Lançamento da tarefa:
A fase lançamento desta tarefa ocorreu após o intervalo da manhã. Os alunos já sabiam que iam trabalhar na área curricular da Matemática, uma vez que o dia escolar obedecia a uma rotina que raramente se alterava. A turma já se encontrava toda na sala e os alu- nos estavam calmos.
Após a organização do trabalho (cinco grupos de três alunos e um de quatro), realizada pela professora para evitar a agitação dos alunos, procedeu-se à interpretação da tarefa. Um aluno aderiu logo à tarefa, estabelecendo ligação com outra que tinha feito anteri- ormente (em contexto extraescolar), possivelmente a tarefa do quadro dos cem, sugerida por Ponte et al. (2007b). Os restantes alunos apropriaram-se rapidamente do contexto e dos objetivos da tarefa, afirmando que o grau de dificuldade da mesma era reduzido.
Antes da professora definir os tempos para o desenvolvimento da tarefa, os alunos ques- tionaram-na sobre o limite de tempo, o que revelou alguma necessidade de organização dos tempos de trabalho. Assim sendo, a professora definiu oralmente e por escrito, no quadro, o tempo de trabalho autónomo dos alunos (20 min.). Apesar de não ter definido materiais a utilizar, a professora alertou os alunos para a importância de escreverem com uma letra legível e de manterem todos os registos efetuados.
Exploração da tarefa:
A maioria dos grupos iniciou a exploração da tarefa fazendo uma nova leitura do enun- ciado, seguida da identificação e assinalação das regularidades mais evidentes (regularidades por linhas e colunas).
O diálogo, durante a exploração da tarefa, proporcionou que os conhecimentos matemá- ticos dos alunos emergissem e fossem questionados. Conhecimentos relacionados com o sistema de numeração decimal e com as relações numéricas foram discutidos em peque- nos grupos e ancoraram a resolução da tarefa:
O: – Aqui em cima, daqui para aqui, vai sempre zero vírgula um [0,1]. C: – Então é só escrever que acrescenta-se sempre mais uma décima. I: – Mais uma centésima!
O: – Ah! Ah! Já não sabes as coisas? Para ser centésima tinha de ter mais um zero. Assim é déci-
mas.
72
[…]
O: – É. Tá a tabuada do nove por isso é sempre mais nove. I: – Hãn?
O: – É, eu vi. C: – Onde? O: – Já não sei. C: – Então?
O: – Tá aqui! Não é a tabuada, mas é igual, não vês? Zero vírgula nove [0,9], um vírgula oito [1,8]
que é o dezoito [18], dois vírgula sete [2,7] que é o vinte e sete [27] (Anexo XI).
Durante a realização da tarefa, alguns grupos de alunos sentiram necessidade de distin- guir as “linhas horizontais” das “linhas verticais” com uma terminologia mais apropriada, pelo que a professora, quando solicitada, esclareceu-os e uniformizou a lin- guagem, fornecendo e recordando os vocábulos “coluna” e “linha”.
Todos os grupos apresentaram as suas resoluções através de linguagem escrita corrente, sendo que metade dos grupos descobriu apenas quatro regularidades, as quais se apre- sentam em seguida (Figura 20). Os restantes grupos apresentaram cinco a seis regularidades.
Nesta fase da aula, a professora circulou pela sala de aula, sem interromper os alunos, de forma a acompanhar o trabalho e os raciocínios dos mesmos, esclarecer-lhes dúvidas e apropriar-se das ideias matemáticas que estavam a ser desenvolvidas. Este processo de monitorização possibilitou ainda uma seleção e sequenciação consciente das tarefas a discutir na fase seguinte da aula. Deste modo, a professora selecionou dois grupos, cujas resoluções considerou serem importantes para partilhar com a turma. A sequenciação das duas resoluções visou potenciar a discussão e sintetização da tarefa, por isso a pro-
73
fessora decidiu começar com a resposta mais comum (com quatro regularidades), que possibilitava complexificar a discussão, tornando-a mais acessível para todos os alunos.
Discussão e sintetização:
A professora orientou a turma para a última fase da aula, explicando os objetivos da mesma e incentivando os alunos a participar ativamente na discussão através da solici- tação de esclarecimentos e do questionamento, por exemplo.
Durante a fase de discussão, a professora procurou que os grupos que estavam a apre- sentar não se limitassem à descrição dos resultados obtidos. Neste sentido, questionou- -os para que estes refletissem sobre os seus procedimentos e apresentassem explicações mais aprimoradas:
Prof.: – E isso acontece em todas as colunas? R e H: – Sim.
Prof.: – Porquê? […]
H: – Porque acontece sempre. B: – Porque tem dez.
R: – Hãn?
Prof.: – Explica a tua ideia B…
B: – Tem dez retângulos aqui [apontando para uma linha do quadro], depois passa para baixo.
Hammm… Por isso é mais uma unidade (Anexo XI).
Os alunos, quando incitados a desenvolver oralmente as ideias matemáticas subjacentes às resoluções apresentadas, expressaram a sua compreensão matemática. Na exploração desta tarefa, o diálogo possibilitou e impulsionou a negociação e construção de signifi- cados:
A: – A soma de cada uma das diagonais dá sempre o mesmo.
Prof.: – Se somarmos os valores de cada uma das diagonais do retângulo, o resultado é o mes-
mo…e vocês dizem que é sempre assim… Por que será? [silêncio]
G: – Porque… porque… em todos os que fizermos o número de unidades de uma diagonal é sem-
pre igual ao número de unidades da outra diagonal. [silêncio]
Prof.: – Isso é suficiente para que o resultado dê igual? O: – Não. As décimas também são iguais.
G: – E a soma das décimas de uma diagonal também é igual à soma das décimas da outra diagonal
74
Os alunos, durante a discussão, procuraram algum cuidado na linguagem matemática oral utilizada, corrigindo os colegas ou reformulando as intervenções dos mesmos com um maior rigor linguístico:
Prof.: – O que acontece?
M: – É o contrário. É mais um e menos um [pausa]… Não… não… O: – É, é.
I: – É. É o mesmo. Para passarmos para baixo é mais uma unidade e para andamos para o lado …
hammm…
O: – Esquerdo…
I: – É menos uma décima. Uma unidade menos uma décima. Dá nove. O: – Nove décimas (Anexo XI).
E: – Nos quadrados amarelos, que são es-
tes…
J: – [interrompendo o E] Não são quadra-
dos!
[O cruzamento das linhas com as colunas originava pequenos quadriláteros]
E: – Nos retângulos pronto (Anexo XI).
Na sintetização da tarefa, a professora pediu para que todos os grupos guardassem a folha de enunciado da tarefa para que os alunos não conseguissem visualizar o quadro dos números decimais. Posto isto, o questionamento foi o recurso utilizado pela profes- sora para se assegurar que os alunos compreenderam aspetos relacionados com a discussão desenvolvida anteriormente e para retomar as ideias-chave da resolução da tarefa:
Prof.: – Na diagonal, da esquerda para a direita, de cima para baixo, qual é o número a seguir a
uma unidade e duas décimas [1,2]? D, sabes?
D: – Da esquerda para a direita? Prof.: – Sim.
D: – Mais um. Dois vírgula dois [2,2]. Pro lado é mais uma décima. Dá dois vírgula três [2,3]
(Anexo XI).
O fator tempo condicionou o estabelecimento de conexões matemáticas entre as resolu- ções apresentadas e os conhecimentos anteriores dos alunos. No entanto, as informações recolhidas pela professora, nos diversos momentos da aula, possibilitaram que concluís-
Figura 21: Excerto da resolução apresentada pelo
75
se que, através da exploração desta tarefa, os alunos conseguiram mobilizar diversos conhecimentos matemáticos explorados em anos letivos anteriores.
Síntese da exploração da tarefa:
Com a exploração desta tarefa pretendia-se que os alunos investigassem regularidades numéricas, formulassem e testassem conjeturas, sendo capazes de as analisar e susten- tar. No geral, os alunos conseguiram atingir os objetivos estabelecidos por meio do diálogo entre alunos e da consequente realização de procedimentos matemáticos.
A oralidade foi o recurso comunicativo mais utilizado durante a exploração da tarefa, sendo através da mesma que os alunos expuseram as suas ideias, formularam conjeturas e testaram-nas. O caráter flexível da linguagem oral permitiu que os alunos fizessem revisões imediatas e que defendessem as suas perspetivas perante os colegas (Guerreiro, 2011)
A comunicação oral potenciou a compreensão da tarefa e conduziu à sua concretização no formato escrito. A linguagem escrita corrente dos alunos focou-se na redação das conjeturas elaboradas, carecendo de uma justificação ou explicação processual. A lin- guagem simbólica reduziu-se à apresentação de algumas operações matemáticas auxiliares.
Na exploração desta tarefa, tal como Boavida et al. (2008) sugerem, a professora assu- miu uma liderança participativa, procurando garantir o desenvolvimento da tarefa pelos alunos, incentivando-os a justificar as conjeturas elaboradas, a analisarem-nas e con- frontarem-nas (Oliveira et al., 2013). Neste processo, o questionamento permitiu envolver os estudantes numa atividade matemática significativa (Boavida et al., 2008). No entanto, este questionamento não interrompeu o discurso dos alunos para que os seus raciocínios não fossem comprometidos.
A implementação do ensino exploratório, na exploração desta tarefa, fez emergir movi- mentos discursivos na sala de aula. Consequentemente, esses movimentos permitiram que os alunos explorassem regularidades numéricas e mobilizassem diversos saberes matemáticos.
76
5–
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este capítulo, que corresponde à última parte da fase empírica da investigação, encon- tra-se organizado em três secções: principais conclusões do estudo, limitações do
estudo e sugestões para investigações futuras.
Na primeira secção comunica-se os principais resultados da investigação e responde-se aos objetivos inicialmente propostos, considerando-se todo o processo analítico prece- dente. As duas últimas secções estão relacionadas com as implicações teóricas e práticas desta investigação e advêm de todo o processo realizado.