Solu¸c˜ao de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Foquemos a nossa aten¸c˜ao em sistemas de equa¸c˜oes diferenciais da forma

˙x(t) = Ax(t) (3.1)

onde A∈ Mn×n, A = [aij], onde aij ∈ R. Observe-se que a matriz A que define o sistema n˜ao

varia com o tempo. ´

E fácil verificar que qualquer um destes sistemas admite sempre a solu¸cão nula, i.e., a fun¸cão x(t) ≡ 0 é solu¸cão do sistema. Logo o conjunto de solu¸cões deste sistema, S, é não vazio. Queremos saber se existe alguma solu¸cão além da nula.

Por analogia com o que foi feito aquando do estudo de equa¸cões diferencias lineares, homogéneas e de coeficientes constantes, vamos procurar solu¸cões definidas em termos da fun¸cão exponencial. Neste caso, não podemos esquecer que as solu¸cões do sistema são fun¸cões vectoriais de variável real.

Compare-se o sistema (3.1) com a equa¸c˜ao diferencial y0_{(t) = ay(t) onde a}

∈ R. Recordemos que esta é uma equa¸cão diferencial de variáveis separadas e a solu¸cão é y(t) = ceat, c ∈ R. Esquecendo por momento que em (3.1) x representa um vector e A uma matriz, as similaridades entre sistema e equa¸cão diferencial apontam para solu¸cões de (3.1) da forma x(t) = ceAt_{. No}

que se segue, veremos que tal conjectura ´e verdadeira.

Analisando o exemplo (4.2.2) somos conduzido `a procura de solu¸c˜oes do sistema da forma u(t) = eλtx

onde λ é um escalar e x é um vector deRn_{. Ora u é diferente da fun¸cão nula se e só se x}_{6= 0 e}

u ´e solu¸c˜ao do sistema se a sua derivada satisfizer o sistema, i.e., se d dtu(t) = Au(t), ou seja, se d dtu(t) = λe λt_{x = λu(t).}

Concluimos assim que que u é solu¸cão do sistema se Au(t) = λu(t). Tendo em conta que u(t) = eλt_{x, x deverá ser tal que}

A fun¸cão u(t) = eλt_{x é solu¸cão não nula do sistema quando λ é um escalar para o qual a matriz}

A− λI tem pelo menos um vector x não nulo que pertence ao seu núcleo. Como sabemos, qualquer matriz quadrada cujo núcleo contém algum elemento além do vector nulo, é necessariamente uma matriz singular. Assim, λ deverá ser tal que

det (A− λI) = 0

Lembremos que det (A_{− λI) ´e uma fun¸c˜ao polinomial em λ. Se u(t) = e}λit_x

i, para algum

escalar λi e algum vector xi, é solu¸cão do sistema, então λi é uma ra´ız da equa¸cão polinomial

det (A_{− λI) = 0 e x}i um vector n˜ao nulo pertencente ao N (A − λiI), (onde N (B) designa o

n´ucleo de uma matriz qualquer B).

Defini¸c˜ao 4.3.1 Dada uma matriz A_{∈ M}n×n, as ra´ızes da equa¸c˜ao det (A− λI) = 0 dizem-

se valores próprios da matriz A. Se λi é um valor próprio de A, um vector não nulo xi que

satisfaz a equa¸c˜ao

Axi = λixi

diz-se vector pr´oprio de A associado ao valor pr´oprio λi.

Se x é um vector próprio de A associado a um valor próprio λ, então qualquer outro vector da forma αx, com α_{6= 0, é ainda um vector próprio associado a λ.}

Exerc´ıcio 4.3.2

1. Verifique que det (A_{− λI) = 0 ´e uma equa¸c˜ao polinomial de grau n em λ.}

2. Seja A_{∈ M}n×n, A = [aij] e {λ1, λ2, . . . , λn}, com λi ∈ R os seus valores pr´oprios (todos

reais). Mostre que

det(A) = λ1· λ2· . . . · λn

Resumindo, a fun¸cão u, definida por u(t) = eλt_{x é solu¸cão do sistema dado se λ é um valor}

próprio de A e x é um vector próprio associado a λ.

Definimos valores próprios de uma matriz como sendo as ra´ızes da equa¸cão det(A_{− λI) = 0.} As ra´ızes desta equa¸cão podem ser números reais ou complexos. Se λ1 ∈ R é valor próprio da

matriz de multiplicidade 1 e se x1 ∈ Rn é um vector próprio que lhe está associado, então a

fun¸c˜ao vectorial de vari´avel real

u(t) = eλ1t_x

´e solu¸c˜ao do sistema (3.1).

O que acontece quando as ra´ızes de det(A_{− λI) = 0 são números complexos? Recorde-se que} as ra´ızes complexas de uma equa¸cão polinomial de coeficientes reais “vêm aos pares”, ou seja, se λ + iµ é ra´ız, então o conjugado λ_{− iµ também é ra´ız.}

Mostra-se que os vectores próprios associados a valores próprios complexos são vectores com componentes complexas.

Exerc´ıcio 4.3.3 Considere a matriz

A = " 1 −1 1 1 # .

Calcule os valores próprios dessa matriz e verifique que os vectores próprios têm componentes complexas.

Seja x = a + ib, onde a, b _{∈ R}n_{, um vector pr´oprio associado a λ + iµ. Verifica-se que ¯}_{x, o}

conjugado de x, é um vector próprio associado a λ− iµ. Realmente, observando que ¯A = A (a matriz A é considerada ter entradas reais, i.e., A = [aij] e aij ∈ R), vem

A¯x = Ax = (λ + iµ)x = (λ_{− iµ)¯x}

Sendo λ + iµ valor próprio de uma matriz A que define o sistema de equa¸cões diferenciais (3.1) e x = a + bi o vector próprio que lhe está associado, as fun¸cões

u(t) = e(λ+iµ)t(a + bi) = eλt¡cos(µt) + isen(µt)¢(a + bi) e ¯u(t) satisfazem o sistema. Realmente, derivando u, obtemos

˙u(t) = (λ + iµ)e(λ+iµ)t(a + bi) = (λ + iµ)u(t)

= Au(t). Contudo, esta ´e uma fun¸c˜ao da forma

u :R −→ Cn

Por momentos consideremos que a defini¸cão de conjunto de solu¸cões do sistema permitia que fun¸cões tomando valores em Cn fossem consideradas solu¸cões. Considerando as duas fun¸cões u e ¯u anteriores:

u(t) = e(λ+iµ)t(a + bi) ¯

u(t) = e(λ−iµ)t_(a_{− bi)}

e dois escalares α, β ∈ C, define-se uma outra fun¸cão complexa de variável real z(t) = αu(t) + β ¯u(t) que satisfaz também o sistema de equa¸cões diferenciais pois:

˙z(t) = α(λ + iµ)u(t) + β(λ_{− iµ)¯u(t)} = αAu(t) + βA¯u(t)

= Az(t).

Em particular, para escolha criteriosas de α e β, podemos obter duas fun¸c˜oes (

v(t) = eλt(a· cos(µt) − b · sen(µt))

w(t) = eλt_(a_{· sen(µt) + b · cos(µt)) ,} (3.2)

ambas combina¸c˜oes lineares de u e ¯u e tais que v(t), w(t)_{∈ R}n_{. Logo v e w assim definidas s˜ao}

realmente solu¸cões do sistema, de acordo com a defini¸cão de solu¸cão de sistema dada anteriormente.

Assim, a partir de duas fun¸c˜oes, tomando valores em Cn_{, e satisfazendo o sistema foi}

poss´ıvel obter duas solu¸c˜oes do sistema de equa¸c˜oes diferenciais.

Operadores Diferenciais e Sistemas Lineares

Interessa lembrar que o conjunto C1(R; Rn) das fun¸cões deR em Rn é um espa¸co linear sobre o corpo dos reais. Mais ainda, recorde-se que duas fun¸cões x, z _{∈ C}1(R; Rn_{) são linearmente}

independentes se e s´o se

αx(t) + βy(t) = 0_{∀t ∈ R =⇒ α = β = 0}

Teorema 4.3.4 Considerem-se n fun¸c˜oes x1, x2, . . . , xn de C1(R; Rn) e seja W a fun¸c˜ao ma-

tricial definida por

W (t) = [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)],

ou seja, W (t) ´e uma matriz n_{× n, cuja coluna i tem como elementos as componentes do vector} xi.

det W (t)_{6= 0 para algum t ∈ R} então as fun¸cões x1, x2, . . . , xn são linearmente independentes.

Exerc´ıcio 4.3.5 Demonstre o teorema anterior.

Recorde-se o que foi feito para as equa¸cões diferenciais de coeficientes constantes. Vimos que as solu¸cões das equa¸cões diferenciais poderiam ser vistas como sendo elementos do núcleo de operadores diferenciais associados às equa¸cões. Será que é poss´ıvel associar operadores diferenciais a sistemas da forma (3.1)? Consideremos

D : C1(R; Rn)_{−→ C}0(R; Rn) definido como

Dx = ˙x

ou seja, D é a aplica¸cão que a cada fun¸cão de classe C1 faz corresponder a sua derivada. Esta aplica¸cão é linear (verifique!). Analogamente, podemos definir o operador identidade, que designamos por I ou D0, como sendo a transforma¸cão, definida em C0(R, Rn_{), que a cada fun¸cão}

x faz corresponder a pr´opria fun¸c˜ao x. Seja agora L o operador

L : C1(R, Rn)_{−→ C}0(R, Rn) (3.3) tal que

L = D_{− A · I} Para cada x∈ C1₍_{R, R}n_{) tem-se}

Lx = ˙x_{− Ax.}

Assim, x_{∈ C}1(R, Rn_{) é solu¸cão do sistema (3.1), ˙x(t) = Ax(t), se e só se, para todo o t}_{∈ R,}

Lx(t) = 0.

Quer isto dizer que o conjunto das solu¸cões S do sistema (3.1) é igual ao núcleo do operador linear L:

N (L) = S (3.4)

A questão que se levanta agora é a de determinar esse mesmo núcleo. Antes de dar resposta a tal questão, vamos introduzir algumas defini¸cões que serão de utilidade em breve.

Exponencial de Matrizes

Seja x_{∈ R. Lembrar que a fun¸c˜ao e}x _{pode ser expressa em s´erie de Taylor como sendo}

ex= 1 + x + x 2 2! + . . . + xn n! + . . . = ∞ X n=0 xn n!

Defini¸c˜ao 4.3.6 Seja A∈ Mn×n . Define-se

exp(A) = eA= I + A + A 2 2! + . . . + An n! + . . . = ∞ X n=0 An n!.

exp(A) é uma série de matrizes e a sua “soma”, se exitir, é uma matriz de _Mn×n. Cada

entrada da ”soma” exp(A) é definida como uma série de potências. Se cada uma dessas séries for convergente, a série de matrizes diz-se convergente. Analogamente:

Defini¸c˜ao 4.3.7 Seja A∈ Mn×n e t∈ R. Define-se

exp(At) = eAt= I + A + (At) 2 2! + . . . + (At)n n! + . . . = ∞ X n=0 (At)n n! = ∞ X n=0 An_tn n!

As entradas da matriz ”soma” exp(At) são agora séries de fun¸cões e não séries numéricas como anteriormente. Note-se que a fun¸cão matricial exp(At) tem n_{× n entradas, cada uma delas} representando a “soma” de uma série de fun¸cões. Se estas n× n séries funcionais foram todas convergentes, então a série eAt _{diz-se convergente. Como e}At _{é uma matriz, a fun¸cão g(t) = e}At

é uma fun¸cão matricial de variável real.

Mostra-se que a série que representa a fun¸cão matricial eAt _{é convergente qualquer que seja A.}

Verifica-se ainda que:

A1: A matriz eAt ´e sempre n˜ao singular. A2: eAteAs= eA(t+s).

A3: eAt_e−At_{= I.}

A4: d dte

At _{= Ae}At_.

Solu¸c˜ao do Sistema de Equa¸c˜oes Diferenciais.

A introdu¸c˜ao do conceito de exponencial de matrizes permite-nos agora demonstrar o seguinte teorema:

Teorema 4.3.9 Considere o sistema ˙x(t) = Ax(t) onde A é uma matriz quadrada, n_{× n, com} entradas reais. Considere-se também a condi¸cão inicial x(t0) = x0, onde t0 ∈ R e x0 ∈ Rn.

Existe uma e uma s´o solu¸c˜ao do problema do valor inicial ˙x(t) = Ax(t) x(t0) = x0

e essa solu¸cão é uma fun¸cão vectorial da forma

x(t) = eA(t−t0)_x

Demonstra¸c˜ao. Para simplificar a nota¸c˜ao, consideramos t0 = 0. A partir deste caso o

resultado pode ser demonstrado para qualquer t0 ∈ R muito facilmente. Os detalhes ficam ao

cuidado do aluno.

Comecemos por provar que a fun¸cão dada é solu¸cão do problema do valor inicial. Como x(0) = eA·0x0= x0,

esta fun¸c˜ao satisfaz a condi¸c˜ao inicial. Por outro lado, derivando x vem ˙x(t) = AeAtx0= Ax(t)

e concluimos que x(t) = eAt_x

0 ´e solu¸c˜ao do sistema. Fica assim demonstrada que existe uma

solu¸c˜ao e que ela ´e da forma dada.

Pretendemos agora mostrar que a solu¸cão é única. Vamos faze-lo por contradi¸cão. Suponhamos então que existe uma outra solu¸cão ˜x _{6= x tal que ˜x(0) = x}0 e que é solu¸cão da equa¸cão

diferencial. Definimos

δ(t) = e−At[x(t)_{− ˜x(t)]} Observe que se tem

δ(0) = 0 e que

˙δ(t) = −Aδ(t) + e−At_[Ax(t)_{− A˜x(t)]}

= −Aδ(t) + Ae−At_[x(t)_{− ˜x(t)]}

= _{−Aδ(t) + Aδ(t)} = 0,

ou seja, δ é uma fun¸cão com derivada nula e é zero em t = 0. Logo

δ(t)_{≡ 0,}

o que é o mesmo que dizer que x(t) = ˜x(t) para todo o t∈ R. Isto contradiz o facto de ˜x ser diferente de x. Logo a solu¸cão é única.

Observe-se que, não especificando a condi¸cão inicial, a solu¸cão geral do sistema pode ser escrita na forma

x(t) = eAtc, onde c_{∈ R}n_.

Recorde-se a defini¸cão (3.3) do operador L associado ao sistema (3.1). O conjunto das solu¸cão do sistema _{S coincide com o núcleo o operador L (ver (3.4)). Seja x}0 ∈ R qualquer. Deduz-se

do teorema anterior que

∈ Rnª . Quest˜ao: Qual a dimens˜ao do subespa¸co linearN (L)?

Consideremos a matriz eAt _{e designemos os seus vectores coluna por u}

i(t), ou seja,

eAt= [u1(t)|u2(t)| . . . |un(t)]

onde ui :R −→ Rn. Como eAt é uma matriz não singular∀t ∈ R, então os vectores ui(t) são

linearmente independentes para todo o t ∈ R. Quer isto dizer que as fun¸cões ui são fun¸cões

linearmente independentes. Segue que, sendo c_{∈ R}n _{qualquer, a solu¸c˜ao geral do sistema pode}

ser escrita como

x(t) = eAtc =

i=1

ui(t)ci,

ou seja, é combina¸cão linear de n fun¸cões ui linearmente independentes. Ora tal significa que

N (L) ´e um subespa¸co gerado pelo conjunto {u1, u2, . . . , un}, conjunto esse com dimens˜ao n.

Acab´amos de demonstrar o seguinte resultado:

Teorema 4.3.10 Seja L um operador diferencial de C1(R; Rn_{) em C}0₍_{R; R}n_{) definido por L =}

D_{− AI. Ent˜ao}

Exerc´ıcio 4.3.11 1. Considere a equa¸c˜ao diferencial

y(n)+ an−1y(n−1)+ . . . + a1y0+ a0(t)y = 0 (3.5)

e seja K o operador diferencial que lhe est´a associado. Mostre que dim N (K) = n.

Observe-se que fica assim demonstrado o Teorema 3.2.3 do cap´ıtulo anterior quando os coeficientes da equa¸c˜ao diferencial s˜ao constantes.

2. Considere-se o sistema definido pela matriz

A = "

λ µ −µ λ

• Mostre que matriz tem dois valores pr´oprios complexos, a saber, λ + iµ e λ − iµ. • Verifique que o vector

u = Ã 1 0 ! + i Ã 0 1 !

´e vector pr´oprio associado a λ + iµ. O seu conjugado

¯ u = Ã 1 0 ! − i Ã 0 1 !

´e portanto o vector pr´oprio associado a λ_{− iµ. Recorrendo a (3.2) conclua que}

v(t) = eλt_cos(µt) Ã 1 0 ! − eλt_sen(µt) Ã 0 1 ! w(t) = eλt_sen(µt) Ã 1 0 ! + eλt_cos(µt) Ã 0 1 !

s˜ao ambas solu¸c˜oes do sistema.

• Mostre que v e w são realmente solu¸cões do sistemas e que são fun¸cões linearmente independentes.

• Finalmente calcule

x(t) = eAtc para um qualquer c = (c1, c2)∈ R2 e verifique que

Suponhamos agora que temos n solu¸c˜oes xi₍_{·) do sistema}

˙x = Ax

que satisfazem n condi¸c˜oes iniciais

xi(0) = xi₀ onde os vectores x1₀, x2₀, . . . , xn

0 s˜ao vectores linearmente independentes. Temos assim n solu¸c˜oes

do sistema da forma

xi(t) = eAtxi₀

Considere-se a matriz W (t) cujos vectores coluna s˜ao xi_{(t). Ent˜ao}

W (t) =£x1_(t)_|x2_(t)_{| . . . |x}n_{(t)¤ = e}At_£x1

0|x20| . . . |xn0

W é uma matriz como a descrita no teorema 4.3.4 e é o produto de duas matrizes não singulares. Logo det W (t) _{6= 0. Este determinante diz-se o Wronskiano e W (t) é a matriz Wronskiana.} Concluimos assim que as fun¸cões xi(·) são linearmente independentes, ou seja:

n condi¸c˜oes iniciais dadas por vectores linearmente independentes geram n solu¸c˜oes do sistema linearmente independentes.

Exerc´ıcio 4.3.12 Verifique que qualquer solu¸cão do sistema pode escrever-se como combina¸cão linear das n fun¸cões descritas em cima.

No documento FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES. Apontamentos das Aulas Teóricas (páginas 83-92)