SUM ´ ARIO E CONCLUS ˜ OES - 1421_2009_0

Neste projeto realizamos uma investiga¸cão detalhada da evolu¸cão das intera¸cões N N com o SRG. No que se segue, apresentamos um sumário dos resultados obtidos e as principais conclusões de nosso estudo.

Inicialmente, consideramos a intera¸cão de contato delta de Dirac em duas dimensões, visando ilustrar a aplica¸cão do SRG através de um exemplo simples e estabelecer procedimentos numéricos robustos e códigos otimizados para a aplica¸cão do SRG às intera¸cões N N . Os elementos de matriz do potencial delta de Dirac em duas dimensões no espa¸co de momento são constantes, gerando divergências logaritmicas quando o potencial é iterado na equa¸cão de LS ou de Schrödinger. Não obstante, solu¸cões exatas podem ser obtidas analiticamente introduzindo-se um cutoff em momento Λ e renormalizando-se a constante de acoplamento que caracteriza a intensidade da intera¸cão de contato de modo a remover a dependência dos observáveis com rela¸cão ao cutoff, levando à transmuta¸cão dimensional e à liberdade assintótica. Resolvemos a equa¸cão de fluxo de Wegner para o potencial delta de Dirac em duas dimensões renormalizado exigindo-se que a energia de liga¸cão permane¸ca constante conforme o cutoff Λ é removido e verificamos que o potencial evolu´ıdo com o SRG é for¸cado à forma de banda diagonal à medida que o cutoff de similaridade λ é reduzido. A partir da solu¸cão numérica da equa¸cão de LS para a matriz-K, calculamos os phase-shifts como fun¸cão de ELAB para o potencial delta de Dirac inicial e para os correspondentes potenciais evolu´ıdos com o SRG até vários valores do cutoff de similaridade λ e verificamos a unitariedade da transforma¸cão do SRG até erros relativos numéricos menores que 10−9_{. Duas regiões de escalamento}

foram observadas nos plots de erro para E_LAB fixo: os erros relativos são praticamente constantes para λ < Λ e diminuem significativamente para λ > Λ. Tal mudan¸ca no escalamento dos erros é um artefato numérico relacionado ao número de passos requeridos pelo algoritmo de Runge-Kutta para evoluir o potencial.

Em seguida, realizamos uma análise detalhada da renormaliza¸cão da intera¸cão N N em LO ChEFT no esquema SKM. O potencial N N em LO ChEFT consiste no OPEP mais uma intera¸cão de contato delta de Dirac, de modo que apenas uma subtra¸cão é necessária. A partir da solu¸cão da equa¸cão de LS subtra´ıda (regularizada com um cutoff Λ), calculamos a matriz-K on-shell em E = k2 _{= 0 e, ajustando os valores experimentais dos comprimentos de espalhamento respecti-} vamente nos canais 1S0 e 3S1, investigamos a varia¸cão das intensidades das intera¸cões de contato renormalizadas Cs

0 e C0t com a escala de subtra¸cão µ. No caso do canal1S0, também investigamos a varia¸cão de C₀s com o cutoff instrumental Λ.

Para um valor fixo de Λ a intensidade da intera¸c˜ao de contato renormalizada Cs

0 no canal 1S0 cresce monotonicamente com µ e no limite µ → ∞ converge assintoticamente para o valor obtido utilizando-se o esquema CR. Analogamente, para um valor fixo de µ a intensidade da intera¸c˜ao de contato renormalizada Cs

0 cresce monotonicamente com Λ e no limite Λ → ∞ sua dependˆencia com Λ se anula assintoticamente, evidenciando a natureza instrumental do cutoff Λ. No caso do canal 3_S

1, a evolu¸cão da intensidade da intera¸cão de contato renormalizada C0t com µ exibe um comportamento de ciclo-limite, divergindo para valores espec´ıficos de µ. Tal comportamento ocorre devido ao aparecimento de estados ligados espúrios no canal 3_S

1−3D1.

Uma vez fixadas as intensidades das intera¸c˜oes de contato renormalizadas Cs

0 e C0t, calculamos os driving terms e os correspondentes potenciais renormalizados de ponto fixo VR(p, p0) para os

canais 1_S

0 e 3S1−3 D1 para vários valores da escala de subtra¸cão µ com um cutoff Λ fixo. Para o canal 1S0, o driving term varia com µ tal que o potencial renormalizado permanece aproxi- madamente invariante, apresentando uma pequena dependência residual com respeito a µ devida ao procedimento de ajuste de C₀s. Essa dependência residual deve ser eliminada evoluindo-se os driving terms de uma escala de referência ¯µ até a escala µ através da equa¸cão NRCS. No limite µ → ∞ o driving term torna-se independente de µ, concordando com o potencial renormalizado. Para o canal 3_S

1−3D1, o potencial renormalizado apresenta forte dependˆencia com respeito a µ, consequˆencia direta do comportamento de ciclo-limite exibido por C₀t.

Calculamos então os phase-shifts em fun¸cão de ELABpara vários valores da escala µ com Λ fixo. Para o canal 1S0, os phase-shifts desviam-se fortemente dos resultados obtidos com o potencial de Nijmegen. As diferen¸cas relativas entre os phase-shifts calculados em um dado µ e em µ → ∞ escalam como E_LAB(∝ k2_{) para µ fixo e como 1/µ}2 _{para E}

LAB fixo. Os phase-shifts no canal 3S1 e o parˆametro de mistura ²1 apresentam forte dependˆencia com respeito a µ, exceto para energias muito baixas. Para o canal3_D

1, os phase-shifts s˜ao praticamente independentes de µ, apresentando concordˆancia muito boa com os resultados obtidos com o potencial de Nijmegen.

Em seguida, consideramos a evolu¸c˜ao com o SRG do potencial de Nijmegen nos canais 1_S 0 e 3_S

1−3D1. Conforme esperado, o potencial é for¸cado à forma de banda diagonal. Calculando os phase-shifts, verificamos a unitariedade da transforma¸cão do SRG até erros numéricos menores que 10−9_{. Seguindo o método descrito por Bogner et al. [9, 10], utilizamos uma fun¸cão de regulariza¸cão}

exponencial para cortar o potencial no canal1_S

0 evolu´ıdo com o SRG acima de um dado momento kmax. Verificamos que, como consequˆencia do desacoplamento das componentes de baixo e alto momento, os phase-shifts calculados para os potenciais evolu´ıdos com o SRG cortados em k_max> λ concordam com os obtidos a partir dos potenciais evolu´ıdos originais para ELAB ∼ 2 kmax2 /M .

Finalmente, consideramos a evolu¸c˜ao com o SRG do potencial SKM-LO ChEFT nos canais 1_S

0 e 3S1−3D1, resolvendo numericamente a equa¸c˜ao de fluxo de Wegner utilizando como input os potenciais renormalizados V_R(p, p0_{). Conforme esperado, a evolu¸c˜ao com o SRG suprime sis-}

tematicamente os elementos de matriz fora da diagonal à medida que o cutoff de similaridade λ diminui, for¸cando o potencial a uma forma de banda diagonal. Calculando os phase-shifts, também verificamos a unitariedade da transforma¸cão do SRG. Como no caso da evolu¸cão com o SRG do potencial delta de Dirac em duas dimensões, duas regiões de escalamento foram observadas nos plots de erro (com ELAB fixo) para o canal1S0, com transi¸cão em λ ∼ Λ. Comparando os elementos de matriz dos potenciais de Nijmegen e SKM-LO ChEFT no canal1_S

0 evolu´ıdos com o SRG, ver- ificamos que os potenciais permanecem distintos à medida que o cutoff de similaridade λ diminui, mostrando apenas uma tendência a tornarem-se similares em baixo momento. Esse resultado é esperado, uma vez que os dois potenciais não são equivalentes com respeito aos phase-shifts. Não obstante, espera-se que a universalidade em baixos momento se manifeste à medida que termos de ordem mais alta na expansão quiral sejam adicionados ao potencial SKM ChEFT inicial. Como descrito anteriormente para o potencial de Nijmegen, analisamos o desacoplamento dos observáveis em baixa energia com rela¸cão aos graus de liberdade de alta energia para o potencial SKM-LO ChEFT no canal1_S

0 evolu´ıdo com o SRG, obtendo um padr˜ao de desacoplameto qualitativamente semelhante.

Em trabalhos futuros, pretendemos estudar a evolu¸cão com o SRG de potenciais N N em ChEFT até ordens mais altas (NLO, NNLO e N3LO) e em outros canais de onda parcial, bem como considerar os efeitos devidos à utiliza¸cão de diferentes geradores para a transforma¸cão do SRG.

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