3 funcionários 4 funcionários 5 funcionários
010203040
Minutos
(a) M´edia do Pemanˆencia
3 funcionários 4 funcionários 5 funcionários
300400500
Minutos
(b) Tempo l´ıquido de trabalho m´edio
Figura 3: Boxplots para algumas das vari´aveis estudadas.
De acordo com os resultados obtidos atrav´es do m´etodo de Monte Carlo Simples, podemos descartar a op¸c˜ao com apenas 3 funcion´arios, pois uma loteria jamais comportaria mais de 300 clientes esperando atendimento e, al´em disso, para esse cen´ario, alguns clientes v˜ao esperar at´e 1:30h para serem atendidos, o que ´e inaceit´avel. Analisando o funcionamento com 4 funcion´arios os resultados foram satisfat´orios a menos do n´umero m´aximo de clientes no estabelecimento, que chega em m´edia a 90. Por outro lado o funcionamento com 5 funcion´arios indica ociosidade, o que pode n˜ao ser interessante para o propriet´ario do estabelecimento. Note que a decis˜ao ´otima para este m´etodo ´e a loteria funcionar com 4 funcion´arios.
Essa ´e apenas uma poss´ıvel solu¸c˜ao para resolver esse problema, onde o n´umero de funcion´arios ´e fixado e os cen´arios s˜ao simulados para comparados entre si para escolhermos o melhor entre eles. A seguir, vamos discutir uma solu¸c˜ao mais eficiente para este problema.
4.3 Solu¸ c˜ ao via MCMC
Outras poss´ıveis solu¸c˜oes que supo˜em diferentes n´umeros de funcion´arios (diferentes de 3, 4 ou 5 funcion´arios) poderiam ter sido testadas caso fossem consideradas solu¸c˜oes vi´aveis para este problema. Uma limita¸c˜ao do M´etodo de Monte Carolo Simples ´e que cada nova solu¸c˜ao precisaria ser simulada separadamente e, a seguir, comparada com as demais para decidir qual a melhor. Para evitar esta limita¸c˜ao, nesta se¸c˜ao vamos utilizar o m´etodo proposto por [1], discutido na Se¸c˜ao 3.2, que torna a busca por solu¸c˜oes mais automatizada.
4.3 Solu¸c˜ao via MCMC 18
4.3.1 Definindo a Fun¸ c˜ ao de Utilidade
Para implementar o m´etodo de [1], ´e necess´ario definir uma fun¸c˜aode utilidade que represente o ganho da casa lot´erica de acordo com cada poss´ıvel cen´ario. Para isso, adotaremos as seguintes hip´otese a seguir
• O n´umero de clientes atendidos em um dia segue um processo de Poisson n˜ ao-homogˆeneo com m´edia descrita pela equa¸c˜ao 4.1;
• O tempo gasto para o atendimento de cada cliente segue uma distribui¸c˜ao exponencial com as m´edias descritas como na Se¸c˜ao 4.1, dependendo do tipo de servi¸co realizado pelo atendente;
• A carga hor´ario de trabalho para cada funcion´ario ´e de 8 horas di´arias; e
• O tempo de permanˆencia dos clientes dentro da casa lot´erica segue uma dsitribui¸c˜ao exponecial com m´edia de 6 minutos dividido pelo o n´umero de funcion´arios, ou seja, para apenas um funcion´ario trabalhando o tempo m´edio de permanˆencia ´e de 6 minutos, para dois funcion´arios trabalhando o tempo m´edio de permanˆencia
´
e de 3 minutos e assim sucessivamente. De fato, ´e natural pensar que quanto maior a quantidade de funcion´arios trabalhando, menor ´e o tempo de espera para atendimento.
Estabelecidas as hip´oteses para o modelo, a seguinte nota¸c˜ao ser´a utilizada para as vari´aveis envolvidas na fun¸c˜ao:
• N ser´a o n´umero total de clientes atendidos em um dia pela casa lot´erica; N segue um processo de Poisson n˜ao-homogˆeneo com m´edia descrita pela equa¸c˜ao 4.1;
• Nc ∼ Binomial(N; 0,4) ser´a o n´umero de clientes atendidos em um dia pela casa lot´erica para pagar contas;
• Tc ∼ Exponencial(1), ser´a o tempo gasto (em minutos) por um funcion´ario para atender um cliente que paga uma conta; supondo que todos os atendimentos s˜ao independentes,
Nc
X
i=1
(Tc)i ∼Gama(Nc,1), ser´a o tempo necess´ario para o recebimento do pagamento de todas as contas ao longo do dia;
• Na=N−Nc, ser´a o n´umero de clientes atendidos em um dia que realizam apostas;
4.3 Solu¸c˜ao via MCMC 19
• Ta ∼ Exponencial(2), ser´a o tempo gasto (em minutos) por um funcion´ario para atender um cliente que realiza uma aposta; novamente supondo que todos os atendimentos s˜ao independentes,
Na
X
i=1
(Ta)i ∼Gama(Na,2), ser´a o tempo gasto para o processamento de todas as apostas feitas em um dia;
• CH ´e carga hor´aria de um funcion´ario, fixa e assumida como 8 h/dia, ou seja, CH = 480 minutos/dia;
• Nf ser´a o n´umero de funcion´arios trabalhando em um dia;
• Te ∼ Exponencial(Nf/6), ser´a o tempo de espera de um cliente de acordo com o n´umero de funcion´arios trabalhando; dessa forma, supondo independˆencia,
N
X
i=1
(Te)i ∼ Gama(N, Nf/6), ser´a o tempo total de espera de todos os clientes em um dia.
Definidas estas quantidades, adotaremos a seguinte express˜ao para a fun¸c˜ao utilidade:
u(Tc, Ta, Te, CH, Nf) =
representa o tempo que ser´a necess´ario para atender todos os clientes que chegam `a loteria ao longo do dia, o termo CH ×Nf representa o tempo de trabalho total dispon´ıvel para atender os clientes em um dia e o termo
N
X
i=1
(Te)i representa o total de espera de todos os clientes. Note que, a express˜ao CH ×Nf −
Nc
representa o tempo ocioso total dos funcion´arios, caso haja mais funcion´arios que o necess´ario para atender `a demanda de clientes, que deve ser o menor poss´ıvel. Assim, como queremos pensar em termos de ganho para a loteria, maximizando a fun¸c˜ao, tomamos “menos” nesta express˜ao na fun¸c˜ao de utilidade. O termo PN
i=1(Te)i funciona como uma esp´ecie de penalidade para longos tempos de espera, que tamb´em devem ser evitados. Por fim, o ´ultimo termo K ´e uma constante adicionada ao modelo para que a fun¸c˜ao fique positiva, uma vez que queremos olhar para ela como uma fun¸c˜ao de probabilidade artificial. Esta constante n˜ao altera a moda da fun¸c˜ao de utilidade esperada, funcionando apenas como um artif´ıcil computacional para o algoritmo funcionar.
4.3 Solu¸c˜ao via MCMC 20
Tei como as v.a’s associadas aos estados da natureza.
Com o objetivo de maximizar a esperan¸ca do fun¸c˜ao de utilidade representada pela express˜ao (4.3.1), faremos uso do algoritmo proposto na Se¸c˜ao 3.2.
4.3.2 Resultados
Implementamos o algoritmo como descrito na Se¸c˜ao 3.2 para resolver o problema da escolha ´otima do n´umero de funcion´arios para a loteria. Para isso, utilizamos como distribui¸c˜ao proposta para a vari´avel de decis˜ao (Nf) uma distribui¸c˜ao de Poisson com m´edia de 4 funcion´arios. Foram utilizadas 4000 itera¸c˜oes para o MCMC, onde essas itera¸c˜oes representam simula¸c˜oes de diferentes dias de trabalho, e descartamos 1000 itera¸c˜oes (como burn-in).
A seguir, apresentamos os gr´aficos correspondentes aos resultados obtidos. Na Figura 4, representamos duas cadeias independentes iniciadas de valores diferentes, simuladas com o objetivo de verificar a convergˆencia do algoritmo. Note que ambas as cadeias geradas convergem para o mesmo valor, que no caso indica o n´umero ideal de funcion´arios.
iterações
nº funcionários
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
246810
Figura 4: Gr´afico de duas cadeias independentes para a vari´avel de decis˜ao Nf, geradas via MCMC.
De acordo com o gr´afico de barras do n´umero de funcin´arios (Figura 5), a solu¸c˜ao
´
otima pode ser lida como a moda deste gr´afico, ou seja, o m´etodo indica que a melhor alternativa ´e contratar 4 funcion´arios.
4.3 Solu¸c˜ao via MCMC 21
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12
nº funcionários freq. absoluta 0200400
Figura 5: Gr´afico de barras do n´umero de funcion´arios proposto.
O gr´afico na Figura 6, representa a curva ajustada atrav´es de suaviza¸c˜ao splines (feita com a fun¸c˜asmooth.spline do R) dos pares Nf (n´umero de funcion´arios) versus fun¸c˜ao de utilidade gerados a cada itera¸c˜ao. Este gr´afico ´e uma forma alternativa de localizar a solu¸c˜ao ´otima na qual o n´umero ideal de funcion´arios ´e a moda da curva ajustada.
2 4 6 8 10 12
0200040006000
nº funcionários
função de utilidade
Figura 6: Gr´afico da fun¸c˜ao de utilidade esperada.
Ambos os m´etodos encontraram a mesma solu¸c˜ao para o problema, por´em a simula¸c˜ao de Monte Carlo via Cadeias de Markov apresentou vantagens devido a ser um m´etodo automatizado, onde em apenas uma simula¸c˜ao oferece a decis˜ao ´otima entre todas as poss´ıveis decis˜oes. J´a na simula¸c˜ao de Monte Carlo simples ´e necess´ario simular os cen´arios um a um, para obter a decis˜ao ´otima.
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