 1 2 − q (ρ00 00) 2 − 2ρ00 00ρ1111+ (ρ1111) 2 + 4ρ01 10ρ1001+ ρ 00 00+ ρ 11 11 λ4 = 1 2 q (ρ00 00) 2 − 2ρ00 00ρ1111+ (ρ1111) 2 + 4ρ01 10ρ1001+ ρ 00 00+ ρ 11 11 . (2.2.14)

Neste caso em particular a negatividade definida na Eq. (2.2.14) pode ainda ser mais sim-plificada uma vez que λ2,4 > 0:

N (ˆρ) = C ( ˆρ) = 4 X i=1 |λi| − λi = 2 (|λ1| + |λ3|) (2.2.15)

Os estados do tipo X são muito importantes dado que aparecem em muitos sistemas. Nesta tese, nos capítulos 4 e 5, os sistemas reduzidos de nosso interesse tem precisamente matrizes densidades do tipo X, o que faz os resultado da Eq. (2.2.14) e Eq. (2.2.15) muito importantes e que serão utilizaremos continuamente.

(34)

34

2.2.3 Emaranhamento de estados gaussianos

Toda a discussão anteriormente feita foi sobre estados associados a espaços de Hilbert de base discreta, mas uma pergunta importante é: que acontece com sistemas de base continua? e como pode se quantificar o emaranhamento para este tipo de sistemas? Nesta tese consi-deramos um caso particular de estados de base continua que são conhecidos como estados gaussianos. Para entender em que consistem estes estados vamos primeiro fazer um breve resumo de funções de quase probabilidade onde definimos a função de Wigner e após isso definiremos os estados gaussianos e então definir a negatividade logarítmica que serve para determinar o emaranhamento para este tipo de estados.

2.2.3.1 Função de Wigner e estados Gaussianos

Como foi visto na seção anterior, a matriz densidade pode ser representada em diferentes bases de um espaçõ de Hilbert. Agora consideraremos a função de Wigner[22] dada por:

W (x, p) = 1 2π~ ˆ ∞ −∞ du x +1 2u ˆ ρ x −1 2u eipu~ (2.2.16)

onde x e p são as coordenadas de posição e momento respectivamente. Esta função tem uma série de propriedades muito interessantes, por exemplo, se temos um estado puro ˆρ = |ψi hψ| a função de Wigner é da forma:

W (x, p) = 1 2π~ ˆ ∞ −∞ du x +1 2u |ψi hψ| x −1 2u eipu~ = 1 2π~ ˆ ∞ −∞ duψ x +1 2u ψ∗ x − 1 2u eipu~

(35)

ˆ ∞ −∞ dpW (x, p) = 1 2π~ ˆ ∞ −∞ ˆ ∞ −∞ dudpψ x +1 2u ψ∗ x − 1 2u eipu~ = 1 2π~ ˆ ∞ −∞ duψ x + 1 2u ψ∗ x − 1 2u ˆ ∞ −∞ dpeipu~ = ˆ ∞ −∞ duψ x +1 2u ψ∗ x − 1 2u δ (u) = |ψ (x)|2, ˆ ∞ −∞ dxW (x, p) = 1 2π~ ˆ ∞ −∞ ˆ ∞ −∞ dudxψ x +1 2u ψ∗ x − 1 2u eipu~ = φ∗(p) φ (p) = |φ (p)|2.

Estes resultados nos mostram que a função de Wigner representa uma “probabilidade”. Agora é importante lembrar que esta função não é uma distribuição de probabilidade porque ela não é sempre positiva, sendo mais especificamente conhecida como uma função de quase-probabilidade.

Além das propriedades descritas anteriormente esta função tem outra propriedade que se aplica para todos os tipos de estados e, se temos um operador O(ˆx, ˆp) simetricamente ordenados com relação x e p (que denotaremos como {O (ˆx, ˆp)}_W onde o sub índice W representa uma transformação de Wely1920) então temos que:

h{O (ˆx, ˆp)}_Wi = ˆ ∞

−∞

dxdp {O (x, p)}_W W (x, p) (2.2.17) Agora, tendo uma idéia do que é a função de Wigner torna mais fácil definir um estado gaussiano:

Definição. Estado Gaussiano: Um estado quântico de N partículas é dito ser gaussiano se

19_{Só para deixar nais claro, {O (ˆ}_{x, ˆ}_p)} W = 1 2π~ ´∞ −∞dux + 1 2u O (ˆx, ˆp) x − 1 2u e ipu ~

(36)

36

sua função de Wigner puder ser dada por[24]:

W ˆR = exp −1 2 ˆR −D ˆR ET σ−1 ˆR −D ˆRE (2π)Npdet (σ) (2.2.18) ˆ R = (ˆx1, ˆp1, ˆx2, ˆp2, ..., ˆxN, ˆpN)T (2.2.19) σij = 1 2 Dn ˆ_R_i_{, ˆ}_R_joE −D ˆRiE D ˆRj E (2.2.20) Nesta definição o vetor operador Eq.(2.2.19) é definido em termos dos operadores de posição ˆxi e momento ˆpi de uma partícula i e a matriz σ é conhecida como matriz de

covariança (CM pelas siglas em Ingles). Esta matriz é muito importante porque nela estão codificadas todas as correlações do sistema de partículas. Este estado é multo importante porque para hamiltonianos bilineares ainda se apresenta esta condição após da evolução temporal [25]. No capitulo 6 desta tese estes estados apareceram na evolução temporal de nosso sistema e sua caracterização será importante para a quantificação do emaranhamento. 2.2.3.2 Negatividade Logarítmica

Na seção anterior definimos os estado gaussianos e a matriz de covariança. A matriz σ para estados gaussianos é sumamente importante porque é equivalente à uma “matriz densidade do sistema”, no sentido de que sobre esta matriz pode se aplicar os critérios de determinação de estados emaranhados para sistemas bipartitos. Para a matriz σ pode-se usar o critério PPT para definir a negatividade logarítmica[26] ou seja:

EN =    0 se v ≥ 1/2 − log 2v se v < 1/2 , (2.2.21)

com v sendo um autovalor simpléctico da transposta parcial da matriz de covariança que é dado por:

2v2 = I1+ I2− 2I3−

q

(I1+ I2− 2I3)2− 2I4 (2.2.22)

com I1 = det[σ11], I2 = det[σ22], I3 = det[σ12] e I4 = det[σ], as matrizes 2 × 2 σ11, σ22 e σ12

são sub bloco da matriz 4 × 4 de covariança σ :

σ = σ11 σ12 σT

12 σ22

!

(37)

para um sistema bipartito gaussiano temos emaranhamento se EN > 0, em contraste, se

EN = 0 o sistema é separável.

(38)

Capítulo 3

Interação com o ambiente e aproximação

Markoviana

Nesta capítulo estudaremos a influência de reservatórios térmicos na evolução de um estado quântico. Estes sistemas serão analisados na aproximação Markoviana [27], onde o reservatório estão em equilíbrio térmico a temperaturas diferentes de zero. O objetivo deste capítulo é analisar os processos de dissipação provocados pelo reservatório e quantificar seus efeitos em função de diferentes parâmetros como taxas de dissipação e temperatura.

Primeiramente consideraremos aspectos fundamentais da mecânica estatística para encon-trar a matriz densidade de um sistema em equilíbrio térmico e posteriormente deduziremos a Equação Mestra que descreve a evolução temporal do mesmo em contato com um reservatório térmico na aproximação Markoviana. Após estas duas seções faremos a análise da dinâmica de sistemas de qubits para obter a evolução da coerência e do emaranhamento do sistema, evidenciando os processos de perdas por dissipações. Na última seção nos concentraremos na dinâmica de sistemas de variável continua em contato com reservatórios térmicos através dos modelos de Feynman-Vernon e Caldeira-Legget para encontrar a matriz densidade de um oscilador harmônico paramétrico sometido a um processo dissipativo.

3.1 Equilibro térmico em sistemas quânticos

1_{Na mecânica estatística é possível fazer o análise de sistemas de muitos corpos através}

dos ensembles microcanônico, canônico e gram canônico. Nestes modelos se estabelecem

1_{O tratamento feito nesta seção pode-se encontrar em [28], aqui fazemos uma dedução muito mais}

deta-lhada

(39)

diferentes condições de ligaduras para poder deduzir uma função que descreva a probabilidade ou densidade de probabilidade de encontrar um sistema num estado particular. Na mecânica quântica podemos encontrar a matriz densidade de um sistema em equilíbrio térmico usando critérios análogos. Vamos supor que temos um sistema de muitos corpos e consideramos um deles. Este vem descrito por uma matriz densidade ˆρ e sua evolução temporal está dada por um hamiltoniano ˆH, no qual a primeira condição que vamos a impor no equilíbrio térmico é: Proposição. Um sistema em equilíbrio não evolui no tempo, isso implica no contexto quân-tico que _dtdρ = 0.ˆ

Desta condição se deduz imediatamente pela Eq. (2.1.6) que h ˆH, ˆρi= 0, a qual implica que ˆ

ρ deve ser diagonal na base de estados próprios de ˆH 2_{. Uma condição indispensável para}

ter equilíbrio térmico está dada pela segunda lei da termodinâmica que garante o equilíbrio para a entropia máxima. No contexto quântico precisamos definir uma entropia em termos da matriz densidade e, para esta situação definimos entropia como:

S ( ˆρ) = −kBTr ( ˆρ ln ˆρ) = −KB N

X

i=1

λiln λi (3.1.1)

onde os λi são os valores próprios de ˆρe kB é a constante de Boltzmann. Uma vez definida

a entropia e sabendo que ˆρ é diagonal nos estados de ˆH podemos afirmar que para ˆρ = P ρn|ni hn| com ˆH |ni = n|ni então S (ˆρ) = −kB

PN

n=1ρnln ρn. Por último podemos

postular dois condições que vão nos permitir deduzir a matriz densidade :

Proposição. Num sistema em equilíbrio a entropia definida em Eq. (3.1.1) deve ser máxima. Proposição. Num sistema em equilíbrio a energia media deve ser fixa3 _.

Dado que, de acordo com a terceira proposição e a condição de traço 1, temos que ma-ximizar a Eq.(3.1.1), podemos utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver o problema de optimização:          S ( ˆρ) = −kBP ρnln ρn Máxima Trn ˆH ˆρ o =P ρnn= Constante Tr ˆ{ρ} =P ρn = 1 Constante . (3.1.2)

2_{Esta afirmação é fácil de demonstrar: se temos ˆ}_{ρ =} _{P ρ}

n|ni hn| com ˆH |ni = n|ni então ˆH ˆρ =

P ρnn|ni hn| e ˆρ ˆH =P ρnn|ni hn| o que leva a terh ˆH, ˆρ

i = 0.

(40)

40

É interessante observar que a dedução da matriz densidade para um sistema em equilíbrio se reduz a encontrar unicamente os ρn que são os elementos da diagonal da matriz densidade.

No sistema Eq. (3.1.2) podemos utilizar a teoria de multiplicadores de Lagrange e fazer:

dS − βdXρnn − ηdXρn = 0 −kB X dρn(ln ρn+ 1) − β X dρnn− η X dρn = 0 X dρn(−kB(ln ρn+ 1) − βn− η) = 0 ⇒ −kB(ln ρn+ 1) − βn− η = 0 ρn = e −βn kB− η kB−1 ρn = Ce −βn kB_. _(3.1.3)

Dado que P ρn = 1 temos que C = 1/Z onde Z = P e −βn

kB _{é conhecida como função de}

partição. Agora só falta deduzir o valor da constante β. Para isso lembramos da definição de temperatura que é dada por _∂∂S = _T1 e então, é preciso primeiro calcular S em termos de :

S ( ˆρ) = −kB X ρnln ρn = −kB X e −βn kB Z ! ln e −βn kB Z ! = kB X e −βn kB Z ! ln Z +βn kB = kB X e −βn kB Z ! ln Z +βn kB = ln Z + βX e −βn kB Z n ! = ln Z + β ⇒ ∂ ∂S = 1 T = β,

por último podemos escrever a matriz densidade de maneira explicita:

ˆ ρ = Xe − n kB T Z |ni hn| = e− ˆ H kB T Z X |ni hn| = e − Hˆ kB T P e−βnkB = e − Hˆ kB T Tr e− ˆ H kB T . (3.1.4)

(41)

Como exemplo podemos encontrar a matriz densidade para um oscilador harmônico em equilíbrio térmico e, para isso substituímos ˆ_{H = ~ωâ}†â onde â e â† são operadores de aniqui-lação e criação e n = ~ωn. Neste caso a função de partição pode ser calculada exatamente:

Z = Xe−kB Tn = ∞ X n=0 e−kB T~ωn ₌ ∞ X n=0 e−kB T~ω n = 1 1 − e−kB T~ω , (3.1.5)

e substituindo a Eq. (3.1.5) na Eq. (3.1.4) temos:

ˆ ρ =1 − e−kB T~ω e− ˆ H kB T_. _(3.1.6)

A partir da Eq. (3.1.6) podemos calcular diversos parâmetros do sistema, por exemplo, para o oscilador harmônico podemos calcular a energia media e o numero médio de fótons:

D ˆ_HE = Trn ˆH ˆρo=1 − e−kB T~ω X_n_e− n kB T = −1 − e−kB T~ω ∂ ∂γ X e−γn _{com γ ≡ 1/k} BT = −1 − e−kB T~ω ∂ ∂γ 1 − e −γ~ω−1 = ~ω e − ~ω kB T 1 − e−kB T~ω . (3.1.7) hˆni = ˆa†ˆa =D ˆHE_{/~ω =} e − ~ω kB T 1 − e−kB T~ω = ekB T~ω _{− 1} −1 . (3.1.8)

Na Eq. (3.1.8) podemos constatar que para T → ∞ hˆni ≈1 + ~ω kBT − 1

−1 = kBT

~ω e para

T → 0 hˆni = 0.

Para o caso de um qubit em equilíbrio com o reservatório térmico a obtenção da matriz densidade é mais simples pelo fato de ter só dois estados possíveis. Se temos ˆH = ~ω

(42)

42

ˆ

σz|ii = (−1) i+1

|ii com i = 0, 1, a função de partição Z e a matriz densidade são:

Z = Xe−kB Tn _{= e}2kB T~ω _{+ e}−2kB T~ω _, _(3.1.9) ˆ ρ = 1 e2kB T~ω _{+ e}−2kB T~ω e2kB T~ω ₀ 0 e−2kB T~ω ! ≡ ˆρth. (3.1.10)

3.2 Equação Mestra

No análise de sistemas em contato com o ambiente, é muito difícil fazer uma descrição microscópica do sistema dado que o reservatório que modela o ambiente é definido com um número muito grande de graus de liberdade. Agora, nós não estamos interessados em saber a dinâmica dos graus de liberdade do reservatório, só estamos interessados nos graus de liberdade do nosso sistema alvo/]. Assim uma teoria bastante útil e muito utilizada é dada pela equação mestra, que só envolve os graus de liberdade do sistema de interesse e os efeitos do ambiente ficam condensados em parâmetros macroscópicos como a temperatura ou a taxa de dissipação.

Vamos considerar um sistema U definido por 2 subsistemas S e um reservatório R. O sis-tema S que será nosso sissis-tema alvo é um oscilador harmônico de frequência ω com operadores de criação e destruição ˆs† e ˆs respectivamente4_{. Já o sistema R, que será o reservatório do}

sistema, é uma coleção de osciladores harmônicos com frequências ϑj e operadores de criação

e destruição ˆh†_j e ˆhj. Nosso objetivo aqui será estudar a dinâmica do sistema S. Para isso

precisamos calcular a matriz densidade reduzida deste. i.é,

ˆ

ρS(t) = T rR{ˆρU(t)} .. (3.2.1)

Além disso vamos á assumir que os subsistemas interagem fracamente entre si. O hamiltoni-ano do sistema está dado neste caso por:

4_{Sim perda de generalidade este sistema S também pode ser definido como um qubit com frequência ω,}

onde ˆs† → ˆσ† e ˆs → ˆσ são respectivamente operadores up e dow de um estado do qubit. Neste tratamento usamos o oscilador harmônico dada sua generalidade e o fato de ser um espaço de Hilbert de dimensão infinita.

(43)

ˆ HS = ~ωˆs†ˆs, (3.2.2) ˆ HR = X j ~ϑjˆh † jˆhj, (3.2.3) ˆ HSR = ~ ˆ s†Γ + ˆˆ Γ†ˆs, (3.2.4) ˆ H = HˆS+ ˆHR+ ˆHSR, (3.2.5)

onde ˆHS e ˆHR correspondem às partes diagonais de S e R respectivamente e ˆHSR é o

hamil-toniano de interação com ˆΓ = P

jkjˆhj, onde os kj são as constantes de acoplamento entre

os subsistemas.

Se os subsistemas são separáveis inicialmente (esta é uma hipóteses plausível), a matriz densidade para o tempo inicial é

ˆ

ρU(0) = ˆρS(0) ⊗ ˆρR.. (3.2.6)

Supondo que o reservatório (subsistema R) está em equilíbrio térmico, a matriz densidade deste está dada pelo produto dos estados dados pela Eq.(3.1.6) e para cada oscilador harmô-nico [27] ˆ ρR= Y j 1 − e−~ϑj/kB T_e−~ϑj ˆh† jˆhj/kB T_{, .} _(3.2.7)

onde kB é a constante de Boltzmman e T a temperatura do subsistema R. Dada a robustez

e o grande número de graus de liberdade do reservatório térmico pode-se assumir que este não têm mudanças significativas na interação com S devido à interação fraca entre eles. Dessa forma podemos assumir que na evolução temporal do sistema não haverá mudanças significativas no estado inicial de R, logo podemos propor

ˆ

ρU(t) ≈ ˆρS(t) ⊗ ˆρR. (3.2.8)

Utilizamos a equação deduzida na Eq. (2.1.6) que define a evolução do sistema temos:

i~∂ ˆρU(t)

∂t = [ ˆH, ˆρU(t)], (3.2.9)

(44)

44 ˜ ˆ A (t) = e~i ˆ HSt_{A (t) e}ˆ −_~iHˆSt_, _(3.2.10)

para qualquer operador ˆA (t), a Eq. (3.2.9) é transformada em:

i~∂ ˜ρÛ(t) ∂t = [ ˜ ˆ HRS(t0) , ˜ρÛ(t)]; ρ˜Û(t) = e i ~( ˆ HS+ ˆHR)t_ρ_ˆ U(t) e− i ~( ˆ HS+ ˆHR)t_, _(3.2.11)

que agora integrando Eq. (3.2.11), obtemos ˜ ˆ ρU(t) = ˜ρˆU(0) − i ~ ˆ t 0 [Hˆ˜RS(t0) , ˜ρˆU(t0)]dt0, (3.2.12)

e quando substituída em Eq. (3.2.11) nos permite escrever, ∂ ˜ρÛ(t) ∂t = − i ~[ ˜ ˆ HRS, ˜ρÛ(0)] − 1 ~2 ˆ t 0 [H˜ˆRS, [H˜ˆRS, ˜ρÛ(t0)]]dt0. (3.2.13)

O traço da Eq. (3.2.13) em termos de R está escrita como: ∂ ˜ρˆS(t) ∂t = − 1 ~2 T rR ˆ t 0 [H˜ˆRS(t0) , [H˜ˆRS(t0) , ˜ρˆU(t0)]]dt0 , (3.2.14) onde T rR n [H˜ˆRS(t0) , ˆρU(0)] o = 0 devido a que T rR n_˜ ˆ HRS(t0) ˆρR] o = 0. Expandindo a Eq. (3.2.14) temos: ∂ ˜ρˆS(t) ∂t = − ˆ t 0 n [ˆsˆs ˜ρˆS(t0) − ˆs ˜ρˆS(t0) ˆs]e−iω(t+t 0₎D_˜ ˆ Γ†(t)Γ˜ˆ†(t0)E R + h.c. + [ˆs†ˆs†ρ˜ˆS(t0) − ˆs†ρ˜ˆS(t0) ˆs†]eiω(t+t 0₎D˜ ˆ Γ (t)Γ (t˜ˆ 0) E R+ h.c. + [ˆsˆs†ρ˜ˆS(t0) − ˆs†ρ˜ˆS(t0) ˆs]e−iω(t−t 0₎D_˜ ˆ Γ†(t)Γ (t˜ˆ 0)E R + h.c. + [ˆs†s ˜ˆρˆS(t0) − ˆs ˜ρˆS(t0) ˆs†]eiω(t−t 0₎D_˜ ˆ Γ (t)Γ˜ˆ†(t0)E R+ h.c. o dt0, (3.2.15) Assim pode ser mostrado que:

(45)

D_˜ ˆ Γ†(t)Γ˜ˆ†(t0)E R = T rR n_˜ ˆ Γ†(t)Γ˜ˆ†(t0) ˆρR o = 0, D_˜ ˆ Γ (t)Γ (t˜ˆ 0)E R = T rR n_˜ ˆ Γ (t)Γ (t˜ˆ 0) ˆρR o = 0, D_˜ ˆ Γ†(t)Γ (t˜ˆ 0)E R = T rR n_˜ ˆ Γ†(t)Γ (t˜ˆ 0) ˆρR o =X j |kj| 2 eiϑj(t−t0)_{n (ϑ}_¯ j, T ) , D_˜ ˆ Γ (t)Γ˜ˆ†(t0)E R = T rR n_˜ ˆ Γ†(t)Γ (t˜ˆ 0) ˆρR o =X j |kj| 2 e−iϑj(t−t0)_(¯_{n (ϑ} j, T ) + 1) , (3.2.16) onde as funções Eq. (3.2.16) são conhecidas como funções de correlação. Estas funções contém toda a informação sobre o sistema R. Para o sistema em estudo as Eq.(3.2.16) dependem de ¯n (ϑj, T ), que é o número médio de fótons para um oscilador de frequência ϑj

e é escrito na forma

¯

n (ϑj, T ) = e~ϑj/kBT − 1

−1

. (3.2.17)

Para simplificar as duas últimas linhas da Eq. (3.2.16) pode-se mudar a somatória por uma integral, onde g (ϑ) dϑ é o número de modos com frequências entre ϑ e ϑ + dϑ logo

X j → ˆ ∞ 0 dϑg (ϑ) . (3.2.18)

Substituindo as duas primeiras linhas das Eq. (3.2.16) na Eq. (3.2.15) temos :

∂ ˜ρˆS(t) ∂t = − ˆ t 0 dt0n[ˆsˆs†ρ˜ˆS(t0) − ˆs†ρ˜ˆS(t0) ˆs]e−iω(t−t 0₎D_˜ ˆ Γ†(t)Γ (t˜ˆ 0)E R+ h.c. + [ˆs†s ˜ˆρˆS(t0) − ˆs ˜ρˆS(t0) ˆs†]eiω(t−t 0₎D_˜ ˆ Γ (t)Γ˜ˆ†(t0)E R + h.c.odt0, (3.2.19) Para poder falar com mais detalhes da aproximação de Markoff vamos fazer uma trans-formação de variável τ = t − t0, de forma que a Eq. (3.2.19) pode ser escrita como:

(46)

46 ∂ ˜ρˆS(t) ∂t = − ˆ t 0 dτn[ˆsˆs†ρ˜ˆS(t − τ ) − ˆs†ρ˜ˆS(t − τ ) ˆs]e−iωτ D_˜ ˆ Γ†(t)Γ (t − τ )˜ˆ E R + h.c. + [ˆs†s ˜ˆρˆS(t − τ ) − ˆs ˜ρˆS(t − τ ) ˆs†]eiωτ D_˜ ˆ Γ (t)Γ˜ˆ†(t − τ ) E R+ h.c. o dt0, (3.2.20) e as funções de correlação, usando a integral da Eq. (3.2.18) se tornam:

D_˜ ˆ Γ†(t)Γ (t˜ˆ 0)E R = T rR n_˜ ˆ Γ†(t)Γ (t˜ˆ 0) ˆρR o = ˆ ∞ 0 dϑg (ϑ) |k (ϑ)|2eiϑτn (ϑ, T ) ,¯ D_˜ ˆ Γ (t)Γ˜ˆ†(t0)E R = T rR n_˜ ˆ Γ†(t)Γ (t˜ˆ 0) ˆρR o = ˆ ∞ 0 dϑg (ϑ) |k (ϑ)|2e−iϑτ(¯n (ϑ, T ) + 1) , (3.2.21) As funções de correlação neste caso dependem só de τ e além disso a dependência está numa forma exponencial com argumento complexo. A esta altura podemos falar que em média as funções de correlação são 0 para valores de τ 6= 0 e, tem uma contribuição mais notória para τ = 0, mas olhando a Eq. (3.2.21) observamos que as funções de correlação estão multiplicadas pelo termo e±iωτ, o que implica que no integrando temos uma contribuição maior para situações onde ω ≈ ϑ. Agora se afirmamos que τ é pequeno, é o mesmo que dizer, que o tempo de correlação do reservatório R é muito pequeno comparado com o tempo de decaimento do sistema S, podemos fazer uma aproximação onde ˜ρˆS(t − τ ) ≈ ˜ρˆS(t) e pode-se

simplificar a Eq.(3.2.21) para obter:

∂ ˜ρˆS(t) ∂t = −i∆ h ˆ s†s, ˜ˆ ρˆS(t) i + γ 2(¯n + 1) 2ˆs ˜ρˆS(t) ˆs†− ˆs†s ˜ˆρˆS(t) − ˜ρˆS(t) ˆs†sˆ + γ 2n¯ 2ˆs†ρ˜ˆS(t) ˆs − ˆsˆs†ρ˜ˆS(t) − ˜ρˆS(t) ˆsˆs† , (3.2.22)

onde γ = 2πg (ω) |k (ω)|2 é a taxa de dissipação no sistema, ∆ = P´₀∞dϑg(ω)|k(ω)|_ω−ϑ, 2 é um pequeno “shift” que não sera considerando e ¯n ≡ ¯n (ω, T ) é o numero médio de fótons no reservatório com frequência ω

(47)

∂ ˆρS(t) ∂t = − i ~ h ˆ_H_S_{, ˆ}_ρ_S_(t)i + γ 2(¯n + 1) 2ˆs ˆρS(t) ˆs †_{− ˆ} s†s ˆˆρS(t) − ˆρS(t) ˆs†sˆ + γ 2n 2ˆ¯ s † ˆ ρS(t) ˆs − ˆsˆs†ρˆS(t) − ˆρS(t) ˆsˆs† , (3.2.23)

o primeiro termo representa uma evolução unitária, os outros dois termos correspondem à interação com o ambiente, o último termo é zero quando o número meio de fótons do reservatório é zero e, além disso a expressão ˆs†ρˆS(t) ˆs leva um elemento de matriz |ni hm| →

p(n + 1) (m + 1) |n + 1i hm + 1|, mostrando que o último termo gera uma excitação nos estados do sistema S para poder levar este a um equilíbrio térmico com R se temperatura for maior do que zero.

3.3 Dissipação em sistemas de qubits

Nesta seção vamos primeiro a definir a “coerência” de uma matriz densidade com o objetivo de entender como a interação com o ambiente gera perdas de coerência. Para ilustrar este fenômenos vamos falar dois exemplos: Primeiro vamos estudar um sistema de um qubit interagindo com um reservatório térmico onde mostraremos que para tempos longos o sistema apresenta uma perda de decoerência. No segundo consideraremos um sistema de 2 qubits interagindo mutuamente e interagindo cada um com um reservatório térmico a altas temperaturas. Neste último sistema mostraremos que o processo de decoerência gera uma perda de emaranhamento.

3.3.1 Coerência em qubits

Quando falamos de coerência sempre relacionamos esta com a determinação de uma fase a nível temporal ou espacial num campo electromagnético. Na mecânica quântica a coerência está relacionada com a fase entre os diferentes auto estados de um sistema, por exemplo, para o estado |ψi = √1

2 |0i + e

iφ_{|1i temos que sua matriz densidade esta dada por:}

ˆ ρ = |ψi hψ| = 1 2 1 eiφ e−iφ 1 ! ,

onde φ é a fase relativa entre os estados 0 e 1. Se a evolução temporal gera uma fase φ aleatória podemos dizer em média que o termo eiφ _{é zero e, nesta situação temos a matriz}

(48)

48 ˆ ρ−−−−−−−−−→decoherência 1 2 1 0 0 1 ! ,

que, deste simples exemplo podemos inferir que a decoerência está relacionada com a evolução dos elementos não diagonais da matriz densidade. Fato este que permite inferir da literatura o habitual; que os elementos fora da diagonal de ˆρ são chamados coerências da matriz. Agora, conceitualmente definir coerência entre a fase dos estados quânticos simplesmente como os elementos fora da diagonal não é um bom critério dado que a forma da matriz densidade depende de sua representação numa determinada base de auto estados. Para ter um critério do grau de coerência pode-se usar por exemplo o caso de um qubit, onde a função coerência C ( ˆρ) é dada por :

C ( ˆρ) =p2Tr { ˆρ2_{} − 1.} _(3.3.1)

A função C ( ˆρ) é igual a 1 para estados puros e é 0 para o estado de máxima entropia5

ˆ

ρ = 1/2 (|0i h0| + |1i h1|).

Para um qubit em equilíbrio térmico com ˆH = ~ω

2 σz , σz|ii = (−1) 1+i

|ii e i = 0, 1 a a matriz densidade está dada por Eq. (3.1.10) e, a função C ( ˆρ) é:

C ( ˆρ) = tanh ~ω 4kBT

,

para este caso temos que C ( ˆρ) → 0(1) quando T → ∞(0), respectivamente.

3.3.2 Processo de decoerência num qubit

Para estudar o problema da decoerência em sistemas interagindo com o ambiente vamos considerar um qubit de frequência ω em contato com um reservatório térmico a temperatura T , com taxa de dissipação γ e numero médio de fótons ¯n (ω, T ) = e~ω/kBT − 1−1_{. A equação}

mestra que descreve a dinâmica deste sistema é:

d ˆρ (t) dt = − i ~ _~ω 2 σˆz, ˆρ (t) + γ 2(¯n + 1) (2ˆσ−ρ (t) ˆˆ σ+− ˆσ+σˆ−ρ (t) − ˆˆ ρ (t) ˆσ+σˆ−) + γ 2n (2ˆ¯ σ+ρ (t) ˆˆ σ−− ˆσ−σˆ+ρ (t) − ˆˆ ρ (t) ˆσ−σˆ+) , (3.3.2)

5_{É fácil mostrar que a matriz densidade ˆ}_{ρ = 1/2 (|0i h0| + |1i h1|) é simplesmente um sistema em equilíbrio}

(49)

onde ˆσz é a matriz de Pauli e os operadores ˆσ± são operadores “up” e “down” dos níveis

do qubit. Se escrevemos a matriz densidade como, ˆρ (t) = ρ00(t) |0i h0| + ρ11(t) |1i h1| +

ρ01(t) |0i h1|+ρ10(t) |1i h0| e substituímos na Eq. (3.3.2) temos o seguinte sistema de equações

diferenciais: d dtρ00(t) = γ (¯n + 1) ρ11(t) − γ ¯nρ00(t) d dtρ11(t) = −γ (¯n + 1) ρ11(t) + γ ¯nρ00(t) d dtρ01(t) = iωρ01(t) − γ ¯ n + 1 2 ρ01(t) d dtρ10(t) = −iωρ10(t) − γ ¯ n + 1 2 ρ10(t) . (3.3.3) Neste sistema de equações diferenciais é importante observar que _dtdρ00(t) +_dtdρ11(t) = 0.

Este resultado é muito importante porque garante que o traço da matriz densidade se conserve e seja igual a 1, além disso temos que _dtdρ01(t)

∗

= _dtdρ10(t).

A solução do sistema de equações diferenciais (3.3.3) é relativamente fácil de se obter dado que a primeira linha pode ser resolvida substituindo ρ11(t) = 1 − ρ00(t) e as ultimas

duas linhas são equações diferenciais lineares de primeira ordem cujas soluções podem ser obtidas analiticamente. As soluções para (3.3.3) em termos de ¯n, γ e ω são:

ρ00(t) = ρ00(0) − ¯ n + 1 2¯n + 1 e−γ(2¯n+1)t+ n + 1¯ 2¯n + 1 (3.3.4) ρ11(t) = ρ11(0) − ¯ n 2¯n + 1 e−γ(2¯n+1)t+ n¯ 2¯n + 1 (3.3.5) ρ01(t) = ρ01(0) eiωte−γ(n+¯ 1 2)t (3.3.6) ρ10(t) = ρ10(0) e−iωte −γ₍¯n+1₂)t (3.3.7) Para cada uma das soluções dadas para as Eq.(3.3.4) a (3.3.7) podemos ver que, para tempos longos, os elementos fora da diagonal ρ10(t) e ρ01(t) do sistema tendem a zero. Além

disso os termos da diagonal ρ00(t) e ρ11(t) tendem respectivamente a _2¯¯n+1_n+1 e a _2¯_n+1n¯ . Estes

termos podem ser escritos em função da temperatura facilmente dado que ¯n =e2kB T~ω − 1

−1 , de onde obtemos:

(50)

50 ¯ n + 1 2¯n + 1 = e2kB T~ω e2kB T~ω _{+ e}−2kB T~ω , (3.3.8) ¯ n 2¯n + 1 = e−2kB T~ω e2kB T~ω _{+ e}−2kB T~ω , (3.3.9)

As expressões Eq. (3.3.8) e Eq. (3.3.9) coincidem exatamente com os elementos diagonais da matriz densidade de um qubit em equilíbrio térmico ˆρth mostrados na Eq. (3.1.10). Isso

implica que a matriz ˆρ (t) do sistema pode ser escrita como:

ˆ ρ (t) = ρˆtr(t) + ˆρth, (3.3.10) ˆ ρtr(t) = (ρ00(0) − ρth00) e −γ₍¯n+1₂)t ρ01(0) eiωt ρ10(0) e−iωt (ρ11(0) − ρth11) e −γ₍n+¯ 1₂)t ! e−γ(n+¯ 12)t, (3.3.11) Uma característica importante da solução Eq. (3.3.10) é dada pelo fato de apresentar um termo dependente do tempo, ˆρtr(t) que tende a zero para t grande e um termo constante ˆρth.

Se definimos o super operador6 _{Linblandiano L:}

L [·] = γ

2(¯n + 1) (2ˆσ−· ˆσ+− ˆσ+σˆ−· − · ˆσ+σˆ−) +γ

2n (2ˆ¯ σ+· ˆσ−− ˆσ−σˆ+· − · ˆσ−σˆ+) , (3.3.12) é possível escrever a Eq. (3.3.2) como d ˆρ(t)_dt = −i

~

_~ω

2 σˆz, ˆρ (t) + L [ˆρ (t)], onde se verifica que

L [ˆρth] = 0 e [ˆσz, ˆρth] = 0, o que implica que ˆρ (t) = ˆρth é uma solução estacionaria da Eq.

(3.3.2).

Da solução Eq. (3.3.10) podemos dizer que para tempos longos (t > 1_/_γ₍_¯_n+1

2)) a matriz

densidade tende à matriz ˆρth, o que implica que o qubit ao final esta em equilíbrio térmico

com o reservatório. Além disso podemos ver em Eq. (3.3.11) que a taxa efetiva de decaimento do sistema é γef = γ ¯n + 1₂, onde para altos valores de T , usando a aproximação ¯n ≈ k_~ωBT

descrita na secção 3.1, temos uma taxa efetiva γef ≈ γk_~ωBT.

6_{Definimos um superoperador como uma aplicação sobre uma matriz que pertence ao espaço de Hilbert}

(51)

Como a matriz densidade Eq. (3.3.10) foi obtida analiticamente é possível calcular de maneira explicita a evolução da coerência de um qubit para um certo estado inicial, por exemplo, consideremos um qubit, em t = 0, num estado puro |ψi = √1

2(|0i + |1i) e, onde

a matriz densidade inicial é ˆρ (0) = |ψi hψ|. Usando parâmetros adimensionais τ = ωt e ˜

γ = γ/ω temos que sua função de coerência é :

C ( ˆρ) = −1 + 2 1 2e −2˜γ(n+¯ 1₂)τ +2iτ ₊ 1 2 − ¯ n 2¯n + 1 e−2˜γ(n+¯ 12)τ + n¯ 2¯n + 1 2 + 1 2− ¯ n + 1 2¯n + 1 e−2˜γ(n+¯ 12)τ + n + 1¯ 2¯n + 1 2!!1/2 , (3.3.13)

Na função Eq. (3.3.13) podemos ver que a taxa de decoerência é duas vezes maior que a taxa de decaimento devido à potência 2 na equação de perdas, além disso a coerência para este caso não é real para todo valor de τ . Na Fig.(3.3.1) abaixo temos uma superfície do modulo de C ( ˆρ) em função do tempo τ e do número médio de fótons ¯n para ˜γ = 0.1

Figura 3.3.1: função de coerência C ( ˆρ) dependendo de τ = ωt e n para ˜γ = 0.1 Na referida Fig.(3.3.1) podemos ver que para pequenos valores de ¯n o módulo da coerência apresenta pequenas oscilações, mas para valores de ¯n > 1 a coerência tem um decaimento exponencial muito forte. Para valores grandes de ¯n e para tempos longos temos uma perda total da coerência do sistema. Destes resultados podemos afirmar que a aproximação