Tamanhos de Tarefas Distintos

S˜ao apresentados nesta subse¸c˜ao os trabalhos envolvendo tamanhos distintos de

tarefas. Uzsoy (1994) provou que o problema com tamanhos n˜ao-idˆenticos, com o objetivo

de minimizar o tempo de t´ermino total ou o makespan, s˜ao tidos como

_{N P-dif´ıcil, o que}

foi feito atrav´es de um paralelo entre o caso particular de tamanhos unit´arios das tare-

fas e o problema de bin-packing. Nesse mesmo trabalho, foram desenvolvidas heur´ısticas

baseadas na regra First Fit para ambos os casos, como tamb´em um algoritmo B&B para

o problema de minimiza¸c˜ao do tempo de t´ermino total. Ghazvini e Dupont (1998) pro-

puseram heur´ısticas para o problema com o objetivo de minimizar o tempo m´edio de fluxo

das tarefas. As heur´ısticas desenvolvidas foram baseadas no algoritmo best-fit proposto

para o problema de bin-packing. Azizoglu e Webster (2000) desenvolveram um algoritmo

B&B utilizando uma estrat´egia de busca em profundidade, com o objetivo de minimizar

o total dos tempos de t´ermino ponderados.

Zhang et al (2001b) abordaram o problema com o objetivo de minimizar o makespan,

com tamanhos das tarefas maiores que zero e menores ou iguais `a um. Os autores consi-

deraram tarefas “grandes”, aquelas com tamanho superior a 1/2, e tarefas “pequenas” as

demais. Dessa forma, foi desenvolvido um algoritmo de aproxima¸c˜ao com uma raz˜ao de

pior caso igual `a 3/2 para quando todas as tarefas “grandes” possuem tempos de processa-

mento maiores que os das tarefas “pequenas”. Este m´etodo foi posteriormente modificado

para o caso geral com uma raz˜ao de pior caso igual `a 7/4. Al´em disso, propuseram uma

heur´ıstica para o caso geral com uma raz˜ao de pior caso igual `a 2. Por fim, analisaram as

heur´ısticas propostas por Uzsoy (1994) quanto ao seu funcionamento.

Um algoritmo B&B combinado `a utiliza¸c˜ao de regras de dominˆancia para um es-

quema de enumera¸c˜ao geral, com o objetivo de minimizar o makespan, foi apresentado por

Dupont e Dhaenens-Flipo (2002). Para problemas de grandes dimens˜oes, o esquema de

enumera¸c˜ao foi usado como um m´etodo heur´ıstico. Para esse mesmo problema, Melouk

et al (2004) descreveram um algoritmo utilizando a meta-heur´ıstica Simulated Annealing

(SA) e uma formula¸c˜ao matem´atica. Chang e Wang (2004) apresentaram algumas pro-

priedades do problema de minimiza¸c˜ao do somat´orio dos tempos de t´ermino incluindo datas

de libera¸c˜ao das tarefas. Al´em disso, os autores desenvolveram um algoritmo heur´ıstico,

o qual possui parˆametros baseados tanto nas datas de libera¸c˜ao, quanto nas de entrega,

para determinar o sequenciamento das tarefas.

Li et al (2005) propuseram um algoritmo de aproxima¸c˜ao, baseado na regra FBLPT,

para o problema com o objetivo de minimizar o makespan. Para esse mesmo problema,

Chou et al (2005) propuseram um algoritmo que aparentemente melhora a solu¸c˜ao obtida

pela heur´ıstica LPT-BFF, a qual utiliza as regras de expedi¸c˜ao pelo maior tempo de

processamento (Longest Processing Time – LPT) e do primeiro encaixe no lote (Batch

First-Fit – BFF), por meio de procedimentos merge-split, al´em de duas vers˜oes de um AG

h´ıbrido. Os procedimentos merge-split consistem na mudan¸ca de uma tarefa de um lote

para outro lote sucessor, ou a troca de duas tarefas de lotes distintos, sob condi¸c˜oes que

indiquem a melhoria da solu¸c˜ao. Cada vers˜ao do AG h´ıbrido gera sequˆencias diversificadas

de tarefas utilizando operadores de um AG em um primeiro momento, em seguida forma

lotes, e por fim sequencia os lotes. A diferen¸ca entre as duas vers˜oes est´a na utiliza¸c˜ao do

procedimento merge-split na segunda.

Segundo Gupta e Sivakumar (2006), a regra de lote de tamanho m´ınimo, ou Min-

imum Batch Sized (MBS), ´e uma regra de forma¸c˜ao de lotes eficaz, mas lida apenas com

a espera de tarefas que est˜ao na fila. Os autores utilizaram uma abordagem diferente

para o problema, que tem como objetivo minimizar o atraso m´edio, o m´aximo atraso e

o n´umero de tarefas em atraso. A justificativa utilizada foi que um lote maior contribui

para finalizar mais tarefas por unidade de tempo, o que beneficia as tarefas sequenciadas

a diante; por outro lado, as tarefas do lote em processamento podem ser atrasadas. Para

otimizar esse conflito, os autores propuseram um algoritmo que utiliza as informa¸c˜oes de

datas de libera¸c˜ao e de entrega no sequenciamento dos lotes.

Dois AG com diferentes esquemas de codifica¸c˜ao foram propostos por Kashan et al

(2006), tendo como objetivo minimizar o makespan. Um deles, inicialmente, utiliza ope-

radores AG para gerar sequˆencias aleat´orias de tarefas e, em seguida, forma lotes com o

uso de uma heur´ıstica BFF; o outro, forma aleatoriamente lotes vi´aveis usando operadores

AG, e ent˜ao uma abordagem de busca local gulosa ´e usada para melhorar seu desempenho.

Damodaran et al (2006) propuseram tamb´em um AG para o mesmo problema, e compara-

ram os resultados com os obtidos por um algoritmo SA e por um modelo matem´atico.

No problema estudado por Erramilli e Mason (2006), al´em do sequenciamento de

lotes, ´e necess´ario anteriormente agrupar pedidos de diferentes clientes em tarefas. Os au-

tores desenvolveram para esse problema um modelo de Programa¸c˜ao Inteira Mista (PIM),

tendo como objetivo a minimiza¸c˜ao do total de atrasos ponderados dos pedidos, al´em de

um algoritmo SA. Wang et al (2007) trataram do problema cl´assico de sequenciamento

de lotes com o objetivo de minimizar o makespan, considerando datas de libera¸c˜ao. Este

trabalho apresentou tamb´em um modelo de PIM para descrever a complexidade do pro-

blema, e um algoritmo h´ıbrido nomeado Hybrid Forward/Backward Algorithm, baseado

na regra FBLPT e que utiliza a movimenta¸c˜ao de tarefas entre lotes de uma determinada

solu¸c˜ao, buscando reduzir o makespan.

Damodaran et al (2007) desenvolveram um algoritmo baseado na meta-heur´ıstica

SA, tendo como objetivo a minimiza¸c˜ao do makespan, al´em de ter sido exposto um modelo

matem´atico para o problema. Os autores consideraram que a capacidade da m´aquina ´e

limitada tanto pelo n´umero total de tarefas processadas simultaneamente, quanto pela

soma dos tamanhos dessas tarefas. Para o mesmo objetivo considerado no trabalho an-

terior, Parsa et al (2010) utilizaram a decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe para formular este

como um problema de particionamento de conjuntos. Com base nisso, foi apresentado

um m´etodo de Gera¸c˜ao de Colunas (GC) para fornecer um limite inferior apertado, uti-

lizando solu¸c˜oes iniciais geradas por um algoritmo heur´ıstico. Por fim, foi apresentado um

algoritmo Branch and Price (B&P) que combina t´ecnicas de GC com o m´etodo B&B.

Kashan et al (2010) consideraram dois objetivos simultaneamente, a minimiza¸c˜ao

do makespan e do atraso m´aximo. Foram propostos dois AG multi-objetivos: o primeiro

inicialmente sequencia as tarefas utilizando operadores gen´eticos e ent˜ao particiona a se-

quˆencia em lotes; j´a o segundo forma lotes de tarefas usando operadores gen´eticos e garante

a viabilidade da solu¸c˜ao por meio de heur´ısticas. Neste ´ultimo, ´e poss´ıvel priorizar um

dos objetivos por meio dos procedimentos heur´ısticos, bem como utilizar uma heur´ıstica

baseada em busca local, permitindo encontrar solu¸c˜oes Pareto-´otimas ou localmente efi-

cientes.

Chen et al (2011) demonstraram que o problema de minimiza¸c˜ao do makespan em

uma m´aquina de sequenciamento em lotes pode ser tratado como um caso especial do

problema de clusteriza¸c˜ao. Foi tamb´em apresentada a defini¸c˜ao de Waste Ratio of Batch

(WRB), a qual se refere `a raz˜ao entre o desperd´ıcio de tempo de processamento em um

lote com tarefas de tempos de processamento diferentes, e o desperd´ıcio de tamanhos

das tarefas causado pelo n˜ao uso da capacidade total da m´aquina. A fun¸c˜ao objetivo de

minimiza¸c˜ao do makespan foi transformada em minimiza¸c˜ao do WRB ponderado, sendo,

dessa forma, definida uma medida de distˆancia entre os lotes. Um algoritmo de clusteri-

za¸c˜ao Constrained Agglomerative Clustering of Batche foi, ent˜ao, proposto a partir dessa

defini¸c˜ao.

Xu et al (2012) apresentaram um modelo de PIM e propuseram um limite inferior

v´alido para o problema de minimiza¸c˜ao do makespan, considerando datas de libera¸c˜ao.

Definiram tamb´em o conceito de Waste and Idle Space (WIS), provando que o problema ´e

equivalente `a minimiza¸c˜ao do WIP para o sequenciamento. Baseado neste conceito, os au-

tores desenvolveram um algoritmo ACO que utilizou uma estrat´egia de lista de candidatos

e um novo m´etodo para a constru¸c˜ao de informa¸c˜oes heur´ısticas. Al´em disso, propuseram

uma heur´ıstica baseada no WIS para o problema.

Um modelo matem´atico foi proposto por Li et al (2015) para o problema de mi-

nimiza¸c˜ao do atraso e da antecipa¸c˜ao para quando todas as tarefas possuem a mesma

data de entrega. Al´em disso, os autores forneceram propriedades de solu¸c˜oes ´otimas e

introduziram o conceito de Attribute Ratio of Batch (ARB). O ARB ´e a raz˜ao entre o

tempo de processamento e a quantidade de tarefas do lote. Essa informa¸c˜ao, em conjunto

com as demais propriedades apresentadas, foram utilizadas em um algoritmo heur´ıstico

denominado Minimum Attribute Ratio of Batch (MARB) para a gera¸c˜ao de lotes. Por

´

ultimo, foi proposto um algoritmo AG h´ıbrido, que combina a meta-heur´ıstica AG com o

MARB.

Dentre os principais trabalhos encontrados na literatura, poucos possuem como

objetivo a minimiza¸c˜ao do atraso ponderado total, considerando tamanhos e datas de

libera¸c˜ao distintas entre as tarefas. Um deles foi Chou e Wang (2008), em que foi pro-

posto um modelo de Programa¸c˜ao Linear Inteira (PLI) e duas heur´ısticas h´ıbridas para

o problema. As heur´ısticas propostas possuem duas etapas: a forma¸c˜ao da sequˆencia de

tarefas e a forma¸c˜ao de lotes. Quando existe uma sequˆencia pr´e-determinada de tarefas,

um algoritmo de PD pode determinar a solu¸c˜ao ´otima de forma¸c˜ao de lotes, respeitando a

referida sequˆencia. Portanto, para a forma¸c˜ao de lotes, foi utilizado um algoritmo de PD.

J´a para a forma¸c˜ao de sequˆencias de tarefas, foram aplicadas duas regras de expedi¸c˜ao, a

saber, Earliest Due Date (EDD) e Apparent Tardiness Cost (ATC), e um AG. Portanto,

as heur´ısticas utilizando as respectivas regras foram nomeadas de Rule-Based e AG-Based.

Assim como no trabalho anterior, Mathirajan et al (2010) consideraram o problema

de minimiza¸c˜ao do atraso ponderado total com tamanhos distintos e datas de libera¸c˜ao das

tarefas. Os autores apresentaram uma formula¸c˜ao igual `a proposta no trabalho descrito

anteriormente. Propuseram tamb´em uma heur´ıstica construtiva gulosa simples, a qual

possui quatro variantes, e um algoritmo baseado na meta-heur´ıstica SA como heur´ıstica

de refinamento, que utiliza o mecanismo forward-backward (Wang et al, 2007).

Wang (2011) resolveu o mesmo problema a partir de uma heur´ıstica de duas fases. A

primeira fase, em que sequˆencias de tarefas s˜ao geradas, utiliza uma abordagem Population-

Based Reasoning (PBR). O PBR faz uso de um m´etodo, proposto por Chou (2009), que se

refere `a transferˆencia de informa¸c˜oes relacionadas `as posi¸c˜oes das tarefas. Um algoritmo

PD foi adotado na segunda fase para agrupar as tarefas ordenadas em lotes, assim como no

trabalho de Chou e Wang (2008). Os autores propuseram tamb´em uma Iterated Heuristic

para reduzir a influˆencia do m´etodo de transferˆencia de informa¸c˜ao. Nesse ´ultimo, metade

das sequˆencias s˜ao geradas pelo PBR e a outra metade aleatoriamente.

Christ (2015) desenvolveu para o problema de minimiza¸c˜ao do atraso ponderado

total, com tamanhos de tarefas distintos e a existˆencia de datas de libera¸c˜ao, heur´ısticas

baseadas na meta-heur´ıstica Iterated Local Search (ILS) e no procedimento de busca local

Variable Neighborhood Descent (VND) de ordem aleat´oria. Para reduzir o tempo de exe-

cu¸c˜ao, o autor optou por desconsiderar a avalia¸c˜ao de alguns movimentos das vizinhan¸cas

de acordo com crit´erios de r´apido c´alculo.

De forma semelhante `a Tabela 3.1, a Tabela 3.2 apresenta as variantes dos proble-

mas com compatibilidade de tarefas e tamanhos distintos estudados nos trabalhos descritos

nesta se¸c˜ao. A maioria dos autores estudaram o problema de minimiza¸c˜ao do makespan

com todas as tarefas dispon´ıveis no instante de tempo zero.

No documento Open Formulações matemáticas para o problema de de lotes com penalidades por atraso (páginas 42-47)