4.2.1 - Tarefa 1
Na resolução da questão 1.1 – “Indica, para cada diálogo, se a compra dos jovens
corresponde a uma necessidade ou um desejo. Justifica a tua opção.”, apenas dois
grupos (4 e 5) identificaram corretamente a compra realizada por necessidade e a compra realizada por desejo, justificando que a compra por desejo não é urgente e a compra por necessidade é precisa, o que sugere que os grupos compreendem estes conceitos. Os restantes grupos (1, 2, 3 e 6) apesar de identificarem corretamente os dois tipos de compras, parecem ter dificuldades em fundamentar as suas opções, dado que recorrem à palavra “necessidade” para justificarem a sua escolha (figura 18). Esta dificuldade foi também identificada por Ferreira (2015) no seu estudo.
67 Na questão 1.2 - Para comprar a mochila, o Alex vai recorrer às suas poupanças. Já tem 40€, mas só quer gastar #$ desse dinheiro na compra da mochila. Descobre quantos euros pretende gastar o Alex com a compra da mochila, dois grupos (1 e 6) recorreram à representação icónica. Assim, começaram por representar cinco conjuntos e dividir, igualmente, os 40€ por esses conjuntos, formando cinco conjuntos de oito euros. De seguida, os grupos verificaram o seu raciocínio, recorrendo ao algoritmo da multiplicação (8 x 5 = 40). Posteriormente, adicionaram as quantidades de dois desses conjuntos, tendo obtido o valor que o Alex pretendia gastar na compra da sua mochila (16€). Deste modo, parecem ter a noção intuitiva da fração como operador (figura 19).
Os restantes quatro grupos (2, 3, 4 e 5) começaram por recorrer ao algoritmo da divisão (40 : 5 = 8). De seguida, os grupos 3, 4 e 5 parecem perceber que !
% de 40€ correspondia a 8€, uma vez que efetuaram um dos seguintes cálculos: 8€ + 8€ (grupos 5 e 3) ou 2 x 8€ (grupo 4), dado que o Alex queria gastar "
% dos 40€ (figura 20). Também estes grupos parecem ter a noção intuitiva da fração como operador.
Figura 20 - Resolução do grupo 5 à questão 1.2 da tarefa 1
De salientar, que o grupo 2 não efetuou a adição das duas partes, pelo que parece não ter percebido que se pretendia 2 x 1/5 x 40, ou seja, duas partes das cinco de 40€.
Relativamente à questão 1.3 – O Carlos, amigo do Alex, também está a precisar de uma mochila. Mas, o Carlos tem 30 € de poupanças. Também só quer gastar #
$ desse dinheiro.
68 Descobre quantos euros pretende gastar o Carlos com a compra da mochila, os grupos utilizaram as mesmas estratégias que tinham utilizado na questão 1.2, o que faz sentido, uma vez que as questões eram idênticas. Assim, dois grupos (1 e 6) recorreram à representação icónica, chegando à conclusão que o Carlos queria gastar 12€ na compra da mochila. Os restantes quatro grupos (2, 3, 4 e 5) recorreram ao algoritmo da divisão e posterior adição de duas partes, parecendo ter a noção intuitiva da fração como operador. No que respeita ao grupo 2, que na questão 1.2 não tinha percebido que precisava de duas das cinco partes, na questão 1.3, voltou a cometer o mesmo erro, o que pode significar a existência de dificuldades na noção de fração como operador.
Por último, na questão 1.4 - Os dois amigos gastaram a mesma parte das suas poupanças na compra da mochila, mas não gastaram o mesmo dinheiro. Consegues explicar porquê?, quatro grupos (2, 3, 5 e 6) recorreram à comunicação escrita, apresentando respostas semelhantes, na medida em que referem que os amigos não gastaram o mesmo valor pois não tinham as mesmas poupanças (figura 21).
Figura 21 - Resposta do grupo 3 à questão 1.4 da tarefa 1
Contudo, as respostas a esta questão parecem, mais uma vez, ser pouco explícitas, podendo sugerir alguma dificuldade na comunicação escrita por parte dos grupos em questão. Araújo (2016) identificou dificuldades semelhantes no seu estudo.
O grupo 1 recorreu à representação simbólica, onde utilizou o sinal de maior e menor para comparar as poupanças dos dois amigos. Assim, concluiu que se 30 é menor que 40, a divisão destes dois números pelo mesmo número natural (cinco) irá resultar em valores diferentes. Este grupo procurou, ainda, explicar o seu raciocínio por palavras. Analisando a sua resposta, parece que o grupo tem dificuldade em distinguir parte de quantidade, dado que referem que os dois amigos gastaram a mesma quantidade de dinheiro (figura 22), e na verdade estes gastaram a mesma parte. Para além disso, a sua explicação não é percetível, o que revela alguma dificuldade na comunicação matemática escrita, dificuldade também identificada por Araújo (2016).
69
Figura 22 - Resolução do grupo 1 à questão 1.4 da tarefa 1
Por fim, o grupo 4 recorreu à representação icónica, procurando esquematizar os dados. Este grupo começou por apresentar as poupanças de cada amigo, sendo estas visivelmente diferentes. De seguida, parece que o grupo encaminhou o seu raciocínio para !% do dinheiro que foi gasto por cada um dos amigos, levando-os a concluir que também esses valores são diferentes. O grupo terminou com a apresentação do seu raciocínio por palavras, referindo que o Alex tinha mais dinheiro que o Carlos e que 1/5 do dinheiro do Alex é superior a 1/5 do dinheiro do Carlos (figura 23), porém no final não comentam o facto dos dois amigos gastarem 2/5 das suas poupanças, ao invés de 1/5.
Figura 23 – Resolução do grupo 4 à questão 1.4 da tarefa 1 Síntese da tarefa 1
Os grupos 4 e 5 distinguiram e justificaram corretamente as compras realizadas por necessidade e por desejo. Por sua vez, os grupos 1, 2, 3 e 6 também conseguiram distinguir, contudo, aparentam ter dificuldades na comunicação matemática escrita. Os grupos 1, 3, 4, 5 e 6 parecem ter noção intuitiva da fração como operador, recorrendo à representação icónica e à representação simbólica para resolver as tarefas. Em contrapartida, o grupo 2 aparenta ter dificuldades nesta noção. O grupo 1 parece ter dificuldades em distinguir parte de quantidade, dado que confundiu estes conceitos na sua resposta.
Após a resolução da tarefa por parte dos grupos, foi realizada a apresentação, exploração e sintetização das produções em grupo-turma. Optou-se por iniciar a exploração com um
70 dos grupos que não tinha conseguido fundamentar de forma explícita as compras por necessidade e as compras por desejo (grupo 1), procurando-se levar os alunos a ultrapassar essa dificuldade.
(um elemento do grupo começa a apresentar a sua resolução)
[1] Aluno1: (referindo-se à questão 1.1) nós percebemos que a Rita já tem muitos
vestidos e ela queria mais um... Para nós isso é um desejo, porque não é preciso termos tantos vestidos.
[2] Prof.: Então, podemos dizer que a compra da Rita é um desejo, porque ela já
tinha muitos (dá ênfase à palavra “muitos”) vestidos, não estando a precisar de mais nenhum.
[3] Prof.: (fala para a turma) nestes casos nós também podemos dizer que foi uma
despesa supérflua, porque foi uma despesa que se podia evitar. E relativamente à compra por necessidade?
[4] Aluno1: Nós achamos que a mochila é uma necessidade... Porque ele precisa
dela para ir à escola e a dele estragou-se.
[5] Prof.: E está correto. Podemos, então, dizer que uma compra realizada por
necessidade é algo de que nós precisamos para o nosso dia-a-dia.
[6] Prof.: (fala para a turma) Nestes casos, podemos também dizer que foi uma
despesa necessária, porque derivou de motivos urgentes, sendo obrigatória a sua compra.
(...)
[7] Prof.: (pergunta ao aluno) (...) porque não foram mais explícitos na vossa
resposta?
[8] Aluno1: (pensa durante um tempo) porque... nós conseguimos explicar
(oralmente), mas depois não conseguimos responder (por escrito)...
Os grupos apresentaram e explicaram as suas opções – [1] e [4]. A professora procurou complementar a resposta do aluno - [2] e [5] -, procurando levar os alunos a comprender os conceitos necessidade e despesa. Posteriormente, procura introduzir o conceito despesas supérfluas, associando-o a compras por desejo [3] e o conceito despesas necessárias correspondendo-o a compras por necessidade [6]. Quando questionados sobre o porquê de não terem sido mais explícitos por escrito [7], o grupo assumiu ter dificuldades na comunicação escrita [8].
No seguimento da aula, deu-se continuidade à exploração dos conceitos despesas necessárias/supérfluas, procurando-se exemplificar com situações reais do quotidiano dos alunos, através da partilha de situações por parte dos mesmos, como por exemplo o caso de duas alunas que durante o intervalo anterior foram comprar um chocolate ao bar, após terem comido o seu lanche (despesa considerada supérflua).
71 Na questão 1.2, optou-se por inicar a exploração com o grupo 6, que recorreu à representação icónica, por se considerar esta a representação mais elementar, sendo a intenção da professora partir do mais “simples” para o mais “complexo”.
(um elemento do grupo começa a apresentar a sua resolução)
[9] Aluno2: (referindo-se à questão 1.2) o Alex tinha 40€ e só queria gastar 2/5...
Nós fomos dividir o dinheiro em cinco montinhos e deu 8€ em cada um. Depois pensámos que ele queria dois montinhos e... fizemos 8 + 8, que deu 16.
[10] Prof.: ... 16 euros, certo?
[11] Prof.: (fala para a turma) Então, o Alex tinha 40€ e só queria gastar 1/5. Este
grupo dividiu o dinheiro do Alex em cinco conjuntos iguais (aponta para a representação), formando cinco conjuntos de 8€ (...), reparem que 8 x 5 = 40. Depois, o grupo percebeu que o Alex queria gastar dois conjuntos dos cinco (aponta para a fração 2/5), fazendo 1/5 + 1/5, que é... (espera pela resposta dos alunos)?
[12] Alunos: 2/5.
[13] Prof.: Muito bem. E, neste caso, 2/5 correspondem a quanto dinheiro? [14] Alunos: 16€.
[15] Prof.: Ok (regista no quadro 1/5 + 1/5 = 2/5). Então, mas se repararem o
número 1/5 repete-se, podemos escrever esta expressão de outra forma?
[16] Aluno3: Sim, podemos usar duas vezes o 1/5.
(...)
O aluno apresentou a sua resolução, utilizando a expressão “montinhos” [9]. A professora procurou repetir a explicação do aluno, substituindo a expressão por “conjuntos” [11]. Durante a explicação, a professora aludiu à adição de frações [11], tendo os alunos mostrado compreender a mesma [12]. De seguida, a professora fez referência ao valor monetário correspondente a 2/5 [13], tendo os alunos, intuitivamente, adicionado dois conjuntos, chegando ao valor 16€ [14]. A professora registou a adição 1/5 + 1/5 = 2/5, questionando os alunos sobre outra forma através da qual poderia ser escrita a adição de frações [15], tendo os alunos chegado à expressão 2 x 1/5 [16], ou seja, introduziu-se de forma intuitiva a multiplicação de um número inteiro por uma fração, como sugerem Monteiro e Pinto (2012).
O grupo 2 referiu que tinha a sua resolução incompleta e que tinha percebido isso a partir da exploração do grupo 6. Desta forma, este grupo ganhou consciência do seu erro de forma autónoma ao ouvir as apresentações dos seus pares.
Posteriormente, e a partir da apresentação do grupo 5 que tinha recorrido à divisão durante a sua resolução, introduziu-se a fração como operador, recorrendo-se à expressão 2/5 x
72 40, à qual os alunos não mostraram resistência cognitiva, parecendo compreender e interiorizar a mesma.
Neste momento da aula, foi ainda explorado o conceito poupança e as suas finalidades, concluindo-se que poupar era importante, pois mais tarde poderíamos precisar de dinheiro e utilizar o dinheiro que guardámos. Para terminar este momento, os alunos foram incentivados a partilhar se costumavam poupar, tendo a maioria dos alunos admitido que não, mas que queriam começar a fazê-lo. Desta forma, a presente questão e posterior exploração motivou os alunos para a mudança de atitudes financeiras, dado que estes referiram a intenção de começar a poupar.
Na exploração da questão 1.3, foi dada continuidade à exploração da fração como operador, utilizando-se a mesma sequência de apresentações que na questão anterior, tendo os alunos demonstrado compreender este conceito. Posteriormente, a investigadora lançou a seguinte questão: A compra do Carlos será uma necessidade ou um desejo?. Neste momento, os alunos referiram que não podiamos saber, uma vez que não conhecíamos o motivo da compra. Porém, a aluna 2 interveio, aludindo que no enunciado dizia que o Carlos está a precisar de uma mochila. Este momento foi importante, pois os alunos ganharam consciência de que, embora não se soubesse o motivo da compra, podíamos atentar na palavra precisar, que por sua vez era representativa de uma compra por necessidade.
Por fim, na questão 1.4, partindo da apresentação do grupo 4 (que recorreu à representação icónica e comunicação matemática), os alunos foram levados a compreender que, embora os amigos tenham gasto a mesma parte das suas poupanças, o valor gasto em dinheiro não foi igual, em consequência da diferença inicial. No seguimento da aula, uma aluna lançou a seguinte questão à turma: Já repararam no preço das mochilas?, à qual outro aluno lhe perguntou o que tinha o preço. A aluna respondeu que a sua mochila não tinha sido tão cara, comparativamente à apresentada. A aluna em questão demonstrou ter sentido crítico ao procurar avaliar o valor comercial do produto, através dos seus valores de referência. Através deste momento, percebemos que os alunos se identificaram com o contexto apresentado e que este foi propício para a promoção de um sentido crítico financeiro e para a realização de aprendizagens matemáticas.
73
4.2.2 - Tarefa 2
Na resolução da questão 1.1 - Considerando os dados apresentados no orçamento, averigua se os rendimentos foram suficientes para pagar as despesas, todos os grupos recorreram inicialmente à adição dos rendimentos e à adição das despesas. De seguida, compararam os dois valores obtidos, chegando à conclusão que os rendimentos foram suficientes para suportar as despesas (figura 24). De referir que, os grupos 3, 4 e 6 cometeram erros de cálculo durante a adição das despesas.
Figura 24 - Resolução do grupo 5 à questão 1.1 da tarefa 2
Na figura 24 (acima), podemos ver a resolução do grupo 5 que, para além de ter adicionado cada uma das despesas e cada um dos rendimentos, foi descobrir a diferença entre estes dois valores. Através deste passo, os alunos reforçaram a ideia do lucro obtido. Contudo, para a resolução da tarefa, bastava apenas comparar os resultados das somas, podendo significar a existência de dificuldades na comparação de números inteiros. Para além disso, os alunos cometeram erros de cálculo, dado que a diferença entre os rendimentos e as despesas não corresponde ao valor apresentado. Ainda este grupo, ao apresentar a sua resposta, pareceu confundir o conceito orçamento com o conceito rendimento, uma vez que assumiu que o orçamento é que cobre as despesas.
Na questão 1.2 - Se não tivesse havido rendimento extra, com as horas extraordinárias feitas pelo casal e a venda de livros, os salários do casal teriam sido suficientes para pagar as despesas? Justifica, quatro grupos (1, 2, 4 e 5) optaram por adicionar os rendimentos extra (225€) e depois subtrair o resultado ao valor dos rendimentos (1340€). Posteriormente, os alunos compararam o novo valor dos rendimentos com o das despesas, concluindo que, sem os rendimentos extra, os salários dos pais não seriam suficientes para suportar as despesas naquele mês. Os restantes grupos (3 e 6) adicionaram os rendimentos relacionados com os dois salários (1340€), sem acrescentar os rendimentos extra. De seguida, compararam o valor dos rendimentos com o das despesas, chegando à
74 conclusão de que os rendimentos não seriam suficientes para suportar as despesas (figura 25). Assim, os grupos parecem estar familiarizados com o conceito rendimento extra e despesas.
Figura 25 - Resolução do grupo 3 à questão 1.2 da tarefa 2
Na questão 1.3 - Que despesas se poderiam ter evitado de modo a que as receitas fossem suficientes para suportar as despesas?, todos os alunos perceberam que as despesas ultrapassavam os rendimentos em 130€. Perante este facto, parece que os grupos 2 e 5 foram tentar encontrar despesas que adicionadas dessem os 130€, escolhendo desta forma a mesada da Rita (25€) e a luz, a água e o gás (105€) (figura 26).
Figura 26 - Resolução do grupo 5 à questão 1.3 da tarefa 2
Contudo, os grupos não tiveram em consideração a importância de cada despesa, nomeadamente a necessidade de pagar a luz, a água e o gás. Assim, parece que estes alunos não distinguem despesas necessárias de despesas supérfluas.
Três grupos (1, 3, 4) reduziram nas despesas destinadas ao lazer e nas mesadas da Rita e do Tiago. Desses três grupos, dois (3 e 4) eliminaram o valor total das despesas, ao contrário do grupo 1 que tentou reduzir nas mesadas (figura 27). Desta forma, estes últimos grupos tiveram em consideração a natureza de cada despesa e, mais precisamente, se esta era uma despesa necessária e/ou supérflua, parecendo compreender estes dois conceitos. O grupo 1 parece ter ainda consciência do conceito despesas variáveis e despesas fixas, uma vez que tentou não eliminar totalmente as despesas, mas procurou ajustá-las ao objetivo pretendido.
75
Figura 27 - Resolução do grupo 1 à questão 1.3 da tarefa 2
De salientar que o grupo 6 não realizou as tarefas a partir da questão 1.3, uma vez que demorou demasiado tempo nas alíneas anteriores.
Na questão 1.4.1 - O Sr. Francisco vendeu &
' dos seus livros. Que percentagem de livros vendeu o Sr. Francisco, dois grupos (4 e 5) recorreram à representação icónica. Para isso, desenharam uma circunferência (provavelmente a representar a unidade) dividida em quatro partes. Ambos os grupos referiram que uma parte correspondia a 25% (figura 28), evidenciando assim conhecimento de diferentes representações dos números racionais.
Figura 28 - Resolução do grupo 4 à questão 1.4.1 da tarefa 2
Os grupos 1 e 3 recorreram ao algoritmo da divisão, dividindo 100 por 4, chegando ao resultado de 25%. Ao terem utilizado o número 100, os grupos parecem reconhecer que a unidade (o todo) corresponde a 100%.
O grupo 2 não interpretou corretamente o enunciado, dificuldade também identificada por Ferreira (2015), dado que durante a sua resolução concluiu que o Sr. Francisco vendeu () dos seus livros, enquanto o enunciado refere explicitamente que este vendeu !) dos livros. Contudo, realça-se que o grupo conseguiu identificar a percentagem correspondente a () e, desta forma, aparenta conhecer as diferentes representações de um número racional. Na questão 1.4.2 - Com que parte dos livros ficou o Sr. Francisco? A que percentagem corresponde?, os grupos que anteriormente tinham recorrido à representação icónica, voltaram a fazê-lo (grupos 4 e 5). Para isso, representaram a unidade e dividiram-na em quatro partes iguais. Dessas quatro partes, pintaram três e referiram que essas correspondiam a 75% dos livros, conclusão que parece ter emanado da adição de 25% +
76 25% + 25% (figura 29). Deste modo, estes dois grupos continuam a evidenciar conhecimento das diferentes representações dos números racionais.
Figura 29 - Resolução do grupo 5 à questão 1.4.2 da tarefa 2
Os grupos 1 e 3 recorreram à alínea anterior e ao algoritmo da subtração, subtraindo 25% a 100%, chegando à conclusão que o Sr. Francisco ficou com 75% dos seus livros. Relativamente ao grupo 2, que anteriormente tinha interpretado mal a questão, voltou a fazê-lo. Contudo, o grupo conseguiu identificar a percentagem correspondente a !
). Assim, estes três grupos também parecem conhecer as diferentes representações.
Na questão 1.5 - A Família Alves gastou 20% das despesas destinadas ao “lazer” em idas ao cinema. A que quantia de dinheiro corresponde esse gasto?, dos cinco grupos que resolveram a questão, três grupos (2, 4 e 5) começaram por considerar os 100€ do lazer como correspondendo a 100%. De seguida, parecem ter percebido que se queriam apenas 20% teriam que reduzir no valor numerário. Para isso, sentiram necessidade de começar pela metade de cem euros, percebendo que o mesmo correspondia a 50%. Por último, constataram que 20% correspondia a 20€, chegando à resposta correta. Desta forma, os grupos parecem ter recorrido a um raciocínio de proporcionalidade direta (figura 30).
Figura 30 - Resolução do grupo 2 à questão 1.5 da tarefa 2
Por sua vez, dois grupos (1 e 3) começaram por multiplicar os 20, parte correspondente às idas ao cinema, pelos 100€ das despesas de lazer, chegando ao resultado 2000. Posteriormente, dividiram 2000 por 100, chegando ao resultado de 20€, ou seja, a quantia de dinheiro gasta com as idas ao cinema. Desta forma, estes grupos parecem ter noção da fração como operador (figura 31), embora não tenham especificado a expressão representativa da mesma.
77
Figura 31 - Resolução do grupo 3 à questão 1.5 da tarefa 2 Síntese da tarefa 2
No âmbito financeiro, os grupos 1, 3, 4 e 6 evidenciam compreender despesas necessárias e despesas supérfluas, sendo que, o grupo 1 ainda distinguiu despesas variáveis de despesas fixas. Pelo contrário, os grupos 2 e 5 não conseguiram distinguir despesas necessárias de despesas supérfluas, parecendo este último não distinguir os conceitos orçamento e rendimento.
No âmbito matemático, todos os grupos recorreram pelo menos uma vez à adição, à subtração e à comparação de números inteiros. De realçar que os grupos 3, 4, 5 e 6 cometeram erros de cálculo, pelo menos uma vez. No que concerne à introdução das percentagens, os grupos 1 e 3 parecem ter recorrido à noção de fração como operador. Os grupos 2, 4 e 5 pareceram ter recorrido a um raciocínio de proporcionalidade direta, tendo os grupos 4 e 5 recorrido também à representação icónica. No geral, os alunos aparentam conhecer diferentes formas de representação de um número racional.
Após a resolução da tarefa por parte dos grupos, foi realizada a apresentação, exploração e sintetização das produções em grupo-turma. Durante a leitura do enunciado da questão 1.1, a investigadora questionou os alunos sobre o significado de orçamento. Através das suas respostas, foi possível perceber que os alunos não estavam familiarizados com este conceito, dado que responderam que um orçamento é quando as pessoas juntam dinheiro durante algum tempo e é quando alguém compra qualquer coisa e faz qualquer coisa. Assim, houve a necessidade de desconstruir algumas ideias dos alunos e clarificar o conceito de orçamento, chegando-se à conclusão de que este é o conjunto dos rendimentos e despesas de uma família, de um grupo, do estado, entre outros. Em contrapartida, os alunos pareceram estar familiarizados com os conceitos rendimento e despesas (já trabalhados na tarefa anterior).
78 Optou-se por iniciar a exploração da questão 1.1, através da apresentação do grupo 5, que tinha evidenciado a noção de saldo durante a resolução da questão.
(Um aluno do grupo começa a apresentar a sua resolução)
[17] Aluno4: Nós fomos fazer uma conta de mais... Fizemos primeiro os
rendimentos e fizemos 610€ + 730€ + 150€ + 75€ que deu 1565€.
[18] Prof.: Então vocês começaram por adicionar todos os rendimentos, ou seja,
os dois salários, as horas extraordinárias e a venda de livros. Certo! E depois?
[19] Aluno4: Depois fizemos o mesmo para as despesas, fizemos 95€ + (...) +
100€ que deu 1465€.
[20] Prof.: Sim. Adicionaram as despesas. E depois?
[21] Aluno4: Depois fomos tirar as despesas aos rendimentos e deu 195€.
[22] Prof.: Foram subtrair. E o que significam os 195€ no problema?
[23] Aluno4: (pensa durante um momento) significa o valor que eles ficaram
depois de pagarem tudo.
[24] Prof.: Muito bem, a isso nós chamamos o saldo. Mas atenção, esse cálculo
está mal, esse não é a diferença entre os rendimentos e as despesas.
(...)
Os alunos apresentaram o seu raciocínio durante a resolução da questão - [17], [19] e [21]. A professora procurou melhorar o discurso do aluno, substituindo a expressão “conta de mais” por adicionar e chamar rendimentos aos valores descritos pelos alunos [18] e “tirar” por subtrair [22]. Para além disso, procurou alertar os alunos para o erro de cálculo