Subdivis˜ ao espacial baseada em volume

Neste esquema, o espa¸co ´e decomposto em elementos que englobam todo o modelo a ser reconstru´ıdo. Os elementos que n˜ao fazem parte do volume definido pelo modelo s˜ao eliminados. Os elementos restantes definem a superf´ıcie que, em geral, passa por todos os pontos de entrada. Isso torna esses m´etodos n˜ao apropriados se houver ru´ıdo.

A maioria dos algoritmos dessa categoria se baseiam na triangula¸c˜ao de Delaunay que ´e ´unica para um conjunto de pontos P. No algoritmo para sua constru¸c˜ao definido por Edelsbrunner & Shah [EDE 92], os pontos s˜ao inseridos um a um na triangula¸c˜ao que ´e, inicialmente, um tetraedro. A cada ponto inserido, a triangula¸c˜ao ´e modificada para manter a propriedade Delaunay: a esfera que circunscreve cada tetraedro da triangula¸c˜ao n˜ao pode conter nenhum dos pontos de entrada. Para manter essa propriedade, aqueles tetraedros que falham no teste local s˜ao reestruturados. Isso porque um conjunto de cinco pontos em posi¸c˜oes convexas podem ter somente duas triangula¸c˜oes poss´ıveis e uma delas possui a propriedade Delaunay.

A triangula¸c˜ao Delaunay corresponde `a triangula¸c˜ao do envelope convexo dos 32

2.1. M´etodos baseados em subdivis˜ao espacial 33

dados de entrada, preenchendo o seu interior com tetraedros [BOI 95]. ´E portanto uma representa¸c˜ao volum´etricada entrada. A partir dessa triangula¸c˜ao, a estrat´egia b´asica ´e eliminar triˆangulos para se obter uma representa¸c˜ao aproximada da superf´ıcie. Algoritmos dessa categoria s˜ao tamb´em denominados m´etodos de constri¸c˜ao.

Um dos primeiros trabalhos dessa abordagem ´e o algoritmo denominado Escultor- Delaunay de Boissonnat [BOI 84]. Se todos os pontos de P fazem parte das fronteiras da triangula¸c˜ao Delaunay, ent˜ao seu envelope convexo ´e uma aproxima¸c˜ao poli´edrica da superf´ıcie que se quer reconstruir. Nesse caso, a triagula¸c˜ao Delaunay tamb´em ´e uma representa¸c˜ao volum´etrica do objeto. Se nem todos os pontos fazem parte dos limites, ent˜ao tetraedros s˜ao eliminados at´e que todos os pontos de P assim o fa¸cam. Essa escultura do envelope convexo ´e feita seq¨uencialmente, eliminando-se um tetraedro ap´os outro de tal forma que a estrutura resultante seja sempre um poliedro. Para isso, associa-se um valor a cada tetraedro que tenha uma face no limite do poliedro. A cada etapa, o tetraedro com maior valor ´e eliminado. Boissonnat prop˜oe que tal valor seja a distˆancia m´axima entre as faces do tetraedro e suas partes associadas na esfera que o circunscreve.

O quest˜ao central ´e a decis˜ao de qual estrutura ser´a eliminada. Boissonnat argu- menta que os valores atribu´ıdos para elimina¸c˜ao dos tetraedros dependem da aplica¸c˜ao. Veltkamp [VEL 95] utiliza um parˆametro denominado indicador-γ para determinar a seq¨uˆencia de tetraedros a serem removidos. Uma vantagem desse algoritmo ´e que o indicador-γ se adapta a regi˜oes com densidade vari´avel. Entretanto, esses algoritmos n˜ao podem reconstruir objetos que contenham buracos ou bordas na superf´ıcie.

Edelsbrunner & M¨ucke [EDE 94] introduzem a no¸c˜ao de formas-alfa. A forma-alfa de um conjunto de pontos ´e o conjunto de triˆangulos e tetraedros, retirados da trian- gula¸c˜ao Delaunay, que satisfazem uma restri¸c˜ao adicional chamada teste-α, diretamente relacionada com a propriedade Delaunay. O parˆametro α ´e um n´umero real n˜ao negativo. Dado um triˆangulo T n˜ao pertencente ao envelope convexo e os pontos dos dois tetraedros adjacentes, verifica-se se esses pontos est˜ao circunscritos pela esfera definida por T. Se n˜ao est˜ao circunscritos e o raio da esfera ´e menor que α, ent˜ao T ´e mantido. Se est˜ao, encontra-se a menor esfera que circunscreve T e um dos tetraedros. Se o raio dessa esfera ´e menor que α ent˜ao T ´e mantido.

Todos os triˆangulos rejeitados n˜ao est˜ao na forma-alfa e os restantes s˜ao um sub- conjunto da triangula¸c˜ao Delaunay que, ap´os um ajuste de α, se aproximam da topologia da superf´ıcie a ser reconstru´ıda. Para valores muito altos de α a forma-alfa ´e o envelope convexo. Se α = 0, a forma-alfa ´e exatamente os pontos de entrada. A qualidade da reconstru¸c˜ao depende do ajuste do parˆametro α.

Certos detalhes e configura¸c˜oes da superf´ıcie n˜ao s˜ao propriamente determinadas na forma-alfa e n˜ao existe nenhum valor de α que inclua todos os triˆangulos pertinentes e rejeite todos que n˜ao o s˜ao [TEI 98]. Bernardini & Bajaj [BER 97] apresentam condi¸c˜oes suficientes de amostragem para viabilizar a reconstru¸c˜ao confi´avel de objetos por formas- alfa. Em geral, essas condi¸c˜oes n˜ao s˜ao satisfeitas. Bernardini et al. [BER 96] prop˜oem uma vers˜ao “regularizada” de formas-alfa para reconstruir s´olidos que automaticamente determina o parˆametro α e realiza refinamento em ´areas de densidade insuficiente.

Teichmann & Capps [TEI 98] prop˜oem formas-alfa anisotr´opicas para a recons- tru¸c˜ao. A id´eia b´asica ´e deformar a esfera usada no teste-α em fun¸c˜ao de propriedades locais. A anisotropia ´e definida por um tensor m´etrico cuja forma ´e um elips´oide. A

Cap´ıtulo 2. Trabalhos relacionados 34

sua forma ´e controlada por um parˆametro extra τ que define a deforma¸c˜ao da esfera na dire¸c˜ao da normal do triˆangulo. Esse parˆametro tamb´em deve ser ajustado experimental- mente. Essa t´ecnica extende o conceito de formas-alfa e permite reconstruir superf´ıcies mais complexas.

Outra estrutura utilizada em reconstru¸c˜ao ´e o diagrama de Voronoi. Dado um conjunto discreto de pontos em Rd_{, uma c´elula Voronoi de um ponto ´e a regi˜ao de R}d_mais

pr´oxima dele do que de qualquer outro ponto do conjunto. O diagrama de Voronoi ´e o particionamento de Rd _{definida pelas c´elulas Voronoi. O dual geom´etrico desse diagrama}

´e a triangula¸c˜ao de Delaunay. Attali [ATT 95] apresenta diversos resultados te´oricos sobre sua aplica¸c˜ao.

Amenta et al. [AME 98, AME 99] prop˜oem um algoritmo que utiliza a triangula¸c˜ao Delaunay e o diagrama de Voronoi para produzir um conjunto de triˆangulos que formam a “crosta” dos pontos de entrada. O c´alculo da crosta ´e baseado em um processo denominado filtragem Voronoi. Em 2D, a primeira etapa ´e calcular a triangula¸c˜ao de Delaunay da uni˜ao dos pontos de entrada com os v´ertices do diagrama de Voronoi. A crosta ´e formada pelas arestas entre os pontos de entrada dessa triangula¸c˜ao. Em 3D, somente dois pontos do diagrama de Voronoi, denominados polos, s˜ao usados para cada ponto de entrada. Uma vantagem ´e que nenhum parˆametro deve ser fornecido nesse processo. Esse trabalho foi o primeiro a fornecer garantias comprovadas de reconstru¸c˜ao de acordo com um crit´erio de amostragem dos pontos [AME 99]. Todavia, tal crit´erio ´e raramente obtido em aplica¸c˜oes reais e, nesse caso, a superf´ıcie reconstru´ıda pode ter buracos adicionais, se interceptar ou n˜ao passar por todos os pontos de entrada. Amenta et al. [AME 98] tamb´em prop˜oem um m´etodo para estimar normais a partir do diagrana de Voronoi.