A equação de morse e o índice de Conley

(1)

A equa¸c˜

ao de Morse e o ´ındice de Conley

(2)

(3)

SERVI ¸CO DE P ´OS-GRADUA ¸C ˜AO DO ICMC-USP

Data de Dep´osito: 28 de Janeiro de 2008

Assinatura:

A equa¸c˜

ao de Morse e o ´ındice de Conley

Eduardo Favar˜ao Botelho1

Orientadora: Maria do Carmo Carbinatto

Disserta¸c˜ao apresentada ao Instituto de Ciˆencias

Matem´aticas e de Computa¸c˜ao - ICMC-USP como parte

dos requisitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em

Matem´atica.

USP - S˜ao Carlos

Janeiro/2008

(4)

(5)

(6)

(7)

Agradecimentos

Agrade¸co aos meus pais, Dorvalino e Romilde, pelo privil´egio de ter sido criado

pelas grandes figuras humanas que s˜ao. Sem eles, tenho certeza, nem uma s´o palavra

deste trabalho teria sido escrita.

Agrade¸co aos meus amados irm˜aos, Daniela e Robson, pelo companheirismo ao

longo destes anos, e a minha tia Mercedes, pelo carinho perene e incondicional, um

tra¸co reservado apenas `as pessoas que amam verdadeiramente.

Agrade¸co aos grandes amigos Castilho e Giu pela parceria e por compartilharem

não só momentos de alegria, mas também de indecisão. Agrade¸co também aos amigos

da pós-gradua¸cão: Catalão, Claudinei, Leitão, Marcos, Wescley, Yuri e todos os demais.

Finalmente, mas n˜ao menos importante, agrade¸co `a Prof. Dra. Maria do Carmo

(8)

(9)

Resumo

O ´ındice de Conley ´e uma ferramenta utilizada no estudo de

sistemas dinˆamicos. Em particular, as decomposi¸c˜oes de Morse

combinadas com uma apropriada vers˜ao do ´ındice de Conley e uma

correspondente equa¸cão de Morse freqüentemente nos permitem obter resultados de multiplicidade de solu¸cões. Neste trabalho,

apresentamos a teoria do ´ındice de Conley e a equa¸c˜ao de Morse

associada a uma decomposi¸c˜ao de Morse e aplicamos os resultados

(10)

(11)

Abstract

The Conley index is a well known tool used in the analysis

of dynamical systems. In particular, Morse decompositions

com-bined with an appropriate version of the Conley index and a

cor-responding Morse equation, often allow us to obtain multiplicity

results for solutions. In this work we introduce the Conley index

theory and the Morse equation relative to a Morse decomposition

(12)

(13)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

1.1 Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias . . . 5

1.1.1 Teoria geral . . . 5

1.1.2 Resultados de continuidade . . . 6

1.1.3 Sistemas autˆonomos . . . 7

1.2 Topologia . . . 9

1.2.1 Categorias . . . 9

1.2.2 Homotopias . . . 11

1.2.3 Espa¸cos quocientes . . . 13

1.2.4 Aplica¸c˜ao induzida por inclus˜ao . . . 14

1.2.5 A adi¸c˜ao wedge . . . 16

2 O ´ındice de Conley 21 2.1 Semifluxos . . . 21

2.2 Conjuntos limites . . . 23

2.3 Vizinhan¸cas isolantes e blocos isolantes . . . 28

2.4 Admissibilidade . . . 36

2.5 Par ´ındice para um conjunto invariante isolado . . . 41

(14)

xiv SUM ´ARIO

2.7 O caso linear hiperb´olico . . . 45

2.8 O ´ındice de Conley homol´ogico . . . 49

3 Propriedades do ´ındice de Conley 51 3.1 A propriedade de adi¸c˜ao . . . 51

3.2 Irredutibilidade . . . 52

3.3 A Propriedade de Continua¸c˜ao . . . 57

3.4 Pontos de equil´ıbrio e o ´ındice de Conley . . . 73

3.5 A propriedade de adi¸cão e de continua¸cão e a existência de solu¸cão limitada 76 3.6 Equa¸cões diferenciais assintoticamente lineares . . . 79

3.7 Solu¸c˜oes de onda de choque e propriedade de irredutibilidade . . . 83

4 A equa¸c˜ao de Morse 91 4.1 Par atrator-repulsor . . . 92

4.2 Decomposi¸c˜ao de Morse . . . 97

4.3 Par bloco e trio-´ındice . . . 100

4.4 A Equa¸c˜ao de Morse . . . 106

4.5 A Equa¸c˜ao de Morse e um resultado de multiplicidade . . . 113

(15)

Introdu¸

c˜

ao

O ´ındice de Conley ´e uma ferramenta utilizada no estudo de sistemas dinˆamicos.

Na sua forma original, a teoria foi desenvolvida por Conley. Na monografia [4]

encon-tramos a vers˜ao original desta teoria, que teve como objetivo principal as aplica¸c˜oes em

problemas provenientes de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias. O ´ındice foi definido para

fluxos definidos em espa¸cos localmente compactos. Enquadram-se em tal situa¸c˜ao, por

exemplo, as equa¸cões diferenciais ordinárias definidas em espa¸cos de dimensão finita.

No trabalho [9], Rybakowski estendeu a teoria do ´ındice de Conley para uma classe

de semifluxos definidos em espa¸cos n˜ao compactos. Em particular, n˜ao somente as

equa¸cões diferenciais parciais parabólicas e equa¸cões diferenciais funcionais retardadas

puderam ser tratadas por essa extensão, mas também certas classes de equa¸cões

dife-renciais funcionais neutras e equa¸c˜oes hiperb´olicas. No livro [10] e nos trabalhos citados

nele, algumas aplica¸cões para essas classes de equa¸cões são apresentadas.

A teoria do ´ındice de Conley pode ser vista como uma generaliza¸c˜ao da teoria

cl´assica do ´ındice de Morse em variedades compactas. A teoria de Morse apresenta um

´ındice para todo equil´ıbrio n˜ao degenerado, ao passo que a teoria de Conley apresenta

um ´ındice a todo conjunto invariante isolado compacto de uma equa¸c˜ao diferencial

ordin´aria. O ´ındice de Conley estendido para semifluxos definidos em espa¸cos n˜ao

compactos apresentado por Rybakowski pode ser entendido como análogo à extensão

de Palais-Smale para espa¸cos n˜ao compactos do ´ındice de Morse cl´assico.

Recordemos que um conjunto compacto invariante S ´e chamado isolado se admite uma vizinhan¸ca fechadaN de modo queS ´e o conjunto invariante maximal contido em

(16)

2 Introdu¸c˜ao

N. Ao conjunto invariante isolado S podemos associar um par de conjuntos fechados (N1, N2), chamado par ´ındice, satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) N2 ⊂N1 ´e o “conjunto sa´ıda” de N1,

(ii) S ´e um subconjunto do interior de N1\N2 e

(iii) S ´e o subconjunto invariante maximal contido em N1.

O tipo de homotopia do espa¸co com um ponto base (N1/N2,[N2]), denotado por

[(N1/N2,[N2])], n˜ao depende da particular escolha do par ´ındice. O ´ındice de

Con-ley homot´opico de S ´e definido por h(S) := [(N1/N2,[N2])]. Utilizando uma

teo-ria de homologia, temos bem definido o ´ındice de Conley homol´ogico de S dado por

H∗(S) := (H∗(N1/N2,[N2])). A Propriedade de Continua¸c˜ao satisfeita pelo ´ındice de

Conley torna a teoria uma ferramenta útil em problemas de análise funcional não-linear,

permitindo muitas aplica¸c˜oes em equa¸c˜oes diferenciais.

Por meio de ferramentas mais refinadas, como as decomposi¸c˜oes de Morse

combi-nadas com uma apropriada vers˜ao do ´ındice de Conley e uma correspondente Equa¸c˜ao

de Morse, podemos obter resultados de multiplicidade de solu¸c˜oes para problemas

varia-cionais.

O objetivo geral desse trabalho ´e apresentar a Equa¸c˜ao de Morse para uma

decom-posi¸c˜ao de Morse de um conjunto invariante isolado proveniente um semifluxo local

definido num espa¸co métrico e apresentar algumas ilustra¸cões do uso de tal equa¸cão no

estudo de sistemas dinâmicos com exemplos obtido das equa¸cões diferenciais ordinárias.

O trabalho est´a organizado da seguinte forma. No Cap´ıtulo 1, apresentamos

re-sultados básicos da teoria de equa¸cões diferencais ordinárias e de topologia que serão

utilizados ao longo do texto.

No Cap´ıtulo 2 apresentamos a defini¸c˜ao do ´ındice de Conley homot´opico e

ho-mol´ogico para semifluxos locais definidos em espa¸cos m´etricos e calculamos o ´ındice

de Conley de um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico de um sistema linear de equa¸c˜oes

diferenciais ordin´arias.

No Cap´ıtulo 3, discutimos trˆes propriedades b´asicas do ´ındice de Conley: a

Pro-priedade de Adi¸c˜ao, de Irredutibilidade e de Continua¸c˜ao. Conclu´ımos o cap´ıtulo com

(17)

Introdu¸c˜ao 3 Finalmente, no Cap´ıtulo 4, apresentamos a Equa¸c˜ao de Morse associada a uma

decomposi¸c˜ao de Morse de um conjunto invariante isolado. Inicialmente, apresentamos

o par repulsor-atrator, que representa a decomposi¸c˜ao de Morse mais simples que um

conjunto invariante pode ter. Utilizando o conceito de trio-´ındice e o ´ındice de Conley

homol´ogico, definimos a Equa¸c˜ao de Morse. Fechamos o cap´ıtulo com um resultado de

(18)

(19)

Cap´ıtulo

1 Preliminares

Neste cap´ıtulo, apresentaremos alguns resultados e conceitos b´asicos da teoria de

equa¸cões diferenciais ordinárias e de topologia algébrica.

1.1 Equa¸

c˜

oes diferenciais ordin´

arias

Os conceitos e resultados desta se¸c˜ao podem ser encontrados em [6] ou [13].

1.1.1 Teoria geral

Sejam Ω um subconjunto aberto de R_×Rn_{. Um ponto de} R_×Rn _{´e denotado por} (t, x), comt _∈R_e _x_∈Rn_.

Seja f : Ω → Rn _{uma aplica¸cão cont´ınua e seja} _I _{um intervalo não degenerado da} reta, isto é, um subconjunto conexo deR_{não reduzido a um ponto. O intervalo}_I _pode ser aberto, fechado ou semi-fechado, finito ou infinito.

Defini¸cão 1.1.1. Uma fun¸cão diferenciável ϕ : I → Rn _{é uma solu¸cão da equa¸cão}

diferencial ordin´aria

dx

dt =f(t, x) (1.1)

(20)

6 Cap´ıtulo 1 — Preliminares

no intervalo I se o gr´afico de ϕ em I est´a contido em Ω e

dϕ

dt(t) = f(t, ϕ(t)) para todo t∈I. (1.2)

Observa¸cão 1.1.2. Na defini¸cão anterior, se t _∈I é um ponto extremo do intervalo, a derivada em (1.2) é a derivada lateral correspondente.

Temos o seguinte resultado de existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes.

Teorema 1.1.3. SejamΩ_⊂R_×Rn _{um subconjunto aberto e} _f _{uma fun¸c˜ao cont´ınua}

em Ω e localmente lipschitziana com rela¸c˜ao a x em Ω. Seja (t0, x0) ∈ Ω. Ent˜ao

existem um α >0 e uma ´unica solu¸c˜ao ϕ: (t0−α, t0+α)→Rn de

˙

x=f(t, x)

com ϕ(t0) = x0.

Suponhamos as hip´oteses do Teorema 1.1.3. Ent˜ao, para cada (t0, x0) ∈ Ω, existe

uma ´unica solu¸c˜ao (maximal)ϕ =ϕ(_·, t0, x0) de

˙

x=f(t, x), com x(t0) = x0, (1.3)

definida num intervalo maximal de existˆencia deϕ. Denotaremos este intervalo por (ω−(t0, x0), ω+(t0, x0)) ou, simplesmente, por (ω−, ω+). Recordemos que ω− pode ser

−∞e que ω+ pode ser +∞.

Teorema 1.1.4. Suponhamos as hip´oteses do Teorema 1.1.3 e sejaϕ(·, t0, x0)a solu¸c˜ao

maximal de

˙

x=f(t, x) com x(t) =x0

definida em(ω−(t0, x0), ω+(t0, x0)). Ent˜ao (t, ϕ(t)) tende `a fronteira deΩ quando t→

ω−(t0, x0) ou t →ω+(t0, x0).

1.1.2 Resultados de continuidade

Sejam Λ_⊂Rk_{um subconjunto fechado e Ω}_⊂R_×Rn _{um subconjunto aberto. Seja}

(21)

1.1 Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias 7 a x em Ω×Λ com constante de Lipschitz independente de λ ∈ Λ. Seja (t0, x0) ∈ Ω.

Para cadaλ ∈Λ, segue do Teorema 1.1.3 que existe uma ´unica solu¸c˜ao maximal de ˙

x=f(t, x, λ) com x(t0) = x0

definida no intervalo maximal (ω−(t0, x0, λ), ω+(t0, x0, λ)). Al´em disso, o seguinte

re-sultado ´e v´alido:

Teorema 1.1.5. O conjunto

D=_{(t, t0, x0, λ) : (t0, x0)∈Ω, λ∈Λ e t∈(ω−(t0, x0, λ), ω+(t0, x0, λ)}

´e aberto em R_×R_×_Ω_×_Λ _{e a fun¸c˜ao}

Φ :D_→Rn

dada por Φ(t, t0, x0, λ) =ϕ(t, t0, x0, λ) ´e cont´ınua em D.

Proposi¸c˜ao 1.1.6. Seja Ω _⊂ R_×Rn _{um conjunto aberto. Para cada} _k _∈ N_{∪ {}₀_}_,

sejafk: Ω→Rn uma fun¸cão cont´ınua localmente lipschitziana com rela¸cão a x em Ω. Suponhamos ainda que a seqüência(fk)kconvirja uniformemente para f0 em cada parte

compacta de Ω. Seja ((tk, xk))k uma seq¨uˆencia em Ω convergindo para (t0, x0) ∈ Ω.

Para cada k∈N_{∪ {}₀_}_{, seja} _ϕ_k ₌_ϕ_k₍_·_{, t}₀_{, x}₀₎ _{a ´}_{unica solu¸c˜ao maximal de} ˙

x=fk(t, x) com x(tk) =xk

definida no intervalo maximal (ω−(k), ω+(k)). Seja [a, b] ⊂ (ω−(0), ω+(0)). Ent˜ao

existe um k0 = k0(a, b) tal que, para cada k ≥ k0, temos [a, b] ⊂ (ω−(k), ω+(k)) e

ϕk →ϕ0 uniformemente em [a, b].

1.1.3 Sistemas autˆ

onomos

Consideremos um importante caso particular de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias.

(22)

8 Cap´ıtulo 1 — Preliminares existe uma ´unica solu¸c˜ao maximal ϕ=ϕ(·, x0) de

˙

x=f(x) com x(0) =x0

definida em (ω−(x0), ω+(x0)). Al´em disso, o conjunto

D={(t, x0) : x0 ∈Ω e t∈(ω−(x0), ω+(x0))}

´e aberto em R_×_{Ω e a aplica¸c˜ao} _π _:_D_→Rn_, _x_∈_{Ω e} _t _∈₍_ω₋₍_x₎_{, ω}₊₍_x_{)), definida por}

π(t, x) = ϕ(t, x), ´e cont´ınua. Al´em disso:

Proposi¸c˜ao 1.1.7. A aplica¸c˜ao π possui as seguintes propriedades:

(1) π(0, x) =x, para todo x∈Ω;

(2) π(t +s, x) = π(t, π(s, x)) para todo x _∈ Ω e todos t, s _∈ R _{tais que} _t ₊_s _∈ (ω−(x), ω+(x)) e t ∈(ω−(π(s, x)), ω+(π(s, x))).

Observa¸cão 1.1.8. A aplica¸cão f é também chamada campo de vetores.

Umponto de equil´ıbrio do campo de vetoresf ´e um ponto x0 ∈Ω tal quef(x0) = 0.

Notemos que, sex0é um ponto de equil´ıbrio def, então a fun¸cão constanteϕ :R→Ω,

dada porϕ(t) =x0, t∈R, ´e uma solu¸c˜ao de

˙

x=f(x). (1.4)

Reciprocamente, se uma fun¸cão constante ϕ : R _→ _{Ω, dada por} _ϕ₍_t_{) =} _x₀_, _t _∈ R_{, é} uma solu¸cão de (1.4), então x0 é ponto de equil´ıbrio de f.

Um caso particular de sistemas autˆonomos s˜ao os sistemas lineares. Seja A uma matrizn_×n e consideremos o sistema linear

˙

x=Ax. (1.5)

Sejax0 ∈R. A ´unica solu¸c˜ao maximal de

˙

(23)

1.2 Topologia 9 definida emR _{´e denotada por}_etA_x_.

Segue que 0 é o único ponto de equil´ıbrio de f(x) = Ax. Dizemos que o sistema (1.5) é um sistema linear hiperbólico se a parte real dos autovalores deAé diferente de zero. O números=s(A) de autovalores com parte real negativa, contando suas multi-plicidades, chama-se´ındice de estabilidade do sistema. O númerok(A) de autovalores com parte real positiva, contando multiplicidades, chama-se´ındice de Morse de 0.

Proposi¸c˜ao 1.1.9. Suponhamos que

˙

x=Ax (1.6)

seja um sistema linear hiperbólico. Então Rn _{é decomposto em soma direta de dois}

subespa¸cos S e U satisfazendo as seguintes propriedades:

(1) S é um subespa¸co invariante de (1.6), isto é, se x _∈ S, então etA_x _∈ _S _para todos t∈ R _e _x_∈ _S_{. Além disso,} _A_|_S _{possui todos os autovalores com parte real}

negativa;

(2) U ´e um subespa¸co invariante de (1.6), isto ´e, etA_x _∈ _U _{para todo} _t _∈ _R _{e todo}

x∈U, e A|U possui todos os autovalores com parte real positiva;

(3) Existem constantes µ >0 e K _≥1 tais que

||etA_x_{|| ≤}_Ke−µt_||_x_||_, _x_∈_S _e _t _≥₀_,

||etA_x_{|| ≤}_Keµt_||_x_||_, _x_∈_U _e _t _≤₀_.

Nesta disserta¸c˜ao, exemplificaremos a teoria do ´ındice de Conley e a equa¸c˜ao de

Morse através de equa¸cões diferenciais autônomas.

1.2 Topologia

Para os conceitos apresentados e demonstra¸c˜ao dos resultados enunciados,

sugeri-mos [7], [8] e [14].

1.2.1 Categorias

(24)

10 Cap´ıtulo 1 — Preliminares (1) uma classe de objetos;

(2) para todo par ordenado de objetosX, Y, um conjunto hom(X, Y) dos morfismos com dom´ınio em X e imagem em Y. Se f ∈hom(X, Y), escrevemos f :X →Y; (3) para toda terna ordenada de objetos X, Y e Z, uma fun¸c˜ao associando ao par

de morfismosf :X →Y e g :Y →Z sua composi¸c˜ao

g_◦f :X _→Z.

Al´em disso, as seguintes propriedades est˜ao satisfeitas:

(4) sef :X→Y,g :Y →Z e h:Z →W, então h◦(g◦f) = (h◦g)◦f :X →W; (5) para todo objeto Y, existe um morfismo IdY : Y → Y, chamado morfismo identidade, tal que, se f : X → Y, então IdY ◦f = f, e se h : Y → Z, então

h_◦IdY =h.

Seja C uma categoria. Se a classe de objetos ´e um conjunto, dizemos que C ´e uma

categoria pequena. Um morfismog :Y _→X ´e a inversa de f :X _→Y seg_◦f : IdX e

f_◦g = IdY. Neste caso, denotamos g porf−1 e dizemos quef ´e um isomorfismo.

Mostremos o seguinte resultado, que ser´a utilizado na demonstra¸c˜ao da Propriedade

de Continua¸c˜ao do ´ındice de Conley.

Lema 1.2.1. Seja C uma categoria. Sejam a : X → Y, b : Y → Z e c : Z → W

morfismos tais que c◦b : Y → W e b◦a : X → Z são isomorfismos. Então então

a, b, c s˜ao isomorfismos.

Demonstra¸cão. Seja a1 : Y → X a aplica¸cão dada por a1 := (b◦a)−1 ◦b. Entãoa1 é

um morfismo em_C e

a1◦a = (b◦a)−1◦(b◦a) = IdX . (1.7)

Notemos que (b_◦a)_◦a1 =b. Logo, (c◦b)◦(a◦a1) = c◦b. Portanto,

a◦a1 = (c◦b)−1◦(c◦b) = IdY . (1.8)

As equa¸c˜oes (1.7) e (1.8) implicam quea´e isomorfismo e quea1 =a−1. Desta maneira,

(25)

1.2 Topologia 11

Defini¸cão 1.2.2. Uma categoria C é chamada sistema simples conexo se, para todo par (A, B) de objetos em C, o conjunto hom(A, B) de morfismos de A em B contém exatamente um elemento.

Uma conseqüência imediata da defini¸cão acima é dada pela seguinte proposi¸cão.

Proposi¸c˜ao 1.2.3. Suponhamos que C seja um sistema simples conexo e sejam X e

Y objetos em C. Então, o único elemento f em hom(X, Y) é um isomorfismo.

Demonstra¸cão. Seja g o único elemento em hom(Y, X). Logo, g _◦f é um elemento em hom(X, X). Porém, hom(X, X) = _{IdX}. Portanto, g◦f = IdX. Analogamente,

podemos mostrar que f◦g = IdY.

Para maiores informa¸c˜oes sobre os conceitos de categoria, indicamos a leitura de

[14].

1.2.2 Homotopias

Sejam Y é um espa¸co topológico e A ⊂ Y um subespa¸co de Y. O par (Y, A) é chamado par topológico. No caso especial em queA =∅, identificamos (Y, A) com Y. Mais ainda, se A =_{y0}, y0 ∈Y, identificamos (Y, A) com (Y, y0) e chamamos (Y, y0)

deespa¸co com ponto base y0 oucom ponto distinguido y0.

Sejam (Y, A) e (Z, B) dois pares topológicos. Um morfismo f : (Y, A) → (Z, B) é uma aplica¸cão cont´ınua f :Y _→Z tal que f(A)_⊂B.

A classe de todos os pares topol´ogicos (respectivamente, de todos os espa¸cos com

ponto base) e seus morfismos correspondentes definem uma categoria denotada porT P

(respectivamente, _T∗_).

Defini¸c˜ao 1.2.4. Sejam (X, A), (Y, B) pares topol´ogico e X′ _⊂ _X_{. Sejam} _f

0, f1 :

(X, A) → (Y, B) morfismos tais que f0|X′ = f₁|_X′. Denotando (X×[0,1], A×[0,1])

por (X, A)_×[0,1], dizemos que f0 ´e homot´opico a f1 relativamente a X′, denotando

f0 ≃f1 rel X′, se existe uma aplica¸c˜ao

F : (X, A)×[0,1]→(Y, B)

tal que F(x,0) = f0(x) e F(x,1) = f1(x) para todo x ∈ X e F(x, t) = f0(x) para

(26)

12 Cap´ıtulo 1 — Preliminares Uma tal aplica¸c˜ao F ´e chamada homotopia de f0 em f1 relativamente a X′. Caso

X′ ₌_∅_{, escrevemos} _f

0 ≃f1 e dizemos apenas que f0 é homotópico af1 e que F é uma

homotopia entre f0 e f1.

Diremos que um espa¸co com ponto base (X, x0) ´e contr´atil quando existe uma

homotopia entre a aplica¸c˜ao identidade Id(X,x0) e a aplica¸c˜ao constante f : (X, x0) →

(X, x0) dada por f(x) = x0 para todo x∈x0.

Proposi¸cão 1.2.5. A rela¸cão ≃ é uma rela¸cão de equivalência no conjunto de todos os morfismos de (Y, A) em (Z, B).

Observemos ainda que, se (W, C) é um terceiro par e ˜f e ˜g são dois morfismos de (Z, B) em (W, C) tais quef _≃g e ˜f _≃˜g, então ˜f_◦g _≃g˜_◦g.

Dois pares topol´ogicos (Y, A) e (Z, B) s˜ao ditos homotopicamente equivalentes, e escrevemos (Y, A) ≃ (Z, B), quando existem morfismos f : (Y, A) → (Z, B) e g : (Z, B) _→ (Y, A) tais que f _◦g _≃ Id(Z,B) e g ◦f ≃ Id(Y,A), sendo Id(Y,A) e Id(Z,B) os

morfismos identidade em (Y, A) e (Z, B) respectivamente.

Seja f : (Y, A) _→ (Z, B) (respectivamente, f : (Y, y0) → (Z, z0)) um morfismo

de pares topol´ogicos (respectivamente, de espa¸cos com ponto base). Ent˜ao a classe de

equivalência def, isto é, o conjunto de todos os morfismos homotopicos af, é denotada por [f].

Seja (Y, A) um par topol´ogico (respectivamente, seja (Y, y0) um espa¸co com ponto

ponto base). Denotaremos por [(Y, A)] (respectivamente, [(Y, y0)]) sua correspondente

classe de equivalência, isto é, a classe de todos os pares topológicos (respectivamente,

de todos os espa¸cos com ponto base) homotopicamente equivalentes a (Y, A) (respecti-vamente, (Y, y0)).

Se Y = {y0}, o tipo de homotopia de ({y0}, y0) ´e chamado trivial e denotado por

¯0. Notemos que, se (Y, y0) é contrátil, então [(Y, y0)] = ¯0.

SejamSk _{a esfera unit´aria em}_Rk+1 _e_s

0 ∈Sk. O tipo de homotopia de (Sk, s0) ser´a

denotado por Σk_.

Denotaremos por _HT∗ a categoria cujos objetos s˜ao espa¸cos com ponto distinguido

e seus morfismos s˜ao as classes de equivalˆencia [f] dos morfismos f deT∗_.

(27)

1.2 Topologia 13

que r◦i = IdA, ou seja, se r(x) = x para todo x ∈ A. Uma tal aplica¸c˜ao ´e chamada

retra¸c˜ao deX em A.

Defini¸cão 1.2.7. Sejam A um subespa¸co do espa¸co X e i : A → X a aplica¸cão inclusão. O subespa¸co Aé chamado retra¸cão por deforma¸cão forte deX se existe uma retra¸cão r de X em A tal que IdX ≃ i◦r rel A. Uma homotopia F : IdX ≃ rel A é chamada retra¸cão por deforma¸cão forte deX em A.

1.2.3 Espa¸

cos quocientes

Sejam Z um espa¸co topológico e A e Y subespa¸cos de Z. Suponhamos primeiro que Y ∩A 6= ∅. Definamos uma rela¸cão de equivalência em Y da seguinte maneira:

x∼y se, e somente se, x=y oux, y ∈Y ∩A.

Parax∈Y, seja [x] a classe de equivalˆencia dex. Portanto, [x] ={x}sex /∈Y∩Ae [x] =Y∩Aparax∈Y ∩A. Denotaremos o conjunto de todas as classes de equivalˆencia de_∼ por Y /A.

Seja agora qY :Y →Y /A a aplica¸c˜ao quociente. Isto significa queqY(x) = [x] para

x_∈Y.

Consideremos em Y /A a topologia quociente com respeito a qY, ou seja, U ⊂ Y /A

´e aberto se, e somente se, q−_Y1(U) ´e aberto emY.

O espa¸co quociente Y /A´e tratado como um par topol´ogico com ponto base, escol-hendo a classe deY _∩A, denotada por [A], como ponto base.

Se Y ∩A = ∅, escolhemos um ponto p /∈ Y. Munindo o conjunto Y_∪{˙ p} com a topologia da soma, definimosY /A:= (Y_∪{˙ p_})/_{p_}.

Escolhemos p como ponto base para Y /A, mas escrevemos, assim como antes, p= [A]. Neste caso, a aplica¸c˜ao qY :Y → Y /A, qY(x) = [x] ´e tal que a topologia de Y /A

é a quociente com respeito a qY, ou seja, U ⊂Y /Aé aberto se, e somente se,qY−1(U) é

aberto em Y.

Notemos que, seV ⊂Y ´e um subconjunto de Y eV ⊃Y ∩Aou V ∩A=∅, ent˜ao

q−_Y1(qY(V)) =V. Portanto, neste caso, V ´e um aberto emY se, e somente se, qY(V) ´e

um aberto emY /A.

(28)

quociente. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao cont´ınua g :X/∼→ Y satisfazendo f =g◦q se, e somente se, x∼y implica f(x) = f(y).

Defini¸cão 1.2.9. Seja B um espa¸co topológico e A ⊂ B um subespa¸co munido da topologia induzida. A aplica¸cão inclusão i : A _→ B, i(x) = x, x _∈ A, é chamada

cofibra¸cão se satisfaz a propriedade da extensão de homotopia com respeito a qualquer espa¸coY, isto é, se dadas duas aplica¸cões cont´ınuasg :B →Y eG:A×[0,1]→Y tais que g(x) = G(x,0) para todo x_∈A, existe uma aplica¸cão cont´ınua F :B_×[0,1]_→Y

com F(x,0) =g(x) para x_∈B e F_|A×[0,1] =G.

A seguinte caracteriza¸cão de cofibra¸cão é muito útil e será utilizada no Cap´ıtulo 2.

Proposi¸cão 1.2.10. Se B é um espa¸co métrico e A_⊂B é fechado, então a aplica¸cão inclusão i : A _→ B, i(x) = x, x _∈ a, é uma cofibra¸cão se, e somente se, existem uma vizinhan¸ca aberta U de A e uma aplica¸cão cont´ınua H : U ×[0,1] → B tal que

H(x,0) = x, H(a, t) = a e H(x,1)_∈A para todo x_∈U, todo a_∈A e todo t_∈[0,1].

O pr´oximo resultado resultado apresenta uma importante rela¸c˜ao entre espa¸cos

quocientes e a propriedade de cofibra¸c˜ao.

Proposi¸cão 1.2.11. Sejam B um espa¸co topológico e A _⊂ B um subespa¸co munido da topologia induzida. Suponhamos que a inclusão i : A _→ B seja uma cofibra¸cão. Então a aplica¸cão quociente qY : (B, A) → (B/A,[A]) induz um isomorfismo (qY)∗ :

hn(B, A) → hn(B/A,[A]) para todo n ∈ Z, sendo h∗ uma teoria de homologia n˜ao

reduzida em _HT.

Para a demonstra¸c˜ao do resultado acima, veja a Proposi¸c˜ao 7.14 em [15].

1.2.4 Aplica¸

c˜

ao induzida por inclus˜

ao

Sejam Y um espa¸co topol´ogico e A, B, C eD subconjuntos de Y. Sejam qA: A→

A/B e qC : C → C/D aplica¸cões quocientes. Uma aplica¸cão j : A/B → C/D é

chamadainduzida por inclusão se as seguints propriedades forem satisfeitas: (1) A_∩B é fechado em A eC_∩D é fechado emC;

(29)

1.2 Topologia 15 (3) se z ∈A/B, ent˜ao

j(z) =

 



qC(x) se z =qA(x), x∈A\B

[D] caso contr´ario.

Observa¸cão 1.2.12. Notemos que a aplica¸cão inclusão induzida preserva ponto base.

Uma aplica¸cão inclusão induzida é chamadaadmiss´ıvel sejé cont´ınua e Cl(A\B)∩

B_∩C _⊂D. A dificuldade em mostrar que uma dada aplica¸cão induzidaj é admiss´ıvel está na continuidade de j. O próximo resultado apresenta condi¸cões para que j seja cont´ınua.

Proposi¸cão 1.2.13. Seja j : A/B → C/D uma aplica¸cão inclusão induzida. Se

Cl(A_\B)_∩A_⊂C, ent˜ao j ´e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. Definamos a aplica¸c˜ao G:A_→C/D por

G(x) =

 



qC(x) sex∈A\B

[D] caso contr´ario.

Se x _∈ A _∩ B, então G(x) = [D]. Mostremos que j é a única aplica¸cão que satisfaz G = j ◦qA e que preserva ponto base. De fato, sejam z ∈ A/B e x ∈ A

tais que z = qA(x). Se x ∈ A\ B, segue que qC(x) = G(x) = j′(qA(x)) = j′(z).

A defini¸c˜ao de j implica que j(z) = j′₍_z_{). Suponhamos que} _{x /}_∈ _A _\_B_{. Portanto,}

[D] =G(x) =j′₍_q

A(x)) =j′(z). Novamente, a defini¸c˜ao dej implica que j(z) =j′(z).

Isto mostra nossa afirma¸c˜ao.

Além disso, como qAé uma aplica¸cão quociente, j é cont´ınua se, e somente se,G é

cont´ınua. Portanto, basta mostrar que G´e cont´ınua para concluir a demonstra¸c˜ao. Sejam x0 ∈ A e U um conjunto aberto em C/D tais que G(x0) ∈ U. Temos que

existe um conjunto aberto W _⊂Y tal que W_∩C =q_C−1(U). Consideremos dois casos.

Primeiro caso: Suponhamos que x0 ∈A\B.

Definamos Ω := W ∩(A\B). Como A∩B é um conjunto fechado em A, temos que Ω é aberto em A. Além disso, como G(x0) =qC(x0)∈ U, segue que x0 ∈W ∩C,

o que implica que x0 ∈ Ω. Seja x ∈ Ω. Ent˜ao x ∈ W ∩(A\B) ⊂ W ∩C. Logo,

(30)

Segundo caso: Suponhamos que x0 ∈A∩B.

Nesta situa¸cão, temos C∩D ⊂ W. Definamos Ω := (W ∪(Y \Cl(A\B)))∩A. Então Ω é aberto emA. Sejax∈A∩B. Temos duas situa¸cões poss´ıveis: x /∈Cl(A\B) ou x _∈ Cl(A_\B). Na primeira situa¸cão, é claro que x _∈ Ω; na segunda, a hipótese Cl(A\B)∩A ⊂C implica que x∈C. Portanto, como A∩B∩C ⊂D, temos x∈D

e obtemos x∈C∩D⊂W. Logo, A∩B ⊂Ω e, conseqüentemente, x ∈Ω. Comox é um ponto arbitrário em A_∩B, temos A_∩B _⊂Ω. Em particular, segue que x0 ∈Ω.

Para finalizar, seja x _∈ Ω. Suponhamos que x _∈ A_\B. A defini¸cão de aplica¸cão induzida por inclusão implica que x _∈ C. Além disso, G(x) = qC(x). Portanto,

x ∈ Cl(A\B)∩A ⊂ C, ou seja, x ∈ W ∩C, e G(x) = qC(x) ∈ qC(W ∩C) = U.

Finalmente, suponhamos que x _∈ A _∩B. Temos G(x) = [D] _∈ U. Conclu´ımos a demonstra¸c˜ao da continuidade da aplica¸c˜ao G.

1.2.5 A adi¸

c˜

ao wedge

Discutiremos uma opera¸c˜ao entre os espa¸cos topol´ogicos com ponto base.

Defini¸c˜ao 1.2.14. Sejam(Y, y0)e(Z, z0)dois espa¸cos com ponto base. A adi¸c˜ao wedge

(Y0, yo)∨(Z0, z0)´e o espa¸co com ponto base(W, w0), sendoW =Y × {z0} ∪ {y0} ×Z ⊂

Y _×Z, w0 = (y0, z0).

Por uma questão de simplicidade, a adi¸cão wedge é freqüentemente denotada por

Y _∨Z.

Observa¸cão 1.2.15. Por resultados que não demonstraremos nesta disserta¸cão mas que podem ser encontrados em [14], a adi¸cão wedge depende somente dos tipos de homotopia dos pares (Y, y0) e (Z, z0).

Mostremos o seguinte resultado que ser´a relevante para demonstrar a Propriedade

da Adi¸c˜ao do ´ındice de Conley.

Proposi¸c˜ao 1.2.16. SejamBi um espa¸co topol´ogico e Ai um conjunto fechado em Bi,

i = 1,2. Escrevamos Y = (B1∪˙B2)/(A1∪˙A2), y0 = [A1∪˙A2], sendo que ∪˙ denota a

reuni˜ao disjunta munida da topologia da soma. Al´em disso, definamos Zi = Bi/Ai,

(31)

1.2 Topologia 17

Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que (Y, y0) e (Z1, z1)∨(Z2, z2) s˜ao homeomorfos por

um homeomorfismo que preserva ponto base. Sejam qi : Bi → Bi/Ai, i = 1,2, e

q : B _→ B/A as aplica¸c˜oes quocientes, sendo B = B1 ∪B2 e A = A1 ∪A2. Sejam

tamb´em

F1 = (B1/A1)× {[A2]} e F2 ={[A1]} ×B2/A2.

Para cada i = 1,2, seja fi : Bi/Ai → B/A a aplica¸c˜ao induzida por inclus˜ao.

Recordemos que, para cada i= 1,2,

fi(z) =

 



q(x) se z =qi(x), x∈Bi\Ai

[A] caso contr´ario.

Além disso, é claro que Cl(Bi\Ai)∩Bi ⊂B. Logo, segue da Proposi¸cão 1.2.13 quefi

´e cont´ınua, i= 1,2.

Como Ai ´e fechado em Bi para cada i= 1,2, segue queFi ´e fechado em (B1/A1)∨

(B2/A2) para cadai= 1,2. Para cadai= 1,2, sejapi a proje¸c˜ao de (B1/A1)∨(B2/A2)

sobre (Bi, Ai). Definamos f : (B1/A1)∨(B2/A2)→B/A porf|Fi =fi◦pi|Fi, i= 1,2.

Segue que f ´e cont´ınua e preserva ponto base.

Finalmente, definamos G:B1∪˙B2 →(B1/A2)∨(B2/A2) por

G(y1) = (q1(y1),[A2]), y1 ∈B1,

G(y2) = ([A1]), q2(y2)), y2 ∈B2.

Como G´e cont´ınua nos fechados Bi, i= 1,2, e B1∩B2 = ∅, segue que G´e cont´ınua.

Além disso, G leva A em _{([A1],[A2])}. Nestas condi¸cões, segue da Proposi¸cão 1.2.8

que existe uma ´unica aplica¸c˜ao cont´ınua g : B/A → (B1/A1)∨(B2/A2) que preserva

ponto base e satisfazg◦q =G.

Além disso, g é a inversa de f. De fato, como G é sobrejetora, g também o é. Portanto, basta mostrar que f _◦g = IdB/A para mostrar que g é a inversa de f. Para

(32)

18 Cap´ıtulo 1 — Preliminares generalidade, suponhamos que x∈B1. Ent˜ao

f(g(z)) =f((g◦q)(x)) = f(G(x)) =f(q1(x),[A2])

= (f1◦p1|F1) (q1(x),[A2]) =f1(q1(x)) = q(z) =z.

Caso contr´ario, z = [A] e (f ◦g)(z) =f([A1],[A2]) = [A]. Isto que encerra a

demons-tra¸c˜ao.

O próximo resultado mostra que a adi¸cão wedge é não negativa.

Proposi¸c˜ao 1.2.17. Se(Y, y0)e(Z, z0)s˜ao espa¸cos com ponto base e[(Y, y0)∨(Z, z0)] =

¯0, ent˜ao [(Y, y0)] = [(Z, z0)] = ¯0.

Demonstra¸c˜ao. Seja (W, w0) = (Y, y0)∨(Z, z0). Como [(W, w0)] = ¯0, segue que (W, w0)

é contrátil. Logo, existe uma contra¸cão H : W ×[0,1] → W satisfazendo H(w,0) =

w, H(w,1) = w0 e H(w0, s) = w0 para todo w ∈ W, s ∈ [0,1]. Mostremos que

[(Y, y0)] = ¯0. Definamos a imers˜ao e: (Y, y0)→(W, w0) por e(y) = (y, z0) e a proje¸c˜ao

p: (W, w0)→(Y, y0), por p(y, z) =y. ´E claro que ee p s˜ao cont´ınuas.

Definamos a aplica¸cão ˜H :Y _×[0,1]_→Y por ˜H(y, s) = p(H(e(y), s)). Afirmamos que ˜H é uma contra¸cão. De fato, é claro que ˜H é cont´ınua. Além disso, ˜H(y,0) =

p(H(e(y),0)) = p(e(y)) = p((y, z0)) = y para todo y ∈ Y. Mais ainda, ˜H(y,1) =

p(H(e(y),1)) = p(y0, z0) = y0 para todo y ∈ Y. Por fim, ˜H(y0, s) = p(H(e(y0), s)) =

p(H((y0, z0), s)) =p(y0, z0) = y0 para todo s∈[0,1]. Isso prova nossa afirma¸c˜ao.

Portanto, [(Y, y0)] = ¯0. De maneira an´aloga, mostramos que [(Z, z0)] = ¯0.

Dado um objeto (A, a0) emT∗, denotemos on-´esimo grupo de homotopia de (A, a0)

por πn(A, a0). De acordo com o Exerc´ıcio B.6 do Cap´ıtulo 7 de [14], temos o seguinte

resultado.

Proposi¸c˜ao 1.2.18. Dado X _∨ Y = X _{× {}y0} ∪ {x0} ×Y ⊂ X × Y, existe um

isomorfismo

πn(X∨Y,(x0, y0))∼=πn(X, x0)⊕πn(Y, y0)⊕πn+1(X×Y, X∨Y,(x0, y0)).

(33)

1.2 Topologia 19

Lema 1.2.19. Sejam(Y, y0)e(Z, z0)dois espa¸cos com ponto base e(W, w0) := (Y, y0)∨

(Z, z0). Se h(W, w0) = Σm para algum m≥0, ent˜ao

[(Y, y0)] = ¯0 ou [(Z, z0)] = ¯0.

Demonstra¸c˜ao. Consideremos o casom _≥1. Para cada n _∈ N_{, o Lema 1.2.18 implica} queπn(Y, y0)⊕πn(Z, z0) pode ser mergulhado injetivamente emπn(W, w0) eπ(Sm, s0) =

Z_{. Segue que}

πm(Y, y0) = 0 ou πm(Z, z0) = 0.

Suponhamos que πm(Y, y0) = 0. Como (W, w0) e (Sm, s0) possuem o mesmo tipo

de homotopia, segue que existem aplica¸c˜oes

f : (W, w0)→(Sm, s0) e g : (Sm, s0)→(W, w0)

tais que g _◦ f é homotópica a Id(W,w0). Logo, existe uma aplica¸cão cont´ınua H :

W ×[0,1]→W tal que H(w,0) = (f ◦g)(w), H(w,1) = we H(w0, t) =w0 para todo

w_∈W e todo t_∈[0,1].

Definamos as aplica¸c˜oes eY : (Y, y0)→(W, w0) poreY(y) = (y, z0) para todo y∈Y

epY : (W, w0)→(Y, y0) porpY(y, z) = ypara todo (y, z)∈W. ´E claro queeY epY s˜ao

cont´ınuas. Consideremos as aplica¸c˜oes cont´ınuas ˜f :=f _◦eY e ˜g :=py ◦g. Definamos

˜

H :Y ×[0,1]→Y por ˜

H(y, t) =pY(H(eY(y), t)) para todo (y, t)∈Y ×[0,1].

Temos que ˜H ´e cont´ınua, ˜H(y,0) = ( ˜f ◦g˜)(y), H(y,1) = y e H(y0, t) = y0 para todo

y ∈ Y e todo t ∈ [0,1]. Portanto, ˜g◦f˜´e homot´opica a Id(Y,y0). Como πm(Y, y0) = 0,

temos que ˜g é homotópica à aplica¸cão constante. Portanto, ˜g_◦f˜é homotopicamente nula, ou seja, (Y, y0) é contrátil e o lema está demonstrado para o caso m= 1.

Consideremos o caso m= 0. Definamos

(34)

20 Cap´ıtulo 1 — Preliminares tais que as composi¸cões f ◦g e g ◦f são homotópicas às correspondentes aplica¸cões identidade. Afirmamos que f ◦g = Id(S0_,s

0). De fato, ´e claro que (f ◦ g)(−1) =

f(g(₋1)) =f(w0) =−1. Por outro lado, h´a duas possibilidades para (f ◦g)(1): 1 ou

−1.

Se (f ◦g)(1) =−1, temos que f ◦g ´e constante. Segue que Id(S0_,s

0) ´e homot´opica

a uma fun¸c˜ao constante e, portanto, [(S0_{, s}

0)] = ¯0, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo,

(f◦g)(1) = 1 e a afirmativa est´a demonstrada.

Em particular, g ´e uma aplica¸c˜ao injetiva. Como g(−1) = (y0, z0), temos que

g(1)₆= (y0, z0). Recordemos queW =Y ×{z0}∪{y0}×Z. Logo, se g(1) = (y′, z′) para

algum y′ _∈ _Y _e _z′ _∈ _Z_{, temos} _y′ ₌_y

0 ouz′ =z0. Suponhamos que z′ =z0. Portanto,

g(1) = (y′_{, z}

0) para algum y′ ∈Y com y′ 6=y0. Afirmamos que (Z, z0) ´e contr´atil. De

fato, consideremos as aplica¸c˜oes

eZ : (Z, z0)→(W, w0) e pZ : (W, w0)→(Z, z0)

dadas por eZ(z) = (y0, z) para todo z ∈ (Z, z0) e pZ(y, z) = z para todo (y, z) ∈

(W, w0). Definamos ˜H :Z×[0,1]→Z por ˜H(z, s) =pZ(H(eZ(z), s)), (z, s)∈Z×[0,1],

sendo H uma homotopia entre g◦f e Id(W,w0).

Afirmamos que ˜H é uma contra¸cão de (Z, z0). De fato, a aplica¸cão ˜H é cont´ınua e

˜

H(z,0) = pZ(H(eZ(z),0)) =pZ(e(z)) =pZ((y0, z)) =z para todoz ∈Z. Al´em disso,

˜

H(z,1) = pZ(H(eZ(z),1)) = pZ(H((g ◦f)(eZ(z)))). Temos dois casos a condiderar:

se f((y0, z)) = 1, ent˜ao ˜H(z,1) = pZ(H(g(1))) = pZ((y′, z0)) = z0 para todo z ∈ Z;

se f((y0, z)) = −1, ent˜ao ˜H(z,1) = pZ(g(−1)) = pZ((y0, z0)) = z0 para todo z ∈ Z.

Em qualquer dos casos, temos ˜H(z,1) = z0 para todo z ∈ Z. Por fim, ˜H(z0, s) =

pZ(H(eZ(z0), s)) = pZ(H((y0, z0), s)) = pZ((y0, z0)) = z0 para todo s ∈ [0,1]. Isso

(35)

Cap´ıtulo

2 O ´ındice de Conley

Neste cap´ıtulo, apresentamos a defini¸c˜ao do ´ındice de Conley homot´opico.

Iniciare-mos com as defini¸cões básicas (Se¸cões 1 e 2) e demonstrareIniciare-mos diversos resultados. O

conceito de bloco isolante é apresentado na Se¸cão 3 e o de admissibilidade, na Se¸cão 4.

Na Se¸c˜ao 5, apresentamos o conceito de par ´ındice e enunciamos o resultado que nos

permite definir o ´ındice de Conley (ver Se¸c˜ao 6). Ilustramos os conceitos com exemplos

provenientes de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e calculamos o ´ındice de um ponto de

equil´ıbrio hiperbólico na Se¸cão 7. Finalizaremos o cap´ıtulo com a defini¸cão do ´ındice

de Conley homol´ogico.

A exposi¸c˜ao a seguir ´e baseada em [10] e [9].

2.1 Semifluxos

Defini¸c˜ao 2.1.1. Sejam X um espa¸co m´etrico, D um conjunto aberto de [0,_∞)_×X

e π :D→X uma aplica¸cão. Denotaremos os pontos π(t, x) por xπt. A aplica¸cão π é chamada um semifluxo local em X, se as seguintes propriedades forem satisfeitas:

(1) π ´e cont´ınua em D;

(36)

22 Cap´ıtulo 2 — O ´ındice de Conley (2) para cada x ∈ X, existe um ωx ∈ (0,∞] tal que (t, x) ∈ D se, e somente se,

0≤t < ωx;

(3) xπ0 = x para todo x_∈X;

(4) se (t, x)∈D e (s, xπt)∈D, então (t+s, x)∈D e vale xπ(t+s) = (xπt)πs. Observa¸cão 2.1.2. Se ωx = ∞ para todo x ∈ X, então π é chamado um semifluxo

global em X.

O próximo exemplo coloca as equa¸cões diferencias autônomas descritas na Subse¸cão

1.1.3 no contexto de semifluxos.

Exemplo 2.1.3. Sejam Ω um subconjunto aberto de Rn _e _f _{: Ω} _→ Rn _uma

apli-ca¸c˜ao cont´ınua e localmente lipschitziana. Para cada x0 ∈Ω, consideremos a equa¸c˜ao

diferencial ordin´aria

˙

x(t) = f(x(t)), x(0) =x0. (2.1)

Utilizando os fatos descritos na Subse¸c˜ao 1.1.3, para cada x _∈ Ω, existe uma ´

unica solu¸c˜ao maximal t 7→ x(t, x0) de (2.1) definida em algum intervalo maximal

(ω−(x0), ω+(x0)).

Definindo, x0πft :=x(t, x0) para x0 ∈Ω e t ∈ (ω−(x0), ω+(x0)), os fatos descritos

na Subse¸cão 1.1.3 e a Proposi¸cão 1.1.7 implicam que πf é um semifluxo local em

X := Ω.

Observa¸cão 2.1.4. Nas condi¸cões do Exemplo 2.1.3,πf é, na verdade, um fluxo local em Ω.

Sejam X um espa¸co m´etrico e π um semifluxo local em X. Denotemos por d a m´etrica emX.

Sejam π e πn, n ∈ N, semifluxos locais em X. Dizemos que a seq¨uˆencia (πn)n converge para π (e escrevemos πn → π quando n → ∞) se, para quaisquer que sejam

x∈X,t∈R+_{e seq¨uˆencias (}_x_n₎_n_em _X_{e (}_t_n₎_n_{em [0}_,_∞_{) com}_x_n_→_x_e_t_n _→_t_quando

n _{→ ∞} e xπt estiver definido, ent˜ao existe um n0 ∈ N tal que xnπntn est´a definido

(37)

2.2 Conjuntos limites 23

Exemplo 2.1.5. Seja Ω ⊂ Rn _{um conjunto aberto e, para cada} _k _∈ N_{∪ {}₀_}_{, seja}

fk : Ω →Rn uma aplica¸c˜ao cont´ınua e localmente lipschitziana. Denotemos por πfk o

semifluxo local em Ω gerado pelas solu¸c˜oes de

˙

x=fk(x), x(0) =x0,

sendo x0 ∈Ω.

Suponhamos que a seq¨uˆencia (fk)k converge uniformemente para f0 em cada

sub-conjunto compacto de Ω. A Proposi¸c˜ao 1.1.6 implica que πfk →π0 quando k → ∞.

Seja J um intervalo em R_{. Uma aplica¸cão} _σ _: _J _→ _X _{é chamada} _solu¸cão _(de

π) se, para todos t _∈ J, s _∈ [0,_∞) tais que t+s _∈ J, tivermos σ(t)πs definido e

σ(t)πs=σ(t+s).

Se 0∈ J e σ(0) =x, a aplica¸cão σ é dita uma solu¸cão por x. Se J = (−∞,∞), a aplica¸cão σ é chamada de solu¸cão completa.

Defini¸cão 2.1.6. Um ponto x0 ∈ X é chamado um equil´ıbrio de π se a fun¸cão

cons-tante σ(t) = x0, t∈[0,∞), ´e uma solu¸c˜ao de π.

2.2 Conjuntos limites

Nesta se¸c˜ao, X denota um espa¸co m´etrico e π, um semifluxo local em X.

Seja σ uma solu¸cão de π definida em [0,∞). O conjunto ω-limite, ω(σ), de σ é o conjunto de todos y _∈ X para os quais existe uma seqüência (tn)n em [0,∞), com

tn → ∞quando n → ∞, tal que σ(tn)→y quando n→ ∞.

Seja σ uma solu¸c˜ao de π definida em (−∞,0]. De forma an´aloga, podemos definir o conjuntoα-limite, ω∗₍_σ_{), de} _σ_.

Observa¸cão 2.2.1. Notemos que, seσé uma solu¸cão definida em[0,_∞), então σ(t) =

σ(0)πtpara todot _∈[0,_∞)e, portanto, o conjuntoω(σ)depende apenas de x0 :=σ(0).

Neste caso, tamb´em escrevemosω(x0)para denotar ω(σ). Para o caso de fluxos locais,

como é o caso de equa¸cões diferenciais ordinárias, também podemos escrever ω∗₍_x

0)

em vez de ω∗₍_σ₎_.

(38)

24 Cap´ıtulo 2 — O ´ındice de Conley

t∈[0, ωx). O semifluxo π é chamado do tipo gradiente com respeito a V se V é uma fun¸cão de Liapunov para π e a aplica¸cão t7→V(σ(t))é não constante sempre que σ é uma solu¸cão completa não constante de π.

Exemplo 2.2.3. Seja F : Ω _⊂ Rn _→ Rn _{uma fun¸c˜ao de classe} _C2_{. Consideremos a}

equa¸c˜ao diferencial ordin´aria

˙

x=−∇F(x) (2.2)

e seja π o semifluxo local gerado pelas solu¸cões de (2.2). Então F é uma fun¸cão de Liapunov associada a π, ou seja, π é um semifluxo (do tipo) gradiente.

Lema 2.2.4. Seja Ω um subconjunto aberto de X. Para cada x_∈Ω e cada solu¸c˜ao σ

por x, temos que σ(t)_→∂Ωquando t_→ωx. Formulando de outra maneira, para todo compacto K ⊂Ω, existe ǫ(K)>0 tal que, se t∈[ωx−ǫ, ωx), ent˜ao σ(t)∈/ K.

Demonstra¸cão. Suponhamos, por absurdo, que existam um compacto K ⊂ Ω e uma seqüência (tn)n em [0,∞) tais que tn ր ωx < ∞ quando n → ∞ e σ(tn) ∈ K

para todo n _∈ N_{. Passando a uma subseqüência se necessário, podemos supor que} (σ(tn))n converge a um ponto x0 ∈ K. Como d(K, ∂Ω) > 0, seja α > 0 tal que

Bα := {x ∈ X : d(x, x0) < α} ⊂ Ω e o aberto b´asico Bα ×[0,2α) esteja contido no

conjunto aberto_{(t, y) :y_∈Ω e t _∈[0, ωy)}. Logo existe umn0 ∈Ntal queσ(tn)∈Bα

e ωx−tn < α para n ≥ n0. Portanto, se n ≥ n0, σ(tn+s) est´a definida para todo

s∈[0,2α). Porém, comoωx < tn+α < tn+ 2α, isto é uma contradi¸cão.

Proposi¸c˜ao 2.2.5. SejamS um conjunto positivamenteπ-invariante eK um conjunto compacto tal que S _⊂K _⊂X. Ent˜ao ωx =∞ para todox∈S.

Demonstra¸c˜ao. Seja x _∈ S e suponhamos que ωx < ∞. Pelo Lema 2.2.4, existe um

ǫ >0 tal que xπt /_∈K para todot _∈[ωx−ǫ, ωx). Logo, xπt /∈S para t ∈[ωx−ǫ, ωx).

ComoS ´e positivamente invariante, temos uma contradi¸c˜ao.

Observa¸cão 2.2.6. A demonstra¸cão da Proposi¸cão 2.2.5 também segue do Lema 4.2 de [2].

Teorema 2.2.7. Sejam x ∈ X e σ : [0,∞) → X uma solu¸c˜ao por x. Se o conjunto

(39)

2.2 Conjuntos limites 25

Demonstra¸c˜ao. Temos que ω(σ) ⊂ Cl (σ([0,∞))). Por conseguinte, para mostra que

ω(σ) é compacto, é suficiente mostrar queω(σ) é fechado.

Seja (yn)n uma sequˆencia em ω(σ) tal que yn → y quando n → ∞ para algum

y∈X. Mostremos quey ∈ω(σ). Como y∈ω(σ), para cadayn, existe uma seq¨uˆencia

(t(mn))m tal que t(mn) → ∞e σ(t(mn))→yn quandom → ∞.

Escolhamos, para cada seq¨uˆencia (t(mn))m, um pontotn=t(_mn₍)_n₎> n tal que

d(σ(tn), yn)<1/n. Temos ent˜ao:

d(σ(tn), y)≤d(σ(tn), yn) + d(yn, y)<

1

n + d(yn, y).

Segue que d(σ(tn), y)→0 quandon → ∞. Comotn→ ∞quandon → ∞, segue-se

quey _∈ω(σ). Isto mostra queω(σ) ´e um conjunto fechado.

Para mostrar que ω(σ) ´e invariante, mostremos primeiro que ω(σ) ´e positivamente invariante. Sejam y _∈ ω(σ) e y1 := yπt0 para algum t0 ∈ [0, ωy). Mostremos que

y1 ∈ω(σ).

Como y_∈ω(σ), existe uma seq¨uˆencia (tn)n em [0,∞) tal que tn → ∞ e xπtn→ y

quando n→ ∞. Comoπ ´e cont´ınua, segue que

y1 =yπt0 =

³

lim

n→∞xπtn ´

πt0 = lim

n→∞(xπtn)πt0 = limn→∞xπ(t0+tn).

Definindo, para cadan _∈N_{, a seqüência (}_s_n₎_n _por _s_n _{:= (}_t₀₊_t_n_{), temos que} _s_n _{→ ∞} e xπsn → y1 quando n → ∞, ou seja, y1 ∈ ω(σ). Logo, ω(σ) é positivamente π

-invariante.

Mostremos que ω(σ) é também negativamente invariante. Sejay∈ω(σ). Devemos mostrar a existência de uma solu¸cãoµporydefinida em (−∞,0] tal queµ((−∞,0]) ⊂

ω(σ). Como y _∈ ω(σ), existe uma seq¨uˆencia (tn)n em [0,∞) tal que tn → ∞ e

σ(tn)→y quando n→ ∞.

Como tn → ∞ quando n → ∞, temos que existe um n0 ∈ N tal que tn−1 ≥ 0

para todo n _≥ n0. Consideremos a seqüência (σ(tn − 1))n≥n0. Como σ([0,∞)) é

relativamente compacto, podemos assumir que existem uma subseq¨uˆencia (σ(t1

n))n de

(σ(tn))n≥n0 e uma−1 ∈X tais que

(40)

26 Cap´ıtulo 2 — O ´ındice de Conley Segue quea−1 ∈ω(σ). Comoω(σ) ´e positivamente invariante eω(σ)⊂Clσ([0,∞)),

segue da Proposi¸c˜ao 2.2.5 queωa−1 =∞. Logo, a aplica¸c˜aoσ1 : [−1,0]→X, dada por

σ1(t) =a−1π(t+ 1),t ∈[−1,0], est´a bem definida. Al´em disso,σ1(t)∈ω(σ) para todo

t∈[−1,0]. ´E claro que σ1(0) =y.

Como t1

n → ∞ quando n → ∞, temos que existe um n10 ∈ N tal que t1n−2 ≥ 0

para todo n _≥ n1

0. Consideremos a seq¨uˆencia (σ(t1n − 2))n≥n1

0. Como σ([0,∞)) ´e

relativamente compacto, podemos assumir que existem uma subseq¨uˆencia (σ(t2

n))n de

(σ(t1

n))n≥n1

0 e uma−2 ∈X tais que

σ(t2_n)_→a−2 quando n → ∞.

Segue quea−2 ∈ω(σ). Comoω(σ) ´e positivamente invariante eω(σ)⊂Clσ([0,∞)),

segue da Proposi¸c˜ao 2.2.5 queωa−2 =∞. Logo, a aplica¸c˜aoσ2 : [−2,0]→X, dada por

σ2(t) =a−2π(t+ 2),t ∈[−2,0], est´a bem definida. Al´em disso,σ2(t)∈ω(σ) para todo

t∈[−2,0]. ´E claro que σ2(0) =y.

Repetindo indutivamente estes argumentos para um k _∈ N_{, obtemos uma solu¸c˜ao}

σk : [−k,0]→ X, dada por σk(t) = a−kπ(t+k) para t ∈[−k,0], e tal que σk(0) = y .

Al´em disso, sek′ _∈_N_{´e tal que} _k′ _{< k}_{, temos que}_σ

k(t) = σk′(t) para todot ∈[−k′,0].

Deste modo, podemos definir uma solu¸c˜aoµ: (_−∞,0]_→X dada porµ(s) =σk(s),

sendo k _∈ N _{tal que} _k _≥ _s_{. Segue que} _µ _{está bem definida,} _µ_{(0) =} _y _e _µ₍_t₎ _∈ _ω₍_σ₎ para todot ∈(−∞,0]. Logo, ω(σ) é negativamente invariante e, portanto, invariante. O teorema está demonstrado.

Observa¸cão 2.2.8. Um resultado análogo vale para ω∗(σ). Mais precisamente, se σ : (−∞,0]→X é uma solu¸cão do semifluxoπ e σ((−∞,0])é um conjunto relativamente compacto, então ω∗₍_σ₎ _{é compacto e invariante.}

Proposi¸cão 2.2.9. Seja V : X → R _{uma fun¸cão de Liapunov para} _π_{. Se} _J ₌ R+ (respectivamente, J =R−₎ _e _σ _:_J _→ _X _{é uma solu¸cão de} _π _com _σ₍_J₎ _{relativamente}

compacto, então V é constante em ω(σ) (respectivamente, em ω∗₍_σ₎₎_{. Além disso, se}

π é do tipo gradiente com respeito a V, então ω(σ) (respectivamente, ω∗₍_σ₎₎ _contém

somente equil´ıbrios de π.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que J = [0,_∞). Seja σ : [0,_∞) uma solu¸c˜ao de π com

(41)

2.2 Conjuntos limites 27 que a afirma¸c˜ao seja falsa. Logo, existem pelo menos dois pontos distintos x1 ex2 em

ω(σ) de tal modo que

V(x1)< V(x2). (2.3)

Definamos ǫ := 1₂ (V(x2)−V(x1)). Da continuidade de V, segue que existe um

δ >0 tal que

d(x, xj)< δ implica|V(x)−V(xj)|< ǫ para j = 1,2.

Comox1,x2 ∈ω(σ), podemos encontrar uma seq¨uˆencia (tn)nestritamente crescente

em [0,∞) tal que

σ(t2n)→x1 eσ(t2n+1)→x2 quando n→ ∞.

Sejan0 ∈Ntal que, para todon ≥n0, temos que d(σ(t2n), x1)< δ e d(σ(t2n+1), x2)

< δ. Portanto, para todo n≥n0,

V(x2)≤V(σ(t2n+1)) +ǫ≤V(σ(t2n)) +ǫ < V(x1) + 2ǫ.

Logo,

V(x2)−V(x1)<2ǫ para todo ǫ >0.

Fazendoǫ→0+_{, conclu´ımos que} _V₍_x

2)≤V(x1), o que contradiz (2.3).

Suponhamos agora que π seja do tipo gradiente com respeito a V e, por absurdo, que exista um x∈ω(σ) que não seja um ponto de equil´ıbrio de π. Segue do Teorema 2.2.7 que ω(σ) é invariante. Portanto, existe uma solu¸cão completa σ′ _por _x _{tal que}

σ′₍_t₎_∈ _ω₍_σ_{) para todo} _t _∈ _R_{. Como} _x _{não é ponto de equil´ıbrio, temos que} _σ′ _{é não}

constante e, portanto, a aplica¸cão t ∈ [0,∞) 7→ V(σ′₍_t_{)) =} _V₍_xπt_{) é não constante.}

Porém, isto é uma contradi¸cão.

A demonstra¸cão para o caso J = (_−∞,0] é análoga.

Corolário 2.2.10. Sejam π um semifluxo do tipo gradiente com respeito a V e σ : R _→ _X _{uma solu¸cão completa não constante de} _π _{com a propriedade de que} _σ₍R₎ _é

relativamente compacto. Nestas condi¸c˜oes, os conjuntos ω(σ) e ω∗₍_σ₎ _{s˜ao disjuntos,}

(42)

Demonstra¸cão. Comoσ(R_{) é relativamente compacto, segue que} _ω∗₍_σ_{) e} _ω₍_σ_{) são não} vazios. A Proposi¸cão 2.2.9 implica queω∗₍_σ_{) e}_ω₍_σ_{) contêm somente equil´ıbrios de} _π_.

Para completar a demonstra¸c˜ao, mostremos queω∗₍_σ_{) e} _ω₍_σ_{) s˜ao conjuntos disjuntos.}

Suponhamos, por absurdo, que exista um ponto comum x0 ∈ ω∗(σ)∩ω(σ). Isto

implica a existência de seqüências (tn)n em (−∞,0] e (sn)n em [0,∞) tais que tn →

−∞, sn → ∞, σ(tn) → x0 e σ(sn) → x0 quando n → ∞. Al´em disso, dado ǫ > 0, a

continuidade deV garante a existˆencia de um δ >0 tal que

|V(x)−V(x0)|< ǫpara d(x, x0)< δ.

Fixemost _∈R_{. Existe um} _n₀ ₌_n₀₍_t₎_∈N_{tal que, se} _n_≥_n₀_{, temos}_t _∈₍_t_n_{, s}_n_{). Al´em} disso, podemos tomar n0 ∈ N de modo que max{d(σ(tn), x0),d(σ(sn), x0)} < δ para

todon ≥n0. Ent˜ao temos

V(x0)−ǫ≤V(σ(sn))≤V(σ(t))≤V(σ(tn))≤V(x0) +ǫ para todo n≥n0.

Portanto,

|V(σ(t))−V(x0)|< ǫ para todoǫ >0.

Fazendo ǫ → 0+_{, temos} _V₍_σ₍_t_{)) =} _V₍_x

0). Como t ∈ R ´e arbitr´ario, isso significa que

V é constante ao longo da solu¸cão σ, o que é uma contradi¸cão com o fato de que V

é uma fun¸cão de Liapunov para π e σ é uma solu¸cão não constante. Isto encerra a demonstra¸cão.

2.3 Vizinhan¸

cas isolantes e blocos isolantes

Seja X um espa¸co m´etrico e π um semifluxo local emX.

Defini¸c˜ao 2.3.1. Seja Y um subconjunto de X. Definimos

Inv+_π(Y) = {x∈X :xπ[0, ωx)⊂Y}

Inv−_π(Y) =_{x_∈X :existe uma solu¸c˜ao σ : (_−∞,0]_→X por x com σ(_−∞,0]_⊂Y_}

(43)

2.3 Vizinhan¸cas isolantes e blocos isolantes 29 (a) Y ser´a chamado positivamente invariante se Y = Inv+π(Y);

(b) Y ser´a chamado negativamente invariante se Y = Inv−_π(Y);

(c) Y ser´a chamado invariantese Y = Invπ(Y).

A próxima defini¸cão é essencial na defini¸cão do ´ındice de Conley.

Defini¸cão 2.3.2. Seja N um subconjunto fechado de X. Dizemos que N é uma vizi-nhan¸ca isolante com rela¸cão a π se

Invπ(N)⊂IntX(N).

Seja K um conjunto fechado em X. Dizemos que K ´e um conjunto invariante isolado com rela¸c˜ao a π se existe um conjunto fechado N tal que

K = Invπ(N)⊂IntX(N).

Neste caso, dizemos que N ´e uma vizinhan¸ca isolante de K com rela¸c˜ao a π.

Exemplo 2.3.3. Há conjuntos invariantes que não são isolados. Consideremos a equa¸cão diferencial ordinária em R2 _{dada por}

˙

x1 =x2

˙

x2 =−x1.

(2.4)

O conjunto K =_{(0,0)_} é invariante, mas não é isolado. O retrato de fase de (2.4)é representado pela Figura 2.1.

(44)

Defini¸c˜ao 2.3.4. Seja N um subconjunto de X. Dizemos que o semifluxo local π n˜ao explode em N, se, sempre que x∈X e xπ[0, ωx)⊂N, temos ωx =∞.

Exemplo 2.3.5. SejamΩ, f e πf como no Exemplo 2.1.3. Seja N ⊂Rn um conjunto compacto. Segue que πf n˜ao explode em N.

O pr´oximo teorema, sobre conjuntos invariantes isolados, foi aplicado para

demons-trar resultados de persistência de popula¸cões modeladas por sistemas de equa¸cões de

rea¸cão-difusão e equa¸cões diferenciais ordinárias (ver [5]).

Teorema 2.3.6. Sejam π um semifluxo local, K um conjunto invariante isolado e

N uma vizinhan¸ca isolante de K tal que π n˜ao explode em N. Seja y _∈ X tal que

ωy =∞ e yπ[0,∞) ´e relativamente compacto. Se ω(y)∩K 6=∅ e ω(y)\K 6=∅, ent˜ao

Inv+_π(N)∩∂N ∩ω(y)6=∅ e Inv−_π(N)∩∂N ∩ω(y)6=∅.

Observa¸cão 2.3.7. Intuitivamente, o Teorema 2.3.6 nos diz que, se uma solu¸cão fica infinitamente próxima deK sem, no entanto, permanecer sempre próxima, então esta solu¸cão fica infinitamente próxima de Inv+(N)\K e Inv−(N)\K.

Demonstra¸cão do Teorema 2.3.6. Seja z0 ∈ ω(y)∩K. Então, existe uma seqüência

(tn)n em [0,∞) tal que tn → ∞ e yπtn → z0 quando n → ∞. Como N ´e uma

vizinhan¸ca isolante deK ez0 ∈K, podemos assumir, sem perda de generalidade, que

yπtn∈IntX(N) para todo n∈N.

Recordemos que K ´e o conjunto invariante maximal em N e que ω(y) ´e invariante, com ω(y)_⊂K. Logo, ω(y)_6⊂N. Seja z′

0 ∈ω(y)\N. Portanto, existe uma seq¨uˆencia

(t′

n)nem [0,∞) comt′n→ ∞eyπt′n→z0′ quandon → ∞. ComoN ´e fechado, podemos

assumir que yπt′

n ∈/ N para todo n ∈N. Tomando subseq¨uˆencias e reenumerando-as,

se necess´ario, podemos assumir que

t′₂_n < tn< t2′n+1, para todo n∈N.

Definamos

s2n= inf{t:t′2n< t < tn e yπ[t, tn]⊂N}

(45)

2.3 Vizinhan¸cas isolantes e blocos isolantes 31 Temos que t′

2n < s2n< tn < s2n+1 < t′2n+1 para todon∈N e

yπ[s2n, s2n+1]⊂N, yπs2n∈∂N e yπs2n+1 ∈∂N para todon ∈N. (2.5)

Como yπ[0,∞) ´e relativamente compacto, podemos assumir que

yπs2n →z1 e πs2n+1 →z2 quando n → ∞

para elementosz1, z2 ∈X.

Segue da rela¸c˜ao (2.5) que z1, z2 ∈ ∂N. Portanto, z1, z2 ∈ ω(y) ∩ ∂N. Para

completar a demonstra¸c˜ao, mostremos quez1 ∈Inv+π(N) ez2 ∈Inv−π(N). Como π n˜ao

explode em N,K _⊂IntX(N) eK ´e invariante, temos quez0πt est´a definido para todo

t∈[0,∞) e z0π[0,∞)⊂IntX(N).

Afirmamos que s2n+1 − tn → ∞ quando n → ∞. De fato, suponhamos que a

afirmativa seja falsa. Então existe uma subseqüência (s2nk+1−tnk)k de (s2n−tn)n tal

que (s2nk+1−tnk)k → τ quando k → ∞ para algum τ ∈[0,∞). A continuidade de π

implica que

yπs2nk+1 = (yπtnk)π(s2nk+1−tnk)→z0πτ ∈K.

Por outro lado, yπs2nk+1 →z2 quando k → ∞. Portanto, z2 =z0πτ ∈K∩∂N, o que

contradiz o fato deN ser uma vizinhan¸ca isolante de K. Logo,s2n+1−tn→ ∞quando

n _{→ ∞}. Como s2n+1 −s2n > s2n−tn, temos tamb´em que s2n+1−s2n → ∞ quando

n→ ∞.

Sejam t ∈ [0, ωz1) e n0 ∈ N tal que s2n+t < s2n+1 para todo n > n0. Portanto,

yπ(s2n+t)→z1πt∈ N para todot ∈[0, ωz1). Como π n˜ao explode em N, segue que

ωz1 =∞ e z1 ∈Inv

+

π(N).

Comos2n+1 → ∞quandon → ∞, temos que existe umn0 ∈Ntal ques2n+1−1≥0

para todo n _≥ n0. Consideremos a seqüência (yπ(s2n+1 −1))n≥n0. Como yπ[0,∞) é

relativamente compacto, podemos assumir que existem uma subseq¨uˆencia (yπs2n1₊₁)_n

de (yπs2n+1)n≥n0 e um a−1 ∈X tais que

(46)

32 Cap´ıtulo 2 — O ´ındice de Conley Segue que a−1 ∈ ω(σ). Como ω(σ) ⊂ Cl(yπ[0,∞)) e ω(σ) ´e positivamente

invari-ante, segue da Proposi¸c˜ao 2.2.5 que ωa−1 = ∞. Logo, a aplica¸c˜ao σ1 : [−1,0] → X,

dada por σ1(t) = a−1π(t+ 1) para todo t ∈ [−1,0], est´a bem definida. Al´em disso,

σ(t)∈N para todot ∈[−1,0] e σ1(0) =z2.

Comos2n1₊₁ → ∞quandon→ ∞, temos que existe umn1

0 ∈Ntal ques2n1₊₁−2≥

0 para todon_≥n1

0. Consideremos a seq¨uˆencia (yπ(s2n1

+1−2))n≥n1

0. Como yπ[0,∞) ´e

relativamente compacto, podemos assumir que existem uma subseq¨uˆencia (yπs2n2₊₁)_n

de (yπs2n1₊₁)

n≥n1

0 e um a−2 ∈X tais que

yπ(s2n2

+1−2)→a−2 quandon → ∞.

Segue que a−2 ∈ ω(σ). Como ω(σ) ⊂ Cl(yπ[0,∞)) e ω(σ) ´e positivamente

invari-ante, segue da Proposi¸c˜ao 2.2.5 que ωa−2 = ∞. Logo, a aplica¸c˜ao σ2 : [−2,0] → X,

dada por σ2(t) = a−2π(t+ 2) para todo t ∈ [−2,0], est´a bem definida. Al´em disso,

σ(t)∈N para todot ∈[−2,0] e σ2(0) =z2.

Repetindo indutivamente estes argumentos para um k _∈ N_{, obtemos uma solu¸c˜ao}

σk: [−k,0]→X, dada por σk(t) = a−kπ(t+k) parat ∈[−k,0], e tal que σk(0) =z2 .

Al´em disso, sek′ _∈_N_{´e tal que} _k′ _{< k}_{, temos que}_σ

k(t) = σk′(t) para todot ∈[−k′,0].

Deste modo, podemos definir uma solu¸c˜aoσ: (_−∞,0]_→X dada porσ(s) =σk(s),

sendo k_∈ N_{tal que} _k _≥_s_{. Segue que} _σ _{est´a bem definida,} _σ_{(0) =}_z₂ _e _σ₍_t₎_∈_N _para todot∈(−∞,0]. Portanto,z2 ∈Invπ(N), o que completa a demonstra¸c˜ao.

Corol´ario 2.3.8. Sob as hip´oteses do Teorema 2.3.6, os conjuntos(Inv+_π(N)\K)∩ω(y)

e (Inv−_π(N)_\K)_∩ω(y) s˜ao infinitos.

Demonstra¸cão. SejaV = IntX(N). EntãoK ⊂V ⊂N. Como Xé um espa¸co normal,

existem conjuntos abertosV1, W1tais queV1∩W1 =∅eK ⊂V1,X\W1 ⊂V. Portanto,

K ⊂V1 ⊂X\W1 ⊂V. Repetindo este argumento, obtemos seq¨uˆencias (Vn)n e (Wn)n

de abertos tais que

K ⊂Vn+1 ⊂X\Wn+1 ⊂Vn⊂X\Wn ⊂V para todon ∈N.

Para cadan _∈N_{, definamos}_N_n _:=_X_\_W_n_{. ´}_{E claro que}

(47)

2.3 Vizinhan¸cas isolantes e blocos isolantes 33 Aplicando o Teorema 2.3.6 e usando (2.6), obtemos seq¨uˆencias (un)n, (vn)n com

un ∈Inv+π(N)∩∂Nn∩ω(y) e vn∈Inv−π(N)∩∂Nn∩ω(y) para todo n∈N.

Para cadan_∈N_{, temos que}_∂N_n_∩_V_n₌_∅_{. Como}_∂N_n₊₁ _⊂_V_n_{, segue que}_∂N_n_∩_∂N_n₊₁ ₌

∅. Logo, para todosn, m∈N _com _n₆₌_m_{, temos que} _u_n₆₌_u_m _e_v_n₆₌_v_m_{. Isto prova o} corol´ario.

Um objeto importante na teoria do ´ındice de Conley ´e o bloco isolante.

Apresente-mos sua defini¸c˜ao.

Sejam B _⊂ X um conjunto fechado e x _∈ ∂B um ponto de fronteira. O ponto x

ser´a chamado pontoestritamente egresso deB se, para toda solu¸c˜aoσ : [−δ1, δ2]→X

porx=σ(0), com δ1 ≥0 e δ2 >0, valerem as seguintes propriedades:

(1) Existe umǫ2 ∈(0, δ2] tal queσ(t)∈/ B para t∈(0, ǫ2];

(2) Seδ1 >0, ent˜ao, para algum ǫ1 ∈(0, δ1), σ(t)∈IntX(B) parat ∈[−ǫ1,0).

Um pontox_∈∂Bser´a chamadoponto estritamente ingressose valerem as condi¸c˜oes: (1) Existe umǫ2 ∈(0, δ2] tal queσ(t)∈IntX(B) parat∈(0, ǫ2];

(2) Seδ1 >0, ent˜ao, para algum ǫ1 ∈(0, δ1), σ(t)∈/ B para todo t∈[−ǫ1,0).

Da mesma maneira, por ponto de tangˆencia entendemos um ponto x_∈∂B tal que: (1) Existe umǫ2 ∈(0, δ2] tal queσ(t)∈/ B para t∈(0, ǫ2];

(2) Seδ1 >0, ent˜ao, para algum ǫ1 ∈(0, δ1), σ(t)∈/ B para todo t∈[−ǫ1,0).

Denotamos por Be_,_Bi _e_Bb _{os conjuntos de todos os pontos estritamente egressos,}

estritamente ingressos e de tangˆencia do conjunto fechado B, respectivamente. Por fim, definimos B+ ₌_Bi_∪_Bb _e_B−₌_Be_∪_Bb_.

Defini¸c˜ao 2.3.9. Um conjunto fechado B de X ´e chamado bloco isolante se

(1) ∂B=Be_∪_Bi_∪_Bb_;

(48)

i

B x1∈

e B x2∈

b B x3∈

B

Figura 2.2: Bloco isolante

O Teorema 2.3.11 apresenta a propriedade fundamental dos blocos isolantes. Para

demonstr´a-lo, precisaremos do seguinte resultado auxiliar.

Lema 2.3.10. Sejam π um semifluxo local e B um bloco isolante relativamente a π. Assumamos que π n˜ao exploda em B. A aplica¸c˜ao sB :B →R+∪ {∞} definida por

sB(x) = sup{t < ωx :xπ[0, t]⊂B} ´e cont´ınua.

Demonstra¸cão. Dado x _∈B, seja (xn)n uma seqüência em B tal que xn → x quando

n→ ∞.

Suponhamos quesB(x)∈[0,∞). Comoπ n˜ao explode emB, segue quesB(x)< ωx

e xπsB(x) ∈ ∂B. A Defini¸c˜ao 2.3.9 implica que xπsB(x) ∈ B−. Portanto, existe um

ǫ0 >0 tal que, para todoǫ∈(0, ǫ0], temos

xπ(sB(x) +ǫ)∈X\B.

A continuidade deπimplica que existe umn0 ∈Ntal que, sen ≥n0, temosxnπ(sB(x)+

ǫ) est´a definido e xnπ(sB(x) +ǫ)∈X\B para todon ≥n0. Portanto,

sB(xn)< sB(x) +ǫ para todon ≥n0. (2.7)

Como B ´e bloco isolante, segue que xπt est´a definido para todo t _∈ [0, sB(x)) e

xπ(0, sB(x))⊂IntX(B).