Solu¸c˜oes de onda de choque e propriedade de irredutibilidade

3.7 Solu¸c˜oes de onda de choque e propriedade de irre-

dutibilidade

Utilizando a propriedade de irredutibilidade e o Teorema 3.6.1, apresentaremos um resultado de existência de perfil viscoso para sistema de leis de conserva¸cão assintoti- camente lineares. Os resultados descritos nesta Se¸cão encontram-se em [11].

Sejam f : Rn_{→ R}n _{e h : R}n_{→ R}n _{fun¸c˜oes de classe C}1 _{e consideremos a equa¸c˜ao}

Dt(h(u)) + Dx(f (u)) = 0, (3.29)

sendo que Dte Dx representam as derivadas parciais em rela¸c˜ao a t e x respectivamente

e u = u(t, x)_{∈ R}n _{´e uma fun¸c˜ao de t}_{∈ R e de x ∈ R.}

A equa¸cão (3.29) é chamada sistema de leis de conserva¸cão. Na maioria dos casos, a fun¸cão h é tomada como fun¸cão identidade.

Sejam u0, u1 ∈ Rne s∈ R. Por uma solu¸c˜ao de onda de choque de (3.29), denotada

por (u0, u1, s), entenderemos uma fun¸c˜ao ¯u : R× R → Rnconstante por partes definida

por ¯ u(t, x) =    u0, para x− st < 0 u1, para x + st > 0 (3.30) e que satisfaz a condi¸c˜ao

s_{· (h(u}1)− h(u0)) = f (u1)− f(u0). (3.31)

A condi¸cão acima é freqüentemente chamada condi¸cão de Rankine-Huguniot e o número s é chamado velocidade da onda.

A equa¸cão (3.29) é uma equa¸cão diferencial parcial de primeira ordem. Sejam ǫ0 > 0, ǫ ∈ (0, ǫ] e P uma aplica¸cão suave com dom´ınio em Rn e que assume valores

no conjunto das matrizes definidas positivas. Consideremos uma perturba¸cão de (3.29) através da adi¸cão de um termo de viscosidade ǫDx(P Dxu):

84 Cap´ıtulo 3 — Propriedades do ´ındice de Conley Uma fun¸cão (t, x, ǫ) 7→ ˜u(t, x, ǫ) é chamada solu¸cão de onda progressiva de (3.32) se existem s∈ R e uma aplica¸cão u : R → Rn _{de classe C}1 _{tais que}

u(t, x, ǫ) := u((x_{− st)/ǫ)}

e, para todo ǫ∈ (0, ǫ0], ˜u(·, ·, ǫ) satisfaz (3.32) no sentido cl´assico.

Apresentaremos a seguir uma condi¸cão necessária e suficiente para que uma dada fun¸cão u gere uma solu¸cão de onda progressiva.

Lema 3.7.1. A aplica¸cão ˜u é uma solu¸cão de onda progressiva de (3.32) se, e somente se, a aplica¸cão u satisfaz a equa¸cão diferencial ordinária

˙u = P−1(u)(−s · h(u) + f(u) + c), (3.33) para alguma constante c_{∈ R}n_.

Demonstra¸c˜ao. Seja u : R _{→ R}n _{uma fun¸c˜ao de classe C}1 _{e seja s} _{∈ R. Definamos}

u(t, x, ǫ) := u((x− st)/ǫ) e suponhamos que ˜u seja uma solu¸c˜ao de (3.32). Portanto, Dt(h(˜u)) + Dxf (˜u) = ǫDx(P (˜u)· Dxu). Calculando as derivadas, temos˜

Dh(˜u(t, x))∂ ˜u ∂t(t, x) + Df (˜u(t, x)) ∂ ˜u ∂x(t, x) =ǫDP (˜u(t, x)) · ∂ ˜u ∂x(t, x) ¸2 + ǫP (˜u(t, x)∂ 2_u_˜ ∂x2(t, x) Ent˜ao −sǫ−1Dh µ uµ x − st ǫ ¶¶ u′µ x − st ǫ ¶ + ǫ−1Df µ uµ x − st ǫ ¶¶ u′µ x − st ǫ ¶ = ǫ−1DP µ uµ x − st ǫ ¶¶ · u′µ x − st ǫ ¶¸2 + ǫ−1P µ uµ x − st ǫ ¶¶ u′′µ x − st ǫ ¶ . Fazendo a mudan¸ca de parˆametros τ = (x_{− st)/ǫ, temos}

−sDh(u(τ))u′_{(τ ) + Df (u(τ ))u}′_{(τ ) = DP (u(τ ))(u}′_{(τ ))}2_{+ P (u(τ ))u}′′_{(τ ).} _(3.34)

Observemos agora que a equa¸cão (3.34) é a equa¸cão (3.33) quando derivada de ambos os lados em rela¸cão a τ . Segue u é solu¸cão de (3.34) se, e somente se, u é solu¸cão de

3.7 Solu¸cões de onda de choque e propriedade de irredutibilidade 85 (3.33). Isto significa que ˜u é solu¸cão de onda progressiva se, e somente se, u satisfaz (3.33), o que termina a demonstra¸cão do lema.

A solu¸c˜ao de onda de choque (u0, u1, s) de (3.29) ´e dita admiss´ıvel se existe uma

solu¸c˜ao de onda progressiva ˜u(t, x, ǫ) de (3.32) tal que a fam´ılia

uǫ(t, x) := ˜u(t, x, ǫ) = uµ x − st

ǫ ¶

converge pontualmente para a solu¸cão da equa¸cão de choque (3.30) quando ǫ → 0. Neste caso, a fun¸cão u é chamada perfil viscoso da onda de choque.

Lema 3.7.2. Uma solu¸c˜ao de onda choque (u0, u1, s) ´e admiss´ıvel se, e somente se,

existe uma solu¸c˜ao u de (3.33) para algum c∈ Rn _{tal que}

u(τ )_{→ u}0 quando τ → −∞ e u(τ ) → u1 quando τ → ∞.

Demonstra¸c˜ao. Consideremos uma solu¸c˜ao de onda de choque admiss´ıvel (u0, u1, s) e

seu perfil viscoso associado u. Da hip´otese de admissibilidade, uµ x − st

ǫ ¶

→ ¯u(t, x) quando ǫ → 0. (3.35)

Logo, se x_{− st < 0, (3.35) implica que u(τ) → u}0 quando τ → −∞. Se x − st > 0,

ent˜ao (3.35) implica que u(τ )→ u1 quando τ → ∞.

Reciprocamente, suponhamos que exista uma solu¸c˜ao u de (3.33) e u0, u1 ∈ Rntais

que u(τ ) → u0 quando τ → −∞ e u(τ) → u1 quando τ → ∞. Se x − st < 0, ent˜ao

(x_{− st)/ǫ →}

− ∞ quando ǫ → 0. Pela nossa hip´otese, isso implica que u((x − st)/ǫ) → u0 = ¯u(t, x)

quando ǫ→ 0. Analogamente, se x − st > 0, ent˜ao u((x − st)/ǫ) → u1 = ¯u(t, x) quando

ǫ_{→ 0. Isto prova o lema.}

Nas condi¸c˜oes do Lema 3.7.2, os pontos u0 e u1 devem ser pontos cr´ıticos de (3.33),

ou seja,

86 Cap´ıtulo 3 — Propriedades do ´ındice de Conley Usando a teoria desenvolvida no cap´ıtulo, apresentaremos condi¸c˜oes que garantam que, para um dado (v, s)∈ Rk_{× R, exista um vetor ˜v ∈ R}n_{, ˜}_v _{6= v, tal que (v, ˜v, s) ou}

(˜v, v, s) seja uma solu¸c˜ao de onda de choque admiss´ıvel. Teorema 3.7.3. Assumamos as seguintes hip´oteses:

(H1) Sejam F : Rn _{→ R e H : R}n _{→ R fun¸c˜oes de classe C}2 _{e u} _{7→ P (u) uma}

aplica¸c˜ao de classe C2 _{que assume valores no conjunto das matrizes definidas positivas.}

Escrevamos f :=_{∇F e h := ∇H.}

(H2) Existem trˆes matrizes quadradas L1, L2 e L3 de ordem n tais que

P−1(u)→ L1 quando ||u|| → ∞

h(u)_{− L}2u

||u|| → 0 quando ||u|| → ∞ f (u)_{− L}3u

||u|| → 0 quando ||u|| → ∞. (H3) Seja (v, s)∈ Rn_{× R um ponto arbitr´ario e definamos}

g(u) = g(u, v, s) = P−1(u)(f (u)_{− f(v) + s · h(v) − s · h(u)).}

Definamos A0 = g′(v) e A∞ = L1(L3 − sL2). Suponhamos que a parte real dos au-

tovalores de A0 e A∞ seja n˜ao nula. Denotemos por d+(A0) e d+(A∞), respectiva-

mente, o n´umero de autovalores com parte real positiva de A0 e A∞ e suponhamos que

d+_(A

0)6= d+(A∞). Al´em disso, suponhamos tamb´em que o conjunto

B(v, s) ={u ∈ Rn _{: f (u)}_{− s · h(u) = f(v) − s · h(v)}}

seja discreto.

Então existe um vetor ˜v 6= v tal que (v, v, s) satisfaz a condi¸cão Rankine-Huguniot (3.29) e de modo que (v, ˜v, s) ou (˜v, v, s) é uma solu¸cão de onda de choque admiss´ıvel. Demonstra¸cão. Consideremos a equa¸cão diferencial ordinária

˙u = g(u), (3.36)

3.7 Solu¸cões de onda de choque e propriedade de irredutibilidade 87 Afirmamos que πg é do tipo gradiente com respeito à fun¸cão

V (u) =_{−F (u) + s · H(u) + hf(v) − s · h(v), ui.} Mostraremos este fato em dois passos.

Seja u uma solu¸cão de (3.36). Mostremos que a fun¸cão V é não crescente ao longo de u. De fato, derivando V _{◦ u, temos}

d dt(V◦u)(t) = − n X j=1 ∂Fj ∂xj(u(t)) duj dt (t)+s· n X j=1 Hj ∂xj(u(t)) duj dt (t)+ ¿ f (v)− s · h(v),du dt(t) À =− n X j=1 ∂Fj ∂xj(u(t))· duj dt (t) + s· n X j=1 Hj ∂xj(u(t))· duj dt (t) + n X j=1 (fj(v)− s · hj(v))· duj dt (t) =− n X j=1 (fj(u(t))− fj(v)− s · hj(u(t))− s · hj(v))· duj dt (t) =− ¿ f (u(t))− f(v) − s · h(u(t)) + s · h(v),du dt(t) À . Ent˜ao d dt(V ◦ u)(t) = −ξ(t), P −1_{(u(t))ξ(t)® ,} _(3.37)

sendo ξ(t) := f (u(t))_{− f(v) − s · h(u(t)) + s · h(v). Como a matriz P}−1_{(u(t)) tamb´em}

´e definida positiva, segue que

dt(V ◦ u)(t) ≤ 0

para todo t _{∈ I, sendo I o intervalo maximal da solu¸cão u. Logo, t 7→ V (u(t)) é não} crescente.

Seja u uma solu¸c˜ao de (3.36) por u0. Suponhamos que V ◦ u seja constante.

Mostremos que u0 é ponto de equil´ıbrio de πg. De fato, se V ◦ u é constante, então

dt(V ◦ u)(t) = 0

para todo t_{∈ I, sendo I o intervalo maximal da solu¸c˜ao u. De (3.37), temos que}

88 Cap´ıtulo 3 — Propriedades do ´ındice de Conley Pela defini¸cão de g, isto implica que u0é ponto de equil´ıbrio. Isto prova nossa afirma¸cão.

Seja Jg o conjunto de todas as ´orbitas limitadas de πg. Mostremos que

g(u)_{− A}∞u

||u|| → 0 quando ||u|| → ∞.

Para tanto, definamos a aplica¸c˜ao E : Rn _{→ R}n _{dada por E(u) = L}

1u− P−1(u).

Pela hip´otese (H2), temos que E(u)_{→ 0 quando ||u|| → ∞. Al´em disso,} g(u)− A∞u ||u|| = 1 ||u||¡P −1_{(u)(f (u)} − f(v) + s · h(v) − s · h(u)) − L1(L3− s · L2)u ¢ = 1 ||u||¡P −1_{(u)(f (u)}

− f(v) + s · h(v) − s · h(u)) − (P−1(u) + E(u))(L3− s · L2)u

¢ = P−1(u)_·µ f (u) − L3u ||u|| − s · h(u)_{− L}2u ||u|| + s_{· h(v) − f(v)} ||u|| ¶ + E(u)_{· (L}3− s · L2) µ u ||u|| ¶ .

Pela hip´otese (H2), segue que g(u)_{− A}∞

||u|| → 0 quando ||u|| → ∞.

Utilizando o Exemplo 3.6.1, é fácil ver que h(πg, Jg) está definido e h(πg, Jg) = Σd,

sendo d = d+_(A

∞). Mais ainda, como g(v) = 0, a hip´otese (H3) e o Exemplo 3.6.1

implicam que {v} ´e um conjunto πg-invariante isolado e h(πg,{v}) = Σd ′

, sendo d′ = d+_(A

0).

Afirmamos que existem um equil´ıbrio ˜v _{6= v de π}g e uma solu¸c˜ao completa u de πg

tais que u(τ ) → v quando τ → −∞ e u(τ) → ˜v quando τ → ∞ ou ent˜ao tais que u(τ )_{→ ˜v quando τ → −∞ e u(τ) → v quando τ → ∞.}

Com efeito, o Teorema 3.2.4 implica que existe uma solu¸c˜ao limitada t _{7→ x(t) em} (−∞, ∞) tal que x0 = x(0) 6= v e x(t) → v quando t → −∞ ou x(t) → v quando

t_{→ ∞.}

A hip´otese (H1) implica que πg ´e do tipo gradiente. Logo, pelo Teorema 2.2.10, os

conjuntos ω(x0) e ω∗(x0) são não vazios e contêm apenas pontos de equil´ıbrio de πg.

Al´em disso, afirmamos que o campo g possui apenas um n´umero finito de singularidades em qualquer conjunto compacto K que contenha x ([0,∞)). De fato, assumamos que

3.7 Solu¸cões de onda de choque e propriedade de irredutibilidade 89 a afirma¸cão seja falsa. A compacidade de K garante a existência de um ponto de equil´ıbrio de πg que também é ponto de acumula¸cão de pontos de equil´ıbrio de πg. Mas

isto contradiz o fato de B(v, s) ser discreto. Isto prova a afirma¸c˜ao.

Sem perda de generalidade, suponhamos que x(t) → v quando t → ∞. Mostremos que ω∗_(x

0) ´e um conjunto unit´ario. Assumamos que existam pelo menos dois pontos

distintos, x1 e x2, no conjunto ω∗(x0).

Consideremos uma seq¨uˆencia (tn)n em (−∞, 0) tal que tn → −∞ quando n → ∞.

Seja d2 := 1₂d(x1, x2). Como a solu¸c˜ao ´e limitada, temos que existe um ponto x3 ∈ Rn

tal que x(tnm)→ x3 quando m → ∞ para alguma subseq¨uˆencia (x(tnm))m de (x(tn))n.

Logo, x3 ∈ ω∗(x0). Al´em disso, x3 6= xi, i = 1, 2.

Com isso, mostramos indutivamente que a existˆencia de dois pontos distintos em ω∗_(x

0) implica a existˆencia de uma infinidade de pontos distintos em ω∗(x0). Pelo

Teorema 2.2.10, todos estes pontos s˜ao equil´ıbrios de πg. Como estes pontos formam

um conjunto limitado, existe um equil´ıbrio y que é limite de uma seqüência de pontos de equil´ıbrio distintos. Isto contradiz o fato de B(v, s) ser discreto, o que demonstra que o conjunto ω∗_(x

0) ´e unit´ario.

Seja ˜v _{6= v o ´unico ponto de ω}∗_(x

0). Temos, portanto,

x(t)_{→ ˜v quando t → −∞.}

Cap´ıtulo

4 A equa¸c˜ao de Morse

Neste cap´ıtulo, apresentamos a Equa¸c˜ao de Morse associada a uma decomposi¸c˜ao de Morse de um conjunto invariante isolado.

Iniciaremos o cap´ıtulo apresentando a decomposi¸cão de Morse mais simples: o par repulsor-atrator. Em seguida, demonstramos resultados básicos. Na Se¸cão 4.2, definimos decomposi¸cão de Morse e apresentamos suas proprieadades básicas. Na Se¸cão 4.3, o conceito de par bloco para um par atrator-repulsor é apresentado. Fazendo uso do trio-´ındice, constru´ımos a Equa¸cão de Morse associada a uma decomposi¸cão de Morse. Finalizamos o cap´ıtulo com uma aplica¸cão da Equa¸cão de Morse para obter resultados de multiplicidade de solu¸cões.

Neste cap´ıtulo, X denota um espa¸co métrico e π, um semifluxo local em X. A exposi¸cão a seguir é baseada em [10] e [12].

92 Cap´ıtulo 4 — A equa¸c˜ao de Morse

4.1 Par atrator-repulsor

Defini¸c˜ao 4.1.1. Seja Y _{⊂ X tal que ω}x=∞ para todo x ∈ Y . O conjunto

ω(Y ) :=\

t≥0

Cl(Y π[t,_∞))

ser´a chamado conjunto ω-limite dos elementos de Y .

Proposi¸cão 4.1.2. Seja Y _{⊂ X um subconjunto de X. As seguintes afirma¸cões são} verdadeiras:

(1) Para todo y∈ X, temos y ∈ ω(Y ) se, e somente se, existem seq¨uˆencias (xn)n em

∈ Y e (tn)n em [0,∞) tais que tn→ ∞ e xnπtn→ y quando n → ∞.

(2) O conjunto ω(Y ) ´e fechado.

(3) Se Cl(Y π[0,∞)) é um conjunto compacto, então ω(Y ) é compacto e invariante. Demonstra¸cão. Suponhamos que y _{∈ ω(Y ) e seja (τ}n)n uma seqüência em [0,∞) com

τn → ∞ quando n → ∞. Ent˜ao, para todo n ∈ N, existe um yn ∈ Y π[τ, ∞) tal que

d(y, yn) < 1/n.

Al´em disso, para cada n_{∈ N, existem um x}n∈ Y e um tn ≥ τn tais que yn= xnπtn.

Como τn→ ∞, segue que tn→ ∞ quando n → ∞.

Reciprocamente, suponhamos que existam seq¨uˆencias (xn)n em Y e (tn)nem [0,∞)

tais que tn→ ∞ e xnπtn → y quando n → ∞. Mostremos que y ∈ ω(Y ).

Fixemos t0 ∈ [0, ∞). Dado ǫ > 0, existe um n0 ∈ N tal que, para todo n ≥ n0,

temos tn≥ t0 e

d(xnπtn, y) < ǫ. (4.1)

Portanto, xnπtn∈ Y π[t0,∞) para todo n ≥ n0 e (4.1) implica que y ∈ Cl(Y π[t0,∞)).

Segue que

y ∈\

t≥0

Cl(Y π[t,∞)). A demonstra¸c˜ao de (1) est´a completa.

A defini¸c˜ao de conjunto ω-limite de Y claramente implica que ω(Y ) ´e fechado, o que mostra (2).

4.1 Par atrator-repulsor 93 Mostremos (3). Suponhamos que Cl(Y π[0,∞)) seja compacto. Por (2), o conjunto ω(Y ) é fechado. Além disso, ω(Y )⊂ Cl(Y π[0, ∞)). Portanto, ω(Y ) é compacto.

Afirmamos que ω(Y ) ´e um conjunto positivamente π-invariante. De fato, seja x ∈ ω(Y ). Devemos mostrar que xπs_{∈ ω(Y ) para todo s ∈ [0, ω}x). Como x∈ ω(Y ), segue

de (1) que existem seq¨uˆencias (xn)n em Y e (tn)n em [0,∞) tais que

tn → ∞ e xnπtn → x quando n → ∞.

Notemos que ωxn =∞ para todo n ∈ N. A continuidade do semifluxo π implica que

xnπ(tn+ s)→ xπs quando n → ∞.

Al´em disso, tn+ s→ ∞ quando n → ∞. Por (1), temos que xπs ∈ ω(Y ). A afirmativa

est´a demonstrada.

Como xπ[0, ωx)⊂ ω(Y ) para todo x ∈ ω(Y ), segue da Proposi¸c˜ao 2.2.5 que ωx =∞

para todo x∈ ω(Y ).

Afirmamos que ω(Y ) é um conjunto negativamente π-invariante. De fato, seja x ∈ ω(Y ). Devemos mostrar que existe uma solu¸cão σ : (−∞, 0] → X por x tal que σ((_{−∞, 0]) ⊂ ω(Y ). Segue de (1) que existem seqüências (x}n)n em Y e (tn)n em [0,∞]

tais que

tn → ∞ e xnπtn → x quando n → ∞.

Como Cl(Y π[0,∞)) é compacto e tn → ∞ quando n → ∞, existem subseqüências

(x1

n)n de (xn)n e (t1n)n de (tn)n satisfazendo t1n ≥ 1 para todo n ∈ N e x1nπ(t1n− 1) →

x−1 quando n → ∞ para algum x−1 ∈ Cl(Y π[0, ∞)). Al´em disso, (1) implica que

x1 ∈ ω(Y ). Indutivamente, dado k ∈ N, encontramos subseq¨uˆencias (xkn)n de (xk−1n )n e

(tk

n)n de (tk−1n )n tais que tnk ≥ k para todo n ∈ N e xknπ(tkn− k) → x−k quando k → ∞

para algum x−k ∈ ω(Y ).

Como ωx_−k =∞ para todo k ∈ N, segue que x−kπt est´a definido para todo t∈ [0, k].

Definamos σ−k : [−k, 0] → ω(Y ) por σ−k(t) = x−kπ(t + k). Segue que σ−k(0) = x

para todo k _{∈ N e, al´em disso, σ}−k(t) = σ−k′(t) para 0≤ k < k′ e k ≤ t ≤ 0.

Definamos σ : (_{−∞, 0] → X por σ(t) = σ}−k(t) para t > −k. Temos que σ(s) ∈

94 Cap´ıtulo 4 — A equa¸cão de Morse As duas afirma¸cões mostram que ω(Y ) é um conjunto invariante, o que encerra a demonstra¸cão do teorema.

Defini¸cão 4.1.3. Seja S um subconjunto compacto de X (não necessariamente isolado) e π-invariante. Um subconjunto A _{⊂ S é chamado atrator (em S) se existe uma} vizinhan¸ca U de A em X tal que ω(U∩ S) = A. Se A é um atrator, então o conjunto

A∗ :=_{{x ∈ S : ω(x) ∩ A = ∅}}

´e chamado repulsor dual de A relativamente a S e o par (A∗_{, A) ´e chamado par repulsor-}

atrator em S.

Observa¸cão 4.1.4. Como S é compacto e π-invariante, a Proposi¸cão 2.2.5 implica que ωx=∞ para todo x ∈ S. Deste modo, ω(U ∩ S) está bem definido.

Proposi¸c˜ao 4.1.5. Seja (A∗_{, A) um par repulsor-atrator em S.} _{Ent˜ao valem as}

seguintes propriedades:

(1) Se V ´e um conjunto aberto em X com V ⊃ A, ent˜ao existe um t0 = t0(V )∈ [0, ∞)

tal que xπt_{∈ V para todo x ∈ U ∩ S e t ≥ t}0;

(2) Se B é um conjunto fechado disjunto de A, então, para todo ǫ > 0, existe um t0 = t0(ǫ) tal que d(x, A∗) < ǫ sempre que x∈ S e t ≥ t0 são tais que xπt∈ B.

Demonstra¸cão. Mostremos (1). Suponhamos que o resultado seja falso. Então existem um aberto V _{⊃ A e seqüências (x}n)nem U∩S e (tn)nem [0,∞) tais que tn → ∞ quando

n _{→ ∞ e x}nπtn ∈ V para todo n ∈ N. Sem perda de generalidade, a compacidade de/

S implica que a seqüência (xnπtn)nconverge para algum y∈ S \ V . A proposi¸cão 4.1.2

implica que y_{∈ ω(U ∩ S) = A, o que ´e uma contradi¸c˜ao.}

Para mostrar (2), suponhamos que o resultado não seja válido. Então existem um conjunto fechado B, com B∩ A = ∅, um ǫ > 0, e seqüências (xn)n em S e (tn)n em

[0,_{∞) tais que t}n → ∞ quando n → ∞ e

4.1 Par atrator-repulsor 95 Podemos assumir que existe um x ∈ S tal que xn → x quando n → ∞. Portanto,

d(x, A∗₎_{≥ ǫ. Logo, x /}_{∈ A}∗ _{e, conseq¨uentemente,}

ω(x)_{∩ A 6= ∅.}

Logo xπt1 ∈ U ∩ S para algum t1 ≥ 0. A continuidade de π implica que existe um

n0 ∈ N tal que n ≥ n0 implica

xnπt1 ∈ U ∩ S para todo n ≥ n0.

Definindo V := X_{\B e t}0 = t0(V ) como em (1), obtemos xnπt∈ V para todo t ≥ t0+t1

e todo n_{≥ n}0. Portanto, xnπtn ∈ V ∩ B para todo n suficientemente grande, o que ´e

uma contradi¸c˜ao.

A dinˆamica dentro de um conjunto invariante S que possui um par repulsor-atrator ´e bem simples, como mostra o resultado a seguir.

Teorema 4.1.6. Seja (A∗_{, A) um par repulsor-atrator em S. Ent˜ao:}

(1) A e A∗ _{s˜ao conjuntos disjuntos, compactos e invariantes;}

(2) Se σ : R→ S é uma solu¸cão completa por y, então valem as seguintes afirma¸cões: (a) Se y ∈ A∗ _{ou se ω(y)}_{∩ A}∗ _{6= ∅, então σ(R) ⊂ A}∗_.

(b) Se ω∗_(σ)_{∩ A 6= ∅, ent˜ao σ(R) ⊂ A.}

Demonstra¸c˜ao. Mostremos (1). ´E claro que A_{∩ A}∗ ₌_{∅. Como S compacto, segue da}

Proposi¸cão 4.1.2(3) que A é compacto e invariante. A Defini¸cão de A∗ _{implica que A}∗

é invariante com rela¸cão a π. Como A∗ _{⊂ S, para completar a demonstra¸cão de (1),}

mostremos que A∗ _{´e um conjunto fechado. Seja (x}

n)n uma seq¨uˆencia em A∗ tal que

xn → x quando n → ∞. Afirmamos que ω(x) ∩ A = ∅. Caso contr´ario, existe um

t ∈ [0, ∞) tal que xπt ∈ U e, portanto, existe um n0 ∈ N tal que xnπt ∈ U para todo

n_{≥ n}0. Conseq¨uentemente, ω(xn) = ω(xnπt)⊂ ω(U ∩ S) = A para todo n ≥ n0. Isto

96 Cap´ıtulo 4 — A equa¸cão de Morse Passemos à demonstra¸cão de (2). Seja σ : R → S uma solu¸cão completa por y∈ S. Suponhamos y ∈ A∗ _{ou ω(y)}_{∩ A}∗ _{6= ∅. Seja B uma vizinhan¸ca fechada de A}∗

satisfazendo B_{∩ A = ∅. Então existe uma seqüência (t}n)n em [0,∞), com tn → ∞

quando n→ ∞, tal que

σ(tn)∈ B para todo n ∈ N.

Sejam t∈ R e ǫ > 0. A Proposi¸c˜ao 4.1.5(2) implica que existe um t0(ǫ)∈ [0, ∞) tal que

d(x, A∗_{) < ǫ sempre que x} _{∈ S e t ≥ t}

0 s˜ao tais que xπt∈ B. Seja n0 = n0(t, ǫ) ∈ N

tal que

tn− t ≥ t0(ǫ) para todo n≥ n0.

Seja n ≥ n0. Como σ(t)π(tn− t) = σ(tn) ∈ B, conclu´ımos que d(σ(t), A∗) < ǫ.

Como ǫ > 0 ´e arbitr´ario, temos σ(t)_{∈ A}∗_{. Isto demonstra (a).}

Assumamos agora que ω∗_(σ)_{∩ A 6= ∅. Então existe uma seqüência (t}

n)n em [0,∞)

tal que tn→ ∞ quando n → ∞ e

σ(_−tn)∈ U ∩ S para todo n ∈ N,

sendo U como na Defini¸c˜ao 4.1.3. Se t∈ R, existe um n0 ∈ N tal que tn+ t≥ 0 para

n _{≥ n}0. Portanto, σ(−tn)π(tn+ t) = σ(t) para todo n ≥ n0. Ent˜ao σ(t) ∈ ω(U ∩ S),

isto ´e, σ(t)∈ A. Ou seja, σ(R) ⊂ A. Isto demonstra (b).

Finalmente, assumamos que y /_{∈ A}∗ _{∪ A. Seja x ∈ ω}∗_{(σ). Portanto, existe uma}

seq¨uˆencia (tn)n em [0,∞) tal que tn → ∞ e σ(−tn) → x quando n → ∞. Definamos

B ={y}. Segue da Proposi¸c˜ao 4.1.5(2) que, para todo ǫ > 0, existe n0 = n0(ǫ)∈ N tal

que d(σ(_−tn), A∗) < ǫ para todo n≥ n0. Logo, x∈ A∗.

Se x_{∈ ω(y), então existe uma seqüência (t}n)nem [0,∞) tal que tn → ∞ e σ(tn)→ x

quando n→ ∞.

Afirmamos que existe um n0 ∈ N tal que σ(tn0) ∈ U, sendo U como na Defini¸c˜ao

4.1.3. De fato, suponha que a afirma¸c˜ao seja falsa. Isto implica que σ(tn)∈ S \ U para

todo n ∈ N. Tomando B = S \ U, conclu´ımos que y ∈ A∗_{, contradizendo a hip´otese}

sobre y. Como σ(tn0) ∈ U ∩ S e ω(U ∩ S) = A, segue que x ∈ A. Isto encerra a

No documento A equação de morse e o índice de Conley (páginas 97-111)