Natan Sant Anna Borges. Simulação do Funcionamento de uma Casa

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Natan Sant Anna Borges

Simula¸ c˜ ao do Funcionamento de uma Casa Lot´ erica

Niter´oi - RJ, Brasil 21 de fevereiro de 2015

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Universidade Federal Fluminense

Natan Sant Anna Borges

Simula¸ c˜ ao do Funcionamento de uma Casa Lot´ erica

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientadora: Prof. Mariana Albi de Oliveira Souza

Niter´oi - RJ, Brasil 21 de fevereiro de 2015

i

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Universidade Federal Fluminense

Natan Sant Anna Borges

Simula¸ c˜ ao do Funcionamento de uma Casa Lot´ erica

Monografia de Projeto Final de Gradua¸c˜ao sob o t´ıtulo

“Simula¸cão do Funcionamento de uma Casa Lotérica”, defendida por Natan Sant Anna Borges e aprovada em 21 de fevereiro de 2015, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Profa. Dra. Mariana Albi de Oliveira Souza Orientadora Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Jony Arrais Pinto Junior Departamento de Estat´ıstica – UFF

Profa. Dra. Kelly Cristina Mota Gon¸calves Departamento de Estat´ıstica – UFF

Niter´oi, 21 de fevereiro de 2015

ii

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Borges, Natan Sant’Anna

Simulação do funcionamento de uma casa lotérica / ^Natan Sant’Anna Borges; Mariana Albi de Oliveira Souza, orientadora. Niterói, 2015.

32 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Estatísticaa ) – Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática e Estatística, Niterói, 2015.

1. Distribuição hiperbólica generalizada assimétrica t- Student (GHsT). 2. Séries temporais. 3. Previsão. 4. Value at risk (VaR). I. Souza, Mariana Albi de Oliveira, orientadora.

II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática e Estatística. III. Título.

CDD -

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Resumo

Este trabalho se baseia no exemplo de um sistema de uma casa lotérica para o qual é proposto o uso de Teoria da Decisão e algoritmos de otimiza¸cão para maximizar a esperan¸ca da fun¸cão utilidade que defini o sistema, a fim de determinar quantos funcionários seriam ideias para um bom funcionamento da casa lotérica. Para resolver o problema da maximiza¸cão da utilidade esperada sob uma perspectiva Bayesiana, o principal método utilizado se baseou na gerado¸cão de amostras de uma distribui¸cão artificial, definida à partir da fun¸cão de utilidade, utilizando o método de Monte Carlo via Cadeias de Markov para encontrar uma solu¸cão ótima do problema.

Palavras-chaves: Teoria da Decisão, fun¸cão de utilidade, maximiza¸cão da utilidade esperada, Monte Carlo via Cadeias de Markov

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Agradecimentos

Primeiramente agrade¸co a Deus, por todos os objetivos alcan¸cados.

Agrade¸co `a minha fam´ılia pelo apoio incondicional durante esses anos.

A Ranah pelo amor, compreens˜ao e amizade. Por me apoiar em cada decis˜ao tomada e por me fazer cada dia mais feliz.

Aos professores do GET - UFF, respons´aveis pela minha forma¸c˜ao. Em particular, a minha orientadora, Professora Mariana, e as Professoras Jessica e Ana Maria.

Aos meus amigos da UFF por cada risada, cada momento de sofrimento, cada encontro na escada do IME, cada churrasco no DCE, cada chopada, cada dia de estudo na sala de monitoria, pela parceria nos bons e nos maus momentos. Em especial, agrade¸co a Cissa, Nadine, Pablo, Paulista, Everson, Bruno, Thalita, Paola, Dani, China, Mayro, Rosana e Fabricio.

Aos amigos de fora da UFF por entenderem as diversas vezes que estive ocupado com a gradua¸c˜ao, me ajudarem, incentivarem e n˜ao me abandonarem mesmo com a falta de tempo.

A todos que ajudaram na minha forma¸c˜ao direta ou indiretamente, meu agradecimento

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Sum´ ario

Lista de Figuras p. vii

Lista de Tabelas p. viii

1 Introdu¸c˜ao p. 1

1.1 Objetivo . . . p. 1 1.2 Organiza¸c˜ao do texto . . . p. 2

2 Revis˜ao de Literatura p. 3

2.1 Inferência Bayesiana . . . p. 3 2.2 Teoria da Decisão . . . p. 4 2.2.1 Introdu¸cão . . . p. 4 2.2.2 Fun¸cão utilidade . . . p. 5 2.3 Método de Monte Carlo via Cadeia de Markov . . . p. 6 2.3.1 Metropolis-Hastings . . . p. 7 2.3.2 Amostrador de Gibs . . . p. 8

3 M´etodos p. 10

3.1 Simula¸c˜ao de Monte Carlo . . . p. 11 3.2 Simula¸c˜ao de Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . p. 11

4 Aplica¸c˜ao p. 14

4.1 Funcionamento da Casa Lotérica . . . p. 14 4.2 Uma Poss´ıvel Solu¸cão: Método de Monte Carlo Simples . . . p. 15

(8)

4.2.1 Descri¸cão da Simula¸cão . . . p. 16 4.2.2 Resultados . . . p. 16 4.3 Solu¸cão via MCMC . . . p. 17 4.3.1 Definindo a Fun¸cão de Utilidade . . . p. 18 4.3.2 Resultados . . . p. 20

5 Conclus˜oes p. 22

Referˆencias p. 23

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Lista de Figuras

1 Ilustra¸cão de um Diagrama de Influência. . . p. 5 2 Taxa média de chegada de clientes ao longo do dia. . . p. 15 3 Boxplots para algumas das variáveis estudadas. . . p. 17 4 Gráfico de duas cadeias independentes para a variável de decisão N_f,

geradas via MCMC. . . p. 20 5 Gráfico de barras do número de funcionários proposto. . . p. 21 6 Gráfico da fun¸cão de utilidade esperada. . . p. 21

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Lista de Tabelas

1 M´edias dos resultados para cada um dos cen´arios. . . p. 16

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1

1 Introdu¸ c˜ ao

Em decorrência dos avan¸cos tecnológicos, as casas lotéricas, também chamadas de loterias, têm sofrido uma perda de clientes que utilizam esse tipo de servi¸co, já que está cada dia mais fácil fazer simples tarefas sem sair de casa. Para as loterias terem competitividade com os servi¸cosonline é necessário que apresentem boas condi¸cões para os clientes, como a redu¸cão das filas e consequentemente no tempo de espera, ou seja, é necessário otimizar o seu funcionamento.

Problemas práticos de otimiza¸cão muitas vezes são problemas de otimiza¸cão estocástica, onde algumas variáveis não são determin´ısticas e a solu¸cão anal´ıtica em geral

´e bastante complicada.

Um exemplo de problema de otimiza¸cão estocástica que pode ser resolvido por simula¸cão é o de encontrar o número m´ınimo de funcionários para trabalhar em uma loteria de forma a minimizar os custos sem comprometer o atendimento dos clientes. A loteria é simplesmente um poss´ıvel contexto, o mesmo problema poderia ser apresentado como encontrar o número de caixas trabalhando em um supermercado ou o número de atendentes em um call center. Nesses exemplos, o número de clientes por dia (ou por intervalos do dia) e o tempo de atendimento de cada cliente são variáveis aleatórias, e por isso o problema em questão não é determin´ıstico.

1.1 Objetivo

O objetivo desse trabalho é apresentar uma solu¸cão para o problema da otimiza¸cão do funcionamento de uma casa lotérica, a partir da Teoria da Decisão e de métodos de amostragem de Monte Carlo. Mais especificamente, o objetivo é resolver o problema de determinar o número m´ınimo de funcionários (caixas) trabalhando em uma casa lotérica, de forma a não comprometer o tempo de espera para o atendimento dos clientes. A ideia neste caso é que a solu¸cão seja encontrada de forma automatizada, indicando o melhor

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1.2 Organiza¸c˜ao do texto 2

cenário dentre um conjunto de solu¸cões poss´ıveis, sem que seja necessário simular cada um deles separadamente.

Para alcan¸car este objetivo, inicialmente será realizada uma breve revisão sobre Inferência bayesiana, Teoria da Decisão e Métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC). Estes conceitos servirão de base para o método de otimiza¸cão proposto por [1], que será apresentado no Cap´ıtulo 3.

1.2 Organiza¸ c˜ ao do texto

Esta monografia está dividida em 5 cap´ıtulos, incluindo a Introdu¸cão. No Cap´ıtulo 2 é feita uma revisão geral de Inferência bayesiana, Teoria da Decisão e alguns conceitos básicos sobre métodos de MCMC. No Cap´ıtulo 3 são apresentados algoritmos para busca de solu¸cões ótimas baseados em simula¸cão, cujo objetivo é a maximiza¸cão da fun¸cão de utilidade esperada (definida no Cap´ıtulo 2). Em particular, nosso interesse será em utilizar algoritmos de otimiza¸cão estocásticos baseados em métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov. O Cap´ıtulo 4 apresenta uma aplica¸cão dos métodos de maximiza¸cão da utilidade esperada tratados no cap´ıtulo anterior, na qual discutimos duas poss´ıveis solu¸cões para o problema de funcionamento de uma casa lotérica: uma solo¸cão encontrada através do método de MCMC e uma solu¸cão encontrada através de métodos de Monte Carlo Simples para fins comparativos. O Cap´ıtulo 6 conclui o trabalho comparando as solu¸cões apresentadas e discutindo poss´ıveis extensões deste trabalho.

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3

2 Revis˜ ao de Literatura

Neste cap´ıtulo serão revisados os principais tópicos da Inferência bayesiana, Teoria da Decisão e Métodos de MCMC, os quais serão úteis para o desenvolvimento deste trabalho. Estudos mais espec´ıficos sobre esses temas podem ser encontrado em [2],[3] e [4], respectivamente.

2.1 Inferˆ encia Bayesiana

Seja uma popula¸cão caracterizada por um vetor aleatório Y com fun¸cão de probabilidade (ou fun¸cão de densidade de probabilidade)p(y|θ), em que θé um vetor de parâmetros de tamanho p ≥1, pertencente a um espa¸co paramétrico Θ. Na abordagem bayesiana,θ é representado probabilisticamente através de uma fun¸cão de (densidade de) probabilidade, chamada de distribui¸cãoa priori e denotada porp(θ), ondep(θ) representa a cren¸ca ou informa¸cão dispon´ıvel a respeito do vetor de parâmetros antes de realizar o experimento. A partir de uma amostra y da popula¸cão, a informa¸cão sobre o vetor de parâmetros θ é atualizada com os dados desta amostra, resultando a distribui¸cão a posteriori p(θ|y).

A distribui¸cãoa posteriori p(θ|y), é obtida através do Teorema de Bayes, da seguinte forma:

p(θ|y) = p(y,θ)

p(y) = p(y|θ)p(θ) p(y) , em que

p(y) = Z

Θ

p(y,θ)dθ = Z

Θ

p(y|θ)p(θ)dθ, onde Θ´e o espa¸co param´etrico de θ.

Nota-se que p(y) passa a ser uma constante normalizadora, pois n˜ao depende de θ.

Desta forma, a distribui¸c˜ao a posteriori ´e muitas vezes apresentada como:

p(θ|y)∝p(y|θ)p(θ),

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2.2 Teoria da Decis˜ao 4

ou seja, a distribui¸cãoa posteriori é proporcional ao produto da fun¸cão de verossimilhan¸ca e a distribui¸cão a priori.

No caso em que admite-se distribui¸c˜ao discreta para θ, a integral no c´alculo dep(y)

´e naturalmente substitu´ıda por um somat´orio emθ.

Todo o processo de Inferência bayesiana baseia-se na distribui¸cãoa posteriori. Nesta distribui¸cão, por sua vez, está contida toda a informa¸cão probabil´ıstica necessária sobre o parâmetro. Nos casos em que é necessário resumir esta informa¸cão pode-se utilizar a estima¸cão. Em particular, na estima¸cão pontual de θ é poss´ıvel resumir a distribui¸cão a posteriori através de um único valor, ˆθ. Em Inferência bayesiana, a maneira mais fácil de entender a escolha de ˆθ é através do contexto de Teoria da Decisão.

2.2 Teoria da Decis˜ ao

2.2.1 Introdu¸ c˜ ao

Teoria da decisão, como o nome diz, trata do problema de tomada de decisões. Teoria da Decisão para finalidade estat´ıstica se preocupa em tomada de decisões na presen¸ca de conhecimento estat´ıstico que tenta controlar algumas das incertezas envolvidas no problema.

Um problema de decis˜ao fica completamente especificado pela descri¸c˜ao dos seguintes espa¸cos:

• Θ, espa¸co do parˆametro ou estados da natureza;

• X, conjunto de v.a. associadas aos estados da natureza;

• A, espa¸co de poss´ıveis a¸c˜oes ou decis˜oes.

A cada decisãoa ∈ Atomada, dadas as informa¸cõesx∈ X associadas a cada poss´ıvel valor do parâmetro θ ∈ Θ, uma consequência é gerada, e quantificada através de uma fun¸cão real:

F : Θ× X × A →IR

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2.2 Teoria da Decis˜ao 5

Um problema de decisão pode ser representado gráficamente através do chamado Diagrama de Influência (conforme representado na Figura 1), que explicita as rela¸cões de dependência entre as quantidades envolvidas no problema.

a c X

q

Figura 1: Ilustra¸c˜ao de um Diagrama de Influˆencia.

A fun¸cão F pode ser vista de maneira pessimista (pensando na consequência como uma perda) ou pode ser vista de maneira otimista (pensando na consequência como um ganho) denotadas, em geral, como:

• Fun¸c˜ao Perda: L(θ,x,a); ou

• Fun¸c˜ao Utilidade: u(θ,x,a).

Sob o ponto de vista bayesiano, um estimador ótimo paraθ é uma decisãoa (fun¸cão das observa¸cões x) que minimiza uma fun¸cão perda esperada (isto é, que minimiza a esperan¸ca, com rela¸cão a distribui¸cão a posteriori de θ, de uma fun¸cão perda); e este estimador é chamado estimador de Bayes.

Para cada fun¸cão perda, podemos definir, de forma equivalente, uma fun¸cão de utilidade por u(θ,x,a) = −L(θ,x,a). Escolhemos para esse trabalho pensar em consequências em termos de ganho, ou seja, abordar fun¸cões utilidade.

2.2.2 Fun¸ c˜ ao utilidade

A fun¸cão utilidade (ou fun¸cão de utilidade) u(θ,x,a) representa o ganho para cada cenário estudado. Como estamos olhando para o ganho, nosso problema de otimiza¸cão é resolvido escolhendo o cenário que oferece a maioru(θ,x,a), ou seja, queremos maximizar a nossa fun¸cão de utilidade u(θ,x,a).

Como não é poss´ıvel a implementa¸cão de procedimentos que maximizem diretamente a fun¸cão utilidade, pois essa depende das quantidades aleatórias xe θ, então maximiza-

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2.3 M´etodo de Monte Carlo via Cadeia de Markov 6

se a fun¸cão de utilidade esperada, onde a esperan¸ca é tomada com rela¸cão a todas as quantidades aleatórias do problema, denotada como a seguir:

U(a) =E[u(θ,x,a)],

onde a esperan¸ca ´e tomada com rela¸c˜ao a todas as componentes de x eθ.

Em particular, sob o ponto de vista bayesiano, é comum que x represente as observa¸cões dispon´ıveis para o problema; ou seja, x = y, onde y é um conjunto de observa¸cões geradas por um modelo que depende de θ, e, portanto, como não existe aleatoriedade sobrexneste caso, a esperan¸ca será com rela¸cão a distribui¸cãoa posteriori deθ. Em particular, podem ocorrer dois casos distintos:

• Caso discreto:

E[u(θ,x,a)] = X

θ∈Θ

u(θ,x,a)p(θ|x);

• Caso cont´ınuo:

E[u(θ,x,a)] = Z

Θ

u(θ,x,a)p(θ|x)dθ.

Dessa forma, queremos encontrar arg max

a∈AE[u(θ,x,a)], onde E[u(θ,x,a)] ´e definida como em um dos casos acima.

Sem perda de generalidade, daqui em diante vamos denotar somente o caso cont´ınuo (por questão de facilidade). Usando o contexto de Inferência bayesiana, de maneira que ap(θ|x) é a distribui¸cãoa posteriori de θ dado x, temos:

E[u(θ,x,a)] = Z

Θ

u(θ,x,a)p(θ|x)dθ ∝ Z

Θ

u(θ,x,a)p(x|θ)p(θ)dθ,

em que p(θ) ´e a distribui¸c˜aoa priori deθ.

2.3 M´ etodo de Monte Carlo via Cadeia de Markov

Na prática, as fun¸cões de (densidade de) probabilidade de interesse dificilmente tem uma forma anal´ıtica conhecida e se faz necessária a utiliza¸cão de métodos de simula¸cão para obter amostras destas distribui¸cões.

(17)

Os métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC) são uma alternativa em problemas complexos nos quais a distribui¸cão de interesse não possui forma anal´ıtica conhecida. Tais métodos são iterativos e finalizam quando se alcan¸ca a convergência da cadeia com as amostras da distribui¸cão de interesse, e com base nessas amostras é poss´ıvel a obten¸cão de estimativas pontuais e intervalares dos parâmetros.

Os métodos de MCMC mais utilizados são o algoritmo de Metropolis-Hastings e o amostrador de Gibbs, que serão descritos brevemente nas próximas se¸cões. Maiores detalhes podem ser vistos em [4].

2.3.1 Metropolis-Hastings

Proposto originalmente por [5] e generalizado por [6], o algoritmo de Metropolis- Hastings é um algoritmo de aceita¸cão e rejei¸cão utilizado para gerar amostras de distribui¸cões de interesse. Para fazer a gera¸cão é necessário utilizar uma distribui¸cão auxiliar conhecida, chamada de distribui¸cão proposta e, cada itera¸cão do algoritmo um valor é gerado da distribui¸cão proposta, e aceito ou não com uma dada probabilidade a ser definida a seguir. A distribui¸cão proposta pode estar relacionada com valores gerados em itera¸cões anteriores, o que indica que o método é iterativo, gerando um conjunto de valores relacionados entre si (formando uma cadeia de Markov). Este mecanismo de corre¸cão garante a convergência da cadeia para a distribui¸cão de equil´ıbrio. Do ponto de vista bayesiano, em geral, a distribui¸cão de equil´ıbrio procurada é uma distribui¸cão a posteriori.

Mais especificamente, considere p(·) como a fun¸cão de probabilidade ou fun¸cão de densidade de probabilidade da distribui¸cão que se deseja simular e q(·) uma fun¸cão de probabilidade ou fun¸cão de densidade de probabilidade proposta, com mesmo dom´ınio que p(·), da qual, sabe-se como simular. Neste caso, para gerar uma amostra aleatória da variável θ, com distribui¸cão definida por p(θ), o algoritmo se desenvolve da seguinte forma:

1. Inicialize a cadeia com um valor inicial θ⁽⁰⁾ (pertencente ao espa¸co param´etrico) e inicialize um contador t = 1;

2. gere um novo valor θ^p de q(·|θ^(t−1));

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3. gere υ ∼U(0,1) e calculeα da forma α=min

(

1, p(θ^p)q(θ^(t−1)|θ^p) p(θ^(t−1))q(θ^p|θ^(t−1))

)

;

4. se υ < α, aceite θ^p fazendo θ^(t) =θ^p ; caso contrário, rejeite e fa¸caθ^(t) =θ^(t−1); 5. fa¸ca t = t + 1 e volte para (2) até atingir a convergência.

Após a convergência, a amostra obtida θ⁽¹⁾,θ⁽²⁾,θ⁽³⁾, ...representará uma amostra da distribui¸cão representada por p(θ).

2.3.2 Amostrador de Gibs

Introduzido originalmente por [7], e utilizado na Inferência bayesiana após a compara¸cão com esquemas de simula¸cão estocástica feitas por [8], o amostrador de Gibbs é um método MCMC no qual o objetivo é tornar um problema multivariado numa sequência de problemas univariados ou de menor dimensão.

Supondo que o interesse está na distribui¸cãop(θ) deθ = (θ₁,· · · ,θ_p) e considerando também que as distribui¸c˜pes condicionais completas p(θi|θ−i), para i = 1, ..., p e θ−i = (θ₁,· · · ,θi−1,θ_i+1,· · · ,θ_p) estão dispon´ıveis, no sentido de que elas são completamente conhecidas e sabe-se amostrar delas, a amostragem do vetor θ pode ser feita em etapas pelo seguinte algoritmo:

1. Inicialize θ⁽⁰⁾ = (θ⁽⁰⁾₁ ,· · · ,θ⁽⁰⁾_p ), e fa¸ca t = 1;

2. gere um valor para θ^(t), componente a componente, da forma θ^(t)₁ ∼p(θ₁|θ^(t−1)₂ ,θ^(t−1)₃ ,· · · ,θ^(t−1)_p )

θ^(t)₂ ∼p(θ₂|θ^(t)₁ ,θ^(t−1)₃ ,· · · ,θ^(t−1)_p ) ...

θ^(t)_i ∼p(θ_i|θ^(t)₁ ,· · · ,θ^(t)_i−1,θ^(t−1)_i+1 ,· · · ,θ^(t−1)_p ) ...

θ^(t)_p ∼p(θ_p|θ^(t)₁ ,θ^(t)₂ ,θ^(t−1)₃ ,· · · ,θ^(t−1)_p−1 );

3. atualize o contador t = t + 1 e volte para (2) repetindo o procedimento at´e atingir o tamanho da amostra desejado.

(19)

Diferentes métodos MCMC podem ser combinados em situa¸cões onde é necessário amostrar de fun¸cões muito complexas. Por exemplo, no caso multivariado em que algumas das distribui¸cões condicionais completas não são conhecidas, pode-se utilizar o algoritmo Metropolis-Hastings para gerar as correspondentes componentes no passo 2 do algoritmo amostrador de Gibbs.

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10

3 M´ etodos

Problemas de tomada de decisões ótimas estão relacionados com o princ´ıpio da maximiza¸cão da utilidade esperada descrito em [9], isto é, com a maximiza¸cão, em rela¸cão

`

a a¸c˜ao tomada diante do problema, da fun¸c˜ao de utilidade esperada. Especificamente, devemos encontrar:

a^∗ = arg max

a∈A U(a), onde

U(a) =E[u(θ,x,a)] = Z

X

Z

Θ

u(θ,x,a)p(θ,x)dθdx, (3.1) conforme discutido na Se¸c˜ao 2.2.2.

Do ponto de vista bayesiano, temos que x é um conjunto de observa¸cões geradas por um modelo que depende de θ, portanto, p(θ,x) = p(x|θ)p(θ). Porém, somente em problemas triviais e de pouco interesse prático é poss´ıvel se obter analiticamente a solu¸cão da integral em (3.1).

Nas se¸cões a seguir, apresentaremos estratégias para a solu¸cão do problema de tomada de decisões ótimas baseadas em simula¸cões. Mais especificamente, inicialmente apresentaremos métodos baseados em simula¸cões de Monte Carlo para o resolver a integral em (3.1), entretanto, quando o espa¸co de a¸cões é de dimenssão relativamente grande esse método torna-se computacionalmente ineficiente. Passaremos então a considerar, artificialmente, as poss´ıveis a¸cões como variáveis aleatórias, e métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov serão propostos para gera¸cão de novas poss´ıveis tomadas de decisões com o aux´ılio de uma distribui¸cão de probabilidade artificial, conforme proposto por [1].

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3.1 Simula¸c˜ao de Monte Carlo 11

3.1 Simula¸ c˜ ao de Monte Carlo

Para cada a∈ A e (θ,x) simulado de p(θ,x), o m´etodo de Monte Carlo Simples diz queU(a) pode ser aproximada por ˆU(a) da forma

Uˆ(a) = 1 M

M

X

i=1

u(θ⁽ⁱ⁾,x⁽ⁱ⁾,a),

com (θ⁽ⁱ⁾,x⁽ⁱ⁾),i= 1,· · ·, M, gera¸c˜oes independentes de p(θ,x).

Utilizando esta aproxima¸cão, a decisão ótima a^∗ pode ser obtida como o máximo da curva ajustada através dos pares (a,Uˆ(a)), supondo uma grade de a¸cões selecionadas de A.

Segue abaixo o algoritmo proposto por [10], para a busca de decis˜oes ´otimas:

1. Selecione uma gradea⁽ⁱ⁾,i= 1,· · · , M, de valores em A;

2. obtenha uma amostra de (θ⁽ⁱ⁾,x⁽ⁱ⁾)∼p(θ,x), i= 1,· · · , M; 3. calcule u⁽ⁱ⁾ ≡u(θ⁽ⁱ⁾,x⁽ⁱ⁾,a⁽ⁱ⁾), i= 1,· · · , M;

4. ajuste uma superf´ıcie atrav´es dos pontos (a⁽ⁱ⁾;u⁽ⁱ⁾);

5. a solu¸cão ótima será obtida como a moda da superf´ıcie ajustada.

Escolhas inadequadas da grade de decisões podem acarretar solu¸cões erradas. Na próxima se¸cão, trataremos de uma alternativa baseada em métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov que buscam superar tal dificuldade.

3.2 Simula¸ c˜ ao de Monte Carlo via Cadeias de Markov

Afim de encontrar solu¸cões ótimas, foi proposto por [1] um método em que utilizamos a fun¸cão de utilidade para definir uma fun¸cão (de densidade) de probabilidade artificial da forma

h(θ,x,a)∝u(θ,x,a)p(x,θ).

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3.2 Simula¸c˜ao de Monte Carlo via Cadeias de Markov 12

Note que, nesse contexto, a utilidade esperada U(a) ser´a proporcional a h(a), uma vez que

h(a) ∝ Z

X

Z

Θ

u(θ,x,a)p(x,θ)dθdx=U(a).

Portanto, o problema de maximizar U(a) pode ser substitu´ıdo pelo de encontrar a moda da distribui¸cão marginal representada por h(a). Com esse objetivo, um esquema de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC), possivelmente utilizando passos de Metropolis-Hasting, será utilizado para obter amostras de h(θ,x,a) e , enfim, estas amostras serão marginalizadas em a, a fim de encontrar a moda amostral. Esta moda servirá como uma aproxima¸cão para a decisão ótimaa^∗. Este método permite substituir um problema de resolver uma integral (como na expressão (3.1)), que pode ser muito complicada, pelo problema de gerar uma amostra de uma distribui¸cão artificial utilizando MCMC.

Segue abaixo o algoritmo utilizado neste método para obten¸cão da amostra da distribui¸cão artificial h(θ,x,a):

1. Inicialize a cadeia com um valor inicial a⁽⁰⁾ e inicialize um contador t= 0;

2. simule (θ^(t),x^(t)) de p(θ,x) = p(x|θ)p(θ) e avalie u^(t)≡u(θ^(t),x^(t),a^(t));

3. gere uma a¸c˜ao “candidata” a^p de uma distribui¸c˜ao proposta q(a^p|a^(t));

4. sob a a¸c˜aoa^p, simule (θ^p,x^p), como no passo 2, e avalie u^p =u(θ^p,x^p,a^p);

5. calcule a probabilidade de aceita¸c˜ao α =min

(

1, h(θ^p,x^p,a^p) h(θ^(t),x^(t),a^(t))

q(a^(t)|a^p) q(a^p|a^(t))

p(θ^(t),x^(t)) p(θ^p,x^p)

)

=min

1, u^p u^(t)

q(a^(t)|a^p) q(a^p|a^(t))

;

6. gere υ ∼ U(0,1) e, se υ < α, aceite (a^p, u^p) fazendo (a^(t+1), u^(t+1)) = (a^p, u^p); caso contr´ario, rejeite e fa¸ca (a^(t+1), u^(t+1)) = (a^(t), u^(t));

7. fa¸ca t = t + 1 e volte ao passo (3) at´e que julgue que a cadeia convergiu.

O algoritmo descrito acima fornece uma amostra de pontos (θ⁽¹⁾,x⁽¹⁾,a⁽¹⁾), (θ⁽²⁾,x⁽²⁾,a⁽²⁾), (θ⁽³⁾,x⁽³⁾,a⁽³⁾),... de h(θ,x,a). Tomando apenas as componentes a⁽¹⁾, a⁽²⁾,a⁽³⁾,..., obtemos uma amostra da distribui¸cão marginalh(a), cuja moda servirá como uma aproxima¸cão para a solu¸cão ótima.

(23)

3.2 Simula¸c˜ao de Monte Carlo via Cadeias de Markov 13

No cap´ıtulo a seguir apresentaremos uma solu¸cão para o problema de otimiza¸cão do funcionamento de uma casa lotérica baseada nos algoritmos discutidos ao longo deste cap´ıtulo.

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14

4 Aplica¸ c˜ ao

Afim de ilustrar os métodos apresentados no cap´ıtulo anterior, vamos ilustrar o exemplo do funcionamento de uma casa lotérica. Para isso será necessário escolher um número m´ınimo de funcionários de forma a não comprometer o atendimento dos clientes.

Para a determina¸cão do número ideal de funcinários, vamos fazer algumas suposi¸cões sobre o funcionamento da casa lotérica e assim, resolver o problema atrvés de dois métodos:

Monte Carlo Simples e o método proposto por [1], onde será necessário a determina¸cão da fun¸cão utilidade para representar o ganho da casa lotérica.

Todos os m´etodos utilizados neste trabalho foram implementados atrav´es do software livre R ([11]).

4.1 Funcionamento da Casa Lot´ erica

Nesta se¸cão vamos definir algumas hipóteses assumidas sobre o funcionamento da casa lotérica em estudo. Por simplicidade, vamos supor que a casa lotérica recebe clientes para apenas dois tipos de servi¸cos: fazer apostas e pagar contas no horário comercial (de 8h

`

as 18h). Os clientes que vão à loteria para fazer apostas representam 60% do total e levam em média 30 segundos no atendimento. Já os clientes que vão para pagar contas representam 40% e gastam em média 1 minuto no atendimento.

No modelo do sistema estudado será considerado que o tempo gasto pelo funcionário do caixa em cada atendimento é uma variável aleatória com distribui¸cão exponencial (com médias definidas de acordo com o tipo de atendimento que realiza) e que os clientes chegam à loteria de acordo com um processo de Poisson não-homogêneo, obedecendo a seguinte taxa média de chegada (em minutos) ao longo do dia:

(25)

4.2 Uma Poss´ıvel Solu¸c˜ao: M´etodo de Monte Carlo Simples 15

Figura 2: Taxa m´edia de chegada de clientes ao longo do dia.

λ(t) =











2t−16, 8h≤t≤11h 6, 11h≤t≤14h

3

2t−21, 14h≤t≤18h

0, c.c.

(4.1)

Note que a fun¸cão (4.1) muda ao longo do dia, o que caracteriza o processo não- homogêneo, e que nos “horários de pico” a taxa média de chegada de clientes não ultrapassa 6 clientes por minuto.

4.2 Uma Poss´ıvel Solu¸ c˜ ao: M´ etodo de Monte Carlo Simples

Conforme apresentado no trabalho de [12], uma poss´ıvel solu¸cão para um problema de otimiza¸cão é simular, através do Método de Monte Carlo Simples, diferentes cenários, ou seja, diferentes configura¸cões para as variáveis do problema, e escolher aquele que gera a melhor solu¸cão poss´ıvel dentre as solu¸cões simuladas, conforme o método descrito na Se¸cão 3.1.

Para tomar uma decisão em rela¸cão ao problema do sistema de loteria apresentado na Se¸cão 4.1, foram simulados três diferentes cenários conforme definidos a seguir,no qual variamos o número de funcionários da casa lotérica:

(26)

4.2 Uma Poss´ıvel Solu¸c˜ao: M´etodo de Monte Carlo Simples 16

Cen´ario 1) 3 funcion´arios trabalhando;

4.2.1 Descri¸ c˜ ao da Simula¸ c˜ ao

Para simular o sistema de loteria definido, utilizamos o Método de Monte Carlo Simples. A fim de encontrar resultados robustos para cada um dos três cenários, fixado o número de funcionários, as outras variáveis do sistema em questão foram simuladas 100 vezes, onde cada simula¸cão representa um dia de funcionamento da loteria. Em cada simula¸cão as seguintes variáveis foram observadas de forma a auxiliar na tomada de decisão:

• Hora de encerramento das atividades por dia;

• N´umero m´aximo de clientes “dentro do sistema” por dia;

• M´edia do per´ıodo de permanˆencia dos clientes no sistema por dia;

• M´aximo do per´ıodo de permanˆencia dos clientes no sistema por dia;

• M´edia do tempo “l´ıquido” de trabalho de cada funcion´ario por dia.

Para buscar uma compara¸cão justa entre todos os cenários, os horários de chegadas e tempo de atendimento de cada cliente em cada um dos 100 dias simulados foi o mesmo para todos os cenários, variando apenas as quantidades descritas acima.

4.2.2 Resultados

A Tabela 1 a seguir apresenta os valores médios em rela¸cão às 100 simula¸cões para cada uma das variáveis listadas na Se¸cão 4.2.1 para cada um dos cenários propostos.

N´umero de funcion´arios: 3 4 5

Hora de encerramento 18:20:54 18:03:00 18:00:52 Número máximo de clientes 368 91 27 Permanência média 00:28:24 00:04:28 00:01:02 Permanência máxima 01:27:80 00:18:07 00:07:48 Tempo “l´ıquido”de trabalho 09:04:55 06:48:41 05:26:57 Tabela 1: Médias dos resultados para cada um dos cenários.

(27)

4.3 Solu¸c˜ao via MCMC 17

3 funcionários 4 funcionários 5 funcionários

010203040

Minutos

(a) M´edia do Pemanˆencia

3 funcionários 4 funcionários 5 funcionários

300400500

Minutos

(b) Tempo l´ıquido de trabalho m´edio

Figura 3: Boxplots para algumas das vari´aveis estudadas.

De acordo com os resultados obtidos através do método de Monte Carlo Simples, podemos descartar a op¸cão com apenas 3 funcionários, pois uma loteria jamais comportaria mais de 300 clientes esperando atendimento e, além disso, para esse cenário, alguns clientes vão esperar até 1:30h para serem atendidos, o que é inaceitável. Analisando o funcionamento com 4 funcionários os resultados foram satisfatórios a menos do número máximo de clientes no estabelecimento, que chega em média a 90. Por outro lado o funcionamento com 5 funcionários indica ociosidade, o que pode não ser interessante para o proprietário do estabelecimento. Note que a decisão ótima para este método é a loteria funcionar com 4 funcionários.

Essa é apenas uma poss´ıvel solu¸cão para resolver esse problema, onde o número de funcionários é fixado e os cenários são simulados para comparados entre si para escolhermos o melhor entre eles. A seguir, vamos discutir uma solu¸cão mais eficiente para este problema.

4.3 Solu¸ c˜ ao via MCMC

Outras poss´ıveis solu¸cões que supo˜em diferentes números de funcionários (diferentes de 3, 4 ou 5 funcionários) poderiam ter sido testadas caso fossem consideradas solu¸cões viáveis para este problema. Uma limita¸cão do Método de Monte Carolo Simples é que cada nova solu¸cão precisaria ser simulada separadamente e, a seguir, comparada com as demais para decidir qual a melhor. Para evitar esta limita¸cão, nesta se¸cão vamos utilizar o método proposto por [1], discutido na Se¸cão 3.2, que torna a busca por solu¸cões mais automatizada.

(28)

4.3.1 Definindo a Fun¸ c˜ ao de Utilidade

Para implementar o método de [1], é necessário definir uma fun¸cãode utilidade que represente o ganho da casa lotérica de acordo com cada poss´ıvel cenário. Para isso, adotaremos as seguintes hipótese a seguir

• O número de clientes atendidos em um dia segue um processo de Poisson não- homogêneo com média descrita pela equa¸cão 4.1;

• O tempo gasto para o atendimento de cada cliente segue uma distribui¸cão exponencial com as médias descritas como na Se¸cão 4.1, dependendo do tipo de servi¸co realizado pelo atendente;

• A carga horário de trabalho para cada funcionário é de 8 horas diárias; e

• O tempo de permanência dos clientes dentro da casa lotérica segue uma dsitribui¸cão exponecial com média de 6 minutos dividido pelo o número de funcionários, ou seja, para apenas um funcionário trabalhando o tempo médio de permanência é de 6 minutos, para dois funcionários trabalhando o tempo médio de permanência

´

e de 3 minutos e assim sucessivamente. De fato, é natural pensar que quanto maior a quantidade de funcionários trabalhando, menor é o tempo de espera para atendimento.

Estabelecidas as hipóteses para o modelo, a seguinte nota¸cão será utilizada para as variáveis envolvidas na fun¸cão:

• N será o número total de clientes atendidos em um dia pela casa lotérica; N segue um processo de Poisson não-homogêneo com média descrita pela equa¸cão 4.1;

• N_c ∼ Binomial(N; 0,4) será o número de clientes atendidos em um dia pela casa lotérica para pagar contas;

• T_c ∼ Exponencial(1), será o tempo gasto (em minutos) por um funcionário para atender um cliente que paga uma conta; supondo que todos os atendimentos são independentes,

Nc

X

i=1

(T_c)_i ∼Gama(N_c,1), ser´a o tempo necess´ario para o recebimento do pagamento de todas as contas ao longo do dia;

• N_a=N−N_c, ser´a o n´umero de clientes atendidos em um dia que realizam apostas;

(29)

• Ta ∼ Exponencial(2), será o tempo gasto (em minutos) por um funcionário para atender um cliente que realiza uma aposta; novamente supondo que todos os atendimentos são independentes,

Na

X

i=1

(T_a)_i ∼Gama(N_a,2), ser´a o tempo gasto para o processamento de todas as apostas feitas em um dia;

• CH é carga horária de um funcionário, fixa e assumida como 8 h/dia, ou seja, CH = 480 minutos/dia;

• N_f será o número de funcionários trabalhando em um dia;

• Te ∼ Exponencial(Nf/6), será o tempo de espera de um cliente de acordo com o número de funcionários trabalhando; dessa forma, supondo independência,

N

X

i=1

(T_e)_i ∼ Gama(N, N_f/6), ser´a o tempo total de espera de todos os clientes em um dia.

Definidas estas quantidades, adotaremos a seguinte express˜ao para a fun¸c˜ao utilidade:

u(Tc, Ta, Te, CH, Nf) =

Nc

X

i=1

(Tc)_i+

Na

X

i=1

(Ta)_i

!

−CH ×Nf −

N

X

i=1

(Te)_i+K,

onde o termo

Nc

X

i=1

(T_c)_i+

Na

X

i=1

(T_a)_i

!

representa o tempo que será necessário para atender todos os clientes que chegam à loteria ao longo do dia, o termo CH ×N_f representa o tempo de trabalho total dispon´ıvel para atender os clientes em um dia e o termo

N

X

i=1

(T_e)_i representa o total de espera de todos os clientes. Note que, a express˜ao CH ×N_f −

Nc

X

i=1

(T_c)_i+

Na

X

i=1

(T_a)_i

!

representa o tempo ocioso total dos funcionários, caso haja mais funcionários que o necessário para atender à demanda de clientes, que deve ser o menor poss´ıvel. Assim, como queremos pensar em termos de ganho para a loteria, maximizando a fun¸cão, tomamos “menos” nesta expressão na fun¸cão de utilidade. O termo PN

i=1(T_e)_i funciona como uma espécie de penalidade para longos tempos de espera, que também devem ser evitados. Por fim, o último termo K é uma constante adicionada ao modelo para que a fun¸cão fique positiva, uma vez que queremos olhar para ela como uma fun¸cão de probabilidade artificial. Esta constante não altera a moda da fun¸cão de utilidade esperada, funcionando apenas como um artif´ıcil computacional para o algoritmo funcionar.

(30)

Fazendo um paralelo com a Se¸cão 2.2, na expressão 4.3.1, temos que Nf é a variável de decisão, N sã os estados na natureza e, consequentemente, N_c,N_a,

Nc

X

i=1

T_ci,PNa

i=1T_ai e

N

X

i=1

T_ei como as v.a’s associadas aos estados da natureza.

Com o objetivo de maximizar a esperan¸ca do fun¸cão de utilidade representada pela expressão (4.3.1), faremos uso do algoritmo proposto na Se¸cão 3.2.

4.3.2 Resultados

Implementamos o algoritmo como descrito na Se¸cão 3.2 para resolver o problema da escolha ótima do número de funcionários para a loteria. Para isso, utilizamos como distribui¸cão proposta para a variável de decisão (N_f) uma distribui¸cão de Poisson com média de 4 funcionários. Foram utilizadas 4000 itera¸cões para o MCMC, onde essas itera¸cões representam simula¸cões de diferentes dias de trabalho, e descartamos 1000 itera¸cões (como burn-in).

A seguir, apresentamos os gráficos correspondentes aos resultados obtidos. Na Figura 4, representamos duas cadeias independentes iniciadas de valores diferentes, simuladas com o objetivo de verificar a convergência do algoritmo. Note que ambas as cadeias geradas convergem para o mesmo valor, que no caso indica o número ideal de funcionários.

iterações

nº funcionários

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

246810

Figura 4: Gráfico de duas cadeias independentes para a variável de decisão Nf, geradas via MCMC.

De acordo com o gráfico de barras do número de funcinários (Figura 5), a solu¸cão

´

otima pode ser lida como a moda deste gráfico, ou seja, o método indica que a melhor alternativa é contratar 4 funcionários.

(31)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

nº funcionários freq. absoluta 0200400

Figura 5: Gráfico de barras do número de funcionários proposto.

O gráfico na Figura 6, representa a curva ajustada através de suaviza¸cão splines (feita com a fun¸cãsmooth.spline do R) dos pares N_f (número de funcionários) versus fun¸cão de utilidade gerados a cada itera¸cão. Este gráfico é uma forma alternativa de localizar a solu¸cão ótima na qual o número ideal de funcionários é a moda da curva ajustada.

2 4 6 8 10 12

0200040006000

nº funcionários

função de utilidade

Figura 6: Gr´afico da fun¸c˜ao de utilidade esperada.

Ambos os métodos encontraram a mesma solu¸cão para o problema, porém a simula¸cão de Monte Carlo via Cadeias de Markov apresentou vantagens devido a ser um método automatizado, onde em apenas uma simula¸cão oferece a decisão ótima entre todas as poss´ıveis decisões. Já na simula¸cão de Monte Carlo simples é necessário simular os cenários um a um, para obter a decisão ótima.

(32)

22

5 Conclus˜ oes

Durante este trabalho revisamos conceitos de Inferência bayesiana e Teoria da decisão, além de métodos de otimiza¸cão para encontrar solu¸cões ótimas em fun¸cões de utilidade esperada.

Fizemos uma aplica¸cão neste trabalho com o objetivo de encontrar um número de funcionários ideal para o funcionamento de uma casa lotérica, através de simula¸cões de Monte Carlo via Cadeias de Markov. Foi apresentado uma outra solu¸cão, através de simula¸cões de Monte Carlo simples, para comparar a eficácia dos métodos.

O método utilizando Monte Carlo via Cadeias de Markov apresentou vantagens, pois apresentou uma solu¸cão mais automatizada comparando com ao método que utiliza Monte Carlo Simples.

Uma continua¸cão deste trabalho pode apresentar outros tipos de variáveis de decisões, como escolher a quantidade de filas seria mais adequada para a loteria, comparando o comportameto de uma fila únia ou vária filas. Também poder´ıamos incorpor no problema a possibilidade de um cliente realizar mais de um servi¸co, por exemplo, pagando várias contas e fazendo apostas.

Para cenários mais complicados, temos métodologias mais avan¸cada conforme as discutidas em [13], que procuram solucionar alguns problemas dos métodos desenvolvido neste trabalho.

Por fim, vale destacar que o cenária da loteria foi apenas uma ilustra¸cão para tomadas de decisões ótimas, pois os métodos apresentados neste trabalho poderiam ser aplicados a diferentes problemas. Sem fugir do contexto abordado neste trabalho, poder´ıamos ter tratado do problema de determinar o número ótimo de caixas para um supermercado ou o número de atendentes em um call center.

(33)

23

Referˆ encias

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