s˜ao abelianos”. Temos a seguinte “demonstra¸c˜ao” por indu¸c˜ao: Seja G um grupo e designemos por P(n) a afirma¸c˜ao “Num subconjunto de G com n elementos, todos os elementos comutam”.
(a) P(1) ´e evidentemente verdadeira.
(b) Suponha-se queP(n) ´e verdadeira, e considere-se um subconjunto de G com n + 1 elementos L ={g1, . . . , gn+1}. Designe-se ainda por Li={gk :
k6= i} o conjunto formado pelos elementos de L, `a excep¸c˜ao do elemento i. ComoP(n) ´e verdadeira, cada Li ´e comutativo. Como os Li esgotam
os elementos de L, vemos que L ´e comutativo. (c) Como G ´e finito, conclu´ımos que G ´e comutativo.
6. A f´ormula (2.3.2) para a sucess˜ao de Fibonacci pode ser obtida determi- nando as sucess˜oes da forma βn que satisfazem a equa¸c˜ao (2.3.1). Quais s˜ao
as sucess˜oes de inteiros que satisfazem
bn+1= bn+ 6bn−1 e b0= b1= 1?
2.4
Somat´orios e Produtos
S´o raramente utilizamos somas e produtos de apenas dois elementos. Por este motivo, conv´em-nos generalizar estas opera¸c˜oes alg´ebricas para um n´umero arbitr´ario, mas finito, de parcelas ou factores. Come¸camos por ana- lisar a defini¸c˜ao de produtos de mais de dois factores, dado que os resultados referentes a somat´orios se obtˆem por uma simples mudan¸ca de nota¸c˜ao.
Nesta sec¸c˜ao, S designa um conjunto com uma opera¸c˜ao bin´aria as- sociativa. Dada uma sucess˜ao a1, a2, . . . , an, . . . de elementos de S, a su- cess˜ao dos respectivos produtos parciais, i.e., a sucess˜ao π1 = a1, π2 = a1a2, π3 = (a1a2)a3, . . . ´e definida formalmente como se segue.
Defini¸c˜ao 2.4.1. A sucess˜ao π : N→ S ´e dada por: (i) para n = 1, π1 = a1;
(ii) para n > 1, πn= πn−1an.
πndiz-se o produto dos ak’s, com k de 1 at´e n, e escrevemosQnk=1ak= πn. A propriedade associativa do produto exprime-se em termos das su- cess˜oes agora introduzidas, como se indica na seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.4.2. Se a, b : N→ S s˜ao sucess˜oes em S, temos: (i) sempre que n > m
m Y k=1 ak ! n Y k=m+1 ak ! = n Y k=1 ak;
(ii) se a opera¸c˜ao ´e comutativa, n Y k=1 ak ! n Y k=1 bk ! = n Y k=1 (akbk) .
A demonstra¸c˜ao, por indu¸c˜ao, fica para exerc´ıcio (note que a defini¸c˜ao acima pode ser alterada sem dificuldade para produtos que come¸cam com k > 1).
Um caso particular interessante da Defini¸c˜ao 2.4.1 ´e o duma sucess˜ao a : N→ S constante (i.e., com an = c, para qualquer n ∈ N). O produto dos n primeiros termos da sucess˜ao a corresponde ent˜ao claramente `a no¸c˜ao de potˆencia de base c e expoente n.
Defini¸c˜ao 2.4.3. A potˆencia de base c e expoente n ∈ N ´e dada por cn=Qnk=1c.
Note-se que a potˆencia ´e formalmente uma fun¸c˜ao Φ : N× S → S, dada por Φ(n, c) = cn. Se fixarmos c, obtemos uma fun¸c˜ao exponencial φ : N→ S, mas podemos igualmente fixar n, para obter uma fun¸c˜ao ψ : S → S. De acordo com as Defini¸c˜oes 2.4.1 e 2.4.3, temos:
(2.4.1) cn= (cn−1)c (n > 1), e c1 = c.
Se S ´e um mon´oide com identidade I e o elemento c ´e invert´ıvel, usaremos tamb´em as defini¸c˜oes
(2.4.2) c−n= (c−1)n (n > 1), e c0 = I.
Se c ´e invert´ıvel, a potˆencia cm fica assim definida para qualquer inteiro m. Portanto, se S ´e um grupo, ent˜ao a fun¸c˜ao Φ : N× S → S pode ser substitu´ıda por uma fun¸c˜ao ˜Φ : Z× S → S. As seguintes regras elementares sobre potˆencias s˜ao em qualquer caso v´alidas neste contexto mais geral. Proposi¸c˜ao 2.4.4. Se a opera¸c˜ao no conjunto S ´e associativa, e a, b ∈ S. Ent˜ao:
(i) anam = an+m e (an)m
= anm, para n, m∈ N; (ii) Se ab = ba, ent˜ao (ab)n= anbn, para n∈ N; Se S ´e um mon´oide, e a e b s˜ao invert´ıveis, ent˜ao:
(iii) anam = an+m e (an)m = anm, para n, m∈ Z; (iv) Se ab = ba, ent˜ao (ab)n= anbn, para n∈ Z;
Mais uma vez a demonstra¸c˜ao destes resultados requer o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao. Ilustramos a demonstra¸c˜ao de (i), como exemplo de um argumento que envolve dois naturais.
2.4. Somat´orios e Produtos 79
Demonstra¸c˜ao. Provamos anam = an+m por indu¸c˜ao no natural m. Seja P(m) a afirma¸c˜ao:
P(m) = “anam = an+m para qualquer a∈ S e qualquer natural n”.
P(1) segue-se da Defini¸c˜ao 2.4.1, e para provar P(m + 1), note-se que anam+1 = (an)(ama) (por (2.4.1)),
= ((an)(am))a (por associatividade), = (an+m)a (por hip´otese de indu¸c˜ao),
= an+m+1 (por (2.4.1)).
Repare-se, ainda, que de acordo com (iii), e supondo que S ´e um grupo, a fun¸c˜ao f : Z→ S dada por f(n) = an (com a∈ S fixo) ´e um homomorfismo de grupos. Se S ´e apenas um mon´oide, a restri¸c˜ao da mesma fun¸c˜ao a N0 ´e ainda um homomorfismo de mon´oides.
A passagem dos resultados anteriores `a nota¸c˜ao aditiva n˜ao oferece di- ficuldades de maior. Se “+” designa uma opera¸c˜ao bin´aria comutativa no conjunto S, a Defini¸c˜ao 2.4.1 deve ser reescrita como se segue:
Defini¸c˜ao 2.4.5. A sucess˜ao σ : N→ S ´e dada por (i) para n = 1, σ1 = a1;
(ii) para n > 1, σn= σn−1+ an.
σn diz-se o somat´orio dos ak’s, com k de 1 at´e n, e escrevemos Pnk=1ak= σn.
Da mesma forma, se a : N → S ´e constante com an = c, ent˜ao escreve- mos nc = Pnk=1c. Al´em disso, se S tem identidade 0 e o elemento c tem sim´etrico, definimos
0c = 0, (−n)c = n(−c).
Referimo-nos `a opera¸c˜ao Φ : N× S → S dada por Φ(n, c) = nc como o “produto de um natural n por um elemento c de S ”, e `a correspondente opera¸c˜ao Ψ : Z× S → S como o “produto de um inteiro n por um elemento c de S ”. Esta terminologia causa no entanto uma pequena ambiguidade quando S ´e ele pr´oprio o conjunto dos inteiros. Neste caso, passamos a dispor aparentemente de duas opera¸c˜oes de produto: a opera¸c˜ao mencio- nada no Axioma 1 deste Cap´ıtulo, e a opera¸c˜ao introduzida na Defini¸c˜ao 2.4.5. Deixamos como exerc´ıcio verificar que estas duas opera¸c˜oes s˜ao efec- tivamente a mesma. Na realidade, o que esta duplica¸c˜ao sugere ´e que as
referˆencias ao produto na axiom´atica dos inteiros s˜ao sup´erfluas e desne- cess´arias, o que ´e efectivamente o caso: ´e poss´ıvel apresentar conjuntos de axiomas para os inteiros sem mencionar a opera¸c˜ao do produto, e provar todas as propriedades usuais do produto como teoremas, se bem que n˜ao tenhamos explorado aqui essa via.
Se (G, +) ´e um grupo abeliano, as propriedades alg´ebricas b´asicas do produto de inteiros por elementos de G podem ser resumidas como se segue: Proposi¸c˜ao 2.4.6. Se g, h∈ G, e m e n s˜ao inteiros temos:
(i) Identidade: 1g = g.
(ii) Distributividade: (n + m)g = ng + mg e n(g + h) = ng + nh. (iii) Associatividade: n(mg) = (nm)g.
Note-se a t´ıtulo de curiosidade que estas propriedades s˜ao formalmente semelhantes `as da defini¸c˜ao de espa¸co vectorial. Mais exactamente, se substi- tuirmos os elementos do grupo G por vectores de um qualquer espa¸co vecto- rial e os inteiros por escalares do correspondente corpo, ent˜ao as propriedades expressas na Proposi¸c˜ao 2.4.6 s˜ao exactamente as exigidas `a opera¸c˜ao “pro- duto dum escalar por um vector ” na defini¸c˜ao de espa¸co vectorial. De facto, existe uma no¸c˜ao b´asica da ´Algebra que permite tratar ao mesmo n´ıvel os conceitos de grupo abeliano e de espa¸co vectorial: a no¸c˜ao de m´odulo sobre um anel. Esta no¸c˜ao ser´a formalizada num cap´ıtulo mais adiante.
Se (A, +,·) ´e um anel, podemos ainda verificar algumas propriedades adicionais “mistas”, ou seja, combinando a soma e o produto. Temos ent˜ao: Proposi¸c˜ao 2.4.7. Se a, a1, . . . , an, b, c∈ A e n ∈ N, ent˜ao temos:
(i) c (Pnk=1ak) =Pnk=1(cak); (ii) (Pnk=1ak) c =Pnk=1(akc); (iii) n(ab) = (na)b = a(nb).
Mencion´amos acima que, quando G ´e um grupo e g∈ G, ent˜ao a fun¸c˜ao ψ : Z→ G dada por ψ(n) = gn ´e um homomorfismo de grupos. Natural- mente, se G ´e um grupo abeliano e ψ(n) = ng, ent˜ao ψ ´e igualmente um homomorfismo de grupos. Deve notar-se finalmente que se (A, +,·) ´e um anel e a∈ A, ent˜ao ψ(n) = na ´e sempre um homomorfismo de grupos entre (Z, +) e (A, +), mas s´o ´e um homomorfismo de an´eis se, por acaso, a2 = a (porquˆe?).
Exerc´ıcios.
1. Qual ´e a sucess˜ao definida em Z por a1= 1, an+1=Pnk=1ak?
2.4. Somat´orios e Produtos 81
3. Mostre que, se S ´e um mon´oide onde a lei do corte ´e v´alida, ent˜ao a igualdade
n Y k=1 ak ! n Y k=1 bk ! = n Y k=1 (akbk)
verifica-se se e s´o se S ´e abeliano.
4. Suponha que n ∈ Z, e g1, g2 ∈ G, onde G ´e um grupo aditivo. Diga se ´e
sempre verdade que
n6= 0 e ng1= ng2⇒ g1= g2.
(Sugest˜ao: Considere o grupo Z2 referido no Cap´ıtulo 1.)
5. Prove que, se B ´e um subconjunto do anel A fechado em rela¸c˜ao `a diferen¸ca em A, ent˜ao B ´e tamb´em fechado em rela¸c˜ao ao produto por inteiros, ou seja,
Se [a, b∈ B ⇒ a − b ∈ B] ent˜ao [(n ∈ Z e b ∈ B)⇒ nb ∈ B].
6. Use o resultado anterior para provar que no anel dos inteiros, as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes para um subconjunto B⊂ Z n˜ao vazio:
(a) B ´e fechado em rela¸c˜ao `a diferen¸ca; (b) B ´e um subanel de Z;
(c) B ´e um ideal de Z. 7. Mostre que:
(a) se φ : G→ H ´e um homomorfismo de grupos aditivos, ent˜ao φ(ng) = nφ(g), n∈ Z, g ∈ G;
(b) se φ : Z→ G ´e um homomorfismo de grupos aditivos, ent˜ao φ(n) = ng, para algum g∈ G.
Como ´e que pode generalizar estes resultados a grupos que n˜ao s˜ao aditivos? 8. Mostre que, se G ´e um grupo e g∈ G, ent˜ao H = {an : n
∈ N} ´e o menor subgrupo de G que cont´em g.
9. Seja A um anel com identidade I, e φ : Z→ A dada por φ(n) = nI. Mostre que:
(a) φ ´e um homomorfismo, e φ(Z) ={nI : n ∈ N} ´e o menor subanel de A que cont´em I;
(b) {n ∈ Z : na = 0} ´e um ideal de A que cont´em o n´ucleo N(φ); (c) φ(N) ={nI : n ∈ N} = {Pnk=1I : n∈ N} ´e o conjunto N(A)8.
8Esta ´e a forma mais rigorosa que podemos dar `a ideia de que os elementos de N (A)
10. Seja A6= {0} um anel com identidade I, e φ : Z → A dada por φ(n) = nI. Prove que, se A ´e bem-ordenado (i.e., se A ´e ordenado e qualquer subconjunto n˜ao-vazio de A+ tem m´ınimo), ent˜ao A ´e isomorfo a Z.
Sugest˜ao: Mostre, pela seguinte ordem, que: (a) O conjunto {a ∈ A : 0 < a < I} ´e vazio; (b) A+= φ(N):
(c) A = φ(Z); (d) φ ´e injectiva.