FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES. Apontamentos das Aulas Teóricas

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LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELECTROT ´

ECNICA

E DE

COMPUTADORES

An´

alise Matem´

atica 3

Equa¸c˜

oes Diferenciais

Apontamentos das Aulas Te´

oricas

Maria do Ros´ario de Pinho e Maria Margarida Ferreira

Edi¸c˜ao revista. Agosto 2004

(2)

Estas notas poderão ter algumas incorreçcões. Os autores agradecem que estas lhes sejam comunicados.

Agradecem-se também quaisquer sugestões para melhorar a exposi¸cão. Pede-se aos alunos que verifiquem todos os cálculos aqui apresentados.

(3)

1 Introdu¸c˜ao 5

1.1 No¸c˜oes B´asicas . . . 5

1.2 Equa¸c˜oes Diferenciais: Algumas Defini¸c˜oes . . . 7

2 Equa¸cões Diferenciais de Primeira Ordem 11 2.1 Campos de Direçcões . . . 11

2.2 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao . . . 15

2.3 Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes Diferenciais . . . 20

2.3.1 Equa¸c˜oes de Vari´aveis Separadas . . . 21

2.3.2 Equa¸c˜oes Diferenciais “Homog´eneas” . . . 26

2.3.3 Equa¸cões Redut´ıveis a Equa¸cões Homogéneas . . . 28

2.3.4 Equa¸c˜oes Diferenciais Lineares de Primeira Ordem . . . 29

2.3.5 Equa¸c˜ao de Bernoulli . . . 31

2.3.6 Equa¸c˜oes Diferenciais Exactas . . . 31

2.3.7 Equa¸c˜oes Diferenciais Redut´ıveis a Exactas . . . 35

2.4 Aplica¸c˜oes de Equa¸c˜oes Diferenciais de Ordem Um . . . 37

3 Equa¸c˜oes Diferenciais Lineares de Ordem N 43 3.1 Conceitos Fundamentais . . . 43

3.2 Operadores Diferenciais . . . 45

3.3 Wronskiano . . . 51

(4)

3.4 Equa¸cões Diferenciais Lineares Homogéneas de Coeficientes Constantes de Ordem 2 58 3.5 Equa¸cões Diferenciais Lineares Homogéneas de Coeficientes Constantes de Ordem N 65

3.6 Equa¸cões Diferenciais Não Homogéneas de Coeficientes Constantes . . . 69

3.7 Redu¸c˜ao de Ordem de uma Equa¸c˜ao Diferencial Linear de Ordem N . . . 75

4 Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais 78 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 78

4.2 Sistema Linear de Equa¸c˜oes Diferenciais . . . 80

4.3 Solu¸c˜ao de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo . . . 83

4.4 Conceitos de ´Algebra Linear: Formas de Jordan . . . 92

4.5 C´alculo das Solu¸c˜oes de Sistemas Lineares . . . 105

4.6 Sistemas Lineares For¸cados . . . 113

4.7 Diagramas de Fase . . . 115

(5)

Introdu¸

c˜

ao

O estudo das equa¸cões diferenciais ordinárias é de particular importância em engenharia, porque muitas leis f´ısicas traduzem-se matematicamente nestas equa¸cões. Agora, em Análise Matemática 3, iremos considerar vários problemas que podem ser modelizados matematicamente usando equa¸cões diferenciais ordinárias. Serão abordados três grandes questões relacionadas com estas equa¸cões (não necessariamente por esta ordem): 1) modeliza¸cão de situa¸cões f´ısicas, 2) existência e unicidade de solu¸cão e 3) resolu¸cão de equa¸cões diferenciais.

1.1 No¸

c˜

oes B´

asicas

Chama-se equa¸cão diferencial a uma equa¸cão que relaciona uma fun¸cão y(x), as suas derivadas e a variável independente x, i.e., é uma equa¸cão do tipo:

F (x, y, y0, y00, . . . , y(k)) = g(x) (1.1) onde g é uma fun¸cão que depende somente de x. As equacões,

(y0₎2 _{= cos(x),}

y00

− 3y = 0, x2_y000

− xy0_{+ y = e}x_,

são exemplos de equa¸cões diferenciais. Nestes exemplos a incógnita, ou seja, a fun¸cão y, depende de uma só variável independente, x∈ R.

Em geral, a incógnita é uma fun¸cão

y : D_{⊂ R}n_{−→ R}m 5

(6)

onde n, m_{≥ 1.}

Equa¸cões envolvendo fun¸cões deste tipo e que se podem escrever na forma (1.1) designam-se por equa¸cões diferenciais ordinárias (ou, para simplificar, EDO).

Existe um outro tipo de equa¸cões diferenciais designadas por equa¸cões às derivadas parciais, equa¸cões essas do tipo:

F³x, y, ∂y ∂x1 , . . . , ∂y ∂xn ,∂ 2_y ∂x2 1 . . . , ∂ 2_y ∂x1∂xn , . . .´= 0.

Neste caso a variável independente x está definida emRn_{, com n > 1. Exemplo de uma equa¸cão}

às derivadas parciais é a da difusão ou condu¸cão do calor:

α2∂

2_{u(t, x)}

∂x2 =

∂u(t, x) ∂t . Neste caso, a vari´avel independente ´e (t, x)_{∈ R × R.}

O estudo das equa¸cões diferenciais às derivadas parciais sai do âmbito desta cadeira.

Nos exemplos que demos até aqui de equa¸cões diferenciais ordinárias e de equa¸cões às derivadas parciais, a incógnita é uma fun¸cão tomando valores em _{R. Contudo, nada nos impede de} considerar y(x)∈ Rm_{. São de particular interesse as equa¸cões diferenciais de “primeira ordem”}

(em que k = 1 em (1.1)) onde a variável independente é escalar e a incógnita y toma valores em Rm_{, ou seja, é da forma:}

y : I _{⊂ R −→ R}m,

com I _{⊂ R e m ≥ 1. Este tipo de equa¸cões aparecem historicamente ligados a problemas de} movimento em que a variável independente representa o tempo. Assim, é usual representá-la por t e a fun¸cão que se deseja encontrar por x, uma vez que, em problemas de movimento, é a variável usada para representar o vector posi¸cão de um móvel. É prática geral escrever ˙x em vez de x0 _{quando queremos designar a derivada de uma fun¸cão que depende do tempo. Esta}

nota¸cão parece ser geralmente aceite por todos. São equa¸cões diferenciais da forma

˙x(t) = f (t, x(t)) (1.2) onde x : I −→ Rm t _7→ (x1(t), x2(t), . . . , xm(t)) f : I_{× R}m _{−→ R}m (t, x) 7→ (f1(t, x), f2(t, x), . . . , fm(t, x))

(7)

A equa¸cão diferencial (1.2) é uma representa¸cão vectorial do sistema de equa¸cões diferenciais              ˙x1(t) = f1¡t, x1(t), x2(t), . . . , xm(t) ¢ ˙x2(t) = f2¡t, x1(t), x2(t), . . . , xm(t) ¢ · · · · · ˙xm(t) = fm¡t, x1(t), x2(t), . . . , xm(t) ¢ Como exemplo de um sistemas de equa¸cões diferenciais consideremos:

(

˙x1(t) = x2(t)

˙x2(t) = x1(t) + t

Vamos agora introduzir alguma ordem e precis˜ao para que nos possamos entender no estudo futuro que pretendemos fazer.

1.2 Equa¸

c˜

oes Diferenciais: Algumas Defini¸

c˜

oes

Consideremos uma EDO (equa¸cão diferencial ordinárial) tal como está definida em (1.1).

Defini¸cão 1.2.1 Designa-se por ordem de uma equa¸cão diferencial à maior das ordens das derivadas da incógnita que nela aparecem. ¤

Consideremos a equa¸c˜ao

y0− cos(x) = 0.

A variável y representa uma fun¸cão que depende de x. Presente na equa¸cão apenas a derivada de 1a

¯ ordem de y. Logo trata-se de uma equa¸c˜ao diferencial de primeira ordem.

Consideremos agora a equa¸c˜ao

y9(y00)5− 3y0

− x6= 0

Esta é uma equa¸cão de segunda ordem. O facto da segunda derivada estar elevada a uma potência não modifica em nada a ordem da equa¸cão.

No que se segue focaremos a nossa aten¸cão nas equa¸cões diferenciais ordinárias escritas na forma (1.1) onde a incógnita y é uma fun¸cão da forma

y : I → R (2.1)

e I ´e um intervalo de R.

Definida ordem, interessa agora saber o que se entende precisamente por resolver uma equa¸cão diferencial. A pergunta que se põe é a de saber o que é uma solu¸cão de uma equa¸cão diferencial.

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Defini¸cão 1.2.2 Uma solu¸cão de uma equa¸cão diferencial ordinária de ordem k, definida num intervalo I = (a, b) (onde a poderá ser −∞ ou b = +∞) é uma fun¸cão cont´ınua, com derivadas até à ordem k, definidas nesse intervalo, e que, juntamente com as suas derivadas, satisfaz a

equa¸c˜ao diferencial dada. ¤

´

E de importância fundamental saber em que intervalo I consideramos a equa¸cão definida. Pela exposi¸cão anterior, deverá ser claro que “resolver uma equa¸cão diferencial” será determinar “a” ou “as” fun¸cões y que satisfazem a equa¸cão, se é que existem. De facto, há exemplos de equa¸cões diferenciais para os quais não há solu¸cão.

Na defini¸cão anterior referimos uma solu¸cão da equa¸cão diferencial. Estamos assim à partida a supor que poderão existir mais do que uma. Vejamos que tal pode ser o caso.

Exemplo 1.2.3 Consideremos a equa¸c˜ao diferencial xy0 _{= 2y onde x}

∈ (0, +∞). Trata-se de uma equa¸c˜ao de primeira ordem (note-se que x 6= 0). Consideremos uma fun¸c˜ao y(x) = x2

definida em (0, +_{∞). Facilmente se verifica que y}0_{(x) = 2x e que xy}0 _{= 2x}

· x = 2x2 = 2y. Ou seja, conhecemos uma solu¸cão da equa¸cão diferencial dada. Contudo, qualquer fun¸cão definida em (0, +∞), da forma y(x) = Kx2 _{onde K simboliza uma qualquer constante n˜}_{ao nula}

tem derivada dada por y0_{(x) = 2Kx, ou seja, ´e tamb´em solu¸c˜}_{ao da equa¸c˜}_{ao. N˜}_{ao obtemos}

uma solu¸cão mas sim uma infinidade de solu¸cões da equa¸cão diferencial, todas elas definidas no mesmo intervalo (0, +_{∞). Tal não nos deve surpreender; na resolu¸cão desta equa¸cão está} impl´ıcita uma integra¸cão (porquê?) e sabemos que a integra¸cão introduz constantes arbitrárias.¤

Lembremos que uma fun¸cão é definida por um trio (A, B, f ), onde A é o dom´ınio, B o conjunto de chegada e f a correspondência entre elementos de A e B. A expressão f (x) = x2 quando definida em (0, +_{∞) ou, por exemplo, em R representa duas fun¸cões distintas. Em particular,} quando definida em (0, +_{∞), é solu¸cão da equa¸cão diferencial dada no exemplo anterior, mas} não o é quando o dom´ınio éR.

A determina¸cão de solu¸cões de uma equa¸cão diferencial não é, em geral, fácil. Perante uma dada equa¸cão diferencial, a primeira questão que se levanta é de saber se existe solu¸cão. Esta questão de existência de solu¸cão de equa¸cões diferenciais é crucial. Como já afirmámos nem todas as equa¸cões diferenciais têm solu¸cão.

Suponhamos que sabemos que uma dada equa¸cão diferencial tem solu¸cão. Será que a solu¸cão é ´

unica? Neste caso, estamos perante uma questão de unicidade de solu¸cão. No exemplo anterior verificou-se que pode existir uma infinidade de solu¸cões correspondentes a uma infinidade de escolha de uma constante. Suponhamos que estamos só interessados nas solu¸cões dessa equa¸cão

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diferencial que satisfazem a condi¸cão inicial y(1) = 0. Será que existe alguma solu¸cão da equa¸cão dada que satisfaz esta condi¸cão? Consideremos uma fun¸cão da forma y(x) = Kx2 definida para todo o x > 0 e tal que y(1) = 0. Então y(x) = 0 é uma solu¸cão da equa¸cão diferencial que satisfaz a condi¸cão dada y(1) = 0. Será que é a única solu¸cão?

Por vezes uma solu¸cão de uma equa¸cão diferencial poderá não ter uma forma simples. Por exemplo, existem solu¸cões de equa¸cões diferenciáveis que são definidas implicitamente por uma equa¸cão algébrica.

A existência e unicidade de solu¸cão são questões importantes no estudo de equa¸cões diferenciais. Para que o estudo das equa¸cões diferenciais seja o mais simples poss´ıvel é usual dividir as equa¸cões em classes. Podemos dividi-las em equa¸cões diferenciais ordinárias e em equa¸cões às derivadas parciais. Nesta disciplina, estudaremos apenas equa¸cões diferenciais ordinárias. Estas podem ser também divididas por ordem da equa¸cão: equa¸cões diferenciais ordinárias de primeira ordem, de segunda ordem, etc. Há ainda uma outra divisão poss´ıvel e desejável: a divisão entre equa¸cões diferenciais ordinárias lineares e não lineares. O estudo de, por exemplo, equa¸cões diferenciais ordinárias de ordem 1 lineares e o de equa¸cões diferenciais ordinárias de ordem 1 não lineares é muito diferente.

Defini¸cão 1.2.4 A equa¸cão diferencial ordinária (1.1) diz-se linear se a fun¸cão F for uma fun¸cão linear nas variáveis y, y0_{, . . . , y}(n)_{. Caso contr´}_{ario, a equa¸c˜}_{ao diferencial diz-se não}

linear. ¤

Lembremos que uma fun¸c˜ao G(w) diz-se linear se satisfizer a

G(αw1+ βw2) = αG(w1) + βG(w2)

para quaisquer w1, w2 pertencentes ao dom´ınio de G e α, β ∈ R.

Exemplo 1.2.5 Consideremos a equa¸c˜ao diferencial

y00− x2y0− y = cos(x)

Comparando com (1.1) vem F (x, y, y0_{, y}00_{) = y}00_{− x}2_y0_{− y. Consideremos ent˜ao duas fun¸c˜oes}

y1 e y2 e dois escalares α, β. Queremos verificar se F ´e linear nas vari´aveis y, y0, y00. Assim,

F (x, α(y1, y01, y100) + β(y2, y02, y200)) = F (x, αy1+ βy2, αy10 + βy20, αy100+ βy002)

= αy00

1 − x2αy10 − αy1+ βy200− x2βy20 − βy2

(10)

Seguindo o mesmo procedimento, ´e facil verificar que a equa¸c˜ao diferencial (y0)2− y = 0

não é linear. Realmente, para y = αy1+ βy2 onde α, β ∈ R, y1 e y2 duas fun¸cões e F (y, y0) =

(y0₎2_{− y, temos}

F (y, y0) = α2(y0₁)2+ β2(y0₂)2+ 2αβy₁0y₂0 _{− αy}1− βy2 6= αF (y1, y10) + βF (y2, y20)

Observe-se que a não linearidade da equa¸cão diferencial dada é consequência directa do termo (y0₎2_{, que é obviamente n˜}_{ao linear.} _¤

Exerc´ıcio 1.2.6 Determine a ordem e classifique as seguintes equa¸cões diferenciais ordinárias em lineares e não lineares: (i) y00_{− y}0_{+ y}2_{= 0} (ii) exy(5)− x2 ₌ 1 y (iii) sen(x)y00_{− y}000 _{= 0} (iv) sen(y0_)x3_{− y = 0}

O estudo de equa¸cões diferenciais lineares está bem desenvolvido. O mesmo já não se pode dizer sobre as equa¸cões diferenciais não lineares. Para colmatar muitas lacunas na teoria de equa¸cões diferenciais não lineares e sempre que o que se pretende é um estudo “local” das equa¸cões, podem aproximar-se as equa¸cões não lineares por outras que são lineares. Como exemplo, consideremos a equa¸cão que modela o movimento do pêndulo. O ângulo α que um pêndulo de comprimento l, em oscila¸cão, faz com a direçcão vertical satisfaz a equa¸cão

d2α d t2 +

g

l sin(α) = 0

Trata-se de uma equa¸cão de segunda ordem não linear cuja incógnita é a fun¸cão α. A ”não lin-earidade” é causada pelo termo sin(α). Sabe-se contudo que para valores pequenos do ângulo α, sin(α) é aproximadamente α. Substituindo então sin(α) por α obtemos uma equa¸cão diferencial linear

d2_α

d t2 +

g lα = 0.

Verifica-se que esta equa¸cão é realmente uma “boa aproxima¸cão” da equa¸cão não linear dada, pois, qualquer solu¸cão da equa¸cão linear é uma boa aproxima¸cão de alguma solu¸cão da equa¸cão não linear para valores de α próximos de 0.

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Equa¸

c˜

oes Diferenciais de Primeira

Ordem

Vamos agora dedicar-nos ao estudo de equa¸cões diferenciais de primeira ordem. Partes da matéria aqui abordada, em especial muito do que se refere a equa¸cões diferenciais lineares, foi já dada na disciplina de Análise Matemática 1.

2.1 Campos de Direc¸

c˜

oes

Considere-se equa¸c˜oes diferenciais da forma

y0(x) = f (x, y) (1.1) Por motivos que se tornarão claros mais tarde é usual escrever a derivada de y na nota¸cão de Leibniz:

y0(x) = dy dx

Resolver a equa¸cão (1.1) é determinar a solu¸cão (se existir!) ou solu¸cões da equa¸cão, ou seja, determinar a fun¸cão ou fun¸cões que satisfazem a equa¸cão. A informa¸cão sobre uma dada fun¸cão f poderá ser dada de várias formas. Pode-se definir uma fun¸cão explicitando o dom´ınio,o conjunto de chegada e a lei que une os objectos às respectivas imagens. Alternativamente informa¸cão sobre a fun¸cão poderá ser dada por uma tabela de pontos da forma (x, y) onde y = f (x), ou ainda pode-se ter o gráfico de f , i.e., a representa¸cão geométrica da fun¸cão.

A equa¸cão diferencial (1.1) fornece ela mesmo informa¸cão sobre o gráfico das solu¸cões. Sendo f uma fun¸cão definida em_<2 _{e tomando valores em} _{<, considere-se um ponto (x}

1, y1) do plano

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R2 _{para a qual a fun¸cão f da equa¸cão diferencial (1.1) está bem definida e suponhamos que}

tal ponto pertence ao gráfico de uma solu¸cão da equa¸cão (i.e., que existe uma fun¸cão ¯y tal que (x1, y1) satisfaz a

(x1, y1)∈ Gray¯={(x, y) ∈ R2 : ¯y(x) = y},

ou seja, ¯y(x1) = y1).

Deduz-se de (1.1) que a derivada de ¯y no ponto x1 ´e ¯y0(x1) = f (x1, y1). Geometricamente este

facto pode ser representado tra¸cando emR2 um vector v1:

• de norma unit´aria com ponto inicial (x1, y1),

• apontando no sentido de crescimento dos valores da abcissa, • cujo declive ´e f(x1, y1).

Assim, o gráfico da poss´ıvel solu¸cão da equa¸cão que passa no ponto (x1, y1) deverá ter como

tangente nesse ponto uma recta cujo vector direçcão é dado por v1. O conjunto de todos estes

vectores aplicados a pontos (x, y) onde a fun¸cão f está definida designa-se por campo de direçcões ou campo de vectores da equa¸cão (1.1) (ver figura da página seguinte).

Os campos de direçcões podem ser facilmente esbo¸cados à mão. É evidente que não podemos tra¸car segmentos de rectas em todos os pontos do plano. O ideal é considerar uma rede de pontos no plano e marcar, em cada ponto extremo da rede, os referidos vectores.

Os campos de vectores são particularmente úteis na determina¸cão do comportamento qualitativo das solu¸cões de equa¸cões diferenciais. Podem mesmo ajudar a determinar regiões de interesse particular.

Determinar uma solu¸cão da equa¸cão (1.1) resume-se assim a determinar uma fun¸cão cujo gráfico é uma curva, designada por curva integral, tal que a direçcão da tangente à mesma em cada ponto coincide com a direçcão do campo de direçcões nesse ponto.

Algum cuidado deve ser posto no esbo¸co dos campos de direçcões e na sua interpreta¸cão. Os pontos para os quais a fun¸cão f não está definida são pontos singulares da equa¸cão diferencial (1.1).

Defini¸cão 2.1.1 Chama-se isoclina ao lugar geométrico dos pontos nos quais as tangentes às curvas integrais de uma equa¸cão diferencial têm todas o mesmo declive. ¤

Qualquer isoclina da equa¸cão (1.1) é definida pelo conjunto de pontos (x, y) para os quais f (x, y) = C, onde C é uma constante (e diz-se que esse conjunto de pontos forma a isoclina C).

(13)

Quando C = 0, obtemos a isoclina nula. Por defini¸cão, qualquer curva integral que passa por um ponto da isoclina nula, terá nesse ponto derivada nula, ou seja, a tangente à curva integral deverá ser horizontal. Os pontos em que a derivada é nula são pontos cr´ıticos de solu¸cões da equa¸cão.

Exemplo 2.1.2 Consideremos a equa¸c˜ao diferencial y0(x) = y

x

A fam´ılia de isoclinas ´e formada por rectas todas passando pela origem. Realmente: y

x = c ⇐⇒ y = cx sse x 6= 0

Todos os pontos sobre o eixo das ordenadas, x = 0 s˜ao pontos singulares da equa¸c˜ao diferencial.¤

Exemplo 2.1.3 Consideremos a equa¸c˜ao:

y0(x) = y− 1

A figura apresenta um esbo¸co do campo de direçcões desta equa¸cão.

x y

Para pontos da forma (x, 0) o declive dos vectores do campo de direçcões é−1 e para pontos da forma (x, 1) o declive é 0 (vectores horizontais).

Tal como já foi dito, qualquer solu¸cão desta equa¸cão é tal que o gráfico dessa fun¸cão num ponto é tangente ao vector do campo de direçcões tra¸cado nesse ponto. Da análise da figura podemos concluir que a fun¸cão constante y(x) = 1 é solu¸cão da equa¸cão. Qualquer solu¸cão da equa¸cão diferencial cujo gráfico contenha um ponto (x1, y1) onde y1> 1, é crescente e será decrescente se

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y1 < 1. Ou seja, os gráficos de todas as solu¸cões da equa¸cão diferencial que não contêm pontos

da forma (x, 1) afastam-se da recta de equa¸c˜ao y = 1.

Observe-se que n˜ao podem existir duas curvas integrais que se intersectem. Fica ao cargo do aluno justificar esta afirma¸c˜ao.

Vejamos agora que as conclusões tiradas a partir da análise do campo de direçcões são ver-dadeiras. Por integra¸cão da equa¸cão diferencial dada podemos concluir que a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial é da forma

y(x) = Cex+ 1

onde C é uma qualquer constante (lembremos que falamos em solu¸cão geral quando queremos referir uma expressão que, para cada valor da constante C, permite obter uma solu¸cão particular da equa¸cão diferencial)1. Determinada a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial, podemos tra¸car os gráficos de algumas solu¸cões particulares de forma a verificar as conclusões anteriores . ¤

Exerc´ıcio 2.1.4 1. Determinar as isoclinas da equa¸c˜ao

y0(x) = y x Trace tamb´em algumas curvas integrais desta equa¸c˜ao.

2. Esboce os campos de direçcões, determine e esboce as fam´ılias de isoclinas e esboce algumas curvas integrais das seguintes equa¸cões diferenciais:

dy dx = e −x_{− 2y} y0 ₌ 3− y 2 y0_{+ 0.5y = 0} y0_{+ 0.5y = 1} y0 − 2xy = 1 y0_{− 2xy = y}

Em cada caso pronuncie-se sobre qualquer caracter´ıstica de interesse das curvas integrais e determine, sempre que poss´ıvel, o lugar geom´etrico dos m´aximos e/ou m´ınimos.

¤

1_{A resolu¸}_c˜_{ao desta equa¸}_c˜_{ao n˜}_{ao dever´}_{a ser de qualquer dificuldade, pois, em An´}_{alise Matem´}_{atica I, esta mat´}_eria

(15)

2.2 Existˆ

encia e Unicidade de Solu¸

c˜

ao

Focamos agora a nossa aten¸cão em questões que se relacionam com a existência e unicidade de solu¸cão. Comecemos por equa¸cões diferenciais de primeira ordem lineares. Qualquer equa¸cão diferencial deste tipo pode ser representada na forma

y0+ p(x)y = g(x), (2.1) onde p e g s˜ao fun¸c˜oes dadas.

Comparando com a equa¸cão diferencial (1.1), concluimos que a equa¸cão (2.1) pode ser escrita na forma (1.1) onde f (x, y) = g(x)_{− p(x)y é uma fun¸cão linear em y.}

Deseja-se saber se existe uma solu¸cão da equa¸cão (2.1) que satisfa¸ca a condi¸cão inicial

y(x0) = y0 (2.2)

Se existir tal solu¸cão, será ela única? E em que intervalo é que tal solu¸cão estará definida?

Teorema 2.2.1 Considere a equa¸c˜ao diferencial

y0+ p(x)y = g(x).

Se as fun¸cões p e g são cont´ınuas num intervalo aberto I que contém o ponto x0, então existe

uma única solu¸cão y = ϕ(x) que satisfaz a equa¸cão diferencial para todo o x _{∈ I e que satisfaz} também a condi¸cão inicial (2.2). ¤

Este Teorema dá-nos condi¸cões suficientes para garantir a existência e unicidade de solu¸cão. Mas diz mais: garante que a solu¸cão está definida em todo um intervalo I em que essas condi¸cões são satisfeitas.

Em vez de demonstrar este resultado, vamos agora ver como obter a solu¸cão desta equa¸cão que satisfaz à condi¸cão inicial.

Observa¸cão atenta da equa¸cão leva-nos a desejar que tivessemos uma outra equa¸cão em vez desta. Por exemplo, se multiplicarmos ambos os membros desta equa¸cão por uma fun¸cão diferenciável e positiva r(x), obtemos

r(x)y0(x) + r(x)p(x)y(x) = r(x)g(x) (2.3) O primeiro membro desta nova equa¸c˜ao lembra imediatamente a derivada de um produto. Como ¡r(x)y(x)¢0 = r0_{(x)y(x) + r(x)y}0_{(x), podemos somar e subtrair , na equa¸c˜ao, o termo que falta}

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para obter a derivada de um produto e teremos ¡r(x)y0_{(x) + r}0_(x)y(x)

¢ − ¡r0_(x)y(x)

− r(x)p(x)y(x)¢ = r(x)g(x). (2.4) O primeiro membro desta equa¸cão corresponderá exactamente à derivada de um produto se

r0(x)− r(x)p(x) = 0.

Como não definimos até agora qual a fun¸cão r a tomar, podemos considerar r uma fun¸cão que toma valores positivos e que satisfaz a r0_(x)

− r(x)p(x) = 0. Como r(x) 6= 0, podemos dividir ambos os membros da equa¸c˜ao por r e obtemos

r0_(x)

r(x) = p(x). (2.5)

Integrando ambos os membros e lembrando que r

0_(x)

r(x) = d

dxln(r(x)) tem-se r(x) = eR p(x)dx+C

ou seja, uma fam´ılia de fun¸c˜oes positivas. Interessa-nos ter apenas uma fun¸c˜ao r. Assim, e para simplificar, consideremos a constante C = 0. Temos

r(x) = eR p(x)dx> 0 Substituindo em (2.4) e lembrando que r0_(x)

− r(x)p(x) = 0, vem ¡r(x)y(x)¢0 = r(x)g(x). Integrando esta ´ultima equa¸c˜ao, deduz-se que

y(x) = K +

Z

r(x)g(x)dx

r(x) . (2.6)

A expressão (2.6) é a solu¸cão geral da equa¸cão: para cada valor de K obtemos uma solu¸cão da equa¸cão. Em particular, a solu¸cão que satisfaz a condi¸cão inicial (2.2) é aquela para o qual o valor da constante é

K = r(x0)y0− F (x0),

onde F ´e a primitiva de r(x)g(x), i.e., F0_{(x) = r(x)g(x).}

Observa¸cão 2.2.2 Observe-se que o método acima descrito para a resolu¸cão de equa¸cões difer-enciais de primeira ordem lineares obriga ao cálculo de uma primitiva da fun¸cão r(x)g(x). Acontece que existem fun¸cões para os quais não é conhecida uma forma fechada para a primi-tiva. Nestes casos, aceita-se que na solu¸cão geral apare¸ca o integral. Tais solu¸cões podem ser facilmente tratadas numericamente.

(17)

Exerc´ıcio 2.2.3 1. Demonstre o teorema 2.2.1.

(Sugestão: Verifique que a determina¸cão da solu¸cão geral da equa¸cão diferencial feita acima poderá ser usada na demonstra¸cão.)

2. Determine a forma geral da equa¸c˜ao (2.1) quando (i) g(x) = 0; (ii) p(x) = 0; (iii) g(x) = p(x) = 0.

3. Se tem acesso a um computador onde esteja instalado Maple ou Mathematica, utilize este software para esbo¸car os campos de direçcões e para analisar o comportamento das solu¸cões das seguintes equa¸cões quando x tende para +∞:

y0_{+ 3y = x + e}−x _{; y}0_{+ y = e}x_.

4. Calcule, analiticamente, a solu¸c˜ao dos seguintes problemas de valor inicial y0_{+ 3y = x + e}−x_{, y(0) = 1,}

y0₋ 2

x2 = cos(x), y(1) = 0.

¤

Segue-se a discussão de questões de existência e unicidade de equa¸cões diferenciais mais gerais, i.e., aquelas que podem ser escrita na forma (1.1) onde f é possivelmente não linear.

A no¸cão de fun¸cão de Lipschitz tem um papel importante no que se segue e vamos aqui intro-duzi-la para o caso de fun¸cões reais de variável real.

Defini¸c˜ao 2.2.4 Seja I _{⊂ R um intervalo e considere-se a fun¸c˜ao}

f : I_{→ R}

f diz-se Lipschitz cont´ınua em I se existir uma constante L > 0 tal que

|f(x1)− f(x2)| ≤ L |x1− x2| ∀ x1, x2 ∈ I (2.7)

¤

Algumas propriedades de uma fun¸c˜ao Lipschitz cont´ınua est˜ao descritas no exerc´ıcio que se segue.

(18)

2. Mostre que toda a fun¸cão diferenciável no intervalo [a, b] e com derivada limitada em (a, b) é Lipschitz cont´ınua.

3. Verifique que a fun¸c˜ao f (x) = _{|x| , definida em [−1, 1], ´e de Lipschitz com constante} L = 1.

4. Será que toda a fun¸cão Lipschitz cont´ınua é diferenciável? Se não, forne¸ca um exemplo. 5. Uma fun¸cão diz-se convexa se para todo o α_{∈ R e todo o x, y do dom´ınio se tem}

f¡αx + (1 − α)y¢ ≤ αf(x) + (1 − α)f(y). (a) Dê uma interpreta¸cão geométrica à condi¸cão anterior. (b) Verifique que f (x) = x2 _{é convexa, mas g(x) = x}3 _n˜_{ao é.}

(c) Será que toda a fun¸cão convexa é Lipschitz cont´ınua?

¤

A defini¸cão de continuidade de Lipschitz pode ser facilmente generalizada a fun¸cões reais de variável vectorial, ou seja, a fun¸cões definidas em conjuntos de _Rn_{. Para o estudo em causa}

interessa-nos a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸cão 2.2.6 Seja f : D_{→ R, onde D é um dom´ınio em R}2. A fun¸cão f diz-se Lipschitz cont´ınua em ordem a y se existir uma constante L > 0 tal que

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L |y1− y2| , (2.8)

para qualquer x e quaisquer y1, y2 tais que

(x, y1), (x, y2)∈ D.

¤

Observa¸c˜ao 2.2.7 Recorde que se diz que um conjunto D_{⊂ R}n _{´e um dom´ınio se D for um}

conjunto aberto e conexo, ou seja, um conjunto aberto tal que quaisquer dois pontos desse conjunto podem ser unidos por uma curva totalmente contida em D.

Exerc´ıcio 2.2.8 _{• Seja f : D → R, onde D é um dom´ınio em R}2. Verifique que se existe um L > 0 tal que ¯ ¯ ¯ ∂f ∂y(x, y) ¯ ¯ ¯ < L, ∀ (x, y) ∈ D então f satisfaz a condi¸cão de Lipschitz em ordem a y em D.

(19)

• Considere a fun¸c˜ao f(x, y) = 2|y| cos(x) definida em R2_{. Determine os pontos em que} ∂f

∂y não existe. Verifique ainda que a fun¸cão dada satisfaz a condi¸cão de Lipschitz em ordem a y emR2. Que pode concluir? (Sugestão: Relacione a sua resposta com a al´ınea anterior). ¤

Teorema 2.2.9 Se uma fun¸c˜ao f : D → R, onde D ´e um dom´ınio em R2_{, for cont´ınua e se}

satisfizer a condi¸c˜ao de Lipschitz em ordem a y em D, ent˜ao o problema do valor inicial y0_(x) _{= f (x, y)}

y(x0) = y0

onde (x0, y0)∈ D, tem solu¸c˜ao ´unica. ¤

A condi¸cão de Lipschitz em ordem a y é essencial para garantir a existência de solu¸cão única do problema de valor inicial, como o seguinte exemplo ilustra.

Exemplo 2.2.10 Considere-se a EDO y0 _{= f (x, y) onde}

f (x, y) =      4x3y x4_{+ y}2 se x2+ y2 6= 0 0 se x = y = 0

Comecemos por ver que esta fun¸cão é cont´ınua em todo o seu dom´ınio. Note-se que continuidade em todos os pontos, excepto na origem, decorre das propriedades básicas da continuidade. Basta, então, averigurar a continuidade na origem. Observe-se que

(x2− y)2 = x4+ y2− 2x2y≥ 0 e − (x2+ y)2=−x4− y2− 2x2y≤ 0 Concluimos assim que

|2x2y_{| ≤ x}4+ y2 para qualquer (x, y) pr´oximo da origem. Assim

0_≤ ¯ ¯ ¯ ¯ 4x3y x4_{+ y}2 ¯ ¯ ¯ ¯≤ 2 | x | x4+ y2 x4_{+ y}2 = 2| x |

Deduz-se pelo teorema das fun¸c˜oes enquadradas que f ´e continua em (0, 0).

Passemos ent˜ao ao estudo da continuidade de Lipschitz com respeito a y. Sejam (x, y1) e (x, y2)

dois pontos de R2 com a mesma abcissa x _{6= 0 e para os quais existem dois escalares α, β tais} que y1= αx2 e y2 = βx2. Obtemos |f(x, y1)− f(x, y2)| = ¯ ¯ ¯ ¯ 4αx5 x4_{(1 + α}2₎ − 4βx5 x4_{(1 + β}2₎ ¯ ¯ ¯ ¯ = 4 |x| | y1− y2 | ¯ ¯ ¯ ¯ 1− αβ (1 + α2_{)(1 + β}2₎ ¯ ¯ ¯ ¯ .

(20)

Se f satisfizesse a condi¸c˜ao de Lipschitz em ordem a y, ent˜ao deveria haver uma constante L tal que L_≥ 4 | x | M, (2.9) onde M = ¯ ¯ ¯ ¯ 1_{− αβ} (1 + α2_{)(1 + β}2₎ ¯ ¯ ¯ ¯

. Contudo, em qualquer aberto que contenha a origem, qualquer que seja o L > 0, é sempre poss´ıvel determinar um x6= 0 para o qual (2.9) não se verifique. Pode verificar-se ainda que a equa¸cão admite como solu¸cão geral a fam´ılia de fun¸cões

y(x) = C2−px4_{+ C}4

De facto, para esta fun¸c˜ao y, tem-se

y0(x) = 2x

3

−√x4_{+ C}4 =

2x3 y(x)_{− C}2

e, como x4 = (C2_{− y(x))}2_{− C}4, vem 4x3y(x) x4_{+ y(x)}2 = 4x3¡C2₋√_x4_{+ C}4¢ (C2_{− y(x))}2_{− C}4_{+ y}2 = y 0 (x).

Consideremos a condi¸c˜ao inicial y(0) = 0. Vejamos para que valor de C a fun¸c˜ao y(x) = C2−√x4_{+ C}4 _{satisfaz esta condi¸c˜}_{ao inicial. Obtemos}

y(0) = C2−√C4_{= 0} _{∀ C ∈ R.}

Quer isto dizer que qualquer solu¸c˜ao da forma y(x) = C2−√x4_{+ C}4 _{satisfaz a condi¸c˜}_{ao inicial,}

ou seja, o problema de valor inicial dado não tem solu¸cão única. ¤

2.3 Resolu¸

c˜

ao de Equa¸

c˜

oes Diferenciais

Seja f : D_{→ < onde D ⊂ <}2 qualquer. Se sabemos que um problema de valor inicial (

y0_(x) _{= f (x, y)}

y(x0) = y0

tem solu¸cão, é l´ıcito perguntar qual é ela. Observe-se que y0_{(x) = f (x, y) é uma equa¸cão}

diferencial de primeira ordem que poder´a ser n˜ao linear.

Como não há uma só abordagem para determinar solu¸cões deste tipo de equa¸cões, é usual considerar grupos ou classes de equa¸cões diferenciais que podem ser resolvidas por uma certa

(21)

técnica. Na resolu¸cão de uma equa¸cão diferencial, o primeiro passo é sempre o de caracterizar a equa¸cão dada de forma a que uma determinada técnica de resolu¸cão possa ser escolhida. De salientar, contudo, que poderá haver mais do que uma maneira de resolver uma equa¸cão diferencial de primeira ordem.

2.3.1 Equa¸c˜oes de Vari´aveis Separadas

Designam-se por equa¸cões diferenciais de variáveis separadas as equa¸cões da forma y0_{(x) =}

f (x, y) para as quais a fun¸cão f , uma fun¸cão cont´ınua, pode ser escrita como o produto de duas fun¸cões reais de variável real, cada uma dependendo apenas de x ou y, ou seja, equa¸cões da forma:

dy

dx = α(x)β(y). (3.1)

Suponhamos que as duas fun¸cões α e β são ambas cont´ınuas e consideremos a condi¸cão inicial y(x0) = y0. Distinguem-se dois casos.

(i) β(y0) = 0. Neste caso, a fun¸cão constante y(x) = y0 é solu¸cão. Realmente, a derivada

desta fun¸c˜ao ´e zero e β(y(x)) = β(y0) = 0.

Mas será esta a solu¸cão única? Só poderemos garantir a unicidade desta fun¸cão se β, além de cont´ınua, for Lipschitz cont´ınua.

Exerc´ıcio 2.3.1 Dê um exemplo, se existir, de uma equa¸cão diferencial de variáveis se-paradas satisfazendo as condi¸cões mencionadas em cima e para o qual a fun¸cão constante

y(x) = y0

não é única. ¤

(ii) β(y0)6= 0. Defina-se, ent˜ao, quatro outras fun¸c˜oes, P , R, Q e S, tais que

P (x) = α(x) Q(y) =₋ 1

β(y) R

0_{(x) = P (x)} _S0_{(y) = Q(y).}

(Observe-se que a fun¸cão Q está bem definida num aberto em torno de y0 (porquê?).)

Ent˜ao, lembrando que

d

dxh(g(x)) = h

0

(22)

temos dy dx = α(x)β(y) ⇓ Q(y)dy dx = −P (x) ⇓ P (x) + Q(y)dy dx = 0 ⇓ R0_{(x) + Q(y)}dy dx = 0 ⇓ R0_{(x) +} dS(y(x)) dx = 0 ⇓ d dx[R(x) + S(y)] = 0. Integrando esta ´ultima equa¸c˜ao, vem

R(x) + S(y) = C (3.2)

onde C é uma constante. A equa¸cão (3.2) poderá ou não ser resolvida em ordem a y. Se tal for poss´ıvel, então obtemos a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial na forma expl´ıcita, ou seja, deverá ser poss´ıvel determinar uma fun¸cão φ e uma constante C0 , com R(x0) +

S(y0) = C0, y0 = φ(x0) e tal que, para x numa vizinhan¸ca de x0,

y = φ(x) ⇐⇒ R(x) + S(φ(x)) = C0.

´

E o que acontece se, por exemplo, considerarmos S(y) = y em (3.2). Contudo, nem sempre é poss´ıvel resolver (3.2) explicitamente em ordem a y. Na impossibilidade de o fazer, a constante C é calculada como anteriormente e falamos então na solu¸cão da equa¸cão diferencial definida implicitamente pela equa¸cão

R(x) + S(y) = C0

Nestes casos, poderemos obter alguma informa¸cão sobre a solu¸cão numa vizinhan¸ca do ponto (x0, y0). Informa¸cão qualitativa poderá ainda ser fornecida pelo estudo do campo

(23)

Regra pr´atica

Os problemas de valor inicial envolvendo equa¸cões diferenciais de variáveis separadas no caso (ii) podem ser resolvidas facilmente se se usar uma regra prática que “usa e abusa” da nota¸cão de Leibniz para derivadas. Dizemos uma regra prática porque as opera¸cões matemáticas efec-tuadas não são “formalmente” válidas. Contudo assentam em resultados teóricos bem definidos e rigorosos e o resultado final é verdadeiro.

Consideremos a equa¸c˜ao diferencial dy

dx = α(x)β(y), onde β(y0)6= 0. Escrevendo

dy

β(y) = α(x)dx,

“separamos” as vari´aveis, escrevendo num dos membros os objectos relacionados com y e no outro os objectos relacionadas com x. Integrando ambos os membros

Z dy β(y) =

Z

α(x)dx,

e relembrando as defini¸c˜oes de S e R vem

−S(y) = R(x) + C, ou seja,

R(x) + S(y) = C, onde C é calculado de acordo com a condi¸cão inicial. Tratámos o operador dy

dx como um quociente de números reais o que, como sabemos, não é verdadeiro. Sabemos que tal não é verdade. No entanto, esta “regra prática” permite-nos chegar formalmente à solu¸cão geral da equa¸cão.

Exemplo 2.3.2 Considere-se a equa¸c˜ao diferencial

y0+ ln(x)y = 0, x > 0.

Podemos garantir que esta equa¸cão tem solu¸cão e qualquer solu¸cão está definida para x > 0 (porquê?).

Para resolver a equa¸c˜ao, comecemos por escrevˆe-la na forma: dy

(24)

Suponhamos que y(x) nunca se anula. Ent˜ao dy y =− ln(x)dx. Integrando, obt´em-se: ln(_{|y|) = −} Z 1. ln(x) dx =₋ · x ln(x)₋ Z dx ¸ =_{−x ln(x) + x + K.} Donde, |y(x)| = eK_{exe−x ln(x) = C} 1exe−x ln(x).

Como C1 = eK, esta constante ´e sempre positiva. Eliminando o m´odulo no primeiro membro

obtemos

y(x) =_±C1exe−x ln(x) = Cexe−x ln(x).

onde C pode agora tomar qualquer valor real, positivo ou negativo, com excep¸cão do valor 0. Contudo, e como se pode verificar facilmente e directamente em (3.3), a fun¸cão nula também é solu¸cão da equa¸cão diferencial. Conclusão: a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial dada é y(x) = Kexe−x ln(x), onde K é uma qualquer constante real. Qualquer solu¸cão da equa¸cão diferencial pode escrever-se nesta forma, para algum valor de K ∈ R ¤

O próximo exemplo ilustra um comportamento de alguns problemas de valor inicial onde as equa¸cões diferenciais são não lineares, nomeadamente o facto das singularidades da solu¸cão (pontos onde as solu¸cões não estão definidas) poderem depender não só, da equa¸cão diferencial em si, mas também das condi¸cões iniciais.

Exemplo 2.3.3 Considere o problema de valor inicial y0 _{= y}2 _{y(0) = 1.}

Determine o intervalo em que a solu¸c˜ao existe.

Os resultados anteriores garantem a existência de uma solu¸cão única (verifique!). Se y(x)6= 0, então dy y2 = dx, donde y(x) =− 1 x + C. (3.4)

(25)

Para y(0) = 1, vem C =_{−1. Assim y(x) =} 1

1− x é a solu¸cão do problema dado. Como se pode ver a solu¸cão não é limitada quando x tende para 1 ( a solu¸cão está definida em (−∞, 1)). Da análise da equa¸cão diferencial em si nada nos indica que x = 1 é um ponto diferente de qualquer outro.

Consideremos agora a condi¸cão inicial y(0) = y0 onde y0 é qualquer. A solu¸cão do problema de

valor inicial dado ´e agora

y(x) = y0 1− y0x

. (3.5)

Neste caso, a solu¸c˜ao ´e ilimitada quando x tende para 1 y0

. Logo, o intervalo de existência de solu¸cão é µ −∞, 1 y0 ¶ se y0> 0 e µ 1 y0 , +∞ ¶ se y0 < 0.

A solu¸cão geral (3.4) da equa¸cão diferencial foi obtida considerando y_{6= 0. Facilmente se verifica} que a fun¸cão nula, y≡ 0, é solu¸cão da equa¸cão. Será poss´ıvel detereminar um C tal que (3.4) representa a fun¸cão nula? É evidente que não. Este exemplo mostra que nem toda a solu¸cão desta equa¸cão diferencial não linear poderá ser escrita na forma (3.4) para algum C ∈ R, ou seja, há solu¸cões da equa¸cão diferencial que não podem ser obtidos atribuindo um dado valor à constante C de integra¸cão. Como vimos em AMI, no caso das equa¸cões diferencias lineares toda e qualquer solu¸cão pode ser obtida da “solu¸cão geral”. Quando passamos para equa¸cões diferencias não lineares, tal não se verifica.

Neste caso, devemos dizer que qualquer solu¸cão da equa¸cão diferencial dada ou é a fun¸cão nula

y(x)≡ 0, ou ´e dada por (3.4). ¤

Muitas vezes as equa¸cões diferenciais são escritas fazendo já a “divisão” do operador dy

dx como se de um quociente se tratasse. Vejamos como proceder em tais casos atrav´es de mais um exemplo.

Exemplo 2.3.4 Considere-se a EDO

3extan(y)dx + (2_{− e}x) sec2(y)dy = 0.

Equa¸cões escritas desta maneira podem ter duas interpreta¸cões; podemos considerar y como uma fun¸cão de x ou, x como uma fun¸cão de y. Ao resolver este tipo de equa¸cões deve ficar sempre claro que tipo de solu¸cão procuramos.

Comecemos por resolver a equa¸cão como se se tratasse de determinar uma fun¸cão y. Dividindo ambos os termos da equa¸cão por (2− ex_{) tan(y), obtemos}

3ex_dx

2_{− e}x +

sec2(y)dy tan(y) = 0.

(26)

donde

tan(y)

(2_{− e}x₎3 = C. (3.6)

Ao dividirmos ambos os membros da equa¸c˜ao diferencial pelo produto (2_{− e}x_{) tan(y), estamos a}

supor que os factores s˜ao n˜ao nulos. Contudo, os factores anulam quando:

y = kπ para k = 0, 1, . . . ou x = ln(2)

Ao resolver esta equa¸cão eliminamos à partida solu¸cões deste tipo. É pois necessário verificar se estas fun¸cões poderão ser solu¸cões, pois, determinar a “solu¸cão geral”, é determinar todas as poss´ıveis solu¸cões da equa¸cão dada.

Verifica-se que, para qualquer k _{∈ Z, as fun¸cões constantes y ≡ kπ são solu¸cões da equa¸cão.} Observe-se, contudo, que se obtém y≡ kπ da solu¸cão geral fazendo C = 0. Este é um exemplo de uma equa¸cão diferencial não linear cujas solu¸cões são todas dadas pela expressão (3.6). Que dizer, por último, sobre a singularidade x = ln(2)? Reescrevendo a equa¸cão diferencial dada na forma

y0 = 3e

x_{sin(y) cos(y)}

2_{− e}x .

torna-se pois evidente que x = ln(2) é ponto singular, ou seja, qualquer solu¸cão da equa¸cão diferencial estará definida num intervalo que não contém ln(2). ¤

Exerc´ıcio 2.3.5 Resolva a equa¸c˜ao diferencial do exemplo anterior, considerando que a inc´ognita

´e uma fun¸c˜ao da forma x(y). ¤

2.3.2 Equa¸c˜oes Diferenciais “Homog´eneas”

Uma fun¸cão f :R2 _{→ R diz-se homogénea de grau α se e só se, para t 6= 0,}

f (tx, ty) = tα−1f (x, y). (3.7) Só nos interessam pontos t, x, y para os quais a fun¸cão esteja bem definida em (x, y) e em (tx, ty). Equa¸cões Diferenciais escrita na forma

y0(x) = f (x, y),

onde f é uma fun¸cão homogénea de grau um (α = 1) herdam a designa¸cão da fun¸cão que as define e dizem-se equa¸cões diferenciais de primeira ordem homogéneas.

(27)

Consideremos, como anteriormente, a condi¸c˜ao inicial

y(x0) = y0,

e vejamos como se resolvem.

M´etodo de Resolu¸c˜ao

Ideia geral: Transformar a equa¸cão diferencial dada numa equa¸cão diferencial de variáveis separáveis.

Passos:

(i) Seja y = xz onde z é ainda uma fun¸cão de x. Então y0 _{= z + xz}0_.

(ii) Substituindo na equa¸c˜ao dada e lembrando que f (x, xz) = x0f (1, z) = f (1, z), obt´em-se z + xz0 = f (1, z).

Seja g(z) = f (1, z). Ent˜ao

z0 ₌ g(z)− z

x ,

ou seja, obtém-se uma equa¸cão diferencial de variáveis separadas.

(iii) Resolvendo a equa¸cão anterior, tem-se a solu¸cão geral z(x). A solu¸cão geral da equa¸cão diferencial inicial será então y(x) = xz(x).

Exemplo 2.3.6 Considere-se

y0 = y− x y + x. A fun¸c˜ao f (x, y) = y− x

y + x ´e hom´ogenea; realmente, para qualquer t 6= 0, f(tx, ty) =

ty_{− tx} ty + tx = f (x, y). Seja ent˜ao y = xz. Vem

z + z0_{x =} zx− x zx + x = z_{− 1} z + 1, donde 1 + z z2_{+ 1}dz =− dx x

(28)

´

E uma equa¸c˜ao diferencial de vari´aveis separadas. Tem-se 1 2 2z z2_{+ 1}dz + dz z2_{+ 1} = − dx x integrando: ln(pz2_{+ 1) + arctan (z) =} _{− ln}_{¡ | x | ¢ + K} juntando os logar´ıtmos: − arctan (z) = ln¡ |x|pz2_{+ 1}_{¢ − K} eliminando os logar´ıtmos: e− arctan(z) = e−K_|x|pz2_{+ 1.}

Ora, como y = zx, verifica-se que y est´a definida implicitamente pela equa¸c˜ao

e− arctan ³y x ´ = Cpy2_{+ x}2_. ¤

2.3.3 Equa¸cões Redut´ıveis a Equa¸cões Homogéneas

Equa¸c˜oes Diferenciais escritas na forma y0_{(x) =} ax + by + c

ex + f y + g onde c6= 0 ou g 6= 0

podem ser reduzidas a equa¸cões diferenciais de primeira ordem homogéneas. Consideremos, como anteriormente, a condi¸cão inicial

y(x0) = y0,

e vejamos como proceder.

M´etodo de Resolu¸c˜ao

Ideia geral: Transformar a equa¸cão diferencial numa equa¸cão diferencial de primeira ordem homogénea. Passos: (i) Considera-se ( y = y1+ k x = x1+ h

(29)

(ii) Escrever-se a equa¸c˜ao original em termo de x1 e y1. Vem dy1 dx1 = ax1+ by1+ c + ah + bk ex1+ f y1+ g + eh + f k . (3.8)

(iii) Determinar k e h de forma a que os termos independentes no numerador e denominador da frac¸c˜ao do segundo membro sejam nulos, i.e.,

(

c + ah + bk = 0 g + eh + f k = 0 .

(iv) Substituir k e h em (3.8); obtém-se uma equa¸cão diferencial de primeira ordem homogénea dy1

dx1

= ax1+ by1 ex1+ f y1

. (3.9)

(v) Resolver (3.9) e expressar a solu¸c˜ao geral em ordem a x e y.

2.3.4 Equa¸c˜oes Diferenciais Lineares de Primeira Ordem

Como j´a vimos, tratam-se de equa¸c˜oes diferenciais da forma

y0+ p(x)y = g(x),

onde p e g são fun¸cões cont´ınuas no seu dom´ınio. Voltamos a falar delas, não só em prol de uma exposi¸cão o mais completa poss´ıvel, mas também, porque são úteis para a introdu¸cão do método da varia¸cão dos parâmetros de que voltaremos a falar brevemente. Consideremos dois casos:

g ≡ 0: Neste caso a equa¸cão diz-se linear homogénea (não confundir com o caso anterior; neste caso o termo ”homogénea” refere-se ao facto do segundo membro da equa¸cão diferencial dada ser nulo) e é fácil verificar que se trata de uma equa¸cão de variáveis separáveis. A solu¸cão geral é

y(x) = Ce−R p(x)dx.

g _{6= 0: Trata-se de uma equa¸cão linear não homogénea (segundo membro não é uma fun¸cão nula).} A solu¸cão geral pode ser determinada pelo método da varia¸cão dos parâmetros que pas-samos a expor.

(30)

Método da Varia¸cão dos Parâmetros

Considera-se uma solu¸c˜ao do tipo

y(x) = C(x)e−R p(x)dx,

onde C representa agora uma fun¸cão de x e não uma constante como anteriormente. Derivando e substituindo na equa¸cão diferencial inicial obtém-se a solu¸cão geral

y(x) = k + Z r(x)g(x)dx r(x) , onde r(x) = eR p(x)dx.

Exerc´ıcio 2.3.7 • Considere uma equa¸cão diferencial linear de ordem 1 qualquer. Verifique que todas as solu¸cões podem ser obtidas da expressão da solu¸cão geral fixando valores para a constante de integra¸cão. Tais solu¸cões dizem-se solu¸cões regulares.

• Cada uma das equa¸cões diferenciais seguintes tem pelo menos um coeficiente com uma descontinuidade em x = 0. Resolva cada uma das das equa¸cões para x > 0 e descreva o comportamento das solu¸cões quando x tende para 0 para vários valores da constante. Esboce os gráficos de algumas curvas integrais.

y0₊ 2 xy = 1 x2 y0₋ 1 xy = √ x y0− 1 xy = x y0+ 1 xy = cos(x) x

• Determine o maior intervalo no qual pode garantir que a solu¸c˜ao de cada um dos seguintes problemas de valor inicial existe.

(x_{− 3)y}0_{+ ln(x)y = 2x} _e _y(1) _{= 3}

y0_{+ tan(x)y} _{= sin(x)} _e _{y(π) = 0}

(31)

2.3.5 Equa¸c˜ao de Bernoulli

Equa¸c˜oes diferenciais da forma

y0+ p(x)y = g(x)yn,

para n_{6= 0, 1 dizem-se equa¸cões de Bernoulli. Através da mudan¸ca de variável} z = 1

yn−1,

estas equa¸cões podem ser reduzidas a uma equa¸cão diferencial linear. Exemplo 2.3.8 Considere a equa¸cão

y0_{+ y = y}2

Seja y(x)_{6= 0 e z = 1/y. Ent˜ao y = 1/z e y}0 =₋z

0 z2. Assim, −z 0 z2 + 1 z = 1 z2 ⇓ z0 − z = _−1. Seja r(x) = e−x_{. Ent˜}_ao z(x) = k + e −x e−x ,

ou seja, z(x) = kex_{+ 1, donde se conclui que y(x) =} 1

kex_{+ 1}. Verifica-se ainda que a fun¸c˜ao

nula, y_{≡ 0 ´e solu¸c˜ao.} ¤

2.3.6 Equa¸c˜oes Diferenciais Exactas

Seja D_{⊂ R}2_{um conjunto aberto simplesmente conexo, i.e., um conjunto que n˜ao tem “buracos”}

no seu interior. Mais precisamente, D ´e um conjunto aberto simplesmente conexo se qualquer curva fechada contida em D tem todo o seu interior completamente contido em D.

Consideremos duas fun¸c˜oes M, N : D_{→ R com derivadas parciais cont´ınuas em D, e a equa¸c˜ao} diferencial da forma

M (x, y) + N (x, y)dy

dx = 0. (3.10)

Suponhamos que ´e poss´ıvel identificar uma fun¸c˜ao φ : D → R de classe C2 _{(i.e., as quatro}

derivadas parciais de segunda ordem existem e s˜ao cont´ınuas) tal que ∂φ

∂x(x, y) = M (x, y) (3.11) ∂φ

(32)

e para a qual a equa¸c˜ao alg´ebrica

φ(x, y) = C, (3.13)

define y como fun¸cão impl´ıcita de x. Neste caso, a equa¸cão diferencial (3.10) pode ser escrita como ∂φ ∂x(x, y) + ∂φ ∂y(x, y) dy dx = 0, que é equivalente a escrever

d

dxφ(x, y(x)) = 0. (3.14) Assim, a equa¸cão diferencial (3.10) reduz-se à equa¸cão diferencial (3.14) e designa-se por equa¸cão diferencial exacta.

De (3.14) deduz-se que a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial exacta (3.10) está definida implici-tamente por uma equa¸cão algébrica da forma

φ(x, y) = C.

A questão que se levanta neste momento é a de identificar uma equa¸cão diferencial exacta. Ou seja, dada uma equa¸cão diferencial escrita na forma (3.10), onde M e N são fun¸cões de classe C1_{, quando poderemos nós afirmar que a equa¸cão diferencial é de facto exacta? A resposta é}

dada pelo seguinte resultado.

Teorema 2.3.9 Sejam M, N : D → R duas fun¸c˜oes definidas num conjunto aberto simples-mente conexo D, e de classe C1. A equa¸c˜ao diferencial (3.10)

M (x, y) + N (x, y)dy dx = 0 é uma equa¸cão diferencial exacta se e só se

∂M ∂y (x, y) = ∂N ∂x(x, y), (3.15) para todo o (x, y)_{∈ D.} ¤ Demonstra¸c˜ao.

• Mostramos primeiro que se a equa¸cão diferencial for exacta, então M e N satisfazem (3.15). Quer isto dizer que (3.15) é uma condi¸cão necessária para que a equa¸cão diferencial seja exacta.

(33)

Suponhamos ent˜ao que existe uma fun¸c˜ao φ de classe C2 _{que verifica (3.11) e (3.12) para}

alguma fun¸c˜ao y(x). Derivando (3.11) e (3.12) em ordem a x e y respectivamente, segue que ∂M ∂y (x, y) = ∂2φ ∂y∂x(x, y), ∂N ∂x(x, y) = ∂2φ ∂x∂y(x, y).

Logo, as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem s˜ao iguais, ou seja, verifica-se (3.15).

• Suponhamos agora que (3.15) é verificada. Teremos então que construir uma fun¸cão φ que satisfa¸ca (3.11) e (3.12) para alguma fun¸cão y(x). Seja

φ(x, y) = Z

M (x, y)dx + h(y), (3.16)

para alguma fun¸c˜ao h real de vari´avel real. Suponhamos ainda que ∂φ

∂y(x, y) = N (x, y). Determina-se a ”constante” de integra¸c˜ao h(y); derivando (3.16) em ordem a y, obt´em-se

∂φ ∂y(x, y) = ∂ ∂y Z M (x, y)dx + h0(y) = Z _∂M ∂y (x, y)dx + h 0_(y), donde h0_{(y) = N (x, y)} − Z _∂M ∂y (x, y)dx.

Ora, como estamos a supor que (3.15) ´e verificada, podemos concluir que

h0(y) = N (x, y)₋ Z

∂N

∂x(x, y)dx = N (x, y)− N(x, y) + g(y) = g(y)

onde g(y) é a constante de integra¸cão (estamos a integrar algo que depende de (x, y) em ordem a x; logo a “constante” de integra¸cão pode ser fun¸cão de y). Ou seja, h0_{(y) depende}

apenas de y e podemos determinar h. Assim, temos, por ´ultimo,

φ(x, y) = Z M (x, y)dx + Z _³ N (x, y)− Z _∂M ∂y (x, y)dx ´ dy e facilmente se verifica que

∂φ

∂y(x, y) = N (x, y)

∂φ

∂x(x, y) = M (x, y), completando a demonstra¸c˜ao.

(34)

A última parte da demonstra¸cão do Teorema fornece-nos um método para calcular solu¸cões de equa¸cões diferenciais exactas. Recomenda-se que se siga este processo sempre que se quer resolver uma equa¸cão deste tipo. Ilustremos o procedimento com um exemplo.

Exemplo 2.3.10 _{• Pretende-se resolver a equa¸c˜ao diferencial}

2x sin(y)dx + (x2cos(y)− 1)dy = 0, sujeita a y(0) = 1/2.

Considere-se M (x, y) = 2x sin(y) e N (x, y) = x2cos(y)_{− 1. A equa¸c˜ao ´e exacta pois} ∂

∂y¡2x sin(y)¢ = 2x cos(y) = ∂ ∂x¡x

2_cos(y)_{− 1}_¢,

ou seja, (3.15) ´e verificada. Seja f uma fun¸c˜ao tal que

∂f ∂y = x 2_cos(y)_{− 1 = N(x, y),} ∂f ∂x = 2x sin(y) = M (x, y). Deduz-se que f (x, y) = Z

2x sin(y)dx = x2sin(y) + h(y).

Derivando f em ordem a y e igualando a x2cos(y)− 1, concluimos que h0_{(y) =}_{−1, i.e.,}

h(y) =_{−y + k. Donde}

f (x, y) = x2sin(y)_{− y + k.}

A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial exacta dada pode ser assim escrita na forma

f (x, y) = C,

ou seja, a solu¸cão geral está implicitamente definida pela equa¸cão x2sin(y)_{− y = K,}

para alguma constante K _{∈ R. Quando y(0) = 1/2, vem −1/2 = K. Portanto, a solu¸c˜ao} desejada ´e definida implicitamente por

x2sin(y)_{− y = −}1 2

(35)

Observe-se que, definindo g(x, y) = x2_sin(y)_{− y +} 1

2, a curva de n´ıvel 0 desta fun¸c˜ao

N0(g) ={(x, y) ∈ R2| g(x, y) = 0},

representa localmente o gráfico da solu¸cão do problema de valor inicial dado. Recorde-se que o teorema da existência e unicidade de solu¸cão de equa¸cões diferenciais de primeira ordem, só garante a existência de solu¸cão numa vizinhan¸ca do ponto inicial. Sabemos também que, de uma forma geral, só podemos garantir a existência de fun¸cões definidas implicitamente numa vizinhan¸ca de um ponto.

• Encontre a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao (usando sofware como o Mathematica, se quiser) ¡ − 1 + exy_{y + y cos(xy)¢dx + ¡1 + e}xy_{x + x cos(xy)¢dy = 0,}

onde M (x, y) = −1 + exy_{y + y cos(xy) e N (x, y) = 1 + e}xy_{x + x cos(xy). Facilmente se}

verifica que estamos na presen¸ca de uma equa¸c˜ao diferencial exacta. Integrando M em ordem a x tem-se

φ(x, y) = Z

¡ − 1 + exy_{y + y cos(xy)}_{¢dx + h(y) = −x + e}xy_{+ sin(xy) + h(y).}

Derivando φ a ordem a y e igualando a N (x, y) vem h0_{(y) = 1 permitindo concluir que a}

solu¸cão geral da equa¸cão diferencial exacta dada é definida implicitamente pela equa¸cão exy − x + y + sin(xy) = C

¤

2.3.7 Equa¸c˜oes Diferenciais Redut´ıveis a Exactas

Nalguns casos, quando a equa¸cão diferencial (3.10) não é exacta, é poss´ıvel multiplicar a equa¸cão por uma dada fun¸cão de forma a torná-la exacta. Este é um procedimento similar ao usado para resolver equa¸cões difrenciais lineares de primeira ordem. Consideremos a equa¸cão diferencial (3.10)

M (x, y) + N (x, y)dy

dx = 0. (3.17)

• Multiplique esta equa¸c˜ao por uma fun¸c˜ao γ(x, y). Vem

γ(x, y)M (x, y) + γ(x, y)N (x, y)dy

(36)

• Esta nova equa¸cão é exacta se e só se ∂γ ∂y(x, y)M (x, y) + γ(x, y) ∂M ∂y (x, y) = ∂γ ∂x(x, y)N (x, y) + γ(x, y) ∂N ∂x(x, y), ou, o que é o mesmo,

∂γ ∂y(x, y)M (x, y)− ∂γ ∂x(x, y)N (x, y) + ³∂M ∂y (x, y)− ∂N ∂x(x, y) ´ γ(x, y) = 0

• Se γ(x, y)M(x, y)+γ(x, y)N(x, y)dy

dx = 0 é uma equa¸cão diferencial exacta, então a fun¸cão γ é designada por factor integrante.

• Se a equa¸cão (3.18) é exacta, a sua solu¸cão poderá ser determinada usando o método descrito anteriormente.

• Qualquer solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

M (x, y) + N (x, y)dy dx = 0

é solu¸cão de (3.18). Realmente, se y(x) é solu¸cão da equa¸cão inicial, tem-se M (x, y) + N (x, y)dy

dx = 0 para todo o x do dom´ınio de y. Logo, como (3.18) pode ser escrita como o produto γ(x, y) µ M (x, y) + N (x, y)dy dx ¶ = 0,

y é solu¸cão de (3.18). Contudo, nem todas as solu¸cão da equa¸cão (3.18) são solu¸cões da equa¸cão inicial. Por exemplo, poderemos ter uma fun¸cão ¯y tal que γ(x, ¯y(x)) = 0 para todo o x no dom´ınio de ¯y e ¯y poderá não ser solu¸cão da equa¸cão inicial.

Precisamos então de verificar quais as solu¸cões de (3.18) que são solu¸cões de 3.17. No caso de γ(x, y)6= 0, para todo o (x, y), então tal verifica¸cão não será necessária.

Infelizmente, a determina¸cão de factores integrantes nem sempre é tarefa fácil. Na prática, eles só são usados em casos especiais. A maior parte das situa¸cões em que factores integrantes podem ser determinados ocorre quando γ depende de uma só variável. Será fundamentalmente com este tipo de situa¸cões que iremos trabalhar neste cap´ıtulo.

Determinamos agora condi¸cões necessárias e suficientes sobre M e N para garantir que a equa¸cão (3.17) tem um factor integrante que depende só de x.

Se γ é uma fun¸cão só de x, então ∂ ∂y ³ γ(x)M (x, y)´ = γ(x)∂M ∂y (x, y) ∂ ∂x ³ γ(x)N (x, y)´ = ∂γ ∂x N (x, y) + γ(x) ∂N ∂x(x, y).

(37)

Ora, ∂ ∂y ³ γ(x)M (x, y)´= ∂ ∂x ³ γ(x)M (x, y)´se e s´o se ∂γ ∂x = ∂M ∂y (x, y)− ∂N ∂x(x, y) N (x, y) · γ(x). (3.19)

Para que a equa¸c˜ao diferencial 3.19 tenha solu¸c˜ao (γ(x)) o termo

∂M

∂y (x, y)− ∂N

∂x(x, y)

N (x, y) só poderá depender da variável x e nesse caso,

γ(x) = e Z ∂M ∂y(x, y)− ∂N ∂x(x, y) N (x, y) dx

será então um factor integrante da equa¸cão (3.17) que depende só de x.

Exerc´ıcio 2.3.11 Determine em que condi¸c˜oes existe um factor integrante dependente apenas

de y. ¤

2.4 Aplica¸

c˜

oes de Equa¸

c˜

oes Diferenciais de Ordem Um

O interesse das equa¸cões diferenciais advém do facto destas poderem ser usadas para estudar problemas nas mais diversas áreas. O estudo de tais problemas, sejam eles de Biologia, Economia, etc, comporta sempre três fases distintas

(1) Modeliza¸cão: “tradu¸cão” para linguagem matemática de uma situa¸cão f´ısica; (2) Resolu¸cão do Problema Matemático escolhido em (1);

(3) Interpreta¸c˜ao dos Resultados.

Estamos aqui interessados apenas em problemas cuja modeliza¸cão obrigue à utiliza¸cão de equa¸cões diferenciais.

A modeliza¸cão de um certo sistema não é tarefa fácil. Convém ter sempre em aten¸cão que o modelo matemático a ser usado deverá caracterizar o que há de mais importante no sistema f´ısico em estudo. Qualquer modelo matemático escolhido é sempre uma aproxima¸cão do problema f´ısico. De facto, o sistema f´ısico em si é ele mesmo caracterizado com base em observa¸cões, elas mesmo aproxima¸cões do sistema real.

Uma vez escolhido um certo modelo é necessário resolve-lo de forma a obter a informa¸cão desejada. Nesta fase, ajustamentos ao modelo matemático podem ser feitas. Realmente, o que

(38)

fazer por exemplo, com um modelo matemático para o qual não é conhecido a solu¸cão nem existe a possibilidade de inferir informa¸cão sobre o seu comportamento? Tais ajustamentos podem envolver a lineariza¸cão de um modelo que é intrinsecamente não linear (ver o caso do pêndulo) ou, então, a sua convexifica¸cão. Qualquer simplifica¸cão matemática poss´ıvel deve ter em conta as caracter´ısticas do sistema f´ısico que se pretende estudar de forma a garantir que o modelo matemático simplificado ainda traduza as propriedades mais importantes do sistema em estudo.

Obtida uma solu¸cão (ou alguma informa¸cão sobre ela) do modelo matemático, é então necessário verificar se tal solu¸cão é fisicamente poss´ıvel. Em particular, a solu¸cão obtida deve depender con-tinuamente da informa¸cão recolhida sobre o sistema real. Como já referimos, essa informa¸cão, que depende de observa¸cões, não é exacta e pode conter erros. Se pequenas perturba¸cões dessa informa¸cão conduzem a grandes altera¸cões das solu¸cões, então devemos concluir que o modelo matemático escolhido não foi uma boa aproxima¸cão do problema real. Diz-se que não é ro-busto. Consideremos, por exemplo, o estudo do crescimento de uma certa popula¸cão de insectos. Observa¸cões f´ısicas do comportamento destes insectos levam-nos a concluir que a taxa de cresci-mento de popula¸cões isoladas é proporcional ao número de elementos da popula¸cão presente. Traduzindo este facto matematicamente obtemos a equa¸cão diferencial

dN

dt = rN (t) (4.1)

onde N representa o número de elementos da popula¸cão e r > 0 é uma constante de propor-cionalidade. Esta constante de proporcionalidade é calculada com base em observa¸cões f´ısicas. Logo, o valor escolhido para r é já uma aproxima¸cão. Observe também que uma outra simpli-fica¸cão foi feita ao escolher este modelo; realmente, na equa¸cão acima a variável N é tratada como cont´ınua apesar de, na realidade, ser discreta. Esta simplifica¸cão não será muito significa-tiva se o número de elementos da popula¸cão for “grande”. Estudando o comportamento desta popula¸cão através da equa¸cão diferencial dada depressa concluimos que a popula¸cão irá crescer indefinidamente. Tal contradiz a nossa própria experiência e isto porque o crescimento de uma certa espécie está também relacionada com factores como as reservas de alimento e o espa¸co f´ısico que ocupam (lembremos que estamos a considerar que esta popula¸cão está isolada). Ora, ao escolher esta equa¸cão diferencial para modelizar o sistema não considerámos estas restri¸cões. Deveriamos então abandonar este modelo e tentar obter um modelo matemático mais preciso. Contudo, este modelo serve para o estudo de popula¸cões num curto espa¸co de tempo. Basta comparar os resultados obtidos com algumas observa¸cões feitas. Podemos então dizer que este modelo é uma boa aproxima¸cão do sistema f´ısico quando a variável t, o tempo, é ”suficiente-mente” pequena. Com este exemplo, quisemos mostrar que simplifica¸cões a fazer ao modelo

(39)

matem´atico devem entrar em linha de conta com o estudo que se pretende fazer do fen´omeno f´ısico.

Exemplo 2.4.1 Dinâmica das Popula¸cões: Seja N (t) a popula¸cão de uma certa espécie num dado instante t. A hipótese mais simples que se pode fazer relativamente ao crescimento desta popula¸cão ao longo do tempo é a de considerar que a taxa de crescimento desta popula¸cão é proporcional a N . Ou seja, considerar que a popula¸cão varia de acordo com a equa¸cão diferencial

dN

dt = rN (t) onde r representa a taxa de crescimento caracter´ıstica dessa popula¸c˜ao. Se r > 0,

então a popula¸cão irá crescer infinitamente o que não é poss´ıvel. Ilustremos este fenómeno tra¸cando o campo de direçcões e sobrepondo-lhe algumas solu¸cões desta equa¸cão diferencial para, por exemplo, r = 2.5. Obtém-se o seguinte gráfico:

Observa-se que, como já foi dito, este modelo pode ser utilizado apenas para estudar a dinâmica de uma certa popula¸cão durante intervalos de tempo curtos. O crescimento das popula¸cões pode ser condicionado por outros factores, como, por exemplo, a quantidade de alimento e/ou de espa¸co f´ısico. Contudo, é sempre razoável considerar que o crescimento da popula¸cão está directamente relacionado com o número de elementos dessa mesma popula¸cão, ou seja, há uma rela¸cão entre dN_dt e N . Podemos modelizar o crescimento das popula¸cões escolhendo agora a equa¸cão

dN

dt = f (N )N

Ora, perante as considera¸cões feitas no texto acima, poderemos supor que f (N ) ≈ r se N é pequeno e que f (N ) < 0 quando N é suficientemente grande (porquê?) Em prol da simplicidade,

(40)

consideremos f (N ) = r_{− aN com a > 0 (qual o significado f´ısico desta fun¸c˜ao?). Definindo} k = r/a, obtemos a equa¸c˜ao diferencial

dN dt = r µ 1₋N k ¶ N, (4.2)

supondo r > 0. Esta equa¸cão diferencial é não linear. Realmente

F (N ) = r µ 1− N k ¶ N,

é uma fun¸cão não linear devido ao termo −rN

2

k . Iremos ver que por mais pequeno que este termo seja, o comportamento das solu¸cões desta equa¸cão diferencial é totalmente diferente do comportamento das solu¸cões da equa¸cão diferencial linear. A solu¸cão da equa¸cão diferencial (4.2) é fácil de calcular. Contudo, muita informa¸cão pode ser obtida geometricamente como veremos em seguida. Come¸camos por estudar a fun¸cão F . Tra¸cando o seu gráfico obtemos o seguinte esbo¸co:

Para 0 < N < k, vem F (N ) = dN/dt > 0; logo N (t), neste caso, é uma fun¸cão crescente. Para N > k, vem F (N ) = dN/dt < 0; logo N (t) é decrescente. Evidentemente que existem duas outras solu¸cões da equa¸cão diferencial; são elas N (t)≡ 0 e N(t) ≡ k. Nestes dois casos, a equa¸cão diferencial fica reduzida a dN/dt = 0. Estas duas solu¸cões dizem-se solu¸cões de equilibr´ıo. Para qualquer outra solu¸cão da equa¸cão diferencial dada, os pontos N = 0 e N = k no eixo dos N ’s dizem-se pontos de equil´ıbrio ou pontos cr´ıticos (pontos onde a derivada de N se anula). O estudo de F (N ) permite-nos obter informa¸cão sobre as solu¸cões da equa¸cão diferencial para vários valores da condi¸cão inicial. Podemos resumir tal informa¸cão na seguinte tabela:

(41)

Se F (N ) é então N (t) é

Positiva e crescente, Crescente e com a concavidade virada para cima Positiva e decrescente, Crescente e com a concavidade virada para baixo Negativa e crescente, Decrescente e com a concavidade virada para cima Negativa e decrescente, Decrescente e com a concavidade virada para baixo.

Com base nesta informa¸cão tra¸camos solu¸cões da equa¸cão diferencial para vários valores da condi¸cão inicial sem que para isso a tenhamos que resolver. Discutindo o que acontece para valores de N maiores ou menores que k, verifica-se que as solu¸cões tendem para a solu¸cão de equil´ıbrio N (t) = k quando t tende para infinito, independentemente do valor de k. Por exemplo, se r = 2.5 e k = 2.5, temos o seguinte campo de vectores conjuntamente com os gráficos de algumas solu¸cões:

Observe-se que este modelo (não linear!) para o crescimento de popula¸cões dá origem a solu¸cões totalmente diferentes das que se obtêm com a equa¸cão diferencial (4.1). Lembremos que as solu¸cões da equa¸cão diferencial linear (4.1) (linear) crescem exponencialmente, ou seja, são não limitadas. Ora, por mais pequeno que seja o termo não linear da equa¸cão (4.2), as solu¸cões aproximam-se sempre da solu¸cão de equil´ıbrio N (t)_{≡ k. O teorema sobre existência e unicidade} de solu¸cão de equa¸cões diferenciais de ordem um, garante que duas solu¸cões nunca passam pelo mesmo ponto. Ora N (t) ≡ k é solu¸cão de equil´ıbrio. Logo qualquer outra solu¸cão da equa¸cão diferencial (4.2) aproxima-se desta solu¸cão de equil´ıbrio, mas não a corta. Popula¸cões cujo valor

(42)

inicial é inferior a k, têm como limite superior k e quando o valor inicial y0 é superior a k têm

como limite inferior k. k é por isso mesmo designado por n´ıvel de satura¸cão. Em geral, e como já referimos, verifica-se que se N (0) > 0, N tende para k quando t tende para infinito. A solu¸cão N (t)_{≡ k designa-se assim por solu¸cão assimptoticamente estável. O comportamento} da solu¸cão de equil´ıbrio N (t)≡ 0 é radicalmente diferente. Realmente, qualquer solu¸cão para a qual N (0) > 0, afasta-se desta solu¸cão de equil´ıbrio. Por isso, a solu¸cão N (t) _{≡ 0 designa-se} por solu¸cão de equil´ıbrio instável. ¤

(43)

Equa¸

c˜

oes Diferenciais Lineares de

Ordem N

3.1 Conceitos Fundamentais

Considere a equa¸c˜ao diferencial de ordem dois:

y00(x) = f (x, y, y0) (1.1) Esta equa¸cão é linear se existirem fun¸cões reais de variável real g, p e q tais que

f (x, y(x), y0(x)) = g(x)_{− p(x)y}0(x)_{− q(x)y(x)} Se tal acontecer, escreve-se

y00+ p(x)y0(x) + q(x)y = g(x),

Se tal não se verifica, então (1.1) é uma equa¸cão diferencial de segunda ordem não linear. Recorde-se que uma equa¸cão diferencial de ordem n é uma equa¸cão diferencial da forma

y(n)(x) = F (x, y(x), y0(x), . . . , y(n−1)(x)) (1.2) Esta equa¸cão é linear se F for uma fun¸cão linear em y, y0_{, . . . , y}(n−1)_{. A forma can´}_{onica de}

equa¸c˜oes diferenciais de ordem n lineares ´e

y(n)(x) + pn−1(x)y(n−1)(x) + . . . + p1(x)y0(x) + p0(x)y = g(x) (1.3)

Uma equa¸c˜ao diferencial linear de ordem n pode ainda aparecer na forma mais geral an(x)y(n)(x) + an−1(x)y(n−1)(x) + . . . + a1(x)y0(x) + a0(x)y = h(x)