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Relat´orio T´ecnico-Cient´ıfico Per´ıodo: 02/2010 a 02/2011

Métodos de Renormaliza¸cão Aplicados à Intera¸cão Núcleon-Núcleon

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I. RESUMO DO PROJETO INICIAL

Este relatório descreve as atividades desenvolvidas pelo Grupo de Estudos em F´ısica de Hádrons (GREFH) do Centro de Ciências e Humanidades (CCH) da Universidade Presbiteriana Mackenzie no per´ıodo de fevereiro de 2010 a fevereiro de 2011, referentes ao projeto de pesquisa intitulado “Métodos de Renormaliza¸cão Aplicados à Intera¸cão Núcleon-Núcleon”.

Visando dar continuidade às atividades de pesquisa do grupo relacionadas ao estudo da evolu¸cão de potenciais núcleon-núcleon (NN), tanto os fenomenológicos quanto os derivados no contexto da Teoria de Campos Efetiva Quiral (Chiral Effective Field Theory-ChEFT), através do Grupo de Renormaliza¸cão de Similaridade (Similarity Renormalization Group-SRG), o plano de trabalho proposto para o desenvolvimento do projeto compreendia os seguintes itens:

a) Estudo da evolu¸cão não-perturbativa do potencial delta de Dirac em duas dimensões com o SRG, através da solu¸cão numérica da equa¸cão de fluxo de Wegner visando estabelecer procedimen-tos numéricos robusprocedimen-tos e códigos otimizados para a aplica¸cão do SRG às intera¸cões N N .

b) Estudo da renormaliza¸cão das intera¸cões N N em “leading-order” (LO) ChEFT no esquema de renormaliza¸cão convencional utilizando um cutoff em momento (Cutoff Renormalization-CR) e no esquema de renormaliza¸cão pelo método do kernel subtra´ıdo (Subtracted Kernel Method-SKM), através da solu¸cão numérica da equa¸cão de Lippmann-Schwinger (LS).

c) Estudo da evolu¸cão com o SRG do potencial de Nijmegen e das intera¸cões N N em LO ChEFT renormalizadas nos esquemas CR e SKM, através da solu¸cão numérica da equa¸cão de fluxo de Wegner e do cálculo de observáveis de espalhamento.

Todos os itens propostos em nosso projeto de pesquisa foram desenvolvidos a contento e com bastante êxito, resultando em nove publica¸cões. No presente momento, estamos elaborando mais dois artigos a serem submetidos para publica¸cão em periódicos indexados.

´

E importante ressaltar também que o desenvolvimento deste projeto permitiu consolidar nossa colabora¸cão com os professores Varese Salvador Timóteo (Faculdade de Tecnologia - UNICAMP), Manoel Roberto Robilotta (Instituto de F´ısica - USP) e Enrique Luiz Arriola (Departamento de F´ısica Atómica y Molecular - Universidade de Granada, Espanha).

No que se segue detalhamos a metodologia utilizada, descrevemos e discutimos os resultados obtidos e apresentamos as principais conclus˜oes de nossa pesquisa.

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II. METODOLOGIA

Nesta se¸cão apresentamos uma discussão detalhada dos principais elementos teóricos, modelos e métodos envolvidos no desenvolvimento do projeto.

A. Formalismo do Grupo de Renormaliza¸c˜ao de Similaridade (SRG)

1. Formula¸c˜ao de Glazek-Wilson

A formula¸cão geral do SRG foi desenvolvida por Glazek e Wilson [1, 2] no contexto da Teoria de Campos Hamiltoniana no Cone de Luz (Hamiltonian Light-Front Field Theory-HLFFT), visando obter hamiltonianos efetivos nos quais os acoplamentos entre estados de alta e baixa energia são eliminados, ao mesmo tempo evitando o aparecimento de divergências artificiais na forma de de-nominadores de baixa energia em expansões perturbativas. O método é implementado através de transforma¸cões unitárias cont´ınuas constru´ıdas para substituir os efeitos dos acoplamentos re-movidos por intera¸cões efetivas dependentes da escala livres de denominadores de baixa energia, garantindo que os hamiltonianos efetivos não produzem divergências ultravioleta. É importante notar que as transforma¸cões não removem graus de liberdade, apenas integram os acoplamentos entre estados com diferen¸cas de energia maiores que uma dada escala.

Consideremos um sistema descrito por um hamiltoniano canônico escrito na forma H = h + V , onde h é o hamiltoniano livre e V é um potencial de intera¸cão. Em geral, o hamiltoniano contém acoplamentos diretos entre estados de todas as escalas de energia, os quais podem ser fontes de divergências ultravioleta. Na discussão que se segue, utilzamos uma base de auto-estados do hamiltoniano livre, h| i >= ²i| i >.

A partir do hamiltoniano canˆonico H definimos um hamiltoniano bare Hλ0 regularizado por um

cutoff λ0 (grande) em diferen¸cas de energia nos vértices de intera¸cão. Tal cutoff é denominado cutoff de similaridade e aqui possui dimensões de energia. O hamiltonino bare pode ser então escrito na forma

Hλ0 ≡ h + Vλ0 ≡ h + fλ0(V + H

ct

λ0) , (1)

onde fλ0 é chamada fun¸cão de similaridade e Hλct0 são contratermos a serem determinados através

do processo de renormaliza¸cão de modo a remover a dependência dos observáveis com respeito ao cutoff λ0. A fun¸cão de similaridade fλ0 é definida de modo a regularizar o hamiltoniano através

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Geralmente, a fun¸cão de similaridade é escolhida como uma fun¸cão suave do cutoff tal que (i)f_λ0 → 1, para |²i− ²j| << λ0 ,

(ii)f_λ0 → 0, para |²i− ²j| >> λ0. (2)

Uma escolha mais simples para a fun¸cão de similaridade é uma fun¸cão degrau θ(λ₀− |²_i− ²_j|). O próximo passo consiste em definir uma transforma¸cão unitária U (λ, λ0) que age sobre o hamiltoniano bare H_λ₀ e muda o cutoff de similaridade para uma escala menor λ, produzindo um hamiltoniano renormalizado,

Hλ ≡ U (λ, λ0) Hλ0 U†(λ, λ0) . (3)

A condi¸c˜ao de unitariedade satisfeita por U (λ, λ0) ´e dada por

U (λ, λ0) U†(λ, λ0) ≡ U†(λ, λ0) U (λ, λ0) ≡ 1 . (4)

O hamiltoniano renormalizado H_λ ´e for¸cado `a forma de banda diagonal conforme o cutoff de similaridade λ diminui e pode ser escrito na forma

H_λ ≡ h + f_λ V_λ , (5)

onde fλ é a fun¸cão de similaridade correspondente ao cutoff λ e Vλ é definido como sendo a

intera¸cão reduzida (i.e., a intera¸cão efetiva na escala λ com a fun¸cão de similaridade fatorada). A transforma¸cão de similaridade U (λ, λ0) pode ser definida em termos de um operador anti-hermitiano ηλ que gera mudan¸cas infinitesimais do cutoff λ,

U (λ, λ0) ≡ T exp µZ _λ₀ λ η_λ0 dλ0 ¶ , (6)

onde T coloca os operadores em ordem crescente do valor do cutoff λ0 _{da esquerda para a direita.}

Tomando a derivada da Eq. (6) e utilizando a condi¸c˜ao de unitariedade dada na Eq. (4) e sua derivada, obtemos a rela¸c˜ao

η_λ = U (λ, λ₀) dU†(λ, λ0) dλ = − dU (λ, λ0) dλ U †_{(λ, λ} 0) = −ηλ† . (7)

Assim, tomando a derivada da Eq. (3) e utilizando a condi¸cão de unitariedade combinada com a Eq. (7), obtemos uma equa¸cão diferencial de primeira ordem para a evolu¸cão do hamiltoniano,

dHλ

dλ = [Hλ, ηλ] , (8)

(5)

O gerador η_λ é definido especificando-se v´ınculos para a varia¸cão de h e V_λ com o cutoff λ. Uma escolha poss´ıvel é exigir que h seja independente de λ e que o hamiltoniano renormalizado não contenha denominadores de baixa energia. Tais v´ınculos são definidos pelas condi¸cões

dh dλ ≡ 0 ,

dVλ

dλ ≡ [Vλ, ηλ] . (9)

Uma vez que a transforma¸cão de similaridade é unitária, tanto Hλ0 como Hλ produzem o

mesmo espectro para os observáveis. Além disso, quando a transforma¸cão é implementada de forma exata (i.e., sem utilizar uma expansão perturbativa) os observáveis calculados utilizando-se o hamiltoniano renormalizado Hλ são independentes do cutoff de similaridade λ. Conforme

obser-vado anteriormente, os contratermos Hct

λ0 são ajustados tal que os observáveis também tornam-se

independentes de λ₀ no limite λ₀ → ∞.

Uma caracter´ıstica importante do SRG é que todos os operadores são consistentemente renor-malizados utilizando-se a mesma transforma¸cão unitária, i.e. qualquer operador O evolui com o cutoff de similaridade λ segundo a equa¸cão de fluxo

dO_λ

dλ = [Oλ, ηλ] . (10)

2. Formula¸c˜ao de Wegner

Nas aplica¸cões descritas neste projeto, utilizamos a formula¸cão para o SRG desenvolvida por Wegner [3] e aplicada no contexto de problemas de muitos corpos em F´ısica da Matéria Condensada [4]. A formula¸cão de Wegner é baseada em uma equa¸cão de fluxo não-perturbativa que governa a evolu¸cão unitária de um hamiltoniano com um parâmetro de fluxo s que varia de 0 a ∞,

dHs

ds = [ηs, Hs] , (11)

onde ηs= [Gs, Hs] é um operador anti-hermitiano que gera a transforma¸cão unitária. A equa¸cão

de fluxo de Wegner deve ser resolvida com a condi¸c˜ao de contorno H_s|_s→s0 ≡ H_s₀.

O operador Gs define o gerador ηs e, portanto, especifica o fluxo do hamiltoniano. A escolha

de Wegner para G_s na formula¸c˜ao original ´e a parte diagonal completa do hamiltoniano em uma dada base, Gs = diag(Hs). Um escolha mais simples consiste em utilizar o hamiltoniano livre,

G_s= h. Tais escolhas para η_sresultam em um parˆametro de fluxo s com dimens˜oes de (energia)−2_e

correspondem na formula¸cão de Glazek-Wilson à escolha de uma fun¸cão de regulariza¸cão gaussiana com um cutoff em diferen¸cas de energia λ, denominado cutoff de similaridade. Em termos do cutoff de similaridade λ, o parâmetro de fluxo é dado pela rela¸cão s = λ−2_.

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Embora ambas as escolhas para o operador G_s mencionadas anteriormente sejam capazes de for¸car o hamiltoniano à forma de banda diagonal conforme o parâmetro de fluxo s aumenta (ou o cutoff λ diminui), foi mostrado por Glazek e Perry [5] que a utliza¸cão de Gs = h pode produzir

divergências em teorias com estados ligados. Tal efeito está relacionado ao comportamento de ciclo-limite (limit-cycle) do grupo de renormaliza¸cão [6, 7] e ocorre quando λ = 1/√s aproxima-se de uma escala em que um estado ligado emerge, impondo um limite para a implementa¸cão da transforma¸cão de similaridade. Por outro lado, utilizando-se Gs = diag(Hs) o comportamento de

ciclo limite pode ser adequadamente tratado, garantindo-se a convergência da transforma¸cão. Esta é uma questão importante a ser considerada nas aplica¸cões do SRG em F´ısica Nuclear. Conforme mostrado recentemente em vários artigos [8–12], a transforma¸cão do SRG com Gs = h

pode ser aplicada para evoluir intera¸cões N N sem problemas de divergência desde que λ seja mantido maior do que as escalas em que aparecem estados ligados. Por outro lado, em casos com comportamento de ciclo-limite, tal como o que ocorre no problema nuclear de tres corpos [13–16], a transforma¸cão do SRG deve ser implementada incluindo-se intera¸cões em Gs [5].

A evolu¸cão consistente de for¸cas nucleares de muitos corpos com o grupo de renormaliza¸cão é uma questão crucial e desafiadora em cálculos de estrutura nuclear utilizando intera¸cões de baixo momento (low-momentum interactions) [17]. Conforme mostrado em trabalhos recentes, as equa¸cões de fluxo do SRG fornecem uma abordagem para evoluir for¸cas nucleares de tres corpos diretamente, i.e. sem a necessidade de resolver o problema de tres corpos completo como no caso da abordagem conhecida como Vlow−k [18–27]. Estudos preliminares utilizando modelos simples

[28, 29] têm sido realizados visando estabelecer um método prático para evoluir consistentemente intera¸cões de tres e muitos corpos com a transforma¸cão do SRG. Na Ref. [30], foi demonstrada a primeira aplica¸cão de tal método para evoluir for¸cas de tres corpos, em cálculos de núcleos com A ≤ 4 nuclei utilizando uma base de osciladores harmônicos.

B. M´etodo do Kernel Subtra´ıdo (SKM)

O Método do Kernel Subtra´ıdo (Subtracted Kernel Method-SKM) [31–36] é um método de renormaliza¸cão desenvolvido para tratar intera¸cões contendo termos regulares e/ou termos de con-tato singulares que se baseia em uma equa¸cão de espalhamento subtra´ıda. Ao invés de utilizar uma fun¸cão de regulariza¸cão com um cutoff em momento, no SKM a equa¸cão de espalhamento é regularizada realizando-se subtra¸cões no kernel em uma dada escala de energia, mantendo-se a intera¸cão original intacta.

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Uma vantagem do SKM é que pode ser recursivamente estendido até qualquer ordem derivativa das intera¸cões de contato, através de um processo iterativo que envolve múltiplas subtra¸cões. Uma abordagem semelhante baseada na renormaliza¸cão subtrativa da equa¸cão de LS é descrita nas Refs. [37–39], embora em tal abordagem também seja introduzido um cutoff para regularizar as integrais em momento.

Iniciamos a descri¸c˜ao da abordagem do SKM considerando a equa¸c˜ao de LS formal para a matriz-T de um sistema de dois corpos, que pode ser escrita na forma operatorial como

T (E) = V + V G+₀(E) T (E) = V £1 + G+₀(E) T (E)¤

= V + T (E) G+₀(E) V =£1 + T (E) G+₀(E)¤ V , (12) onde V é o potencial de intera¸cão e G+₀(E) é a fun¸cão de Green livre para o sistema de dois corpos com condi¸cões de contorno do tipo “outgoing-wave”, dada em termos do hamiltoniano livre H0por

G+₀(E) = (E − H0+ i²)−1. (13)

Para potenciais singulares, como os que contêm intera¸cões de contato do tipo delta de Dirac e suas derivadas, a Eq. (12) torna-se mal definida devido às divergências ultravioleta que aparecem nas integrais em momento. Na abordagem do SKM, uma equa¸cão de espalhamento regularizada e renormalizada é derivada realizando-se subtra¸cões no propagador em uma certa escala de energia. Consideremos inicialmente um potencial singular contendo um termo regular e uma intera¸cão de contato do tipo delta de Dirac, caso em que apenas uma subtra¸cão é suficiente para se obter uma amplitude de espalhamento finita. No espa¸co de momento, esse potencial pode ser escrito na forma V = Vreg+ C0, onde C0 é a intensidade da intera¸cão de contato. Utilizando a Eq. (12), o potencial V pode ser formalmente escrito em termos da matriz-T em uma dada escala de energia −µ2 _{(em unidade tais que ~ = c = 2m = 1, onde m é a massa reduzida do sistema de dois corpos):} V = T (−µ2) £1 + G+₀(−µ2) T (−µ2)¤−1=£1 + T (−µ2) G+₀(−µ2)¤−1 T (−µ2) . (14)

Por conveniência, escolhemos uma energia negativa para a escala de subtra¸cão, tal que a fun¸cão de Green livre G+₀(−µ2_{) é real (isto não constitui uma restri¸cão, uma vez que o método também} funciona para uma escala de subtra¸cão correspondente a uma energia positiva).

Substituindo o potencial V na Eq. (12) por sua express˜ao em termos de T (−µ2_{) dada na Eq.} (14), obtemos

T (E) = T (−µ2) £1 + G+₀(−µ2) T (−µ2)¤−1+ T (E) G₀+(E) T (−µ2) £1 + G+₀(−µ2) T (−µ2)¤−1 . (15)

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Multiplicando os dois lados da Eq. (15) pela direita £1 + G+₀(−µ2_{) T (−µ}2₎¤ _{e rearranjando os} termos, obtemos a equa¸c˜ao de LS para a matriz-T com kernel subtra´ıdo,

T (E) = T (−µ2) + T (−µ2) £G+₀(E) − G+₀(−µ2)¤ T (E) , (16)

a qual apresenta a mesma estrutura operatorial que a Eq. (12) para a equa¸cão de LS formal, mas com o potencial V substitu´ıdo de acordo com a Eq. (14) pela matriz-T na escala de subtra¸cão −µ2 e o propagador livre original substitu´ıdo pelo propagador com uma subtra¸cão na mesma escala.

A equa¸cão de LS com kernel subtra´ıdo fornece uma solu¸cão finita para a matriz-T em qualquer energia E, uma vez que seu valor na escala de subtra¸cão −µ2 seja conhecido. Assim, o input para a solu¸cão da Eq. (16) é T (−µ2_{), que é denominado driving term e contém a informa¸cão} f´ısica aparentemente perdida devido à remo¸cão da propaga¸cão através de estados intermediários na escala −µ2_{. Um ansatz simples consiste em considerar que o driving term é dado por}

T (−µ2) = V (−µ2) = Vreg+ C0(−µ2) , (17)

onde C0(−µ2) é a intensidade da intera¸cão de contato renormalizada na escala de subtra¸cão −µ2, a qual é fixada através do ajuste de dados experimentais para observáveis de espalhamento e, portanto, contém a informa¸cão f´ısica.

1. Potencial Renormalizado e Intera¸c˜ao de Ponto Fixo

Uma vez que a intensidade da intera¸cão de contato renormalizada C0(−µ2) na Eq. (17) é fixada, e portanto o driving term T (−µ2_{) é conhecido, um potencial renormalizado V}

R pode ser definido

por meio da Eq. (14) [33]:

V → V_R≡£1 + T (−µ2) G+₀(−µ2)¤−1 T (−µ2) . (18)

Multiplicando os dois lados da Eq. (18) pela esquerda por £1 + T (−µ2_{) G}+ 0(−µ2)

¤

e rearran-jando os termos, obtemos uma equa¸c˜ao integral (na forma operatorial)

VR= T (−µ2) − T (−µ2) G+0(−µ2) VR. (19)

que relaciona formalmente o potencial renormalizado VR ao driving term T (−µ2).

Substituindo V por VR na Eq. (12), obtemos a equa¸c˜ao de LS para a matriz-T renormalizada:

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O potencial renormalizado V_Rnão é bem definido para intera¸cões singulares. Não obstante, para um driving term T (−µ2_{) como o definido pela Eq. (17), contendo um termo regular mais uma} intera¸cão de contato do tipo delta de Dirac, a Eq. (20) fornece uma solu¸cão finita para a matriz-T renormalizada, TR(E), equivalente à obtida a partir da equa¸cão de LS com kernel subtra´ıdo Eq.(16),

i.e. T_R(E) = T (E). Esse resultado fornece uma justificativa a posteriori para as manipula¸cões formais de VR e V utilizadas para obter as Eqs. (16) e (19). Em cálculos numéricos, é mais

conveniente regularizar a integral impl´ıcita na Eq. (19) introduzindo-se um cutoff em momento Λ, tal que seja poss´ıvel trabalhar com um potencial renormalizado ˜VR(Λ) bem definido. Utilizando

esse potencial, constru´ımos a equa¸c˜ao de LS para uma matriz-T regularizada com um cutoff, ˜

TR(E; Λ) = ˜VR(Λ) + ˜VR(Λ) ˜G+0(E; Λ) ˜TR(E; Λ) , (21)

onde ˜G+₀(E; Λ) denota a fun¸c˜ao de Green na integral regularizada.

No limite Λ → ∞ o resultado obtido resolvendo-se a Eq. (21) com o potencial regularizado com o cutoff ˜VR(Λ) deve ser o mesmo que o obtido a partir da solu¸c˜ao direta da Eq. (20) com VR. ´E

importante enfatizar que o cutoff em momento Λ utilizado nesse contexto desempenha apenas o papel de um regulador instrumental para a integra¸cão numérica. O parâmetro de escala relevante é a escala de subtra¸cão −µ2_{, na qual a informa¸cão f´ısica é introduzida através da intensidade da} intera¸cão de contato renormalizada C0(−µ2) no driving term T (−µ2).

A escala de subtra¸cão −µ2 _{é arbitrária e, portanto, os observáveis de espalhamento não devem} depender de sua escolha. Para satisfazer essa condi¸cão, a matriz-T deve ser independente de −µ2_:

∂T_R ∂µ2 =

∂T

∂µ2 = 0 . (22)

Das Eqs. (20) e(22) obtemos que o potencial renormalizado VR tamb´em ´e independente de −µ2,

∂VR

∂µ2 = 0 , (23)

o que implica que o hamiltoniano renormalizado HR = H0+ VR corresponde a um ponto fixo do

grupo de renormaliza¸cão, i.e. estacionário com respeito à varia¸cão da escala de subtra¸cão −µ2_. Utilizando as Eqs. (19) e (23) ou as Eqs. (16) e (22), uma equa¸cão do grupo de renormaliza¸cão pode ser obtida para o driving term T (−µ2_{) [33] na forma de uma equa¸cão de Callan-Symanzik} não-relativ´ıstica (Non-Relativistic Callan-Symanzik-NRCS) [40–42],

∂T (−µ2₎

∂µ2 = T (−µ2)

∂G+₀(−µ2₎

∂µ2 T (−µ2) , (24)

com a condi¸c˜ao de contorno T (−µ2_)|

µ→¯µ= V (−¯µ2) = Vreg+C0(−¯µ2) imposta em uma dada escala de referˆencia ¯µ.

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2. Recursividade do SKM para Subtra¸c˜oes M´ultiplas

A equa¸cão de LS para a matriz-T com uma subtra¸cão, Eq. (16), pode ser escrita utilizando-se a nota¸cão

T (E) = V(1)(−µ2) + V(1)(−µ2) G+₁(E; −µ2) T (E) , (25) onde V(1)_(−µ2_{) ≡ T (−µ}2_{) ´e o driving term e G}+

1(E; −µ2) ≡ G+0(E) − G+0(−µ2) denota a fun¸cão de Green com uma subtra¸cão, a qual também pode ser escrita na forma

G+₁(E; −µ2) = (−µ2− E) G+₀(−µ2) G+₀(E) = F1(E; −µ2) G+₀(E) , (26) A fun¸cão F₁(E; −µ2_{) pode ser entendida como um fator de forma que modifica a fun¸cão de Green} livre G+₀(E) introduzindo um fator proporcional a q−2 _{na integra¸cão em momento. Tal fator de}

forma é suficiente para regularizar divergências geradas na equa¸cão de LS por um potencial singular contendo apenas uma intera¸cão de contato pura do tipo delta de Dirac. No entanto, para potenciais singulares contendo termos que geram divergências de ordem mais alta na equa¸cão de LS, como intera¸cões de contato derivativas, o esquema SKM deve ser generalizado. Conforme mostrado nas Refs. [32, 34], nesse caso é necessário realizar múltiplas subtra¸cões no kernel da equa¸cão de LS utilizando um procedimento iterativo.

Para um n´umero geral de subtra¸c˜oes n, definimos uma equa¸c˜ao de LS com kernel subtra´ıdo n vezes, dada por

T (E) = V(n)(E; −µ2) + V(n)(E; −µ2) G+_n(E; −µ2) T (E) . (27) A fun¸cão de Green com n subtra¸cões G+_n(E; −µ2) é definida por

G+_n(E; −µ2) ≡£(−µ2− E) G+₀(−µ2)¤n G+₀(E) = Fn(E; −µ2) G+0(E) . (28) Note que o fator de forma Fn(E; −µ2) introduz um fator proporcional a q−2n na integra¸c˜ao em

momento, regularizando divergências até ordem q2n−1_{. O driving term V}(n)_{(E; −µ}2_{) para a equa¸cão} de LS subtra´ıda n vezes é constru´ıdo recursivamente através de um processo iterativo, iniciando-se com V(1)(−µ2). A fórmula de recursão é dada por

V(m)(E; −µ2) = ¯V(m)(E; −µ2) + V_sing(m)(−µ2) , (29) onde ¯ V(m)(E; −µ2) = h 1 − (−µ2− E)m−1 V(m−1)(E; −µ2) G+₀(−µ2)m i₋₁ V(m−1)(E; −µ2) , (30)

(11)

O termo V_sing(m)(−µ2_{) contém as intera¸cões singulares de ordem mais alta que geram integrais} di-vergentes e podem ser regularizadas realizando-se m subtra¸cões. Deve-se notar da Eq. (29) que o driving term V(m)_{(E; −µ}2_{) a cada itera¸cão é derivado em dois passos. Primeiro, calculamos}

¯

V(m)_{(E; −µ}2_{) de V}(m−1)_{(E; −µ}2_{), resolvendo a equa¸c˜ao integral obtida da Eq. (30):} ¯

V(m)(E; −µ2) = V(m−1)(E; −µ2)+(−µ2−E)m−1V(m−1)(E; −µ2) G+₀(−µ2)mV¯(m)(E; −µ2) . (31)

Em seguida, adicionamos as intera¸c˜oes singulares de ordem mais V_sing(m)(−µ2_).

Como no caso de uma subtra¸cão, uma vez que o driving term V(n)_{(E; −µ}2_{) com n subtra¸cões} é conhecido podemos manipular formalmente a Eq. (27) para definir um potencial renormalizado,

VR≡

h

1 + V(n)(E; −µ2)¡G+₀(E) − G_n+(E; −µ2)¢i−1 V(n)(E; −µ2) , (32)

que ´e iterado na Eq. (20) para TR(E) e leva a um hamiltoniano de ponto fixo. Da mesma forma,

uma equa¸cão NRCS para o driving term V(n)(E; −µ2) pode ser obtida a partir da invariância da matriz-T subtra´ıda n vezes com respeito à escala de subtra¸cão −µ2_,

∂V(n)_{(E; −µ}2₎

∂µ2 = −V(n)(E; −µ2) ∂G+

n(E; −µ2)

∂µ2 V(n)(E; −µ2) , (33) com a condi¸c˜ao de contorno dada por V(n)_{(E; −µ}2_)|

µ→¯µ = V(n)(E; −¯µ2) imposta em uma dada

(12)

III. DETALHAMENTO DOS C ´ALCULOS E RESULTADOS OBTIDOS

Nesta se¸c˜ao descrevemos os c´alculos envolvidos em cada item do plano de trabalho, bem como os principais resultados obtidos.

A. Evolu¸c˜ao do Potencial Delta de Dirac em Duas Dimens˜oes com o SRG

Com o objetivo de estabelecer procedimentos numéricos robustos e códigos otimizados para a aplica¸cão do SRG às intera¸cões NN, consideramos inicialmente a evolu¸cão de um hamiltoniano para um sistema de duas part´ıculas não-relativ´ısticas em duas dimensões que interagem via um potencial de contato do tipo delta de Dirac [43]-[48]. Uma versão discretizada desse potencial foi considerada anteriormente por Glazek e Wilson [49] como um modelo para estudar a aplica¸cão do SRG a uma teoria assintoticamente livre. Aqui, consideramos a versão cont´ınua.

A equa¸cão de Schrödinger em espa¸co de configura¸cão para o movimento relativo de duas part´ıculas em duas dimensões com um potencial de contato atrativo do tipo delta de Dirac (em unidades tais que ~ = 1) é dada por

−∇2_r Ψ(r) − α₀δ(2)(r) Ψ(r) = E Ψ(r) . (34) A constante de acoplamento α0 é adimensional, uma vez que tanto o operador energia cinética como o potencial de contato delta de Dirac em duas dimensões escalam como 1/r2_{, de modo que a} Eq. (34) é invariante de escala (i.e. não existe uma escala intr´ınsica de energia ou comprimento). Embora essa equa¸cão possa ser facilmente resolvida no espa¸co de confirgura¸cão regularizando-se o potencial de contato com uma fun¸cão de distribui¸cão, optamos por trabalhar no espa¸co de momento com o objetivo de estabelecer uma conexão mais transparente com os cálculos implementados no contexto do SRG e da EFT.

A equa¸cão de Schrödinger no espa¸co de momento é dada por p2 Φ(p) − α0

(2π)2 Z

d2q Φ(q) = E Φ(p) , (35)

onde p é o momento relativo e Φ(p) é a transformada de Fourier da fun¸cão de onda no espa¸co de configura¸cão Ψ(r). A invariância de escala implica que se um estado ligado existe (com E < 0) então a Eq. (35) admitirá solu¸cões para qualquer energia negativa, que correspondem a um cont´ınuo de estados ligados com energias estendendo-se até −∞. A condi¸cão de auto-valor para a energia de liga¸cão E0 = −E é dada por

1 = α0 2π Z _∞ 0 dp p 1 (p2_{+ E}₀₎ . (36)

(13)

A integral do lado direito da Eq. (36) diverge logaritmicamente de modo que o problema é mal definido. Não obstante, utilizando-se esquemas padrão de regulariza¸cão e renormaliza¸cão podemos obter uma solu¸cão exata anal´ıtica [43].

1. Solu¸c˜ao Padr˜ao

Inicialmente, regularizamos a integral na Eq. (36) com cutoff ultravioleta em momento Λ, 1 = α0 2π Z _Λ 0 dp p 1 (p2_{+ E}₀₎ = α0 4π ln µ 1 +Λ2 E0 ¶ . (37)

Resolvendo essa equa¸c˜ao para a energia de liga¸c˜ao E0 obtemos

E0= Λ2 (e4π/α0 − 1)−1. (38)

Claramente, se a constante de acoplamento α₀ é fixa, então E₀ → ∞ quando Λ → ∞. Para eliminar a divergência e produzir um estado ligado bem definido, podemos renormalizar a con-stante de acoplamento exigindo que a mesma dependa do cutoff Λ tal que a energia de liga¸cão E₀ permane¸ca fixa no limite Λ → ∞,

α0→ αΛ= 4π ln ³ 1 +Λ_E2 0 ´ . (39)

Assim, a constante de acoplamento renormalizada adimensional α_Λ que caracteriza a intensidade da intera¸cão de contato delta de Dirac é substitu´ıda por um parâmetro com dimensão, a energia de liga¸cão E0, que pode ser escolhida arbitrariamente e fixa a escala de energia da teoria renormalizada. Este é um exemplo simples de transmuta¸cão dimensional (dimensional transmutation) [50]. O hamiltoniano original é invariante de escala, mas o processo de renormaliza¸cão introduz uma escala de energia que caracteriza os observáveis da teoria. Também é interessante notar que a teoria renormalizada é assintoticamente livre, uma vez que αΛ→ 0 no limite Λ → ∞.

Podemos utilizar a intera¸cão renormalizada para calcular outros observáveis. A prescri¸cão usual para os cálculos é obter as solu¸cões com o cutoff finito e então tomar o limite Λ → ∞. Quando é implementado um cálculo exato (i.e., não-perturbativo) os resultados finais devem ser independentes dos esquemas de regulariza¸cão e renormaliza¸cão. Como exemplo, calculamos os phase-shifts a partir da solu¸cão da equa¸cão de LS para a matriz-T com a intera¸cão renormalizada,

T (p, p0; k2) = V (p, p0) + Z

d2q V (p, q)

k2_{− q}2_{+ i ²} T (q, p0; k2) , (40) onde k ´e o momento on-shell no referencial do centro-de-massa.

(14)

O espalhamento em onda-S (l = 0) ´e o ´unico que ocorre, uma vez que a barreira centr´ıfuga suprime completamente o potencial de contato delta de Dirac para as ondas mais altas. Assim, integrando sobre a vari´avel angular obtemos

T_Λ(l=0)(p, p0; k2) = V_Λ(l=0)(p, p0) + Z _Λ 0 dq q V (l=0) Λ (p, q) k2_{− q}2_{+ i ²} T (l=0) Λ (q, p0; k2) , (41) onde V_Λ(l=0)(p, p0_{) = −α}

Λ/2π. A equa¸cão de LS para a matriz-T on-shell (p = p0 = k) é dada por T_Λ(l=0)(k, k; k2) = −αΛ 2π − αΛ 2π T (l=0) Λ (k, k; k2) Z _Λ 0 dq q 1 k2_{− q}2_{+ i ²} . (42) Resolvendo esta equa¸cão obtemos

T_Λ(l=0)(k, k; k2) = −2 · ln µ k2 E0 ¶ + ln µ Λ2+ E0 Λ2_{+ k}2 ¶ − i π ¸−1 . (43)

A matriz-T on-shell exata ´e ent˜ao obtida tomando-se o limite Λ → ∞: T(l=0)(k, k; k2) = −2 £ln¡k2/E0

¢

− i π¤−1 . (44)

Uma forma mais conveniente de calcular os observáveis de espalhamento é utilizar a matriz-K (matriz de reatância). A equa¸cão de LS para a matriz-K é semelhante à equa¸cão para a matriz-T , exceto que são impostas condi¸cões de contorno de onda estacionária para a fun¸cão de Green. Dessa forma, a prescri¸cão i² utilizada na equa¸cão de LS para a matriz-T é substitu´ıda pelo valor principal, tal que a matriz-K é real. A equa¸cão de LS para a matriz-K projetada na onda-S é dada por

K_Λ(l=0)(p, p0; k2) = V_Λ(l=0)(p, p0) + P Z _Λ 0 dq q V (l=0) Λ (p, q) k2_{− q}2 K (l=0) Λ (q, p0; k2) , (45) onde P denota o valor principal. A rela¸c˜ao entre as matrizes K e T on-shell exatas ´e dada por

K−1(k, k; k2) = T−1(k, k; k2) − i π/2 . (46) Utilizando a rela¸c˜ao entre a matriz-T on-shell e os phase-shifts,

k cot δ(k) − i k = −2k π T

−1_{(k, k; k}2_{) ,} ₍₄₇₎

obtemos a seguinte express˜ao para o valor exato dos phase-shifts, cot δ(k) = 1

π ln ¡

k2/E₀¢ . (48)

´

E importante notar que mantendo um cutoff em momento Λ finito, resulta em erros dependentes do cutoff no inverso da matriz-T e, portanto, nos phase-shifts, os quais são proporcionais a potências inversas do cutoff. Para Λ >>√E₀, k, tais erros podem ser obtidos perturbativamente através de uma expansão dupla da diferen¸ca entre o inverso da matriz-T on-shell dependente de Λ e o inverso da matriz-T on-shell exata em potências de √E₀/Λ e k/Λ,

∆T−1 = T_Λ−1(k, k; k2) − T−1(k, k; k2) = −(E0+ k2) 2Λ2 + (E2 0 − k4) 4Λ4 + O · E3 0 Λ6; k6 Λ6 ¸ . (49)

(15)

2. Evolu¸c˜ao com o SRG

O hamiltoniano em espa¸co de momento para o movimento relativo de duas part´ıculas n˜ao-relativ´ısticas em duas dimens˜oes com um potencial de contato atrativo do tipo delta de Dirac pode ser escrito na forma

H(p, p0) = T_rel(p, p0) + V (p, p0) , (50) onde Trel(p, p0) = p2δ(2)(p − p0) é o hamiltoniano livre (energia cinética) e V (p, p0) = −α0/(2π)2. Deve-se notar que os elementos de matriz do potencial delta de Dirac no espa¸co de momento são constantes, mostrando claramente que o hamiltoniano acopla diretamente um número infinito de escalas. Tais acoplamentos são precisamente a fonte de divergências logaritmicas que aparecem na equa¸cão de Schrödinger, conforme mostrado na subse¸cão anterior.

Para renormalizar esse hamiltoniano, aplicamos o SRG na formula¸cão de Wegner. Escolhendo o gerador ηs = [Trel, Hs] e integrando na variável angular, obtemos a equa¸cão de fluxo para os

elementos de matriz do potencial no espa¸co de momento relativos, dV_s(p, p0₎ ds = −(p 2_{− p}02₎2 _V s(p, p0) + Z _∞ 0 dq q (p2+ p02− 2q2)V_s(p, q)V_s(q, p0). (51) Por conveniência, consideramos aqui e no que se segue que o parâmetro de fluxo s está relacionado a um cutoff de similaridade λ com dimensões de momento, tal que s = λ−4_.

Em princ´ıpio, poder´ıamos impor a condi¸c˜ao de contorno em s0 = 0 (λ0→ ∞),

Hs0=0(p, p0) = H(p, p0) = Trel(p, p0) + V (p, p0) . (52)

onde T_rel(p, p0_{) = p}2_{δ(p − p}0_{) e V (p, p}0_{) = −α}

0/2π. No entanto, o hamiltoniano bare (i.e., sem cutoff de similaridade) produz divergências logaritmicas e, portanto, a condi¸cão de contorno deve ser imposta em outro valor s0 6= 0, levando à transmuta¸cão dimensional. Formalmente, deve ser imposta uma prescri¸cão de renormaliza¸cão que permita obter um hamiltoniano bem definido em s = s0, fixando assim a teoria subjacente. Uma prescri¸cão simples consiste em utilizar a constante de acoplamento renormalizada αΛ derivada na subse¸cão (III A 1) para definir o potencial no hamiltoniano bare. Introduzimos um cutoff ultravioleta em momento Λ e tomamos

V (p, p0) → VΛ(p, p0) = − α_Λ 2π = − 2 ln ³ 1 +Λ_E2₀ ´ . (53)

Utilizando esta prescri¸cão, o hamiltoniano bare torna-se bem definido e a condi¸cão de contorno pode ser imposta em s₀ = 0. É importante notar que, dessa forma, a teoria subjacente é fixada em λ0 → ∞ ajustando-se a energia de liga¸cão E0.

(16)

Em trabalhos anteriores [51]-[53] resolvemos a equa¸cão de fluxo Eq. (51) perturbativamente, utilizando a idéia de “coupling-coherence” [54]-[57]. Assumimos uma solu¸cão na forma de uma expansão em potências de α_s,Λ/2π, Vs,Λ(p, p0) = " −αs,Λ 2π + ∞ X n=2 ³ αs,Λ 2π ´_n F_s,Λ(n)(p, p0) # e−s(p2−p02)2 , (54)

onde F_s,Λ(n)(p, p0_{) s˜ao operadores irrelevante que se anulam para p = p}0 _{= 0, e resolvemos a Eq. (51)}

iterativamente, obtendo expressões anal´ıticas ordem-a-ordem para as aproxima¸cões perturbativas do potencial renormalizado. Então, utilizamos essas aproxima¸cões em uma sequência de cálculos de estado ligado e analisamos o escalamento dos erros na energia de liga¸cão com o cutoff de similaridade λ = s−1/4 _{em cada ordem.}

Nas Refs. [51, 52] comparamos os resultados com os obtidos em cálculos de estado ligado basea-dos na abordagem de Lepage para a EFT [67]. Por simplicidade, utilizamos uma potencial efetivo separável que consiste na transformada de Fourier de um potencial delta de Dirac regularizado por uma fun¸cão suave de um cutoff em momento Λ e uma série de intera¸cões efetivas aproximadamente locais que correspondem às derivadas do potencial delta de Dirac,

V_Λeff(p, p0) = · C0(Λ) + C2(Λ) (p 2_{+ p}02₎ 2Λ2 + C4(Λ) (p4+ p04) 4Λ4 + C40(Λ) p2p02 2Λ4 + . . . ¸ × e−p2/2Λ2 e−p02/2Λ2 . (55)

Seguindo o método descrito por Steele e Furnstahl [58, 59], os parâmetros C_i(Λ) foram determinados ordem-a-ordem ajustando-se os valores exatos do inverso da matriz-K para baixos momentos. O método consiste em ajustar a diferen¸ca entre o inverso da matriz-K on-shell obtida a partir do potencial efetivo até uma dada ordem e o inverso da matriz-K on-shell exata por um polinômio interpolante em k2_/Λ2_,

∆K−1 = K_Λ−1(k, k; k2) − K−1(k, k; k2) = A₀+ A₂ k2 Λ2 + A4

k4

Λ4 + · · · (56) e então minimizar os coeficiente Ai com respeito a varia¸cões dos parâmetros Ci(Λ).

Os resultados da análise de erros para os cálculos em EFT mostram que os erros escalam como potências inversas do cutoff em momento Λ, conforme esperado devido ao fato que as intera¸cões efetivas são dadas por operadores irrelevantes. Conforme cada termo é adicionado ao potencial efetivo e o correspondente parâmetro Ci(Λ) é ajustado, observa-se uma redu¸cão sistemática dos

(17)

Para os cálculos na abordagem do SRG, a análise de erros mostra dois regimes diferentes de escalamento. Quando o cutoff de similaridade λ é maior do que o cutoff em momento Λ (introduzido para definir o hamiltoniano bare) o escalamento é semelhante ao obtido para a EFT, i.e. os erros seguem uma lei de potência. Quando o cutoff de similaridade λ torna-se menor do que o cutoff em momento Λ, além dos erros que seguem uma lei de potência há erros proporcionais ao inverso do logaritmo que resultam do truncamento em uma dada ordem em αs,Λ da expansão perturbativa

descrita na Eq. (54) para o potencial renomalizado.

Neste projeto, resolvemos a Eq.(51) numericamente, obtendo uma solu¸cão exata (não-perturbativa) para o potencial evolu´ıdo com o SRG. O espa¸co de momento relativo é discretizado em uma grade com N pontos de integra¸cão gaussianos (em nossos cálculos utilizamos 200 pontos), levando a um sistema de N2 _{equa¸cões diferenciais acopladas não-lineares de primeira ordem que é} resolvido utilizando-se um algoritmo de Runge-Kutta adaptativo de quinta-ordem.

Nas Figs. (1) e (2) são mostrados respectivamente os plots de contorno e de superf´ıcie para a evolu¸cão do potencial de contato delta de Dirac em duas dimensões com o cutoff de similaridade λ = s−1/4_{, iniciando com o potencial inicial (bare) V}

Λ(p, p0) definido utilizando-se a constante de acoplamento renormalizada αΛ da Eq. (39) fixada no cutoff em momento Λ = 50 para fornecer uma energia de liga¸cão E0 = 1 (em unidades arbitrárias). Os elementos de matriz do potencial inicial VΛ=50(p, p0) são constantes e observamos claramente a supressão sistemática dos elementos de matriz fora da diagonal conforme o cutoff de similaridade λ é reduzido, tal que o potencial é for¸cado à forma de banda diagonal.

(18)

FIG. 1: Evolu¸c˜ao com o SRG do potencial delta de Dirac em duas dimens˜oes para Λ = 50 e E0 = 1 em

unidades arbitr´arias (plots de contorno).

FIG. 2: Evolu¸c˜ao com o SRG do potencial delta de Dirac em duas dimens˜oes para Λ = 50 e E0 = 1 em

(19)

Na Fig. 3 são mostrados os resultados para os phase-shifts em fun¸cão da energia no referencial do laboratório ELAB calculados a partir da solu¸cão numérica da equa¸cão de LS para a matrix-K com o potencial delta de Dirac inicial V_Λ=50(p, p0_{) e com os potenciais correspondentes evolu´ıdos}

com o SRG at´e v´arios valores do cutoff de similaridade λ.

0 2 4 6 8 10 60 80 100 120 140 160 180 DELTA 2D ( d e g ) E LAB initial 2 5 10 15 20 30 40 50 60

FIG. 3: Phase-shifts para o potencial delta de Dirac inicial e para os potenciais evolu´ıdos com o SRG at´e v´arios valores de λ.

Na Fig. 4 são mostrados os erros relativos nos phase-shifts para os potenciais evolu´ıdos com o SRG com respeito aos resultados obtidos para o potencial inicial VΛ=50(p, p0), como fun¸cão de E_LAB para vários valores de λ (esquerdo) e como fun¸cão de λ para vários valores de E_LAB (direito). Visando evitar a mistura com erros devidos à utiliza¸cão do cutoff em momento Λ = 50 e com os erros numéricos devidos ao algoritmo utilizado para a solu¸cão da equa¸cão de LS, comparamos os phase-shifts para os potenciais evolu´ıdos com o SRG com os obtidos para o potencial inicial V_Λ=50(p, p0_{), ao invés de comparar com os resultados exatos dados pela Eq. (48).}

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 -12 10 -11 10 -10 10 -9 2 5 10 15 20 30 40 50 60 DELTA 2D / E LAB 0 10 20 30 40 50 60 10 -12 10 -11 10 -10 10 -9 E LAB 10 -4 0.13 0.83 1.83 10 DELTA 2D /

FIG. 4: Erros relativos nos phase-shifts para os potenciais evolu´ıdos com o SRG a partir do potencial delta de Dirac inicial. Painel esquerdo: como fun¸c˜ao de ELAB para v´arios valores de λ; Painel direito: como

(20)

Como se pode observar, os phase-shifts obtidos para os potenciais evolu´ıdos com o SRG são os mesmos que os obtidos para o potencial inicial, exceto por diferen¸cas relativas menores que 10−9 _{devido a erros numéricos residuais (os quais dependem da discretiza¸cão e dos parâmetros de}

precisão e tolerância utilizados na rotina do algoritmo de Runge-Kutta utilizado para evoluir o potencial). Este resultado é esperado, uma vez que a transforma¸cão de similaridade é unitária. Pode-se observar também duas regiões distintas de escalamento nos plots de erro para ELAB fixo (direito). Quando o cutoff de similaridade λ é menor do que o cutoff em momento Λ(= 50) os erros são praticamente constantes. Quando λ torna-se maior do que Λ ocorre uma transi¸cão para um regime de escalamento diferente, no qual os erros diminuem significativamente.

A mudan¸ca no comportamento dos erros é um artefato numérico que pode ser entendido da seguinte forma. Quando λ >> Λ, o potencial evolu´ıdo com o SRG varia lentamente, permanecendo muito próximo do potencial inicial. Apenas alguns passos são necessários para integrar as equa¸cões diferenciais com o algoritmo de Runge-Kutta, resultando em erros muito pequenos nos elementos de matriz do potencial evolu´ıdo com o SRG e, portanto, nos phase-shifts. `A medida que λ se aproxima de Λ, o potencial evolu´ıdo com o SRG passa a variar mais rapidamente. Um número maior de passos é necessário para integrar as equa¸cões diferenciais, resultando em erros numéricos maiores nos phase-shifts. Quando λ << Λ, os erros tendem a um valor assintótico.

B. Renormaliza¸c˜ao das Intera¸c˜oes N N em LO ChEFT nos Esquemas CR e SKM

A intera¸c˜ao N N em LO ChEFT consiste no potencial de troca de um p´ıon (One-Pion Exchange Potential - OPEP) mais uma intera¸c˜ao de contato delta de Dirac, sendo dada por [60]

V (~p, ~p0_{) = −} g2a 4(2π)3_f2 π ~τ1· ~τ2~σ1· (~p 0_{− ~p) ~σ}₂_{· (~}_p0_{− ~p)} (~p0_{− ~p)}2_{+ m}2 π + 1 2π2 · C₀s µ 1 − ~τ1· ~τ2 4 ¶ + C₀t µ 3 + ~τ1· ~τ2 4 ¶¸ , (57) onde ~τ_ie ~σ_i (i = 1, 2) são os operadores de Pauli usuais para isospin e spin, g_a = 1.25 é a constante de acoplamento axial, fπ = 93 MeV é a constante de decaimento fraco do p´ıon e mπ = 138 MeV

´e a massa do p´ıon. Os coeficientes Cs

0 e C0t correspondem `as intensidade das intera¸c˜oes de contato respectivamente para os canais singleto1_S

0 e tripleto acoplado3S1−3D1.

Consideremos uma base de ondas parciais no espa¸co de momento relativo com normaliza¸c˜ao dada por 1 = 2 π Z _∞ 0 dq q2 | q(LS)J; I i h q(LS)J; I |, (58) onde os sobrescritos J, L, S e I denotam respectivamente os n´umeros quˆanticos de momento angular total, momento angular orbital, spin e isospin do estado N N .

(21)

Utilizando essa base, os elementos de matriz do potencial em LO ChEFT projetados nos canais 1_S

0 (J = 0; L = 0; S = 0; I = 1) e3S1−3D1 (J = 1; L = 0, 2; S = 1; I = 0) s˜ao dados por

V_s00(p, p0) = V_1π,s00 (p, p0) + C₀s , (59)

V_tl0l(p, p0) = V_1π,tl0l (p, p0) + C₀t δl0₀δ_l0 . (60)

onde l, l0_{= 0, 2 e V}00

1π,s(p, p0), Vl

0_l

1π,t(p, p0) denotam respectivamente os elementos de matriz do OPEP nos canais1_S 0 e 3S1−3D1, dados por V_1π,s00 (p, p0) = g 2 a 32πf2 π µ 2 − Z ₁ −1 dx m 2 π p2_{+ p}02_{− 2pp}0_{x + m}2 π ¶ , (61) V_1π,t00 (p, p0) = g2a 32πf2 π µ 2 − Z ₁ −1 dx m2π p2_{+ p}02_{− 2pp}0_{x + m}2 π ¶ , (62) V_1π,t20 (p, p0) = g 2 a √ 2 16πf2 π Z ₁ −1 dxp 02_{− 2pp}0_{x + p}2₍3 2x2−12) p2_{+ p}02_{− 2pp}0_{x + m}2 π , (63) V_1π,t22 (p, p0) = ga2 32πf2 π Z ₁ −1 dx2pp 0_{x − (p}2_{+ p}02₎₍3 2x2−12) p2_{+ p}02_{− 2pp}0_{x + m}2 π , (64) V_1π,t02 (p, p0) = V_1π,t20 (p0, p). (65) No limite p, p0 _{→ ∞, obtemos} lim p ou p0_→∞V 00 1π,s(p, p0) = g2 a 16πf2 π (66) lim p ou p0_→∞V 00 1π,t(p, p0) = g2 a 16πf2 π , lim p ou p0_→∞V 22 1π,t(p, p0) = 0, (67) lim p ou p0_→∞V 20 1π,t(p, p0) = g2 a √ 2 8πf2 π , lim p ou p→∞V 20 1π,t(p, p0) = 0 ; (68) Os observáveis de espalhamento para cada canal de onda parcial da intera¸cão N N podem ser calculados iterando-se os potenciais através das equa¸cões de LS correspondentes,

T_s00(p, p0; k2) = V_s00(p, p0) + 2 π Z _∞ 0 dq q2 Vs00(p, q) k2_{− q}2_{+ i²} Ts00(q, p0; k2) (69) Tl1l2 t (p, p0; k2) = Vtl1l2(p, p0) + 2 π X l3 Z _∞ 0 dq q2 V l1l3 t (p, q) k2_{− q}2_{+ i²} T l3l2 t (q, p0; k2) , (70) onde li = 0, 2 (i = 1, 2, 3).

(22)

Os phase-shifts podem ser obtidos a partir da matriz-T on-shell (p = p0 _{= k) utilizando-se a}

rela¸c˜ao S(k2_{) = 1 − 2ik T (k, k; k}2_{). Para os canais desacoplados,}

S(k2) = exp(2 i δ_Js,t), (71)

e para os canais acoplados (na parametriza¸c˜ao de Stapp [61]),

S(k2) =      cos (2²t_{) exp(2 i δ}t J−1) i sin (2²t) exp(i δJ−1t + i δtJ+1) i sin (2²t_{) exp(i δ}t J+1+ i δtJ−1) cos (2²t) exp(2 i δJ+1t )      , (72)

onde ²t_{´e denominado parˆametro de mistura.}

Neste trabalho, obtemos os observáveis de espalhamento utilizando a matriz-K ao invés da matriz-T . A rela¸cão entre as matrizes T e K on-shell é dada por:

K−1(k, k; k2) = T−1(k, k; k2) − i k . (73)

Claramente, quando iterados na equa¸cão de LS os potenciais em LO ChEFT projetados nos canais1S0 e3S1−3D1 geram divergências ultravioleta, sendo necessário utilizar um procedimento não-perturbativo de regulariza¸cão e renormaliza¸cão para obter solu¸cões finitas e bem definidas. O esquema padrão para renormalizar a equa¸cão de LS, inspirado no grupo de renormaliza¸cão de Wilson [62–64], consiste em introduzir um cutoff Λ para regularizar as integrais em momento na equa¸cão de LS (Cutoff Renormalization - CR) e fixar as constantes de acoplamento das intera¸cões de contato, as chamadas constantes de baixa energia (Low-Energy Constants - LEC’s), através do ajuste de um conjunto de dados para observáveis de espalhamento em baixas energias [60, 65–67]. Uma vez fixadas as LEC’s para um dado cutoff Λ, a equa¸cão de LS para a matriz-T pode ser resolvida para calcular outros observáveis em baixas energias.

O potencial N N é considerado corretamente renormalizado quando os observáveis em baixas energias obtidos são independentes do cutoff Λ ou apresentam apenas uma dependência residual com rela¸cão a Λ que pode ser removida através da inclusão de termos de contato de ordem mais alta. Na linguagem do grupo de renormaliza¸cão de Wilson, isso significa que as LEC’s devem depender do cutoff Λ de modo que as amplitudes de espalhamento obtidas sejam (aproximadamente) invariantes com respeito ao mesmo (renormalization group invariance).

(23)

No esquema SKM, ao invés de utilizar um cutoff em momento, a equa¸cão de LS é regularizada realizando-se subtra¸cões no kernel em uma dada escala de energia. As equa¸cões de LS subtra´ıdas para as matrizes-K projetadas nos canais1_S

0 e 3S1−3D1 s˜ao dadas respectivamente por: K_s00(p, p0; k2) = V_s(1),00(p, p0; −µ2) + 2 π P Z _Λ 0 dq q2 µ µ2_{+ k}2 µ2_{+ q}2 ¶ Vs(1),00(p, q; −µ2) k2_{− q}2 Ks00(q, p0; k2) , (74) Kl1l2 t (p, p0; k2) = Vt(1),l1l2(p, p0; −µ2) + 2 π X l3 P Z _Λ 0 dq q2 µ µ2_{+ k}2 µ2_{+ q}2 ¶ V(1),l1l3_{(p, q; −µ}2₎ k2_{− q}2 Ktl3l2(q, p0; k2) . (75)

Para a solu¸cão numérica dessas equa¸cões, discretizamos o espa¸co de momento relativo em um grid com N pontos de integra¸cão gaussianos, de modo que a equa¸cão integral é convertida em um sistema de equa¸cões lineares. Esse sistema de equa¸cões é então resolvido utilizando-se um algoritmo que implementa o método de inversão de matrizes. É importante notar que introduzimos um cutoff ultravioleta em momento Λ, conveniente para os cálculos numéricos quando consideramos a evolu¸cão com o SRG do potencial renormalizado no esquema SKM. Tal cutoff permite trabalhar com um grid finito de pontos de integra¸cão, necessário para uma solu¸cão numérica eficiente da equa¸cão de fluxo de Wegner utilizando o algoritmo de Runge-Kutta. Conforme observado anteriormente, o cutoff Λ deve ser entendido nesse contexto como um regulador instrumental para as integra¸cões numéricas, cujos efeitos nas quantidades calculadas devem se anular no limite Λ → ∞.

Os driving terms Vs(1),00(p, p0; −µ2) e V_t(1),l1l2(p, p0; −µ2) na escala de subtra¸c˜ao −µ2 para os

canais1_S

0 e 3S1−3D1 s˜ao definidos atrav´es do ansatz

V_s(1),00(p, p0; −µ2) ≡ K_s00(p, p0; −µ2) = V_1π,s00 (p, p0) + C₀s(−µ2) , (76)

V(1),l1l2

t (p, p0; −µ2) ≡ Ktl1l2(p, p0; −µ2) = V1π,tl1l2(p, p0) + C0t(−µ2) δl2,0δl1,0 . (77)

As intensidades das intera¸c˜oes de contato renormalizadas Cs

0(−µ2) e C0t(−µ2) s˜ao fixadas na escala de subtra¸c˜ao −µ2 _{ajustando-se respectivamente os comprimentos de espalhamento a}

s e

at para os canais 1S0 e 3S1. Resolvemos as Eqs. (74) e (75) numericamente e calculamos os comprimentos de espalhamento a partir das matrizes-K on-shell em E = k2 _{= 0 atrav´es das} rela¸c˜oes as = Ks00(0, 0; k2 = 0) e at = Kt00(0, 0; k2 = 0), ajustando os valores de C0s(−µ2) e Ct

0(−µ2) de modo a reproduzir os valores experimentais as = −23.7 fm e at = 5.43 fm com uma

(24)

Na Fig. (5) ´e mostrado o ajuste da intensidade da intera¸c˜ao de contato renormalizada Cs

0 para o canal1_S

0 em fun¸cão da escala µ para vários valores do cutoff Λ (esquerdo) e em fun¸cão do cutoff Λ para vários valores da escala µ (direito).

10 1 10 2 10 3 10 4 -0,56 -0,54 -0,52 -0,50 -0,48 -0,46 -0,44 -0,42 -0,40 C s 0 ( f m ) (f m -1 ) (fm -1 ) 10 25 50 100 200 infinity 10 1 10 2 10 3 10 4 -0,56 -0,54 -0,52 -0,50 -0,48 -0,46 -0,44 -0,42 -0,40 C s 0 ( f m ) (f m -1 ) (fm -1 ) 10 25 50 100 200 infinity

FIG. 5: Intensidade da intera¸c˜ao de contato renormalizada Cs

0 para o canal1S0. Painel esquerdo: em fun¸c˜ao

de µ para vários valores de Λ; Painel direito: em fun¸cão de Λ para vários valores de µ.

Para cada valor de Λ, a varia¸c˜ao de Cs

0 com µ se anula assintoticamente no limite µ → ∞ e, portanto, o esquema SKM leva aos mesmos resultados que seriam obtidos no esquema CR. Analogamente, para cada valor da escala µ a varia¸c˜ao de Cs

0 com Λ se anula assintoticamente no limite Λ → ∞, ou seja C₀s absorve as divergˆencias e fornece o valor correto do comprimento de espalhamento as. Esse resultado mostra claramente que o papel do cutoff Λ ´e puramente

instrumental, uma vez que no limite Λ → ∞ todas as divergências ultravioleta na equa¸cão de LS são regularizadas unicamente pelo procedimento de subtra¸cão, fornecendo uma matriz-K finita.

Na Fig. (6) s˜ao mostrados o driving terms Vs(1),00(p, 0; −µ2) para o canal1S0 calculados para v´arios valores da escala µ com um cutoff fixo Λ = 25 fm−1.

0 5 10 15 20 25 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 = 25 fm -1 V ( 1 ) ( 0 ,p ; -2 ) ( fm ) p (fm -1 ) (f m -1 ) 10 25 50 100 200 inf inity

(25)

Na Fig. (7) ´e mostrado o ajuste da intensidade da intera¸c˜ao de contato renormalizada Ct

0 para o canal3_S

1 em fun¸c˜ao da escala µ com um cutoff fixo Λ = 25 fm−1.

0 2 4 6 8 10 12 -15 -10 -5 0 5 10 15 C t 0 ( f m ) (f m -1 ) = 25 fm -1

FIG. 7: Intensidade da intera¸c˜ao de contato renormalizada Ct

0 para o canal3S1 em fun¸c˜ao de µ.

Conforme se pode observar, enquanto Cs

0 cresce monotonicamente com µ, a evolu¸cão de C0texibe um comportamento de ciclo-limite, divergindo para valores espec´ıficos de µ. Esse comportamento é semelhante ao descrito na Ref. [68] para a renormaliza¸cão no esquema CR e ocorre devido ao aparecimento de estados ligados espúrios no canal 3S1−3D1.

Na Fig. (8) s˜ao mostrados os driving terms V(1),l1l2

t (p, p0; −µ2) para o canal3S1−3D1 calculados para v´arios valores da escala µ com um cutoff fixo Λ = 25 fm−1.

0 5 10 15 20 25 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 = 25 fm -1 V ( 1 ) , 0 0 ( 0 ,p ; -2 ) ( f m ) p (fm -1 ) (f m -1 ) 1 5 10 25 50 3 S 1 - 3 S 1 0 5 10 15 20 25 10 -10 10 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 = 25 fm -1 V ( 1 ) , 0 2 ( 0 ,p ; -2 ) ( f m ) p (fm -1 ) (f m -1 ) 1 5 10 25 50 3 S 1 - 3 D 1 0 5 10 15 20 25 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 = 25 fm -1 V ( 1 ) , 2 0 ( 0 ,p ; -2 ) ( f m ) p (fm -1 ) (f m -1 ) 1 5 10 25 50 3 D 1 - 3 S 1 0 5 10 15 20 25 10 -12 10 -11 10 -10 10 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 = 25 fm -1 V ( 1 ) , 2 2 ( 0 ,p ; -2 ) ( f m ) p (fm -1 ) (f m -1 ) 1 5 10 25 50 3 D 1 - 3 D 1

FIG. 8: Driving terms V(1),l1l2

(26)

Uma vez fixados os driving terms Vs(1),00(p, 0; −µ2) e Vt(1),l1l2(p, p0; −µ2) na escala de subtra¸c˜ao

−µ2_{, calculamos os phase-shifts a partir da solu¸cão numérica da equa¸cão de LS subtra´ıda para} as matrizes-K nos canais de onda parcial correspondentes, Eqs. (74) e (75). Na Fig. (9) são mostrados os phase-shifts no canal 1_S

0 em fun¸cão da energia no laboratório ELAB, obtidos para vários valores da escala µ com um cutoff fixo Λ = 25 fm−1.

0 20 40 60 80 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 SKM-LO ChEFT 1 S 0 (fm -1 ) 10 25 50 100 200 infinity Nijmegen = 25 fm -1 ( d e g ) E LAB (MeV)

FIG. 9: Phase-shifts no canal1_S

0em fun¸c˜ao da energia no laborat´orio ELABpara o potencial em LO ChEFT

obtido a partir da equa¸c˜ao de LS subtra´ıda para a matriz-K.

Conforme se pode observar, os resultados obtidos para os phase-shifts a partir da equa¸c˜ao de LS subtra´ıda desviam-se fortemente dos resultados obtidos a partir do potencial de Nijmegen [69], analogamente ao que ocorre para a intera¸c˜ao em LO ChEFT no canal 1_S

0 renormalizada utilizando-se outros esquemas.

Na Fig. (10) s˜ao mostradas as diferen¸cas relativas entre os phase-shifts no canal1_S

0, calculados na escala µ e em µ → ∞ com um cutoff fixo Λ = 25 fm−1, como fun¸cão de ELAB para vários valores de µ (esquerdo) e como fun¸cão de µ para vários valores de E_LAB (direito).

10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 -10 10 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 = 25 fm -1 (fm -1 ) 10 25 50 100 200 E LAB (MeV) 10 25 50 75 100 150 250 10 -10 10 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 = 25 fm -1 E LAB (MeV) 10 -3 0.16 1.34 13 100 (fm -1 )

FIG. 10: Diferen¸cas relativas entre os phase-shifts na escala µ e em µ → ∞. Painel esquerdo: como fun¸cão de ELABpara vários valores de µ; Painel direito: como fun¸cão de µ para vários valores de ELAB.

(27)

No intervalo de escalas µ considerado nos cálculos, as diferen¸cas relativas escalam aproximada-mente como ELAB(∝ k2) para µ fixo e como 1/µ2 para ELABfixo. No limite µ → ∞, os phase-shifts devem se tornar independentes da escala µ, concordando com os resultados obtidos utilizando-se o esquema CR. É importante lembrar que no contexto do SKM o cutoff Λ é apenas um regulador instrumental, cujos efeitos nos phase-shifts podem ser eliminados utilizando-se métodos padrão para tomar o limite Λ → ∞, tal como a extrapola¸cão de Richardson [70].

Na Fig. (11) s˜ao mostrados os phase-shifts nos canais 3_S

1 e 3D1 e o parâmetro de mistura ²1 em fun¸cão de ELAB, obtidos para vários valores de µ com um cutoff fixo Λ = 25 fm−1.

0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 = 25 fm -1 SKM-LO ChEFT 3 S 1 (fm -1 ) 1 5 10 25 50 Nijmegen ( d e g ) E LAB (MeV) 0 20 40 60 80 100 -15 -10 -5 0 = 25 fm -1 SKM-LO ChEFT 3 D 1 (fm -1 ) 1 5 10 25 50 Nijmegen ( d e g ) E LAB (MeV) 0 20 40 60 80 100 -2 -1 0 1 2 3 4 = 25 fm -1 SKM-LO ChEFT 1 (fm -1 ) 1 5 10 25 50 Nijmegen E LAB (MeV)

FIG. 11: Phase-shifts nos canais3_S

1e3D1 e parâmetros de mistura ²1em fun¸cão da energia no laboratório ELABpara o potencial em LO ChEFT obtido a partir da equa¸cão de LS subtra´ıda para a matriz-K.

Os phase-shifts no canal3_S

1 apresentam forte dependência com respeito a µ, exceto para ener-gias muito baixas (ELAB < 5 MeV). À medida que µ aumenta, os phase-shifts tornam-se menos sens´ıveis à varia¸cão de µ, aproximando-se razoavelmente dos resultados obtidos com o potencial de Nijmegen no intervalo de energias considerado. Para o canal3_D

1, os phase-shifts são praticamente independentes de µ, apresentando concordância muito boa com os resultados obtidos com o poten-cial de Nijmegen. O comportamento do parâmetro de mistura ²1 é semelhante ao dos phase-shifts no canal3_S

1, apresentando dependência mais acentuada com respeito a µ e concordância razoável com os resultados obtidos com o potencial de Nijmegen apenas para energias ELAB < 10 MeV.

(28)

Passamos agora ao c´alculo dos potenciais renormalizados para os canais1_S

0 e3S1−3D1. Uma vez que as intensidades das intera¸c˜oes de contato renormalizadas Cs

0 e C0t s˜ao fixadas na escala µ, podemos obter os potenciais renormalizados V_R,s(1),00(p, p0_{) e V}(1),l1l2

R,t (p, p0) respectivamente a partir

dos driving terms Vs(1),00(p, p0; −µ2) e Vt(1),l1l2(p, p0; −µ2) resolvendo equa¸c˜oes integrais derivadas

da Eq. (19) substituindo-se a matriz-T pela matriz-K, V_R,s(1),00(p, p0) = V_s(1),00(p, p0; −µ2) − 2 πP Z _Λ 0 dq q2 V (1),00 s (p, q; −µ2) −µ2_{− q}2 V (1),00 R,s (q, p0) , (78) V(1),l1l2 R,t (p, p0) = V (1),l1l2 t (p, p0; −µ2) − 2 π X l3 P Z _Λ 0 dq q2 V (1),l1l3 t (p, q; −µ2) −µ2_{− q}2 V (1),l3l2 R,t (q, p0) . (79)

A princ´ıpio, os potenciais renormalizados obtidos a partir da solu¸cão das Eqs. (78) e (79) devem ser independentes da escala de subtra¸cão −µ2_{, uma vez que por constru¸cão correspondem a} operadores de ponto fixo do grupo de renormaliza¸cão. No entanto, uma dependência residual com respeito à escala µ é gerada pelo procedimento de ajuste utilizado para fixar as intensidades das intera¸cões de contato C₀s e C₀t. Conforme observado na subse¸cão (II B 1), para obter um potencial renormalizado rigorosamente invariante com respeito à varia¸cão da escala de subtra¸cão −µ2 _os driving terms devem ser evolu´ıdos através da equa¸cão NRCS a partir de uma escala de referência ¯

µ onde as intensidades renormalizadas Cs

0 e C0t s˜ao fixadas.

Na Fig. (12) s˜ao mostrados os potenciais renormalizados V_R,s(1),00(p, 0) para o canal 1S0, calcu-lados a partir dos driving terms Vs(1),00(p, p0; −µ2) para v´arios valores da escala µ com um cutoff

fixo Λ = 25 fm−1_. 0 5 10 15 20 25 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 (f m -1 ) 10 25 50 100 200 inf inity = 25 fm -1 V R ( 0 ,p ; -2 ) ( fm ) p (fm -1 )

FIG. 12: Potenciais renormalizados V_R,s(1),00(p, 0)) para o canal1_S 0.

Como esperado, o potencial renormalizado V_R,s(1),00(p, p0_{) permanece aproximadamente invariante}

com respeito `a varia¸c˜ao da escala µ. No limite µ → ∞, o driving term concorda com o potencial renormalizado, ambos tornando-se independentes de µ.

(29)

Na Fig. (13) s˜ao mostrados os potenciais renormalizados V(1),l1l2

R,t (p, 0) para o canal3S1−3D1,

calculados a partir dos driving terms V(1),l1l2

t (p, p0; −µ2) para v´arios valores da escala µ com um

cutoff fixo Λ = 25 fm−1. 0 5 10 15 20 25 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 = 25 fm -1 V R ( 1 ) , 0 0 ( 0 , p ) ( fm ) p (fm -1 ) (f m -1 ) 1 5 10 25 50 3 S 1 - 3 S 1 0 5 10 15 20 25 -1 0 1 2 3 4 = 25 fm -1 V R ( 1 ) , 0 2 ( 0 , p ) ( 1 0 6 f m ) p (fm -1 ) (f m -1 ) 1 5 10 25 50 3 S 1 - 3 D 1 0 5 10 15 20 25 -6 -4 -2 0 2 4 6 = 25 fm -1 V R ( 1 ) , 2 0 ( 0 , p ) ( f m ) p (fm -1 ) (f m -1 ) 1 5 10 25 50 3 D 1 - 3 S 1 0 5 10 15 20 25 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 = 25 fm -1 V R ( 1 ) , 2 2 ( 0 ,p ) ( 1 0 6 f m ) p (fm -1 ) (f m -1 ) 1 5 10 25 50 3 D 1 - 3 D 1

FIG. 13: Potenciais renormalizados V(1),l1l2

R,t (p, p0) para o canal 3S1−3D1.

Como se pode observar, enquanto o potencial renormalizado V_R,s(1),00para o canal1_S

0é razoavel-mente insens´ıvel à varia¸cão de µ, os potenciais renormalizados V(1),l1l2

R,t para o canal 3S1 −3 D1

apresentam forte dependência residual com respeito à escala µ. Esse resultado é consequência do comportamento de ciclo-limite exibido pela intensidade da intera¸cão de contato renormalizada Ct

0. Enfatizamos novamente que evoluindo os driving terms de uma escala de referência ¯µ para a escala µ através da equa¸cão NRCS, ao invés de utilizar o procedimento de ajuste para fixar as intensidades das intera¸cões de contato renormalizadas, a dependência residual dos potenciais renormalizados e dos observáveis de espalhamento com respeito à escala µ devem se anular. Nesse caso, espera-se uma dependência não-trivial dos driving terms com respeito à escala µ de modo a garantir a invariância da matriz-K subtra´ıda.

(30)

C. Evolu¸c˜ao com o SRG das Intera¸c˜oes N N

Consideremos o hamiltoniano no centro-de-massa para um sistema de dois núcleons, o qual pode ser escrito na forma H = Trel+ V , onde Trel corresponde à energia cinética no centro-de-massa e V corresponde ao potencial N N . Aqui e no que se segue, utilizamos unidades tais que ~ = c = M = 1, onde M é a massa do n´ucleon.

Utilizando o gerador ηs = [Trel, Hs], a equa¸c˜ao de fluxo de Wegner para a evolu¸c˜ao do potencial

N N com o SRG ´e dada por dV_s(p, p0₎ ds = −(p 2_{− p}02₎2_V s(p, p0) + 2 π Z _∞ 0 dq q2 (p2+ p02− 2q2) V_s(p, q) V_s(q, p0), (80)

onde V_s(p, p0_{) denota abreviadamente os elementos de matriz do potencial N N projetados em uma}

base de ondas parciais no espa¸co de momento relativo com normaliza¸c˜ao dada pela Eq. (58): V_s(JLL0S;I)(p, p0) = h p(LS)J; I|Vs| p0(L0S)J; I i , (81)

Para canais n˜ao-acoplados (L = L0 = J), os elementos de matriz do potencial s˜ao dados por Vs(p, p0) ≡ Vs(JJJS;I)(p, p0). (82)

Para canais acoplados (L, L0 = J ± 1), os Vs(p, p0) representam matrizes 2 × 2 de elementos de

matriz para as diferentes combina¸c˜oes de L e L0_:

Vs(p, p0) ≡      Vs(JLLS;I)(p, p0) V(JLL 0_S;I) s (p, p0) Vs(JL0LS;I)(p, p0) V(JL 0_L0_S;I) s (p, p0)      . (83)

Como consequˆencia da escolha do gerador ηs= [Trel, Hs] para a transforma¸c˜ao do SRG, cada canal