Solução para o Problema 3

Oter eiroemais omplexoproblema onsisteemajustarosparâmetrosdomodelo(

A

,

B

,

π

) demodoa maximizar aprobabilidade dedeterminada seqüên ia ser observada. Esse problemanãopossuisolução analíti a. Dadaumaseqüên ia deobservaçõesnitaparao

treinamento, nãohámaneiraótimadeestimarosparâmetrosdomodelo[Rabiner,1989 ℄.

Podemos,entretanto, es olher

λ = (A, B, π)

talque

P (O|λ)

sejamaximizadolo almente utilizando umalgotirmoiterativo omoo métodode Baum-Wel h (ou equivalentemente

o EM - Expe tation-Maximization), ou utilizar té ni as baseadas no gradiente. Nessa

subseção será apresentado um método iterativo para sele ionar os parâmetros do mo-

delobaseado nos trabalhosini iais de Baum [BaumePetrie, 1966 ,Baum e Egon,1967,

Baum eSell,1968 , Baum etal.,1970 ,Baum,1972 ℄, ompiladopor [Rabiner,1989℄.

Parades rever opro edimento de reestimação (melhoriaeatualização iterativa) dos

parâmetros do MOM será denida

ξ

t

(i, j)

, a probabilidade de se estar no estado

i

no instante

t

e noestado

j

no instante

t + 1

, dadoo modeloe aseqüên ia de observações.

ξ

t

(i, j) = P (q

t

= i, q

t+1

= j|O, λ)

(3.24)

Partindo da denição das variáveis direta e reversa podemos es rever

ξ

t

(i, j)

da seguintemaneira

ξ

t

(i, j) =

α

t

(i)a

ij

b

j

(O

t+1

)β

t+1

(j)

P (O|λ)

(3.25)

=

_{PN −1}

α

t

(i)a

ij

b

j

(O

t+1

)β

t+1

(j)

i=0

PN −1

j=0

α

t

(i)a

ij

b

j

(O

t+1

)β

t+1

(j)

(3.26)

ondeonumeradorésimplesmente

P (q

t

= i, q

t+1

= j, O|λ)

eadivisãopor

P (O|λ)

forne e aprobabilidade desejada.

Podemos denir a variável

γ

t

(i) = P (q

t

= i|O, λ)

(3.27)

que representa a probabilidade de se estar no estado

i

no instante

t

dadas a seqüên ia deobservações

O

eomodelo

λ

. A Equação(3.27)podeserexpressadasimplesmenteem termosdasvariáveisdireta ereversa da seguinte maneira

γ

t

(i) =

α

t

(i)β

t

(i)

P (O|λ)

=

α

t

(i)β

t

(i)

PN −1

i=0

α

t

(i)β

t

(i)

uma vez que

α

t

(i)

leva em onta a seqüên ia par ial de observações

O = O

0

O

1

· · · O

t

e o estado

i

em

t

, enquanto

β

t

(i)

leva em onta o restante da seqüên ia de obser- vações

O

t+1

O

t+2

· · · O

T −1

, dado o estado

i

em

t

. O fator de normalização

P (O|λ) =

PN −1

i=0

α

t

(i)β

t

(i)

ara teriza

γ

t

(i)

omo probabilidade demodoque

N −1

X

i=0

γ

t

(i) = 1

(3.29)

Dadaaseqüên iadeobservaçõeseomodelo,podemosen ontrararelaçãoentre

γ

t

(i)

e

ξ

t

(i, j)

somando todosospossíveis

j

,

γ

t

(i) =

N −1

X

j=0

ξ

t

(i, j)

(3.30)

Se somarmos

γ

t

(i)

ao longo do tempo

t

, obteremos uma quantidade que pode ser interpretada omo o número de vezes que o estado

i

é visitado ao longo do tempo, ou seja, o número de transições realizadas a partir do estado

i

(se ex luirmos o instante

t = T − 1

da soma). Similarmente, a soma de

ξ

t

(i, j)

de

t = 0

a

t = T − 2

pode ser interpretada omo o número esperadode transiçõesdo estado

i

parao estado

j

. Então temos

T −2

X

t=0

γ

t

(i) =

número detransiçõesesperadode

i

(3.31)

T −2

X

t=0

ξ

t

(i, j) =

número detransiçõesesperadode

i

para

j

(3.32)

Utilizandoasfórmulasa ima(eo on eitode ontaro orrên iasdeeventos)podemos

obter ummétodo para reestimar osparâmetros de umMOM. Para reestimar

π

,

A

e

B

temos

¯

π

i

=

númeroesperadode vezesno estado

i

noinstante

(t = 0) = γ

0

(i)

¯

a

ij

=

número de transiçõesesperadode

i

para

j

númerode transiçõesesperadode

i

=

PT −2

t=0

ξ

t

(i, j)

PT −2

t=0

γ

t

(i)

¯b

j

(k) =

número esperadodevezes no estado

j

observando o símbolo

v

k

número esperadode vezes noestado

j

=

PT −1

t=0, Ot=vk

γ

t

(j)

PT −1

t=0

γ

t

(j)

Considerando o modelo atual

λ = (A, B, π)

, e utilizando-o para omputar o lado direitodasequaçõesa ima,en ontramosomodeloreestimado

¯

λ = ( ¯A, ¯B, ¯π)

. Foiprovado por Baum e Sell [Baum eSell,1968 ℄ que ou o modelo ini ial

λ

dene um ponto ríti o na verossimilhança e

λ = λ¯

ou o modelo reestimado apresenta verossimilhança maior e

P (O|¯λ) > P (O|λ)

,ouseja, o modeloreestimado temmaior probabilidade de produzir a seqüên ia

O

.

Dessamaneira podemos utilizar essasequaçõesiterativamenteparaaumentar apro-

babilidade de

O

ser observado pelo modelo até atingir o limite. O resultado nal desse pro edimento édenominadoestimativademáximaverossimilhança(maximumlikelihood

estimate) doMOM.

Este apítuloapresentouasprin ipais ara terísti asdas adeiasdeMarkoveMOMs,

quesãoos sistemasa eventosdis retosutilizados na metodologia proposta nesta disser-

Metodologia

A metodologia proposta nestadissertação sebaseia nautilizaçãode algoritmosde visão

omputa ionalamplamente onhe idoseutilizadoseferramentasesto ásti asdere onhe-

imento de linguagens sensíveis ao ontexto. Cada omando é subdividido emsímbolos

simples,maisfá eisdeseremre onhe idosporalgoritmosdevisão omputa ionaldoque

um úni o símbolo omplexo. É utilizado um sistema a eventos dis retos para interpre-

tar então a seqüên ia de símbolos. Com o objetivo de simpli ar o sistema de visão e

tornar o re onhe imento maisrobusto foram onsiderados apenas gestossimples, omo

movimentos nasdiversas direções.

O sistema onsiderado é apresentado na Figura 4.1 sendo omposto pelo módulo

de Aquisição de Imagens, Sistema de Visão Computa ional e pelo Sistema a Eventos

Dis retos. Os módulos do sistema tem entradas e saídas bemdenidas, omo pode ser

observado. Essesmódulosserão des ritosnaspróximas seções.

4.1 Sistema de Visão Computa ional

O sistema de visão omputa ional é responsável por pro essar ada quadro adquirido

pela âmera forne endo o vetor deslo amento orrespondente ao movimento do objeto

Sistema a Eventos Discretos

Sistema de

Visão

Computacional

Aquisição

da

Imagem

imagem

vetor

deslocamento

Processamento

e Classificação

do Vetor

Deslocamento

Reconhecimento

símbolo

comando

Identificação dos blobs

Pré-Processamento

Identificação / Rastreamento do Objeto

Cálculo do Vetor Deslocamento

Sistema de Visão Computacional

Imagem

Vetor Deslocamento

Figura4.2: Sistema de Visão Computa ional - diagramade blo os.

de interesse na ena, permitindo assima identi ação datrajetóriado gesto. Osistema

projetadofoiomaissimplespossívelquepermitissearealizaçãodesse trabalho,umavez

queofo odoestudoéopro essamentodasinformaçõesenãoaaquisiçãodasinformações

emsi.

O sistema de visão é baseado na segmentação por or, assim omo diversos sis-

temas utilizados no re onhe imento de gestos omo, por exemplo, [Hong et al.,2000a ,

Davise Shah,1994a , Siskind e Morris,1996℄. O fun ionamento do sistema de visão é

apresentado na Figura 4.2 e ada um dos sub-módulos será des rito nas subseções a

seguir. Aentradadosistemaéaimagemadquiridadetamanho

w × h

onde

w

éalargura e

h

a altura, ambos em pixels. A saída do sistema é o vetor deslo amento do objeto rastreado, queindi a o gestoque estásendo realizado.

Oobjetivo prin ipaldo sistemafoiarobustez, emboraerros naidenti açãopossam

ser orretamente tratados pelo pro essamento do móduloa eventosdis retos.

No documento Desenvolvimento de uma interface humano-robô utilizando visão computacional e sistemas a eventos discretos (páginas 35-39)