Soluções numéricas para jogos diferenciais : aplicação a uma corrida por P&D.

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INSTITUTO DE CIˆENCIAS SOCIAIS APLICADAS

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM ECONOMIA APLICADA

SOLUC

¸ ˜

OES NUM´

ERICAS PARA JOGOS DIFERENCIAS:

APLICAC

¸ ˜

AO A UMA CORRIDA POR P&D

LUDGERO LIMA ARANTES NETO

Mariana - MG

2020

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SOLUC

¸ ˜

OES NUM´

ERICAS PARA JOGOS DIFERENCIAS:

APLICAC

¸ ˜

AO A UMA CORRIDA POR P&D

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Economia Aplicada do Instituto de Ciências So-ciais da Universidade Federal de Ouro Preto, como requisito parcial à obten¸cão do T´ıtulo de Mestre.

Orientador: Prof. Dr. Martin Harry Vargas Barrenechea

Mariana - MG

2020

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Arantes Neto, Ludgero Lima.

AraSoluções numéricas para jogos diferenciais [manuscrito]: aplicação a uma corrida por P&D. / Ludgero Lima Arantes Neto. - 2020.

Ara102 f.

AraOrientador: Prof. Dr. Prof. Dr. Martin Harry Vargas Barrenechea. AraDissertação (Mestrado Acadêmico). Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Sociais Aplicadas. Programa de Pós-Graduação em Economia Aplicada.

AraÁrea de Concentração: Economia Aplicada.

Ara1. Teoria dos Jogos. 2. Jogos Diferenciais. 3. Economia. I. Barrenechea, Prof. Dr. Martin Harry Vargas. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Título.

Bibliotecário(a) Responsável: Essevalter De Sousa - Bibliotecário BIBI-ICSA/SISBIN CRB6 1407

A662s

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https://sei.ufop.br/sei/controlador.php?acao=documento_imprimir_web&acao_origem=arvore_visualizar&id_documento=80281… 1/1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO REITORIA

INSTITUTO DE CIENCIAS SOCIAIS E APLICADAS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS

FOLHA DE APROVAÇÃO

Ludgero Lima Amarantes Neto

Soluções Numéricas para Jogos Diferenciais: Aplicação a uma Corrida por P&D.

Membros da banca

Martin Harry Vargas Barrenechea - Prof. Dr. - UFOP Antônio Francisco Neto - Prof. Dr. - UFOP Igor Viveiros Melo Souza - Prof. Dr. - UFMG

Versão final

Aprovado em 15 de junho de 2020

De acordo

Martin Harry Vargas Barrenechea - Prof. Dr. - UFOP

Documento assinado eletronicamente por Martin Harry Vargas Barrenechea, PROFESSOR DE MAGISTERIO SUPERIOR, em 21/07/2020, às 21:18, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.

A autenticidade deste documento pode ser conferida no site http://sei.ufop.br/sei/controlador_externo.php?

acao=documento_conferir&id_orgao_acesso_externo=0 , informando o código verificador 0069197 e o código CRC 454B6084.

Referência: Caso responda este documento, indicar expressamente o Processo nº 23109.005249/2020-51 SEI nº 0069197 R. Diogo de Vasconcelos, 122, - Bairro Pilar Ouro Preto/MG, CEP 35400-000

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Primeiramente agrade¸co a minha fam´ılia por estarem sempre ao meu lado em todos os momentos; à Jouse e ao Caio pela amizade e companheirismo nas dificuldades do mestrado e da vida; e ao meu orientador o Prof. Martin não somente pela orienta¸cão, a postura sempre atenciosa e a indica¸cão de bons livros, mas principalmente pelo est´ımulo para continuar aprofundando meus conhecimentos apesar das dificuldades inerentes ao processo de pesquisa.

Por fim, agrade¸co a Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) pela bolsa de estudos.

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Este trabalho aplica os métodos numéricos de shooting e coloca¸cão numa corrida tec-nológica, na qual os investimentos em P&D são modelados em um jogo diferencial como inicialmente propostoReinganum(1982) e posteriormente ampliado porMalueg and Tsut-sui(1997) sob uma abordagem bayesiana. Em uma corrida por P&D assim modelada cada jogador defronta-se com um problema de controle ótimo que pode ser reduzido a um pro-blema de valor de contorno, e cujos investimentos em P&D são a variável de controle. Portanto, deduz-se os analiticamente os modelos até a obten¸cão do problema de valor de contorno e posteriormente os métodos numéricos são aplicados. A conclusão do trabalho é que os resultados encontrados por meio dos métodos numéricos abordados aproximam razoavelmente da solu¸cão.

Palavras-Chave: Teoria dos Jogos, Jogos Diferenciais, Inova¸cão, Corrida por P&D, Métodos Numéricos

(8)

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This dissertation applies the shooting and collocation numeric methods at a technolo-gical race in which the investments in R&D are modeled as a differential game like firstly proposed by Reinganum (1982) and after extended by Malueg and Tsutsui (1997) with an bayesian appproach. In a R&D race modeled as such, each player face an optimal control problem which can be reduced to a boundary velue problem, and whose R&D in-vestments are the control variable. Therefore, the models are analytic deduced untill the boundary value problem is obtained and thereafter the numerical methods are applied. The dissertation conclusion is that the results found by the numerical methods considered reasonably approximate the solution.

Keywords: Game Theory, Differential Games, Inovation, R&D Race, Nume-rical Methods

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1 Fun¸c˜ao de Valor Condicional 31

2 Impacto da Concorrˆencia nos Investimentos em P&D 33

3 Impacto da Concorrˆencia na Evolu¸c˜ao do Pessimismo as Firmas 34

4 Impacto de da Concorrˆencia na Trajet´oria dos Investimentos em P&D 34

5 Impacto de f nos Investimentos em P&D 35

6 Investimentos em P&D com f=0 e r=0 36

1 Gráficos da Solu¸cão Numérica e Erros da Aproxima¸cão de ui(t) pelo Método de

Shooting do PVC 1 55

Coloca¸c˜ao do PVC 1 55

Shooting para o Modelo de Malueg e Tsutsui (1997) 68

Shooting para o Modelo de Malueg e Tsutsui (1997) 69

Coloca¸c˜ao para o Modelo de Malueg e Tsutsui (1997) 72

(12)

4 Gráficos da Diferen¸ca entre as Solu¸cões Numéricas para os Dois Algoritmos do

M´etodo de Coloca¸c˜ao no Modelo de Malueg e Tsutsui (1997) 76

5 Gráficos da Diferen¸ca da Aproxima¸cão de ui(t) pelo Método de Coloca¸cão com

Tempo End´ogeno para o Modelo de Malueg e Tsutsui (1997) 78

(13)

1 Erros da Aproxima¸c˜ao de ui(t) do M´etodo de Shooting para o PVC 1 53

2 Erros da Aproxima¸cão de ui(t) para a Solu¸cão do PVC 1 pelo de Método de

Coloca¸c˜ao 54

Coloca¸c˜ao 58

Coloca¸c˜ao 62

1 Erros da Aproxima¸c˜ao de ui(t) do M´etodo de Shooting para o Modelo de Malueg

e Tsutsui (1997) 67

2 Erros da Aproxima¸c˜ao de ui(t) para a Solu¸c˜ao do Modelo de Malueg e Tsutsui

(1997) pelo de M´etodo de Coloca¸c˜ao 71

3 Compara¸cão entre Método de Shooting e Coloca¸cão com Tempo Endógeno para o

Modelo de Malueg e Tsutsui (1997) 77

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Agradecimentos iii Resumo v Abstract vii Lista de Figuras ix Lista de Tabelas xi Introdu¸c˜ao 1

Cap´ıtulo 1. Jogos Diferencias e Corrida por P&D 7

1. Modelo de Reinganum (1982) 7

2. Modelo de Malueg e Tsutsui (1997) 21

Cap´ıtulo 2. Solu¸c˜oes Num´ericas para o modelo de Reinganum (1982) 39

Cap´ıtulo 3. Solu¸c˜oes Num´ericas para o modelo de Malueg e Tsutsui (1997) 65

Conclus˜ao 79

Apêndice - Métodos Numéricos 81

1. M´etodo de Shooting 81

2. M´etodo de Coloca¸c˜ao 82

Bibliografia 85

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A corrida por inova¸cão através de investimento em pesquisa e desenvolvimento (P&D) é uma poss´ıvel intera¸cão estratégica entre as firmas, as quais objetivam a descoberta de um novo produto que lhes garantam algum ganho. Entretanto, em tal corrida as firmas alocam recursos em P&D sob a hipótese de resultados incertos, tanto em rela¸cão ao momento da descoberta, quanto qual jogador ganhará a corrida ao ser o primeiro a obter sucesso ao inovar. (Van Long, 2010, p. 155)

Uma primeira abordagem seria o jogo apresentado no trabalho de Scherer (1967) no qual o ganho pela inova¸cão é obtido em dado per´ıodo de comercializa¸cão que se inicia logo após a termino do projeto de inova¸cão. Por sua vez, o tempo de execu¸cão do projeto pode ser determinado pela firmas ao dispenderem maiores recursos em P&D. Além disso,

Scherer(1967) pressupõe que cada firma considera que seus gastos em P&D não afetarão a escolha das demais. Os resultados obtidos pelo autor foram que o aumento do número de jogadores implica no aumento dos investimento em P&D visando reduzir o tempo de desenvolvimento mesmo que esses incorram em maiores custos. (Scherer, 1967, p. 390)

Posteriormente, Kamien and Schwartz (1976) propõe um modelo cuja estrutura de mercado é incerta de modo que as firmas, ao reduzirem seus investimento em P&D bus-cando menor custo, estendem o tempo de inova¸cão ampliando a possibilidade da entrada de um rival. O resultado obtido pelos autores corrobora com os de Scherer (1967) ao concluir que há o aumento dos investimentos em P&D sob um maior número de firmas. (Kamien and Schwartz,1976, p. 255)

Entretanto, Loury(1979) ressalta que os trabalhos anteriores analisam um equil´ıbrio parcial parametrizando a estrutura de mercado o que seria insatisfatório, pois, os investi-mentos em P&D afetam a probabilidade da entrada de concorrentes, e desse modo, não poderiam ser tomados como parâmetro. O modelo alternativo proposto porLoury(1979) pressupõe que a probabilidade de sucesso de uma dada firma na corrida é descrita por uma distribui¸cão exponencial na qual as firmas maximizam sua probabilidade de ganho comprometendo-se com um fluxo de investindo em P&D. Os resultados deste modelo di-vergem dos trabalhos anteriores concluindo que o aumento no número de firmas reduz

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os investimentos em P&D de cada firma, mas corrobora em rela¸cão a redu¸cão do tempo necessário para ocorrer a inova¸cão.

O pressuposto adotado porLoury(1979) que as firmas se comprometem com um fluxo de investimento em P&D é questionado porLee and Wilde (1980), o qual amplia tal mo-delo pressupondo que as firmas escolhem, ou um dispêndio fixo em P&D, ou encerram seus projetos. Sob tal modifica¸cão Lee and Wilde (1980) obtém entretanto que os inves-timento são ampliados com o aumento do número de firmas, corroborando assim com os trabalhos anteriores àLoury (1979).

Por sua vez, Reinganum(1982) propõe um jogo diferencial que reúne tanto o aspecto estratégico dos agentes em modelos como Scherer (1967), Loury (1979) e Lee and Wilde

(1980), nos quais as firmas escolhem sua estrat´egia de investimento de um conjunto dos R+; quanto o aspecto dinˆamico do modelo de Kamien and Schwartz (1976), no qual as

firmas escolhem uma fun¸c˜ao que descreve no tempo a trajet´oria do gasto em P&D. Os resultados obtidos por Reinganum (1982) corroboram com Scherer (1967), Kamien and Schwartz (1976) e Lee and Wilde (1980). (Reinganum,1982, p. 672)

Contudo,Malueg and Tsutsui(1997) observa que o modelo deReinganum(1982) pres-supõe que a inova¸cão é sempre fact´ıvel e sua distribui¸cão de probabilidade é conhecida. Assim, Malueg and Tsutsui (1997) propõem uma abordagem Bayesiana para o modelo na qual a não obten¸cão de sucesso em inovar, dado o aumento no estoque de conheci-mento, produz informa¸cão extra para as firmas, de modo que suas cren¸cas em rela¸cão a distribui¸cão de probabilidade de sucesso em inovar é atualizada a cada instante.

A abordagem de Malueg and Tsutsui (1997), entretanto, adiciona grande complexi-dade ao problema, o que pode ser percebido no fato que o modelo apenas possui solu¸cão algébrica para parâmetros espec´ıficos. Assim, para analisar o comportamento dos inves-timento em P&D com o aumento do número de fimas, os autores comparam diferentes solu¸cões numéricas para o jogo.

Contudo, não foi explicitado emMalueg and Tsutsui(1997) quais os métodos numéricos utilizados, e portanto, cabe a discussão de diferentes métodos para a obten¸cão da solu¸cão. Tal discussão para os modelos de Reinganum (1982) e Malueg and Tsutsui (1997) é objetivo do presente trabalho, e como esses jogos podem ser reduzidos a resolu¸cão de um problema de valor de contorno, temos como hipótese que os métodos de coloca¸cão e shooting, por serem capazes de resolver tais problemas, produzem solu¸cões numéricas razoáveis.

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O fato de podermos reduzir os modelos Malueg and Tsutsui(1997), e tamb´em Reinga-num(1982), a um problema de valor de contorno ocorre por esses serem jogos diferencias. Segundo Van Long (2010) um jogo diferencial que ocorre em um per´ıodo de tempo finito ou infinito possui as seguintes propriedades:

• os jogadores recebem um payoff a cada per´ıodo, sendo o payoff total a integral dos payoffs descontados;

• o payoff a cada per´ıodo depende tanto da a¸cão do jogador quanto das a¸cões dos demais jogadores, além da variável de estado do sistema;

• o estado do sistema tem sua evolu¸cão determinada pela(s) variável(eis) de controle que depende da a¸cão dos jogadores;

• a taxa de mudan¸ca da variável de estado é descrita por uma equa¸cão de transi¸cão, a qual é uma equa¸cão diferencial. (Van Long, 2010, p. 1)

Observe, portanto, que um jogo diferencial resulta em um problema de controle ótimo, que por sua vez, pode ser reduzido a um problema de valor de contorno quando tomamos as condi¸cões necessárias para ótimo da fun¸cão Hamiltoniana associada ao problema de controle ótimo.

Quanto ao equil´ıbrio de um jogo diferencial, Van Long (2010) também ressalta que é estabelecido na literatura a busca da obten¸cão dois tipos de equil´ıbrio; o Equil´ıbrio de Nash open-loop (OLNE); e o Equil´ıbrio de Nash Markoviano-Perfeito (MPNE), sendo que ambos advêm dos pressupostos dos jogadores para estabelecerem sua estratégia, e portanto, de como é definido a variável de controle, ui(t). (Van Long, 2010, p. 2)

Dockner et al. (2000) nos apresenta as seguinte defini¸c˜oes:

Definição 0.1. Uma estratégia open-loop (ou de pré-comprometimento) é a trajetória de a¸cões planejadas no tempo por um jogador, ui(t) = φOLi (t). (Dockner et al., 2000,

p. 86)

Definição 0.2. Uma estratégia markoviana-perfeita (ou com feedback) é uma regra que condiciona as a¸cões para todo tempo segundo o estado observado em um dado mo-mento (tempo), ui(t) = φF Bi (x(t), t), onde x ∈ X. (Dockner et al., 2000, p. 86)

Definição 0.3. Equil´ıbrio de Nash open-loop é: “A n-upla (φ1i, φ2i, ..., φni) de fun¸cões

φi : X × [0, T ) 7→ Rmi, i ∈ {1, 2, ..., n}, ´e chamada de equil´ıbrio de Nash open-loop se,

para cada i ∈ {1, 2, ..., n}, uma trajet´oria de controle ´otimo, ui, do problema”[que define

(20)

Definição 0.4. Equil´ıbrio de Nash markoviano-perfeito é: “A n-upla (φ1i, φ2i, ..., φni)

de fun¸c˜oes φi : X × [0, T ) 7→ Rmi, i ∈ {1, 2, ..., n}, ´e chamada de equil´ıbrio de Nash

markoviano-perfeito se, para cada i ∈ {1, 2, ..., n}, uma trajet´oria de controle ´otimo, ui,

do problema”[que define o jogo diferencial] ”existe e ´e dada pela estrat´egia markoviana-perfeita ui(t) = φF Bi (x(t), t).” (Dockner et al., 2000, p. 86)

O OLNE tem a propriedade de consistência em rela¸cão ao tempo, de modo que a cada per´ıodo os jogadores não possuem incentivo de desviarem da trajetória ótima inicialmente definida. Contudo, caso haja, por razão exógena ao modelo, algum desvio de um ou mais jogadores da trajetória ótima inicialmente definida, então uma nova trajetória ótima passa a ser adotada pelos jogadores, ou seja, o OLNE não é robusto a perturba¸cões. Por outro lado, o MPNE é definido como uma regra que condiciona as poss´ıveis a¸cões dos jogadores em fun¸cão do tempo e estado da variável, e consequentemente, é robusto em rela¸cão à perturba¸cões. (Van Long, 2010, p. 3)

A relevância da abordagem destes conceitos de equil´ıbrio reside no fato que o OLNE representa a situa¸cão em que os jogadores são capazes de estabelecerem um compromisso razoavelmente confiável, enquanto o MPNE a situa¸cão em que há robustez em rela¸cão à perturba¸cões, e por isso, a compara¸cão entre esses equil´ıbrios é frequentemente realizada quando poss´ıvel.

Assim, frente as dificuldades ou impossibilidade de cálculo destes equil´ıbrios analiti-camente, refor¸ca-se a justificava do estudo da aplica¸cão de métodos numéricos, uma vez que ampliaria o número de poss´ıveis abordagens do problema. Tal ponto é ressaltado em Jørgensen and Zaccour (2006), segundo o qual há um trade-off entre complexidade e generalidade dos métodos anal´ıticos e numéricos quando utilizados em aplica¸cões da teo-ria de jogos diferenciais. Os métodos anal´ıticos permitiriam grande generalidade de suas conclusões, mas ao custo de se restringirem a jogos com estrutura simples. Por outro lado, os métodos numéricos se desfazem da generalidade de suas conclusões ao requisitarem a especifica¸cão de parâmetros a priori, mas permitem a abordagem de jogos com estrutura mais complexa. (Jørgensen and Zaccour, 2006, p. 160)

Como mencionado anteriormente, abordamos como metodologia do presente trabalho os métodos shooting e de coloca¸cão, cujas simula¸cões são realizadas em Python versão 2.7 devido a simplicidade de leitura e flexibilidade da linguagem. Já para verificarmos a razo-abilidade das solu¸cões numéricas foi feita a compara¸cão entre os métodos, como proposto por Beach (2017) e Judd (1998), além de, quando poss´ıvel, a escolha de parâmetros que

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nos permitam obter uma solu¸cão anal´ıtica para compara¸cão, como proposto por Linge and Langtangen (2016). Com tais compara¸cões, conclu´ımos ao final do trabalho que os métodos de shooting e de coloca¸cão produziram solu¸cões numéricas razoáveis, mesmo para casos de dif´ıcil aproxima¸cão como Malueg and Tsutsui (1997), e portanto, podem ser adotados em outros jogos diferencias com estrutura similar.

(22)

(23)

Jogos Diferencias e Corrida por P&D

1. Modelo de Reinganum (1982)

Reinganum (1982) aborda a inova¸cão como um processo estocástico influenciado pelo estoque de conhecimento relevante, z(t). Por sua vez, a aquisi¸cão de conhecimento1 por uma firma i ∈ {1, ..., n} é dada a uma taxa µi(t) ∈ [ 0, B ], onde B é um limite f´ısico

determinado exogenamente. Al´em disso, supomos que as firmas podem escolher µi(t)

ao investir recursos em P&D, ui(·), os quais acumuladamente s˜ao iguais zi(t). Logo,

pressup˜oe-se

˙

zi(t) = ui(·). (1)

A restri¸c˜ao a µi(t) implica que ui(·) ∈ U = [ 0, B ] e zi(t) ∈ [ 0, T B ] para todo

t ∈ [ 0, T ], o qual T tamb´em ´e definido exogenamente e representa o momento fim da corrida. (Reinganum, 1982, p. 672).

O fato de uma firma definir a sua capacidade inovativa não garante necessariamente que essa ganhe a corrida em P&D, para tanto, é necessário que seja a primeira à obter sucesso ao inovar. Assim, a incerteza em rela¸cão a qual firma será efetivamente a inovadora é modelada por Reinganum (1982) ao pressupor que o momento de sucesso como uma variável aleatória com distribui¸cão exponencial influenciada pelo estoque de conhecimento acumulado.

Portanto, a probabilidade de inova¸cão da firma i com conhecimento acumulado menor ou igual a zi no tempo t é descrito pela distribui¸cão acumulada

Pr(ti ≤ t) = 1 − exp{−λzi(t)} = Fi(t) (2)

e distribui¸c˜ao de densidade, fi(t),

1_Em_Reinganum₍₁₉₈₂_{) h´}_{a a distin¸}_c˜_{ao entre conhecimento e informa¸}_c˜_{ao. Conhecimento refere-se a fatos}

relevantes que contribuem para o desenvolvimento da inova¸cão e restringe-se ao projeto de pesquisa. Já a informa¸cão diz respeito ao conhecimento da firma sobre seus pares. (Reinganum,1982, p. 672)

(24)

fi(t) = dFi(t) dt = λ dz_i dt exp{−λzi(t)} fi(t) = λui(·) exp{−λzi(t)}. (3)

Supondo independˆencia, de (2) e (3) temos que a probabilidade da firma i ganhar a corrida no tempo t, ´e fi(t) Pr(tj = t, tj > t , j 6= i) = fi(t) n Y j6=i [1 − Fi(t)]

= λui(·) exp{−λzi(t)} exp{−λZ−i(t)} (4)

= λui(·) exp{−λZ(t)}

onde Z(t) ≡Pn

k=1zk(t) e Z−i(t) ≡

P

j6=izk(t).

Uma vez dada a probabilidade de sucesso da firma i, o ganho pela inova¸cão a valor presente, PL, e o ganho pela imita¸cão da inova¸cão de outra firma a valor presente, PF,

Reinganum(1982) define o ganho esperado de i pela inova¸c˜ao como

PLλui(·) e−λZ(t)

e o ganho esperado de i por uma imita¸c˜ao da inova¸c˜ao de outra firma como PFλ

X

j6=i

uj(·)e−λZ(t).

Além disso, pressupõe-se uma fun¸cão de custo de inova¸cão

ui(·)2

2 .

Logo, a fun¸cão de payoff de i é dada por todo o ganho esperado por i a valor presente subtra´ıdo de todo custo incorrido por i para acumula¸cão de conhecimento, ou seja,

(25)

Ji = Z T 0 e−λZ(t) " λPLui(·) + λPF X j6=i uj(·) − e−rt 2 ui(·) 2 # dt (5)

onde r a taxa de desconto dos custos.

Observe que os ganhos a valor presente no modelo s˜ao considerados como constantes ao longo do tempo, ou alternativamente, crescentes a mesma taxa que a utilizada para desconto, o que, segundo Dockner(2000), permite que o modelo foque na rivalidade entre as firmas. (Dockner et al., 2000, p. 155)

Definido o conjunto dos n jogadores, suas preferências através da fun¸cão de payoff, e o conjunto de a¸cões dado por ui, podemos derivar os equil´ıbrios open-loop e markoviano

perfeito.

Quando as firmas adotam estrat´egias open-loop escolhem o investimento em P&D apenas em fun¸c˜ao do tempo, ui(t) = φOLi (t), e esperam que as demais firmas fa¸cam o

mesmo. Logo, a firma i depara-se com o seguinte problema de controle:

max ui∈ U Z T 0 e−λZ(t) " λPLui(t) + λPF X j6=i uj(t) − e−rt 2 ui(t) 2 # dt (6) sujeito a Z˙i(t) = ui(t), Zi(0) = 0. A fun¸c˜ao Hamiltoniana Hi(t, Z, ui, ψi) = e−λZ(t) " λPLui(t) + λPF X j6=i uj(t) − e−rt 2 ui(t) 2 # + ψi(t)ui(t)

´e concava em ui, e portanto, aplicando o Princ´ıpio do M´aximo de Pontryagin2 temos as

seguintes condi¸c˜oes necess´arias para extremo:

∂Hi(t, Z∗, u∗i, ψi) ∂ui            > 0, ∀ ui ∈ [0, B] implica em u∗i = B = 0, ∀ ui ∈ (0, B) implica em u∗i(t) = ert λPL+ ψi(t)eλZ ∗_(t) < 0, ∀ ui ∈ [0, B] implica em u∗i = 0 (7)

2_{Para maiores detalhes sobre o Princ´ıpio do M´}_{aximo de Pontryagin ver}_{Sydsaeter et al.}₍₂₀₀₈_{) e}_Dockner et al.(2000).

(26)

˙ ψi = − ∂Hi(t, Z, ui, ψi) ∂Z ⇒ ˙ψi = λe −λZ " λPLui + λPF X j6=i uj − e−rt 2 u 2 i # . (8)

Supondo que as firmas s˜ao sim´etricas temos de (8),

˙ ψi = λe−λZ λ [PL+ (n − 1)PF] ui− e−rt 2 u 2 i . (9) Substituindo (7) em (9), ˙ ψi = λe−λZ λ [PL+ (n − 1)PF] ert λPL+ ψieλZ − ert 2 λPL+ ψie λZ2 . (10)

Assim reduzimos nosso problema de controle (6) a um problema de valor de contorno com a equa¸c˜ao diferencial (10), e condi¸c˜oes de contorno Z(0) = 0 e ψi(T ) = 0 3. Para

resolvˆe-lo, a equa¸c˜ao (7) sugere definimos b(t) = λPL+ ψi(t) eλZ(t), e portanto,

ψi = e−λZ( b − λPL).

Diferenciando esta última equa¸cão em rela¸cão ao tempo temos,

˙ ψi = −λe−λZZ ( b − λP˙ L) + e−λZ ˙b. Contudo, ˙Z = nui, logo ˙ ψi = −λe−λZnert(λPL+ ψieλZ) ( b − λPL) + e−λZ ˙b ˙ ψi = −nλerte−λZb ( b − λPL) + e−λZ ˙b ˙ ψi = e−λZ ˙b − nλertb2+ nPLλ2ertb . (11)

Igualando (11) a (10) e com alguma ´algebra obtemos

3_{Observe que a condi¸}_c˜_{ao de transversalidade ´}_{e ψ}

i(T ) = 0, pois, somente há inova¸cão se Z∗(T ) > 0, já que caso contrário Pr(ti≤ t) = 0 para toda firma i. Para mais detalhes sobre esta condi¸cão de transversalidade verSydsaeter et al.(2008)

(27)

˙b − (2n − 1)λert 2 b

2_{+ λ}2_ert_{(n − 1)(P}

L− PF) b = 0 (12)

a qual é um equa¸cão de Riccati que aplicando a transforma¸cão b(t) ≡ −_w(t)1 temos uma equa¸cão diferencial linear de primeira ordem.

˙ w w2 − (2n − 1) λert 2 1 w2 − λ 2_ert_{(n − 1)(P} L− PF) 1 w = 0 ˙ w − λ2ert(n − 1)(PL− PF)w = (2n − 1) λert 2 . (13)

A solu¸c˜ao de (13) ´e dada por

w = e−λ2(n−1)(PL−PF)(ert−erT)/r C + Z T t eλ2(n−1)(PL−PF)(erξ−erT)/r_{(2n − 1)}λe rξ 2 dξ .

Resolvendo a integral, temos

w = e−m C + (2n − 1) (1 − e m₎ 2λ (n − 1) (PL− PF)

onde m = λ2(n − 1) (PL− PF) ert− erT /r. Utilizando o fato que ψi(T ) = 0,

w(T ) = − 1 b(T ) = − 1 λPL+ ψi(T ) eλZ(T ) = − 1 λPL e m(T ) = 0, temos que C = w(T ) = −_λP1 L. Logo, w = (2n − 1) PL(e m_{− 1) − 2 (n − 1) (P} L− PF) em 2λPL(n − 1) (PL− PF) w = e m_{[(2n − 1) P} L− 2 (n − 1) (PL− PF)] − (2n − 1) PL 2λPL(n − 1) (PL− PF) w = −(2n − 1) PL− [PL+ 2 (n − 1) PF] e m 2λPL(n − 1) (PL− PF) . Assim como b = 2λPL(n − 1) (PL− PF) (2n − 1) PL− [PL+ 2 (n − 1) PF] em . (14)

(28)

De (14) temos a estrat´egia da firma i, pois u∗_i(t) = ert λPL+ ψieλZ = ertb u∗_i(t) = 2λPL(n − 1) (PL− PF) e rt (2n − 1) PL− [PL+ 2 (n − 1) PF] em . (15)

Para obtermos a equa¸c˜ao da vari´avel de co-estado substitu´ımos (14) em ψi = e−λZ(b − λPL),

e com alguma ´algebra, temos

ψi =

λPL(em− 1) [PL+ 2 (n − 1) PF] e−λZ

(2n − 1) PL− [PL+ 2 (n − 1) PF] em

. (16)

No caso em que as firmas adotam estrat´egias markoviana perfeita a firma i adota uma estrat´egia com base no tempo e estoque de conhecimento, ui(t) = φF Bi (Z(t), t).

Entretanto, como ressaltado por Dockner et al. (2000) podemos supor que as firmas conhecem apenas uma fun¸c˜ao do estoque total de conhecimento, uj(t) = φF Bj (y(t), t)

(Dockner et al., 2000, p. 276). No caso temos, como sugerido por Dockner et al.(2000),

y(t) = exp ( −λ n X i=1 zi(t) ) . (17)

Logo, a firma i se depara com o seguinte problema de controle:

max ui∈ U Z T 0 y " λPLui(t) + λPF X j6=i uj(t) − e−rt 2 ui(t) 2 # dt (18) sujeito a y(t) = −λ˙ n X i=1 ui(t), y(0) = 1. A fun¸c˜ao Hamiltoniana Hi(t, Z, ui, ψi) = y " λPLui(t) + λPF X j6=i uj(t) − e−rt 2 ui(t) 2 # − ψi(t)λy " ui(t) + X j6=i uj(t) # ´

e concava em ui, portanto, aplicamos novamente o Princ´ıpio do M´aximo de Pontryagin

(29)

∂Hi ∂ui            > 0, ∀ ui ∈ [0, B] implica em u∗i = B = 0, ∀ ui ∈ (0, B) implica em u∗i(t) = λ (PL− ψi) ert < 0, ∀ ui ∈ [0, B] implica em u∗i = 0 (19) ˙ ψi = − ∂Hi ∂y ⇒ ˙ψi = − " λPLui+ λPF X j6=i uj − e−rt 2 u 2 i − ψiλ ui(t) + X j6=i uj(t) !# . (20)

Supondo simetria temos de (20),

˙ ψi = − λPLui+ λPF(n − 1) ui− e−rt 2 u 2 i − ψiλnui . (21)

Substituindo (19) e rearranjando termos

˙ ψi = ert 2 λ 2 (PL− ψi) [(2n − 1) ψi− PL− 2 (n − 1) PF] . (22) Adicionando e subtraindo (2n − 1)PL, ˙ ψi = ert 2 λ 2_(P L− ψi) [(2n − 1) (ψi− PL) + (2n − 1) PL− PL− 2 (n − 1) PF] ˙ ψi = ert 2 λ 2_(P L− ψi) [(2n − 1) (ψi− PL) + 2 (n − 1) (PL− PF)] . (23)

As equa¸c˜oes (19) e (23) sugerem que definamos b(t) = ψi − PL, o que implica que

˙ ψi(t) = ˙b(t). Logo, ˙b = −ert 2 λ 2_{(2n − 1) b}2_{+ 2 (n − 1) (P} L− PF) b ˙b + ert 2 λ 2_{(2n − 1) b}2_{+ e}rt_λ2_{(n − 1)(P} L− PF) b = 0. (24) Aplicando a transforma¸c˜ao b(t) = − 1 w(t) em (24)

(30)

w−2w +˙ e rt 2 λ 2_{(2n − 1) w}−2_{− e}rt_λ2_{(n − 1)(P} L− PF) w−1 = 0 ˙ w − ertλ2(n − 1)(PL− PF) w + ert 2 λ 2_{(2n − 1) = 0.} ₍₂₅₎ A solu¸c˜ao de (25) ´e w = em C + (2n − 1) 2 (n − 1) (PL− PF) e−m− 1 . (26) onde m = 1_rλ2_{(n − 1)(P}

L− PF) ert− erT. Observe que m(T ) = 0, e que a condi¸c˜ao

de transversalidade ψi(T ) = 0 implica em w(T ) = _P1

L, pois ψi(T ) = PL+ b(T ). Assim

avaliando (26) em T temos que C = _P1

L. Logo, w = em 1 PL + (2n − 1) 2 (n − 1) (PL− PF) e−m− 1 w = 2 (n − 1) (PL− PF) e m_{+ (2n − 1)P} L(1 − em) 2PL(n − 1) (PL− PF) w = (2n − 1)PL− [ (2n − 1)PL− 2 (n − 1) PL+ 2 (n − 1) PF ] e m 2PL(n − 1) (PL− PF) w = (2n − 1)PL− [ PL+ 2 (n − 1) PF] e m 2PL(n − 1) (PL− PF) . Ent˜ao, b(t) = − 2PL(n − 1) (PL− PF) (2n − 1)PL− [ PL+ 2 (n − 1) PF ] em . (27)

Substituindo (27) em u(t) = −b(t)λert,

u∗(t) = 2λPL(n − 1) (PL− PF) e rt (2n − 1)PL− [ PL+ 2 (n − 1) PF ] em (28) onde m = 1_rλ2_{(n − 1)(P} L− PF) ert− erT.

Assim, as estratégias markoviana perfeita são degeneradas por não serem fun¸cão da variável de estado (Van Long,2010, p. 157). Além disso, as estratégias open-loop, (15), e

(31)

as estratégias markoviana perfeita, (28), são iguais, o que segundo Dockner et al. (2000) resulta do fato que as primeiras levam a um jogo exponencial e as últimas a um jogo linear no estado4. (Dockner et al., 2000, p. 277)

Obtidas as estratégias das firmas, Reinganum(1982) analisa o comportamento dessas sob a varia¸cão dos parâmetros e apresenta os seguintes corolários e proposi¸cões.

Corol´ario 1. No caso de perfeita prote¸c˜ao com patente, PL= P e PF = 0, onde P

é o valor da patente, as estratégias no equil´ıbrio de Nash da firma i, i ∈ {1, 2, , ..., n}, são

u∗_i(t, z; P, 0) = 2λ (n − 1) P e

rt

2n − 1 − exp {P λ2_{(n − 1) (e}rt_{− e}rT_{) /r}}.

(Reinganum, 1982, p. 679).

Sob prote¸c˜ao imperfeita de patente (PF > 0) temos a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposição 1.1. Se PL> PF, então o aumento no payoff pela inova¸cão, PL, implica

em aumentos nos investimentos em inova¸c˜ao, ou seja, ∂u

∗ i

∂PL

> 0. Além disso, o aumento no payoff pela imita¸cão implica em redu¸cão dos investimentos em inova¸cão, ou seja,

∂u∗_i ∂PF

< 0. (Reinganum, 1982, p. 680)

Prova. Derivando (28) em rela¸c˜ao `a PL, temos pela regra do quociente 4

Um jogo linear no estado ocorre quando,

Ji= Z T 0 e−rtLi(x(t), u(t), t) dt + e−rTSi(x(T )) ˙ x = f (x(t), u(t), t)

onde x é a variável de estado, u a variável de controle, Li _{uma fun¸}_c˜_{ao linear de x, e S}

i um payoff em T . J´a um jogo exponencial ocorre quando,

Ji= Z T 0 e−rtLi(u(t), t) e−λix(t)dt ˙ x = f (u(t), t)

onde λi´e um vetor fixo em Rn. AssimDockner et al.(2000) ressalta que tomando yi= e−λix(t)podemos definir um jogo exponencial como,

Ji= Z T 0 e−rtLi(u(t), t) yi(t) dt ˙ yi= −yi(t)λif (u(t), t) o qual ´e um jodo linear no estado. (Dockner et al.,2000, p. 195)

(32)

∂u∗_i ∂PL = 2λ(n − 1)e rt_(2P L− PF) [(2n − 1)PL− [PL+ 2(n − 1)PF] em] [(2n − 1)PL− [PL− 2(n − 1)PF] em]2 − 2λ(n − 1)e rt_P L(PL− PF)[PL+ 2(n − 1)PF] emλ2(n − 1)(ert− erT)/r [(2n − 1)PL− [PL− 2(n − 1)PF] em] 2 − 2λ(n − 1)e rt_P L(PL− PF)(2n − 1 − em) [(2n − 1)PL− [PL− 2(n − 1)PF] em] 2 .

Com alguma ´algebra ∂u∗_i ∂PL = 2λ(n − 1)e rt_h(m) [(2n − 1)PL− [PL− 2(n − 1)PF] em]2 onde h(m) = (2n − 1)P2 L+ em[PL2(m − 1) + 2PLPF(n − 1)(m − 2) + 2(n − 1)PF2]. Logo sgn ∂u ∗ i ∂PL

= sgn h(m), portanto, devemos provar que h(m) > 0. Para tanto derivamos h(m) concluindo que ´e crescente em t ≤ T e avaliamos seu ponto m´ınimo como positivo.

Assim, h0(m) = emP_L2(m − 1) + 2PLPF(n − 1)(m − 2) + 2(n − 1)PF2 + e m_P2 L+ 2PLPF(n − 1) h0(m) = emP_L2m + 2PLPF(n − 1)m + 2(n − 1)PF(PF − PL) .

Se PL > PF, temos m ≤ 0 para t ≤ T , j´a que m = λ2(n − 1) (PL− PF) ert− erT /r,

e portanto, h0(m) < 0. Observe que m ´e decrescente em t, o que implica em h(m) crescente em t com ponto m´ınimo h(0).

h(0) = 2(n − 1)P_L2− 4PLPF(n − 1) + 2PF2(n − 1)

h(0) = 2(n − 1) (PL− PF)2.

Logo h(m) > 0, e portanto, ∂u

∗ i ∂PL > 0 para todo t ≤ T . A prova de ∂u ∗ i ∂PF

< 0 utiliza o mesmo argumento. Inicialmente deriva-se (28) em rela¸c˜ao `a PF.

(33)

∂u∗_i ∂PL = (−2)λPL(n − 1)e rt_{[(2n − 1)P} L− [PL+ 2(n − 1)PF] em] [(2n − 1)PL− [PL− 2(n − 1)PF] em]2 − [2λPL(PL− PF)(n − 1)e rt_]_{(−2)(n − 1)e}m_[P L+ 2(n − 1)PF] emλ2(n − 1)(ert− erT)/r [(2n − 1)PL− [PL− 2(n − 1)PF] em] 2 .

Com alguma ´algebra ∂u∗_i ∂PL

= 2λPL(n − 1)e

rt_g(m)

[(2n − 1)PL− [PL− 2(n − 1)PF] em]2

onde g(m) = PL(2n−1−m)em−(2n−1)PL−2PF(n−1)mem. Logo sgn

∂u∗_i ∂PL

= sgn g(m). Derivando g(m) em rela¸c˜ao a m

g0(m) = (−PL)em+ PL(2n − 1 − m)em− 2PF(n − 1)em+ −2PF(n − 1)mem

g0(m) = [2(n − 1)(PL− PF) − (PL+ 2(n − 1)PF)m] em.

Novamente, m ≤ 0 para t ≤ T e se PL> PF, ent˜ao h0(m) > 0, o que implica em g(m)

crescente em t com ponto m´ınimo g(0) = 0. Portanto, ∂u

∗ i

∂PL

> 0.

Ainda sob prote¸c˜ao imperfeita de patente temos o caso particular em que PL = PF,

cujos investimentos de equil´ıbrio diferem do caso determin´ıstico, no qual as firmas prefe-rem não investir. Tal fato ocorre uma vez que sob incerteza tecnológica a probabilidade de nenhum jogador obter sucesso no per´ıodo é positiva, e portanto, a estratégia ótima da firma é realizar investimentos em P&D. (Reinganum, 1982, p. 680)

Proposição 1.2. Sob incerteza tecnológica e PF = PL as estratégias no equil´ıbrio são

u∗_i(t, z; PF, PF) =

2PFλrert

2r − (2n − 1)PFλ2(ert− erT)

.

(Reinganum, 1982, p. 680).

(34)

u∗_i(t, z; PF, PF) = lim PL→PF u∗_i = lim PL→PF 2λPL(n − 1) (PL− PF) ert (2n − 1)PL− [ PL+ 2 (n − 1) PF] em .

Pela regra de l’Hopital

u∗_i(t, z; PF, PF) = lim PL→PF 2λ (2PL− PF) (n − 1) ert 2n − 1 − em_{− [ P} L+ 2 (n − 1) PF] em(n − 1)λ2(ert− erT) /r = 2PFλre rt 2r − (2n − 1)PFλ2(ert− erT) > 0, ∀ PF > 0. Do corol´ario e proposi¸c˜oes acima temos,

Corolário 2. Se PL < P e PF ≥ 0, então os investimentos em P&D serão maiores

sob perfeita prote¸cão com patente do que quando há imperfeita prote¸cão, ou seja,

u∗_i(t, z; P, 0) > u∗_i(t, z; PL, PF) para todo t ≤ T.

(Reinganum, 1982, p. 681).

Proposição 1.3. ”Se PL > 4PF(n − 1)e−1/2/2n − 1 − 2e−1/2, então ∂u∗i/∂λ > 0

para todo t ≤ T ; caso contr´ario ∂u∗_i/∂λ ≤ 0 para algum t; entretanto, ∂u∗_i/∂λ > 0 perto t = T ” (Reinganum, 1982, p. 681).

Prova. Derivando (28) em rela¸c˜ao a λ, temos pela regra do quociente

∂u∗_i ∂λ = 2PL(PL− PF)(n − 1)ert[(2n − 1)PL− [PL+ 2(n − 1)PF] em] [(2n − 1)PL− [PL+ 2(n − 1)PF] em] 2 +2λPL(PL− PF)(n − 1)e rt_[P L+ 2(n − 1)PF] em(PL− PF)(n − 1)2λ(ert− erT)/r [(2n − 1)PL− [PL+ 2(n − 1)PF] em] 2 = 2PL(PL− PF)(n − 1)e rt_{[(2n − 1)P} L− [PL+ 2(n − 1)PF] em+ [PL+ 2(n − 1)PF] em2m] [(2n − 1)PL− [PL+ 2(n − 1)PF] em] 2 = 2PL(PL− PF)(n − 1)e rt_{[(2n − 1)P} L+ (2m − 1) [PL+ 2(n − 1)PF] em] [(2n − 1)PL− [PL+ 2(n − 1)PF] em] 2 .

(35)

Logo, sgn ∂u ∗ i ∂λ = sgn ((2n − 1)PL+ (2m − 1) [PL+ 2(n − 1)PF] em) . Defina f (m) = (2n − 1)PL+ (2m − 1) [PL+ 2(n − 1)PF] em, ent˜ao ∂f ∂m = (2m + 1) [PL+ 2(n − 1)PF] e m ∂2f ∂m2 = (2m + 3) [PL+ 2(n − 1)PF] e m_.

Logo m = −1/2 ´e ponto de m´ınimo, com m < 0 para todo t < T se PL > PF. Contudo,

se f (−1/2) > 0 ent˜ao f (m) ´e positivo para todo m, e consequentemente, ∂u∗_i/∂λ < 0 para todo t ≤ T . Desse modo,

∂u∗_i ∂λ < 0 ⇔ f (−1/2) > 0 ⇔ (2n − 1)PL− 2 [PL+ 2(n − 1)PF] e−1/2 > 0 ⇔ 2n − 1 − 2e−1/2_P L− 4(n − 1)PFe−1/2 > 0 ⇔ PL> 4PF(n − 1)e−1/2 [2n − 1 − 2e−1/2_].

Entretanto, caso PL > PF mas PL ≤ 4PF(n − 1)e−1/2/2n − 1 − 2e−1/2

temos f (−1/2) ≤ 0, e portanto, ∂u∗_i/∂λ ≥ 0.

J´a para a afirma¸c˜ao que ∂u∗_i/∂λ > 0 perto t = T , basta avaliarmos f (0), pois m = 0 quando t = T . Logo,

f (0) = (2n − 1)PL− [PL+ 2(n − 1)PF] = 2(n − 1)(PL− PF) > 0, se PL> PF.

Assim, Reinganum(1982) ressalta que no caso do ganho pela inova¸cão ser suficiente-mente alto em rela¸cão ao ganho pela imita¸cão as firmas buscaram investir em projetos que em média demandam menor n´ıvel de conhecimento, 1/λ. Contudo, caso PL não

seja suficientemente alto as firmas preferiram projetos que demandam em m´edia maior conhecimento. (Reinganum,1982, p. 681)

(36)

Proposic¸˜ao 1.4. ” ∂u∗i/∂T < 0 para todo t ≤ T ; a medida que o horizonte de

planejamento aumenta, as firmas distribuem seus esfor¸cos em P&D sobre o horizonte estendido” (Reinganum, 1982, p. 682).

Prova. Derivando (28) em rela¸c˜ao a T , temos pela regra do quociente

∂u∗_i ∂T = − 2λPL(n − 1) (PL− PF) ert[PL+ 2 (n − 1) PF] em(n − 1) λ2(PL− PF) erT [(2n − 1)PL− [ PL+ 2 (n − 1) PF] em]2 = −2 (n − 1) 2 λ3_P L(PL− PF)2er(t+T )[PL+ 2 (n − 1) PF] em [(2n − 1)PL− [ PL+ 2 (n − 1) PF ] em] 2 . Logo, sgn ∂u ∗ i ∂T = sgn 2 (n − 1)2λ3PL(PL− PF)2er(t+T )[PL+ 2 (n − 1) PF] em < 0. Proposição 1.5. Sob perfeita prote¸cão de patente e n ≥ 2 temos que ∂u∗i/∂n > 0

para todo t ≤ T e ∂u∗_i/∂n = 0 em t = T (Reinganum, 1982, p. 684).

Prova. Assim como Reinganum (1982) supomos n cont´ınuo e derivamos (1) em rela¸c˜ao a esse parˆametro para obter

∂u∗_i ∂n = 2λP ert_{[2n − 1 − e}α_{] − 2λ (n − 1) P e}rt_{2 − e}α_{P λ}2 _ert_{− e}rT_/r [2n − 1 − eα_]2 = 2P λe rt_{[1 − (1 − α)e}α_] (2n − 1 − eα₎2

onde α = P λ2(n − 1) ert− erT_{/r. Se g(α) = 1 − (1 − α)e}α_{, ent˜}_{ao sgn (∂u}∗

i/∂n) =

sgn (g(α)). Mas, g0(α) = αeα _{< 0 para todo t ≤ T j´}_{a que α < 0 para todo t ≤ T . Al´}_em

disso, min g(α) = g(0) = 0, portanto g(α) > 0 para todo t ≤ T e g(0) = 0 para t = T , o que implica em ∂u∗_i/∂n > 0 para todo t ≤ T e ∂u∗_i/∂n = 0 em t = T .

Se supormos que a rivalidade é determinada pelo número de firmas, e não pelo n´ıvel do comportamento competitivo entre essas, temos da proposi¸cão acima que o aumento na rivalidade implica em maiores investimentos de cada firma. (Reinganum,1982, p. 684)

(37)

Observe entretanto que a conclusão que ∂u∗_i/∂n > 0 tem como pressuposto a perfeita prote¸cão de patentes. Assim, caso haja imperfeita prote¸cão de patente,Reinganum(1982) argumenta que os ganhos de inova¸cão e imita¸cão dependeram da estrutura de mercado, ou seja, PL= PL(n) e PF = PF(n), o que implica pela regra da cadeia

du∗_i dn = ∂u∗_i ∂n + ∂u∗_i ∂PL dPL dn + ∂u∗_i ∂PF dPF dn .

Contudo, sabemos que ∂u∗_i/∂PL> 0 e ∂u∗i/∂PF ≤ 0. Mas esperamos que dPL/dn < 0

e dPF/dn < 0, sendo que ∂u∗i/∂n poderia n˜ao ter sinal definido. Assim, o sinal de du ∗ i/dn

´e amb´ıguo e necessita do mecanismo de determina¸c˜ao de PL(n) e PF(n) para que se elimine

a ambiguidade. (Reinganum, 1982, p. 684)

2. Modelo de Malueg e Tsutsui (1997)

Malueg and Tsutsui (1997) utilizam o modelo deReinganum(1982) sob uma aborda-gem bayesiana, e para tanto, pressupõem a existência de incerteza em rela¸cão a taxa de aquisi¸cão de conhecimento, µ, como inicialmente proposto por Choi (1991). O fato da µ ser incerto implica que as firmas desconhecem o quão fact´ıvel é a inova¸cão. Contudo, o acúmulo de conhecimento relevante sem a ocorrência de sucesso aumenta o pessimismo em rela¸cão a dificuldade de inovar, e portanto, as firmas atribuem menor probabilidade ao sucesso. (Malueg and Tsutsui, 1997, p. 752)

A mudan¸ca das expectativas das firmas em rela¸cão à inova¸cão é abordado pelos au-tores como um processo de aprendizado que é incorporado no modelo ao considerar a probabilidade de inova¸cão, (2), como probabilidade condicional.

Malueg and Tsutsui (1997) apresentam o caso em que a inova¸cão é infact´ıvel, U , ou seja, µ = 0, ou fact´ıvel, S, ou seja, µ = λ > 0, pressupondo que a probabilidade condicional de inova¸cão dado o estoque de conhecimento é dada por F (zi(t) | U ) = 0 e

F (zi(t) | S) = 1 − e−λzi(t).

Assim a probabilidade de inova¸c˜ao no tempo t pela firma i ´e

Pr(ti ≤ t | U ) = F (zi(t) | U ) = 0 e Pr(ti ≤ t | S) = F (zi(t) | S) = 1 − e−λzi(t). (29)

Pressupondo independˆencia temos que a probabilidade condicional de que nenhuma firma obter sucesso no tempo t ´e

(38)

Pr(t1 > t, ... , tn > t | U ) = 1 Pr(t1 > t, ... , tn > t | S) = n Y i=1 Pr(ti > t | S) = exp n −λXzi(t) o .

Além disso, se as firmas possuem as mesmas cren¸cas sobre µ inicial com probabilidade a priori da inova¸cão ser infact´ıvel, p0, temos a probabilidade não condicional de nenhuma

firma ter obtido sucesso no tempo t

Pr(t1 > t, ... , tn> t) = p0+ (1 − p0)e−λP zi(t). (30)

Já a probabilidade não condicional da firma i obter sucesso no tempo t é

Pr(ti = t, tj > t, j 6= i) = p0Pr(ti = t, tj > t, j 6= i | U ) + (1 − p0)Pr(ti = t, tj > t, j 6= i | S) Pr(ti = t, tj > t, j 6= i) = p0Pr(ti = t | U )Pr(tj > t, j 6= i | U ) + (1 − p0)Pr(ti = t | S)Pr(tj > t, j 6= i | S) Pr(ti = t, tj > t, j 6= i) = (1 − p0) dF (zi(t) | S) dt n Y j6=i [1 − F (zj(t) | S)] Pr(ti = t, tj > t, j 6= i) = (1 − p0)λ ˙zi(t) exp {−λzi(t)} exp ( −λ n X j6=i zj(t) ) . Mas ˙zi(t) = ui(t, Z), logo Pr(ti = t, tj > t, j 6= i) = (1 − p0)λ uiexp n −λXzi o . (31)

Contudo, pela Regra de Bayes a probabilidade da inova¸c˜ao ser infact´ıvel dado que nenhuma firma obteve sucesso no tempo t, p(t), ´e

(39)

p(t) = Pr(U | t1 > t, ... , tn > t) = p0 p0+ (1 − p0)e−λP zi(t) . (32) Portanto, p0+ (1 − p0)e−λP zi(t) = p0 p(t) (33) e (1 − p0)e−λP zi(t) = p0(1 − p(t)) p(t) , (34)

Substituindo (33) em (30) e (34) em (31) temos, respectivamente,

Pr(t1 > t, ... , tn > t) = p0 p(t) (35) e Pr(ti = t, tj > t, j 6= i) = p0(1 − p(t)) p(t) λ ui. (36)

Uma vez obtido a probabilidade de sucesso das firmas, (36), e a probabilidade de nenhuma firma inovar, (35), e dado um vetor de estratégias de investimento em P&D, o payoff instantâneo esperado da firma i no tempo t a valor presente é

e−rt{Pr(ti = t, tj > t, j 6= i) π − Pr(t1 > t, ... , tn> t)c(ui)}

= e−rt p0

p(t)((1 − p(t))λ uiπ − c(ui)) (37)

onde π é o ganho pelo sucesso e c(ui) é o custo instantâneo incorrido no processo inovativo.

AssimMalueg and Tsutsui(1997), diferentemente deReinganum(1982), não abordam ganhos com imita¸cão e supõem a seguinte fun¸cão de custo

c(ui) =      f + u2i 2 , se ui > 0 0, , se ui = 0

(40)

Logo, integrando (37) em rela¸c˜ao ao tempo temos que o payoff esperado pela firma i a valor presente ´e Ji = Z Ti 0 e−rt p0 p(t) (1 − p(t)) λ π ui− f − u2 i 2 dt (38)

onde Ti ´e a data em que a firma i abandona a corrida se nenhuma firma ainda tiver obtido

sucesso.

Malueg and Tsutsui (1997) argumentam que a fun¸cão de payoff dos jogadores, (38), sugere que p(t) seja tomada como variável de estado, o que é corroborado se resolvermos (32) para Z. (Malueg and Tsutsui,1997, p. 755)

Z(t) = 1 λ ln (1 − p0) p0 p(t) (1 − p(t)) .

Assim, Malueg and Tsutsui (1997) pressupõem a ado¸cão pelas firmas de estratégias markoviana perfeita, ui(t) = φF Bi (p(t), t), já que os investimentos em P&D são fun¸cão do

tempo e do pessimismo das firmas descrito pela probabilidade da inova¸cão ser infact´ıvel. A mudan¸ca de variável de estado entretanto implica que devemos definir a equa¸cão de movimento ˙p para que o problema de otimiza¸cão das firmas esteja completamente definido. Para tanto, a evolu¸cão do pessimismo das firmas no tempo t pode ser obtida ao derivarmos (32), ˙ p(t) = p0(1 − p0)λ (P ˙zi(t)) e −λP zi(t) [p0+ (1 − p0)e−λP zi(t)] 2 . (39) Substituindo (33), ˙ p(t) = p(t) 2_{(1 − p} 0)λ (P ˙zi(t)) e−λP zi(t) p0 . (40) Substituindo (34), ˙ p(t) = p(t) 2 p0 p0(1 − p(t)) p(t) λ X ˙zi(t).

Simplificando e utilizando novamente o fato de ˙zi(t) = ui(t, Z),

˙

(41)

Observe que (41) nos diz que a medida em que a corrida continua sem a ocorrência de inova¸cão as firmas se tornam progressivamente mais pessimistas quanto a factibilidade do projeto. Isto ocorre pelo fato que enquanto houver incerteza em rela¸cão a µ haverá investimentos em P&D,P ui > 0, e portanto, ˙p > 0. (Malueg and Tsutsui, 1997, p. 754)

Logo, o problema de otimiza¸c˜ao da firma i ´e:

Vi(t, p) = max Ti, ui Z Ti t e−rs p0 p(s) (1 − p(s)) λ π ui(s, p(s)) − f − (ui(s, p(s)))2 2 ! ds sujeito a p(s) = λ p(s)(1 − p(s))˙ Xui(s, p(s)), p(t) = p (42)

onde Vi(t, p) é a fun¸cão de valor da firma i. Para resolvermos este problema de controle utilizamos a equa¸cão de Hamilton-Jacobi-Bellman5.

rVi− Vi t = max_u i ( p0 p (1 − p) λ π ui− f − u2 i 2 + V_piλ p (1 − p) ui+ X j6=i ¯ uj !) (43)

onde ¯u s˜ao as estrat´egias de investimento em P&D das demais firmas dadas como fixas, Vi

t = ∂Vi/∂t e Vpi = ∂Vi/∂p .

Observe que (43) é concava em ui, portanto, é condi¸cão não somente necessária mas

também suficiente para ótimo. Assim a condi¸cão de primeira ordem para ótimo de (43) nos dá, p0 p λ (1 − p) π − p0 p u ∗ i + V i p λ (1 − p) = 0 e u∗_i = λ (1 − p) π + p p0 V_pi . (44)

Malueg and Tsutsui(1997) afirma que a equa¸cão (44) implica que os investimentos em P&D dependem apenas do estado corrente das expectativas de factibilidade da inova¸cão, p, e desse modo o momento quem que as firmas abandonam a corrida será determinado endogenamente pelas expectativas terminais. (Malueg and Tsutsui, 1997, p. 756)

Supondo que a solu¸c˜ao de (43) pertence a seguinte classe de fun¸c˜oes

(42)

Vi(t, p) = p0 p v(p)

onde v(p) ´e uma fun¸c˜ao de valor condicional que descreve o valor esperado da firma i no ´

otimo dado que a inova¸c˜ao ainda n˜ao ocorreu, portanto v(p) ≥ 0. (Malueg and Tsutsui,

1997, p. 756) Desse modo, V_pi = p0 v0_{p − v} p2 . (45)

Logo a equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi-Bellman, (43), ´e

p0 p rv = p0 p (1 − p) λ π u ∗ i − f − (u∗_i)2 2 ! +p0 p (v 0 p − v) λ (1 − p) ui+ X j6=i ¯ uj ! .

Supondo simetria entre as firmas

rv = (1 − p) λ π u∗_i − f − (u ∗ i) 2 2 + (v 0 p − v) λ (1 − p) n u∗_i. (46) Substituindo (45) em (44), temos u∗_i = λ (1 − p) (π + v0p − v) . (47)

Agora, substituindo (47) em (46) temos que o equil´ıbrio deve satisfazer a seguinte equa¸c˜ao diferencial

2rv = λ2(1 − p)2(π + v0p − v) (π + (2n − 1)v0p − (2n − 1)v) − 2f. (48)

Assim como Malueg and Tsutsui (1997), analisamos as propriedades das solu¸cão de (48) para posteriormente obtermos a solu¸cão numericamente. Inicialmente definimos a curva C0 no plano (p, v) onde v0 = 0, demonstramos que C0 é decrescente, e por fim que

v(p) ´e positiva em 0 ≤ p < ¯p e limitada superiormente por C0.

(43)

2rv = λ2(1 − p)2(π − v) (π − (2n − 1)v) − 2f λ2(1 − p)2(2n − 1)v2− 2 λ2(1 − p)2nπ + r v + λ2(1 − p)2π2− 2f = 0. Assim, v = nπλ 2_{(1 − p)}2_{+ r} (2n − 1)λ2_{(1 − p)}2 ± pπ 2_λ4_{(1 − p)}4_{(n − 1)}2_{+ 2nrπλ}2_{(1 − p)}2_{+ r}2_{+ 2f (2n − 1)λ}2_{(1 − p)}2 (2n − 1)λ2_{(1 − p)}2 . (49)

Entretanto, como ressalta Malueg and Tsutsui (1997), apenas uma das ra´ızes tem sentido econˆomico, para demonstrarmos tal fato substitu´ımos (49) em (47) dado que v0 = 0 e verificamos se ui ≥ 0, u∗_i = λ(1 − p) π −r + nπλ 2_{(1 − p)}2_±√_∆ (2n − 1)λ2_{(1 − p)}2 ! onde ∆ = π2λ4(1 − p)4(n − 1)2+ 2nrπλ2(1 − p)2 + r2+ 2f (2n − 1)λ2(1 − p)2. (Malueg and Tsutsui, 1997, p. 756) Logo, u∗_i = π(n − 1)λ 2_{(1 − p)}2_{− r ±}√_∆ (2n − 1)λ2_{(1 − p)}2 . Portanto, sgn (u∗_i) = sgn π(n − 1)λ 2_{(1 − p)}2_{− r ±}√_∆ (2n − 1)λ2_{(1 − p)}2 ! = sgnπ(n − 1)λ2(1 − p)2− r ±√∆. Implicando em π(n − 1)λ2(1 − p)2− r −pπ2_λ4_{(1 − p)}4_{(n − 1)}2_{+ 2nrπλ}2_{(1 − p)}2_{+ r}2_{+ 2f (2n − 1)λ}2_{(1 − p)}2 _{≥ 0.} (50)

(44)

ou

π(n − 1)λ2(1 − p)2− r

+pπ2_λ4_{(1 − p)}4_{(n − 1)}2 _{+ 2nrπλ}2_{(1 − p)}2_{+ r}2_{+ 2f (2n − 1)λ}2_{(1 − p)}2 _{≥ 0.}

(51)

Resolvendo as inequa¸cões temos de (50) que 2rπ(n − 1) + f (2n − 1) ≤ 0, o que absurdo já que π, r e f são não negativos, e de (51) temos 2rπ(n − 1) + f (2n − 1) ≥ 0 o que é sempre verdadeiro. Assim,

v = nπλ 2_{(1 − p)}2_{+ r} (2n − 1)λ2_{(1 − p)}2 − pπ 2_λ4_{(1 − p)}4_{(n − 1)}2_{+ 2nrπλ}2_{(1 − p)}2 _{+ r}2_{+ 2f (2n − 1)λ}2_{(1 − p)}2 (2n − 1)λ2_{(1 − p)}2 ≡ g0(p). (52)

Agora provamos que C0 ´e decrescente em p, e para tanto derivamos (52) em rela¸c˜ao a

p, e com alguma ´algebra temos

∂g0 ∂p = 2r√A − r − 2λ2_{(1 − p)}2_{(nrπ + (2n − 1)f )} √ A(2n − 1)λ2_{(1 − p)}3 . onde A = (n − 1)2π2λ4(1 − p)4+ 2nrπλ2(1 − p)2+ r2+ 2f (2n − 1)λ2(1 − p)2. Mas, sgn ∂g0 ∂p = sgn2r√A − r− 2λ2_{(1 − p)}2_{(nrπ + (2n − 1)f )}_.

Se ∂g0/∂p < 0, então com mais alguma álgebra temos a seguinte inequa¸cão,

(2n − 1)2f2+ 2nrπ(2n − 1)f + (2n − 1)π2r2 > 0.

Observe que a inequa¸cão é sempre verdadeira, pois temos uma parábola convexa com m´ınimo (2n − 1)π2_r2 _{> 0. Entretanto, se supormos ∂g}

0/∂p ≥ 0 temos a seguinte

ine-qua¸c˜ao,

(45)

a qual, pelo argumentado anteriormente, ´e falsa para todo o dom´ınio de f , e portanto, conclu´ımos que ∂g0/∂p < 0.

Além de termos que C0 é estritamente decrescente, temos a interse¸cão com os eixos

nos pontos (0, v0(n, f )) e (¯p, 0), pois,

g0(0) = r + nλ2_{π −}_pr2_{+ 2nrλ}2_{π + (n − 1)}2_λ4_π2_{+ 2(2n − 1)λ}2_f (2n − 1)λ2 ≡ v0(n, f ) e g0(¯p) = 0 ⇒ 0 = nπλ2_{(1 − p)}2_{+ r} (2n − 1)λ2_{(1 − p)}2 − pπ 2_λ4_{(1 − p)}4_{(n − 1)}2_{+ 2nrπλ}2_{(1 − p)}2 _{+ r}2_{+ 2f (2n − 1)λ}2_{(1 − p)}2 (2n − 1)λ2_{(1 − p)}2 ⇒ ¯p = 1 − √ 2f πλ . (53)

De (53) temos que f < λ2_π2_{/2, pois caso contr´}_{ario teremos ¯}_{p ≤ 0 implicando que as}

firmas n˜ao investem. (Malueg and Tsutsui,1997, p. 757) Agora, temos de (48) a seguinte equa¸c˜ao de segundo grau,

λ2(1 − p)2p2(2n − 1) (v0)2+ λ2(1 − p)22p(nπ − (2n − 1)v) v0

+λ2(1 − p)2(2n − 1)v2− λ2_{(1 − p)}2_{2πnv − 2rv + λ}2_{(1 − p)}2_π2_{− 2f}_{= 0.}

(54)

Resolvendo para v0 temos

v0 = (−λ)(1 − p)(nπ − (2n − 1)v) ±p(n − 1)

2_λ2_{(1 − p)}2_π2_{+ 2(2n − 1)(f + rv)}

(2n − 1)λ(1 − p)p .

Entretanto, novamente substituindo (2) em (47)

u∗_i = λ(1 − p)π(n − 1) ±p(n − 1)

2_λ2_{(1 − p)}2_π2_{+ 2(2n − 1)(f + rv)}

2n − 1 .

(46)

sgn (u∗_i) = sgn λ(1 − p)π(n − 1) ±p(n − 1) 2_λ2_{(1 − p)}2_π2_{+ 2(2n − 1)(f + rv)} 2n − 1 ! = sgn λ(1 − p)π(n − 1) ±p(n − 1)2_λ2_{(1 − p)}2_π2_{+ 2(2n − 1)(f + rv)}_. Contudo, ui ≥ 0, logo λ(1 − p)π(n − 1) −p(n − 1)2_λ2_{(1 − p)}2_π2_{+ 2(2n − 1)(f + rv) ≥ 0} ₍₅₅₎ ou λ(1 − p)π(n − 1) +p(n − 1)2_λ2_{(1 − p)}2_π2 _{+ 2(2n − 1)(f + rv) ≥ 0.} ₍₅₆₎

De (55) temos que f ≤ −rv, o que absurdo já que v, r e f são não negativos. Já de (56) temos f ≥ rv o que é sempre verdadeiro.

Portanto conclu´ımos que a ´unica ra´ız de (54) ´e

v0 = (−λ)(1 − p)(nπ − (2n − 1)v) +p(n − 1)

2_λ2_{(1 − p)}2_π2 _{+ 2(2n − 1)(f + rv)}

(2n − 1)λ(1 − p)p . (57)

Utilizando a regra l’Hopital temos que v0 → −∞ quando p → 0, além disso Malueg and Tsutsui (1997) observa que (0, v0(n, f )) é um nó, e portanto temos várias solu¸cões

de (57) partindo de (0, v0(n, f )) que pelo menos inicialmente mantem-se abaixo de C0.

Entretanto, de (57) temos as solu¸c˜oes que ultrapassam C0 tendem a infinito quando p

tende a 1, o que é absurdo já que v(p) ≤ π. (Malueg and Tsutsui,1997, p. 757) Do acima exposto tem-se a seguinte proposi¸cão.

Proposição 2.1. ”O equil´ıbrio da fun¸cão de valor condicional v(p) é estritamente positivo e estritamente decrescente para 0 ≤ p < ¯p ≡ 1 −√2f /(λπ), com v(0) = v0(n, f )

e limp ↑ ¯pv(p) = 0. Al´em disso, v(p) = 0 para ¯p ≤ p ≤ 1” (Malueg and Tsutsui, 1997,

p. 757).

Al´em disso temos,

(47)

Figura 1. Fun¸c˜ao de Valor Condicional

Fonte: (Malueg and Tsutsui,1997, p. 757)

(1) ∂v(p) ∂n < 0; (2) ∂v(p) ∂r < 0; (3) ∂v(p) ∂π > 0; (4) ∂v(p) ∂λ > 0”

(Malueg and Tsutsui, 1997, p. 758). Prova. Ver apˆendice A de Malueg and Tsutsui(1997).

Malueg and Tsutsui (1997) argumentam que a proposi¸cão 2.2 possui resultados in-tuitivos uma vez que o valor em estar na corrida por P&D aumenta com a redu¸cão da concorrência, representado pelo número de jogadores, n; com a redu¸cão da taxa de des-conto r que aumenta o valor presente do ganho; com o aumento do ganho pela inova¸cão, π; e com o aumento da velocidade em que o ganho poderia ser obtido, λ. (Malueg and Tsutsui, 1997, p. 758)

Proposição 2.3. ”A estratégia markoviana perfeita de equil´ıbrio, u∗i, é uma fun¸cão

estritamente decrescente em p para todo p < ¯p. Para todo p > ¯p, u∗_i = 0. Portanto, os investimentos em P&D de equil´ıbrio decrescem ao longo do tempo e limp ↑ ¯pu∗i(p) =

√ 2f ” (Malueg and Tsutsui, 1997, p. 758).

Prova. Substituindo (57) em (47) temos

u∗_i = λπ(n − 1)(1 − p) +p(n − 1)

2_λ2_{(1 − p)}2_π2_{+ 2(2n − 1)(f + rv)}

(48)

Derivando (58) em rela¸c˜ao a p ∂u∗_i ∂p = (2n − 1)rv0− (n − 1)2_λ2_π2_{(1 − p)} (2n − 1)p(n − 1)2_λ2_{(1 − p)}2_π2_{+ 2(2n − 1)(f + rv)} − λπ(n − 1) 2n − 1 .

Como v0 < 0 para todo p < ¯p, temos que ∂u∗/∂p < 0 para todo p < ¯p. Para o caso em que p → ¯p basta tomarmos o limite de (58)

lim p ↑ ¯pu ∗ i(p) = (n − 1)√2f +p2f(n − 1)2_{+ 2f (2n − 1)} 2n − 1 = p 2f .

As proposi¸cões 2.1 e 2.3 implicam que se f = 0, então ¯p = 1 e u∗_i > 0 para p < ¯p, ou seja, se as firmas não possuem um fluxo de custo fixo essas irão permanecer na corrida por P&D investindo de forma decrescente até que a inova¸cão ocorra ou seja considerada com imposs´ıvel. (Malueg and Tsutsui, 1997, p. 758)

Quanto a análise de estática comparativa de u∗_i, temos a seguinte proposi¸cão. Proposição 2.4. ”Para 0 ≤ p < ¯p: (1) ∂u ∗ i(p) ∂π > 0; (2) ∂u ∗ i(p) ∂λ > 0”

(Malueg and Tsutsui, 1997, p. 759). Prova. Derivando (47) ∂u∗_i(p) ∂π = π(n − 1)2_λ2_{(1 − p)}2 (2n − 1)p(n − 1)2_λ2_{(1 − p)}2_π2_{+ 2(2n − 1)(f + rv)} + λ(n − 1)(1 − p) 2n − 1 > 0 ∂u∗_i(p) ∂λ = λ(n − 1)2_{(1 − p)}2_π2 (2n − 1)p(n − 1)2_λ2_{(1 − p)}2_π2_{+ 2(2n − 1)(f + rv)} + π(n − 1)(1 − p) 2n − 1 > 0 A proposi¸c˜ao 2.4 entretanto apenas nos diz sobre o comportamento das estrat´egias ´

otimas para π e λ, pois, ao desconhecermos v analiticamente e nada podemos dizer sobre n, f e r atrav´es de ∂u∗_i(p)/∂n, ∂u∗_i(p)/∂f ou ∂u∗_i(p)/∂r. Tal fato, a princ´ıpio, restringe a capacidade do modelo em responder como a corrida por P&D ´e impactada pela estrutura

(49)

Figura 2. Impacto da Concorrˆencia nos Investimentos em P&D

de mercado, entretanto, Malueg and Tsutsui (1997) propõe a compara¸cão de solu¸cões numéricas para analisarmos tais variáveis. Infelizmente, os autores não especificam o método numérico utilizado apenas se referem a simula¸cões numéricas.

O primeiro resultado obtido pelos autores foi que o aumento de n é acompanhado pelo aumento de investimento em P&D para cada cren¸ca de p, e consequentemente, há o acumulo mais acelerado de conhecimento provocando a redu¸cão do tempo da corrida. Cabe ressaltar, entretanto, que o fim da corrida é antecipado uma vez que ¯p é atingido mais rapidamente, e não pela altera¸cão da distribui¸cão probabilidade de inova¸cão, (29), a qual não depende da estrutura de mercado6. (Malueg and Tsutsui,1997, p. 760)

Malueg and Tsutsui(1997) ressaltam que o aumento dos investimentos como fun¸cão de p implica que as trajetórias para diferentes números de firmas se cruzam. Tal fato ocorre uma vez que no modelo o pessimismo, ou cren¸ca na não factibilidade do projeto, é endoge-namente determinado pelos investimentos em P&D através de ˙p, (41), e ao mesmo tempo o investimento ótimo, u∗_i, é fun¸cão da variável de estado p, (47). Assim o aumento inicial dos investimentos causado pelo aumento da concorrência implica, no primeiro momento, uma maior taxa de varia¸cão de p, e consequentemente uma maior queda dos investimentos posteriores, provocando que as trajetórias de investimentos se cruzem.

6_{Observe que o aumento de ˙}_{p aumenta a probabilidade ex ante de inova¸}_c˜_{ao, 1 − p}

0/p(t), at´e o limite de 1 − p0/¯p = (λπ(1 − p0) −

√

(50)

Figura 3. Impacto da Concorrˆencia na Evolu¸c˜ao do Pessimismo as Firmas

Figura 4. Impacto de da Concorrˆencia na Trajet´oria dos Investimentos em P&D

Quanto ao aumento de r os resultados obtidos pelos autores foram que há est´ımulo para o aumento dos investimentos em P&D como fun¸cão de p. Portanto, o estoque de conhecimento cresce a uma maior taxa e p se aproxima de ¯p mais rapidamente. Assim, as trajetórias de investimento para diferentes taxas de desconto se cruzam como ocorrido como o aumento de n. (Malueg and Tsutsui, 1997, p. 760)

(51)

Figura 5. Impacto de f nos Investimentos em P&D

Por fim, um aumento em f amplia o custo de permanˆencia das firmas na corrida, e portanto, essas buscaram reduzir o tempo de corrida tanto aumentando seus investimentos em P&D quanto reduzindo o n´ıvel de pessimismo necess´ario para abandono da corrida, ¯

p. (Malueg and Tsutsui,1997, p. 761)

Malueg and Tsutsui (1997) também observam que para o caso de as firmas não possu´ırem um fluxo de custo fixo, f = 0, e taxa de desconto, r = 0, podemos obter a solu¸cão exata do jogo diferencial. Para tanto, avaliamos (58) em f = 0 e r = 0 obtendo

(52)

u∗_i(p) = 2(n − 1)λπ(1 − p)

2n − 1 . (59)

Figura 6. Investimentos em P&D com f=0 e r=0

Da mesma forma temos de (41)

v0(p) = (2n − 1)v − π (2n − 1)p

a qual nos d´a

v(p) = π(1 − p) 2n − 1 .

Agora, substituindo (59) em (41) temos

˙

p(t) = 2n(n − 1)λ

2_{πp(1 − p)}2

2n − 1 .

(53)

1 1 − p(t)+ ln p(t) 1 − p(t) = 2n(n − 1)πλ 2 2n − 1 t + 1 1 − p0 + ln p0 1 − p0 . (60)

(54)

(55)

Solu¸

c˜

oes Num´

ericas para o modelo de Reinganum (1982)

Para obtermos as solu¸cões numéricas para o modelo de Reinganum (1982) primeira-mente identificamos o problema de valor de contorno que nos dá a solu¸cão para cada tipo de equil´ıbrio. No OLNE com firmas simétricas o problema de controle ótimo, (6), nos dá pelo Princ´ıpio de Máximo de Pontryagin as equa¸cões (7) e (9). Então temos,

˙ Z = nui ˙ ψi = λe−λZ λ [PL+ (n − 1)PF] ui− e−rt 2 u 2 i ui = ert λPL+ ψieλZ Z(0) = 0, ψi(T ) = 0.

Substituindo (7) nas demais equa¸c˜oes identificamos o seguinte problema de valor de contorno: ˙ Z = nert λPL+ ψieλZ ˙ ψi = λert 2 λPLe −λZ + ψi 2λ(n − 1)PF + λPL− ψieλZ (PVC 1) Z(0) = 0, ψi(T ) = 0.

Alternativamente, podemos resolver (7) para a vari´avel de coestado,

ψi = e−λZ uie−rt− λPL . (61)

Derivar (7) em rela¸c˜ao ao tempo

˙

ui = rert λPL+ ψie−λZ + ert ˙ψieλZ + ψiλeλZZ˙

. (62)

(56)

Substituir (9) e (61) em (62) para obtermos

˙u =λ2[PL+ (n − 1)PF] ert+ r ui−

λu2_i

2 + λ ˙Z ui− λPLe

rt_.

Assim, temos o seguinte problema de valor de contorno,

˙ Z = nui ˙ ui =λ2[PL+ (n − 1)PF] ert+ r ui− λu2 i 2 + λ ˙Z ui− λPLe rt Z(0) = 0, ui(T ) = λPLerT Substituindo ˙Z = nui temos, ˙ Z = nui ˙ ui =(n − 1)λ2(PF − PL)ert+ r ui+ (2n − 1) λu2 i 2 (PVC 2) Z(0) = 0, ui(T ) = λPLerT

Observe que no PVC 2 a equa¸cão de ˙ui não é fun¸cão de Z, ˙Z = nui e Z(0) = 0,

portanto, ˙ui e ui(T ) determinam a solu¸c˜ao do sistema.

J´a para o MPNE temos as seguintes equa¸c˜oes de (18), (19) e (21)

˙ y = −y λ n ui ˙ ψi = e−rt 2 u 2 i − λ [PF(n − 1) + PL− nψi] ui ui = λ (PL− ψi) ert y(0) = 1; ψi(T ) = 0

(57)

˙ y = −y n λ2(PL− ψi) ert ˙ ψi = ert 2 λ 2_(P L− ψi) [(2n − 1) ψi− PL− 2 (n − 1) PF] (PVC 3) y(0) = 1; ψi(T ) = 0

Novamente, observe que ˙ψi e ψi(T ) determinam a solu¸cão do PVC 3, já que ˙ψi não é

fun¸cão de y, ˙y é fun¸cão ψ e y(0) é dado.

Alternativamente, poder´ıamos resolver (18) para a vari´avel de coestado, o que nos d´a

ψi = PL−

e−rt

λ ui. (63)

Derivar (18) em rela¸c˜ao ao tempo,

˙

ui = λrert(PL− ψi) − λertψ˙i.

Substituir (63) e (21) nesta ´ultima equa¸c˜ao para obtermos

˙

ui =(n − 1)λ2(PF − PL)ert+ r ui+ (2n − 1)

λu2_i 2 Assim, podemos escrever

˙ y = −y λ n ui ˙ ui =(n − 1)λ2(PF − PL)ert+ r ui+ (2n − 1) λu2 i 2 (64) y(0) = 1; ψi(T ) = 0

que ´e equivalente ao PVC 2, pois, resolvendo y(t) = e−λZ para Z temos

Z(t) = −1

λln(y(t)). (65)

(58)

˙ Z = −1 λ ˙ y y = − 1 λ (−λ) y n ui y = nui. Logo (64) equivale ao PVC 2.

Até então identificamos três problemas de valor de contorno, sendo que PVC 1 e PVC 2 nos dão a solu¸cão do ONLE, e os PVC 2 e PVC 3 a solu¸cão do MPNE. Uma vez que as solu¸cões numéricas são muitas vezes sens´ıveis a combina¸cão do método numérico e a forma funcional que se quer aproximar, é relevante a compara¸cão da solu¸cões abordando os diferentes problemas de valor de contorno acima.

Para encontrarmos as solu¸c˜oes num´ericas, inicialmente, escrevemos em Python1o pro-blema de valor de contorno, que para o PVC 1 pode ser codificado como:

f r o m sympy i m p o r t * i m p o r t sympy a s sp f r o m numpy i m p o r t l i n s p a c e , z e r o s , exp ### P a r a m e t r o s d o M o d e l o ### T = 1 . 0 # M o m e n t o d o f i m d a c o r r i d a lamb = 0 . 0 0 1 # P a r a m e t r o l a m b d a r = 0 . 0 1 # T a x a d e d e s c o n t o P L = 10 # G a n h o d a i n o v a c a o P F = 9 # G a n h o d e i m i t a c a o n = 2 # N u m e r o d e f i r m a s e p s = 1E=17 # E r r o a c e i t a v e l ### P r o b l e m a d e V a l o r d e C o n t o r n o ### BC = [ 0 , 0 ] # C o n d i c o e s d e c o n t o r n o # Em s y m p y z = symbols ( ’ z ’ ) p s i = symbols ( ’ p s i ’ ) t = symbols ( ’ t ’ )

d z d t = n*sp . exp ( r*t )*( lamb*P L + p s i*sp . exp ( lamb*z ) )

d p s i d t = 0 . 5*lamb*sp . exp ( r*t )*( lamb*P L*sp . exp (=lamb*z)+ p s i )* \

( 2 .*lamb*( n=1)*P F+lamb*P L=p s i*sp . exp ( lamb*z ) )

# Em n u m p y

(59)

n p d z d t = l a m b d i f y ( ( z , p s i , t ) , d z d t ) n p d p s i d t = l a m b d i f y ( ( z , p s i , t ) , d p s i d t ) d e f f ( u , t ) : z , p s i = u ode1 = n p d z d t ( z , p s i , t ) ode2 = n p d p s i d t ( z , p s i , t ) r e t u r n [ ode1 , ode2 ]

Observe que definimos as equa¸cões diferenciais em sympy, pois, mais a frente ao resol-vermos por coloca¸cão utilizamos o método de Newton, e portanto, a computa¸cão algébrica dispon´ıvel reduz significativamente o trabalho necessário para definirmos a matriz jacobi-ana do sistema de equa¸cões não lineares2. Além disso, quando demanda as equa¸cões em numpy como mo método de shooting podemos facilmente obtê-las utilizando o comando lambdify.

Tamb´em escrevemos as equa¸c˜oes (7) e (28):

# u n u m e r i c o d e f u ( z , p s i , t ) :

r e t u r n exp ( r*t )*( lamb*P L+p s i*exp ( lamb*z ) )

# s o l u c a o a l g e b r i c a d e f u s o l u t i o n ( t ) :

m = ( 1 . / r )*( P L=P F )*( n=1 )*( lamb* *2 )*( exp ( r*t )=exp ( r*T) ) b = 2*lamb*P L*( P L=P F )*( n=1)*exp ( r*t )

c = ( 2*n=1)*P L = ( P L +2*(n=1)*P F )*exp (m)

r e t u r n b/ c

Posteriormente, definimos fun¸cões que resolvem numericamente tais problemas pelos métodos de shooting e coloca¸cão, e nos retornam a solu¸cão. O método de shooting consiste em um algoritmo de duas camadas combinando de métodos para problemas de valor inicial e métodos para encontrar raiz de equa¸cões não lineares (Judd, 1998, p. 351). Assim, escrevemos as fun¸cões que aplicam métodos para problemas de valor inicial, o método da

2_{Maiores detalhes sobre os m´}_{etodos num´}_{ericos abordados podem ser encontrados no}_Apˆ_{endice - M´}_etodos Num´ericose emBurden et al.(2016),Judd(1998),Linge and Langtangen(2016) eMiranda and Fackler (2004).