No modelo de Malueg e Tsutsui (1997) podemos obter um problema de valor de contorno referente ao jogo diferencial da equa¸c˜ao (57), e substituindo (58) em (41),
v0 = (−λ)(1 − p)(nπ − (2n − 1)v) +p(n − 1) 2λ2(1 − p)2π2+ 2(2n − 1)(f + rv) (2n − 1)λ(1 − p)p ˙ p = p(1 − p)λn 2n − 1 h λπ(n − 1)(1 − p) +p(n − 1)2λ2(1 − p)2π2+ 2(2n − 1)(f + rv)i p(0) = p0, v(¯p) = 0.
Observe entretanto, que v0 ´e a derivada da fun¸c˜ao de valor condicional em rela¸c˜ao a probabilidade da inova¸c˜ao ser infact´ıvel, o que dificulta enormemente a aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao pelo m´etodo de shooting. Tal fato ocorre, uma vez que nesse m´etodo solu¸c˜ao ´e aproximada localmente, e como as trajet´orias em torno da solu¸c˜ao de v0 divergem entre si com o aumento da probabilidade, temos que pequenos erros levam rapidamente a uma trajet´oria explosiva1.
Contudo, podemos contornar tal obst´aculo ao definirmos o problema de valor de con- torno com derivadas em rela¸c˜ao ao tempo. Pata tanto, utilizamos a regra da cadeia, ou seja, ˙v = v0p, e temos˙ ˙v =n(n − 1)λ 2π(1 − p)2[(2n − 1)v − π] + 2n(n − 1)(f + rv) (2n − 1)2 + n [(2n − 1)v − λπ(1 − p)]p(n − 1) 2λ2(1 − p)2π2+ 2(2n − 1)(f + rv) (2n − 1)2 ˙ p = p(1 − p)λn 2n − 1 h λπ(n − 1)(1 − p) +p(n − 1)2λ2(1 − p)2π2+ 2(2n − 1)(f + rv)i p(0) = p0, v(¯p) = 0.
1Para um exemplo similar verJudd(1998) p.356.
Apesar de definirmos ˙v, isso n˜ao ´e suficiente para que o problema de valor de contorno nos dˆe a solu¸c˜ao, pois, diferentemente do modelo de Reinganum (1982) desconhecemos o momento em que as firmas abandonam a corrida. Isso fica claro em (42), j´a que os joga- dores devem escolher n˜ao somente uma trajet´oria ´otima de investimentos, mas tamb´em o tempo final da corrida.
Assim, para resolvermos pelo m´etodo de shooting supomos que as firmas abandonam a corrida um dado tempo, T , e ent˜ao resolvemos o problema de valor de contorno com o algoritmo anteriormente apresentado. Posteriormente, utilizamos a restri¸c˜ao que p(T ) =
¯
p, para escolhermos T pelo m´etodo da bisse¸c˜ao. Por tanto, temos o seguinte algoritmo:
d e f f i n d T ( T bar ) :
p s h t , v s h t , t = s h o o t i n g ( f , BC, y L R , dt , T bar , eps , method )
r e t u r n p s h t [=1 ] = p b a r
methods = [ ode FE , ode Heun , ode RK4 ] d t s = [ 0 . 1 , 0 . 0 1 , 0 . 0 0 1 ] s h t r e s u l t s = [ ] f o r i i n r a n g e(l e n( d t s ) ) : f o r j i n r a n g e(l e n( methods ) ) : dt , method = d t s [ i ] , methods [ j ] T bar = r o o t b i s e c t i o n ( f i n d T , T L R [ 0 ] , T L R [ 1 ] , 1E=3) p s h t , v s h t , t = s h o o t i n g ( f , BC, y L R , dt , T bar , eps , method )
O algoritmo acima nos d´a a solu¸c˜ao num´erica quando T ´e finito, mas como explorado anteriormente, quando n˜ao temos custo fixo instantˆaneo, f = 0, e taxa de desconto, r = 0, as firmas nunca abandonam a corrida at´e que a inova¸c˜ao ocorra. Para tal caso, entretanto, possu´ımos a solu¸c˜ao exata e assim podemos aproximar qualquer intervalo finito bastando computar a condi¸c˜ao de contorno v(T ) e aplicar `a fun¸c˜ao shooting definida no cap´ıtulo
anterior2. Fazendo tais procedimentos para o caso em que f = 0 e r = 0, temos os resultados abaixo.
Tabela 1. Erros da Aproxima¸c˜ao de ui(t) do M´etodo de Shooting para o
Modelo de Malueg e Tsutsui (1997)
PVC: ˙v = n(n−1)λ 2π(1−p)2[(2n−1)v−π]+2n(n−1)(f +rv)+n[(2n−1)v−λπ(1−p)]√(n−1)2λ2(1−p)2π2+2(2n−1)(f +rv) (2n−1)2 ˙ p = p(1−p)λn2n−1 hλπ(n − 1)(1 − p) +p(n − 1)2λ2(1 − p)2π2+ 2(2n − 1)(f + rv)i p(0) = p0, v(T ) = π(1−p(T ))2n−1
Parˆametros: n = 2, f = 0, r = 0, T = 1, 0, λ = 1, 0, π = 10, 0, p0= 0, 01, eps = 1, 0 · 10−13
dt Euler Heun Runge-Kutta
de 4ª Ordem max(errou) 0,1 1,547702 0,379669 2,041875e-02 0,01 0,177097 0,006904 4,597253e-06 0,001 0,017865 0,000074 4,985914e-10 max(errou%) 0,1 0,514986 0,122275 5,415360e-03 0,01 0,044298 0,001879 1,179816e-06 0,001 0,004353 0,000020 1,278509e-10 P erro2 u 0,1 6,065977 0,488874 1,239963e-03 0,01 0,710650 0,001380 5,838983e-10 0,001 0,072332 0,000002 6,866384e-17 P |errou| 0,1 5,613101 1,89086 9,066485e-02 0,01 6,045323 0,30455 1,945128e-04 0,001 6,106424 0,03252 2,107175e-07
Fonte: Elabora¸c˜ao pr´opria
A melhor aproxima¸c˜ao pelo m´etodo de shooting com f = r = 0 e n = 2 ´e a combina¸c˜ao do m´etodo de Runge-Kutta de 4ª ordem com a discretiza¸c˜ao do tempo em intervalos de 0,001; o que produziu o maior erro de u e erro percentual da ordem de 1, 0·10−10. Observa- se tamb´em que, assim como esperado, h´a redu¸c˜ao do error com a redu¸c˜ao do tamanho do intervalo na discretiza¸c˜ao, dt.
Na figura abaixo, observamos solu¸c˜oes pelo m´etodo de shooting para 2, 3, e 4 jogadores. As trajet´orias de investimento em P&D que se cruzam como apresentado em Malueg and
2A solu¸c˜ao exata de p ´e dada implicitamente por (60), desse modo utilizamos o m´etodo da bisse¸c˜ao para
encontrarmos p e posteriormente computamos as demais vari´aveis. Logo, nas aproxima¸c˜oes do modelo de Malueg e Tsutsui (1997), quando nos referimos a solu¸c˜ao exata queremos dizer a solu¸c˜ao obtida utilizando as equa¸c˜oes alg´ebricas com f = 0 e r = 0, e o melhor p que aproximamos para (60). Em tal procedimento, adotamos um erro aceit´avel de 1, 0 · 10−13, pois, quando somos mais rigorosos, o m´etodo da bisse¸c˜ao falha, j´a que exaure os algorismos do Python e temos pontos iguais no contorno do intervalo sem que a raiz seja encontrada. Observe, entretanto, que a ordem de grandeza do erro aceit´avel n˜ao altera nossos resultados ao comparamos a solu¸c˜ao num´erica e exata.
Tsutsui(1997), entretanto, isto ocorre antes do tempo atingir 0,2 e nesse ´ultimo entre 0,2 e 0,4. J´a para a probabilidade da inova¸c˜ao ser infact´ıvel tamb´em observamos um maior crescimento dessa para um aumento no n´umero de jogadores.
Figura 1. Gr´aficos da Solu¸c˜ao Num´erica e Erros da Aproxima¸c˜ao de ui(t)
pelo M´etodo de Shooting para o Modelo de Malueg e Tsutsui (1997)
Parˆametros: n = 2, 3, 4, f = 0, r = 0, T = 1, 0, λ = 1, 0, π = 10, 0
p0= 0, 01, eps = 1, 0 · 10−13, M´etodo de Runge-Kutta de 4ª Ordem e dt = 0, 001
Quanto a distribui¸c˜ao dos erros ao longo do tempo temos que com o aumento de n h´a uma maior concentra¸c˜ao desses no in´ıcio da corrida. Tal fato, entretanto, n˜ao ´e surpreendente uma vez que a curvatura de p(t) no in´ıcio do per´ıodo aumenta com o
Fonte: Elabora¸c˜ao pr´opria
aumento de n, e assim, espera-se que o m´etodo de Runge-Kutta de 4ª ordem tenha sua precis˜ao localmente reduzida.
Para o caso em que n˜ao possu´ımos a solu¸c˜ao exata, encontramos solu¸c˜oes similares a Malueg and Tsutsui (1997), mas com um menor tempo final da corrida. Portanto, as conclus˜oes dos autores em rela¸c˜ao ao aumento da concorrˆencia, fluxo de custo fixo e taxa de desconto s˜ao corroboradas pelos resultados encontrados utilizando o m´etodo de shooting.
Tamb´em cabe ressaltar que Malueg and Tsutsui (1997) n˜ao apresentam as solu¸c˜oes para diferentes taxas de desconto como fizemos abaixo, mas apenas afirma que seu au- mento implica em um aumento dos investimentos para todo p e redu¸c˜ao valor da inova¸c˜ao. Adicionalmente, podemos concluir atrav´es das solu¸c˜oes pelo m´etodos de shooting que ape- sar de tal efeito ocorrer as vari´aveis apresentaram baixa sensibilidade en rela¸c˜ao a taxa de desconto.
Figura 2. Gr´aficos da Solu¸c˜ao Num´erica e Erros da Aproxima¸c˜ao de ui(t)
pelo M´etodo de Shooting para o Modelo de Malueg e Tsutsui (1997)
Parˆametros: λ = 1, 0, π = 10, 0 p0= 0, 01, eps = 1, 0 · 10−13 M´etodo de Runge-Kutta de 4ª Ordem e dt = 0, 001
J´a para a aproxima¸c˜ao pelo m´etodo de coloca¸c˜ao quando f = 0 e r = 0 pode ser obtida com a mesma abordagem que demos para o m´etodo de shooting, ou seja, utilizarmos da
Fonte: Elabora¸c˜ao pr´opria
solu¸c˜ao exata para obtermos v(T ) adequado e aplicamos o algoritmo de coloca¸c˜ao do cap´ıtulo anterior. Desse modo, obtemos os seguintes resultados na tabela abaixo.
Tabela 2. Erros da Aproxima¸c˜ao de ui(t) para a Solu¸c˜ao do Modelo de
Malueg e Tsutsui (1997) pelo de M´etodo de Coloca¸c˜ao
PVC: ˙v = n(n−1)λ 2π(1−p)2[(2n−1)v−π]+2n(n−1)(f +rv)+n[(2n−1)v−λπ(1−p)]√(n−1)2λ2(1−p)2π2+2(2n−1)(f +rv) (2n−1)2 ˙ p = p(1−p)λn2n−1 hλπ(n − 1)(1 − p) +p(n − 1)2λ2(1 − p)2π2+ 2(2n − 1)(f + rv)i p(0) = p0, v(T ) = π(1−p(T )) 2n−1
Parˆametros: n = 2, f = 0, r = 0, T = 1, 0, λ = 1, 0, π = 10, 0, p0= 0, 01, eps = 1, 0 · 10−13 Shooting: M´etodo de Runge-Kutta de 4ª Ordem e dt = 0, 001
Coln max(errou) max(errou%) P erro2u P |errou| max(usht− ucol)
15 -2,1821e-03 -8,7134e-04 6,6895e-04 6,1969e-01 2,1821e-03 20 1,5279e-04 4,7605e-05 3,3809e-06 4,5189e-02 -1,5279e-04 25 1,3342e-05 3,1986e-06 2,0216e-08 3,1537e-03 -1,3341e-05 30 9,1998e-07 1,8833e-07 8,8349e-11 2,1022e-04 -9,1960e-07 35 4,6707e-08 1,7459e-08 0,0000e+00 1,5273e-05 -4,6482e-08 40 4,2184e-09 1,8464e-09 0,0000e+00 1,3270e-06 -3,8492e-09 45 4,8682e-09 5,7157e-09 0,0000e+00 1,0154e-06 -4,8182e-09
Fonte: Elabora¸c˜ao pr´opria
Observamos que pelo m´etodo de coloca¸c˜ao a aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao demanda um n´umero consider´avel de polinˆomios caso queiramos reduzir o erro m´aximo, o qual atinge uma ordem de grandeza de 1, 0 · 10−09 a partir de 40 polinˆomios. J´a a maior diferen¸ca entre o shooting e a coloca¸c˜ao apresenta uma redu¸c˜ao na mesma ordem de grandeza que o erro m´aximo da coloca¸c˜ao.
Na figura abaixo podemos observar tamb´em que o aumento no n´umero de polinˆomios melhora a distribui¸c˜ao do erro no tempo, e aumenta sua oscila¸c˜ao.
Figura 3. Gr´aficos da Solu¸c˜ao Num´erica e Erros da Aproxima¸c˜ao de ui(t)
pelo M´etodo de Coloca¸c˜ao para o Modelo de Malueg e Tsutsui (1997)
Parˆametros: n = 2, f = 0, r = 0, T = 1, p0= 0, 01, π = 10, λ = 1, 0, eps = 1, 0 · 10−13
Quando f > 0 e r > 0 n˜ao temos a solu¸c˜ao exata, e portanto, devemos alterar o algoritmo do m´etodo de coloca¸c˜ao para que aproxime a solu¸c˜ao considerando que o tempo final da corrida, T , ´e determinado endogenamente pelos jogadores. Para tanto, consideramos T como mais um parˆametro a ser encontrado e adicionalmente inclu´ımos como restri¸c˜ao p(T ) = ¯p.
Fonte: Elabora¸c˜ao pr´opria
Em Python, primeiramente, definimos uma fun¸c˜ao que nos retorna em Numpy outra fun¸c˜ao, tanto para matriz com as restri¸c˜oes avaliadas nos n´odulos de coloca¸c˜ao, quanto a para seu Jacobiano; al´em disso, tamb´em nos retorna as equa¸c˜oes com polinˆomios de Chebyshev e um vetor com seus parˆametros.
d e f mr ( v1 , v2 , dv1 dt , dv2 dt , p 0 , p b a r , tp ) :
a = 0 .
t , T = symbols ( ’ t T ’ )
# G e r a n d o l i s t a d e s i m b o l o s d e p a r a m e t r o s
# A d i c i o n a n d o a l i s t a o t e m p o t e r m i n a l c . append (T) # G e r a n d o f u n c a o com p o l i n o m i o s d e C h e b y s h e v eq1 = 0 eq2 = 0 f o r i i n r a n g e( tp ) : eq1 += c [ i ]* c h e b y s h e v t p o l y ( i , ( ( 2*t=a=T) / (T=a ) ) ) eq2 += c [ i+tp ]*c h e b y s h e v t p o l y ( i , ( ( 2*t=a=T) / (T=a ) ) ) # D e f i n i n d o N o d u l o s em f u n c a o d o t e m p o t e r m i n a l n o d e s = [ a ] nc = tp=1 n o d e s c h e b = [ 0 . 5*( a+T) + 0 . 5*( T=a ) \ *sp . c o s ( sp . p i*( ( nc=i + 0 . 5 ) / nc ) ) \ f o r i i n r a n g e( 1 , tp ) ] n o d e s . e x t e n d ( n o d e s c h e b ) n o d e s . append (T) # D e f i n i n d o r e s t r i c o e s d a s c o n d i c o e s d e c o n t o r n o r = [ eq1 . s u b s ( t , a)=p 0 , \ eq1 . s u b s ( t , T)=p b a r , \ eq2 . s u b s ( t , T)=0 . ] # D e f i n i n d o r e s t r i c o e s d a s o d e
f r 1 = d v 1 d t . s u b s ( [ ( v1 , eq1 ) , ( v2 , eq2 ) ] ) = sp . d i f f ( eq1 , t ) f r 2 = d v 2 d t . s u b s ( [ ( v1 , eq1 ) , ( v2 , eq2 ) ] ) = sp . d i f f ( eq2 , t )
f o r i i n r a n g e( tp=1 ) : r . append ( f r 1 . s u b s ( t , n o d e s [ i + 1 ] ) ) r . append ( f r 2 . s u b s ( t , n o d e s [ i + 1 ] ) ) # D e f i n i n d o d o s i s t e m a d e e q u a c o e s n a o= l i n e a r e s e j a c o b i a n o F = sp . Matrix ( r ) J = F . j a c o b i a n ( Matrix ( c ) ) # C r i a n d o f u n c a o d o s i s t e m a d e e q u a c o e s n a o= l i n e a r e s # e j a c o b i a n o f v = l a m b d i f y ( c , F) j v = l a m b d i f y ( c , J )
r e t u r n f v , j v , eq1 , eq2 , c
Posteriormente, definimos a seguinte fun¸c˜ao que retorna nossa aproxima¸c˜ao por co- loca¸c˜ao em conjunto com o tempo terminal, T.
d e f c o l l o c a t i o n M T ( v1 , v2 , dv1 dt , dv2 dt , p 0 , p b a r , tp , e p s=1E=1 3 ) : t , T = symbols ( ’ t T ’ ) f v , j v , eq1 , eq2 , c = mr ( v1 , v2 , dv1 dt , dv2 dt , p 0 , p b a r , tp ) # R e s o l v e n d o p e l o m e t o d o d e N e w t o n x = np . z e r o s ( 2*tp +1) #x [= 1 ] = 1 . f o r i i n r a n g e(l e n( x ) ) : x [ i ] = 0 . 0 1 F v a l u e = f v (*x ) F norm = np . l i n a l g . norm ( np . r a v e l ( F v a l u e ) ) i = 0 w h i l e a b s( F norm ) > e p s and i < 1 0 0 0 0 0 : J v a l u e = j v (*x ) d e l t a = np . l i n a l g . s o l v e ( J v a l u e , =F v a l u e ) x = x + np . r a v e l ( d e l t a ) F v a l u e = f v (*x ) F norm = np . l i n a l g . norm ( np . r a v e l ( F v a l u e ) ) F norm i += 1 p r i n t x [=1 ] , F norm
i f i >= 1 0 0 0 0 0 : p r i n t ” Falha no metodo de Newton ! ” p = x [ :=1 ]
T bar = x [=1 ]
# S u b s t i t u i n d o p a r a m e t r o s
v 1 c o l = eq1 . s u b s ( [ ( c [ i ] , p [ i ] ) f o r i i n r a n g e( tp ) ] ) v 1 c o l = v 1 c o l . s u b s ( [ ( T, T bar ) ] )
v 2 c o l = eq2 . s u b s ( [ ( c [ i ] , p [ i ] ) f o r i i n r a n g e( tp , 2*tp ) ] ) v 2 c o l = v 2 c o l . s u b s ( [ ( T, T bar ) ] )
r e t u r n v 1 c o l , v 2 c o l , p , T bar , tp
Cabe ressaltar, que neste algoritmo a cada intera¸c˜ao quando aplicamos o m´etodo de Newton estamos n˜ao somente alterando a matriz com as restri¸c˜oes, mas tamb´em o intervalo em que os polinˆomios de Chebyshev s˜ao definidos e os n´odulos de coloca¸c˜ao, pois, esses s˜ao fun¸c˜ao do tempo terminal, T .
Aplicando com 20 polinˆomios para o caso em que temos dois jogadores, f = 0 e r = 0, e ent˜ao comparando com a mesma solu¸c˜ao para o algoritmo do cap´ıtulo anterior, cujo tempo terminal ´e dado exogenamente, obtemos a m´axima diferen¸ca entre os m´etodos de coloca¸c˜ao de 1, 1994·10−9, o que ´e razo´avel tendo em vista que a maior diferen¸ca de ambos em rela¸c˜ao m´etodo de shooting ´e maior que a diferen¸ca entre eles.
Figura 4. Gr´aficos da Diferen¸ca entre as Solu¸c˜oes Num´ericas para os Dois Algoritmos do M´etodo de Coloca¸c˜ao no Modelo de Malueg e Tsutsui (1997)
Parˆametros: n = 2, f = 0, r = 0, p0= 0, 01, π = 10, λ = 1, 0, eps = 1, 0 · 10−13, Col20
Fonte: Elabora¸c˜ao pr´opria
Tal diferen¸ca entre o m´etodo de coloca¸c˜ao e o m´etodo de shooting possui uma re- levˆancia particular, pois, para os casos em n˜ao possuirmos a solu¸c˜ao exata podemos adotar a mesma estrat´egia sugerida porJudd(1998), e utilizada por Beach(2017), o qual adota o m´etodo de shooting como referˆencia (benchmark ) para avaliar se o m´etodo de coloca¸c˜ao produz uma solu¸c˜ao num´erica razo´avel.
Na tabala abaixo, apresentamos para diferentes parˆametros o tempo final e a maior diferen¸ca em u para o m´etodo de shooting e coloca¸c˜ao com T determinado endogenamente.
Tabela 3. Compara¸c˜ao entre M´etodo de Shooting e Coloca¸c˜ao com Tempo End´ogeno para o Modelo de Malueg e Tsutsui (1997)
PVC: ˙v = n(n−1)λ 2π(1−p)2[(2n−1)v−π]+2n(n−1)(f +rv)+n[(2n−1)v−λπ(1−p)]√(n−1)2λ2(1−p)2π2+2(2n−1)(f +rv) (2n−1)2 ˙ p = p(1−p)λn2n−1 hλπ(n − 1)(1 − p) +p(n − 1)2λ2(1 − p)2π2+ 2(2n − 1)(f + rv)i p(0) = p0, v(T ) = π(1−p(T ))2n−1
Parˆametros: λ = 1, 0, π = 10, 0, p0= 0, 01, eps = 1, 0 · 10−12
Shooting: M´etodo de Runge-Kutta de 4ª Ordem e dt = 0, 001 , Coloca¸c˜ao: Col20
n f r Tsht Tcol Tsht− Tcol max(usht− ucol)
2 0 0,00 1,000 1,000 3,392e-07 -1,528e-04 2 1 0,01 0,831 0,829 -2,385e-03 5,385e-05 3 1 0,01 0,490 0,488 -1,780e-03 6,180e-05 4 1 0,01 0,349 0,349 -2,504e-04 7,513e-05 2 2 0,01 0,659 0,659 2,115e-04 -6,621e-06 2 3 0,01 0,577 0,577 -4,533e-04 1,263e-06 2 1 0,50 0,813 0,815 2,221e-03 5,647e-05 2 1 0,90 0,806 0,806 -1,960e-04 5,837e-05
Fonte: Elabora¸c˜ao pr´opria
O m´etodo de coloca¸c˜ao com T determinado endogenamente se apresenta como m´etodo razo´avel para obten¸c˜ao da solu¸c˜ao num´erica, pois, o erro m´aximo em u em rela¸c˜ao ao shooting ´e aceit´avel, assim como na diferen¸ca do tempo final. Al´em disso, para o caso em que f = 0 e r = 0, a diferen¸ca entre os erros m´aximos dos m´etodos de coloca¸c˜ao com T end´ogeno e ex´ogeno ´e de 8, 3741 · 10−10.
Por fim, quanto a distribui¸c˜ao dessa diferen¸ca no tempo, os gr´aficos da figura abaixo sugerem que h´a uma modifica¸c˜ao significativa da distribui¸c˜ao desse diferen¸ca ao longo do tempo quando variamos os parˆametros, contudo, o mesmo n˜ao ocorre quando variamos a taxa de desconto.
Figura 5. Gr´aficos da Diferen¸ca da Aproxima¸c˜ao de ui(t) pelo M´etodo de
Coloca¸c˜ao com Tempo End´ogeno para o Modelo de Malueg e Tsutsui (1997)
Parˆametros: p0= 0, 01, π = 10, λ = 1, 0, eps = 1, 0 · 10−12, Col20
O objetivo dessa disserta¸c˜ao foi discutir a aplica¸c˜ao dos m´etodos de shooting e co- loca¸c˜ao na obten¸c˜ao de aproxima¸c˜oes da solu¸c˜ao dos modelos de Reinganum (1982) e
Malueg and Tsutsui (1997). Para tanto, primeiramente foi apresentado ambos os mo- delos desde os principais pressupostos e sua respectiva modelagem matem´atica, at´e os resultados obtidos por esse referencial.
Uma vez que descrevemos exaustivamente os modelos no primeiro cap´ıtulo, utilizamos as equa¸c˜oes e conclus˜oes at´e ent˜ao obtidas para identificar o problema de valor de contorno de interesse. No modelo de Reinganum (1982) obtivemos das condi¸c˜oes de extremo da fun¸c˜ao Hamiltoniana dois problemas de valor de contorno para cada tipo de equil´ıbrio, OLNE e MPNE, sendo que um deles ´e o mesmo para ambos os equil´ıbrios. Posteriormente a isso, apresentemos o c´odigo utilizado para resolver o problema de valor de contorno com os m´etodos de shooting e coloca¸c˜ao.
Os resultados obtidos com o m´etodo de shooting para modelo de Reinganum (1982) utilizando a combina¸c˜ao do m´etodo de Runge-Kuntta de 4ª ordem, m´etodo da bisse¸c˜ao e intervelos de discretiza¸c˜ao do tempo de 0,001, nos permitem concluir que a solu¸c˜ao num´erica ´e razoavelmente boa, de modo que o erro m´aximo para a trajet´oria ´otima de investimentos em P&D ´e menor que a precis˜ao do Python para todos os problemas de valor de contorno identificados. J´a para a solu¸c˜ao num´erica obtida por coloca¸c˜ao obtivemos as mesmas conclus˜oes do m´etodo de shooting a partir do quinto polinˆomio de Chebyshev, al´em da maior diferen¸ca entre os m´etodos da ordem de grandeza de 1, 0 · 10−17.
J´a no cap´ıtulo trˆes identificamos o problema de valor de contorno no tempo para o modelo deMalueg and Tsutsui(1997), e ressaltamos que esse ´e insuficiente para obtermos a solu¸c˜ao do jogo, uma que o tempo final ´e determinado endogenamente no modelo. Assim, computamos a solu¸c˜ao num´erica supondo um dado tempo terminal e resolvemos com o m´etodo de shooting; posteriormente observamos se p(T ) = ¯p, e, caso n˜ao o seja, escolhemos um novo tempo terminal com o m´etodo da bisse¸c˜ao. A melhor aproxima¸c˜ao desse algoritmo nos retornou un erro m´aximo em u da ordem de grandeza de 1, 0 · 10−10, o que nos permite concluir que temos uma aproxima¸c˜ao razo´avel.
Adicionalmente, no modelo de Malueg and Tsutsui (1997) para m´etodo de coloca¸c˜ao com caso de f = 0 e r = 0, tamb´em obtemos uma boa aproxima¸c˜ao com erro m´aximo em u da ordem de grandeza de 1, 0 · 10−9. Entretanto, quando temos f > 0 e r > 0, o modelo demandou altera¸c˜oes no algoritmo do m´etodo de coloca¸c˜ao, de modo que o tempo final fosse determinado endogenamente no modelo. Tais altera¸c˜oes resultaram no algoritmo que gera uma solu¸c˜ao por coloca¸c˜ao com diferen¸cas m´aximas da ordem de 1, 0 · 10−5, e portanto, conclu´ımos que a solu¸c˜ao deste algor´ıtimo tamb´em ´e razo´avel.
Um dos principais resultados deMalueg and Tsutsui (1997) ´e as trajet´orias de inves- timentos se cruzarem de modo a partirem de um maior investimento inicial e atingirem o fim da corrida mais rapidamente a medida que h´a o aumento da concorrˆencia com mais firmas. As solu¸c˜oes tanto com o m´etodo de shooting quanto com o m´etodo de coloca¸c˜ao apresentaram o mesmo comportamento, mas com um tempo final da corrida menor que a apresentada por Malueg and Tsutsui(1997).
Por fim, conclu´ımos com esse trabalho que os m´etodos de shooting e coloca¸c˜ao geram solu¸c˜oes num´ericas razo´aveis e poderiam ser aplicados a jogos com estrutura similar.
1. M´etodo de Shooting
O m´etodo de shooting, como descrito porJudd (1998), resolve o problema de valor de contorno supondo que as condi¸c˜oes iniciais s˜ao completamente determinadas de modo que esse possa ser reduzido a um problema de valor inicial. Assim defina o seguinte problema de valor de contorno ˙x = f (t, x, y) ˙ y = g(t, x, y) (66) x(0) = x0, y(T ) = yT onde x ∈ Rn e y ∈ Rm.
Devemos supor portanto um valor para y(0) = y0, e definindo o seguinte problema de
valor inicial
˙x = f (t, x, y) ˙
y = g(t, x, y) (67)
x(0) = x0, y(0) = y0
Entretanto, uma vez solucionado problema de valor inicial temos que y(T ) pode n˜ao atender a condi¸c˜ao de contorno, y(T ) = yT, e portanto, devemos supor um novo valor
para y(0) at´e que a solu¸c˜ao seja encontrada.
Contudo, para cada suposi¸c˜ao de y(0) temos um valor correspondente de y(T ), assim podemos supor que o valor terminal seja descrito por uma fun¸c˜ao n˜ao linear, Y (T, y0), e
portanto, buscamos y0 tal que yT = Y (T, y0).
Logo, teremos convergˆencia para a solu¸c˜ao se determinarmos as novas suposi¸c˜oes de y0 baseadas um m´etodo para encontrar a raiz da equa¸c˜ao n˜ao linear
Y (T, y0) − yT = 0
Figura 6. Ilustra¸c˜ao do M´etodo da Shooting
Fonte: (Burden et al., 2016, p. 695)
Dado o exposto acima temos o seguinte algoritmo para o m´etodo de shooting.
Algoritmo 1. M´etodo de Shooting
Objetivo: Solucionar um problema de contorno (1).
Inicializa¸c˜ao: Supor o valor de y(0) na primeira intera¸c˜ao, determinar erro aceit´avel, > 0 e o n´umero m´aximo de intera¸c˜oes N0.
Passo 1: Defina i = 1 e resolva o problema de valor inicial, (1), com a condi¸c˜ao inicial (x0, y0,i) e tomar y(T ).
Passo 2: Se k y(T ) − yT k < parar, pois a solu¸c˜ao foi encontrada. Caso contr´ario defina
i = i + 1 e passe para o passo 3.
Passo 3: Se i < N0 determine y0,i+1 utilizando um m´etodo para encontrar raiz de equa¸c˜oes
n˜ao lineares e retorne ao passo 1. Caso contr´ario retorne que o n´umero m´aximo de intera¸c˜oes foi atingido. (Judd, 1998, p. 351)
2. M´etodo de Coloca¸c˜ao
O m´etodo de coloca¸c˜ao consiste na resolu¸c˜ao de um problema de interpola¸c˜ao aproxi- mando a fun¸c˜ao f atrav´es da combina¸c˜ao linear de n fun¸c˜oes conhecidas, ou seja,
f (x) ≈
n
X
j=1
cjφj(x)
onde cj ´e o j-´esimo coeficiente da j-´esima fun¸c˜ao φj. Observe entretanto que podemos
definir os coeficientes de modo a obtermos uma igualdade em n pontos x1, ..., xnno dom´ınio
de f , os quais s˜ao chamados de n´o de coloca¸c˜ao. (Miranda and Fackler, 2004, p. 142) Assim, em nota¸c˜ao matricial, temos
y = Φ c y − Φ c = 0
onde yi = f (xi) e Φij = φj(xi). O m´etodo de coloca¸c˜ao implica portanto em encontrarmos
um vetor de coeficientes, c, que satisfa¸ca simultaneamente n equa¸c˜oes n˜ao lineares, ou seja,
g xi, n X j=1 cjφj(x) ! = 0 , para i = 1, 2, ..., n (68)
Contudo, a solu¸c˜ao de (68) pode ser aproximada pelo m´etodo de Newton apresentado anteriormente.
Algoritmo 2. M´etodo de Coloca¸c˜ao
Objetivo: Aproximar uma combina¸c˜ao linear de fun¸c˜oes da solu¸c˜ao
Inicializa¸c˜ao: Defina a matriz Φij = φj(xi) que contem as fun¸c˜oes com as quais se deseja
fazer a aproxima¸c˜ao, e n os pontos de coloca¸c˜ao Passo 1: Avalie Φ nos pontos de coloca¸c˜ao.
Passo 2: Com os resultados obtidos anteriormente defina um sistema de equa¸c˜oes n˜ao lineares.
Passo 3: Utilize um m´etodo para encontrar ra´ızes de sistemas n˜ao lineares.
Passo 4: Retorne o vetor solu¸c˜ao do sistemas n˜ao lineares e o utilize para especificar a fun¸c˜ao que aproxima a solu¸c˜ao.
Em um problema de valor de contorno como definido anteriormente, Judd (1998) ressalta que a solu¸c˜ao ´e aproximada pelo m´etodo de coloca¸c˜ao ao resolvermos
ˆ x(t) = n X i=0 aiφi(t) ˆ y(t) = n X i=0 biφi(t)
onde a e b nos d˜ao 2n coeficientes a serem determinados. Entretanto se tomarmos n − 1 n´os de coloca¸c˜ao teremos 2(n−1) restri¸c˜oes, uma vez que esses devem satisfazer a equa¸c˜ao diferencial. Al´em disso, temos das condi¸c˜oes de contorno,
x0 = ˆx(0) = a0 yT = ˆy(T ) = n X i=0 biφi(T )
duas restri¸c˜oes adicionais, e portanto, temos 2n coeficientes a serem determinados e 2n equa¸c˜oes n˜ao lineares.
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