3.3 Propriedades semânticas da lógica proporcional
3.3.1 Tautologia
Uma fórmula H é uma tautologia ou é válida se, e somente se, para toda interpretação I, I[H] = V
Fazendo-se a tabela verdade para a fbf H = P ~( P Q), tem-se ÚÙ P Q P Ù Q ~( P Ù Q) P Ú ~( P Ù Q) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V
Observa-se que o valor lógico de H é V, ou seja, para toda interpretação I, I[H] = V. Nesse caso, H é uma tautologia.
EXERCÍCIOS
1. Fazer a tabela verdade para a fórmula H = (P Q) (P Q) e verificar se a mesma é uma tautologia.
2. Mostre que a fórmula abaixo é uma tautologia: (P Q) (~P Q)
Ù®Ú
EXERCÍCIOS
1) Mostre que as fórmulas abaixo são contradições: a) ~(P Q) Q
b) ~(P (P Q))
®Ù
®Ú
3.3.3 Fórmula satisfatível.
Uma formula é satisfatível (uma indeterminação ou uma
contingência), se existe pelo menos uma interpretação I, tal que I[H] = V
Por essa definição, basta que apenas uma interpretação I, de H, seja verdadeira, ou seja, basta que apenas uma linha da tabela verdade de H resulte em V, para que a fórmula seja classificada como satisfatível.
Exemplo: construir a tabela verdade para a fórmula G = ~((A B) A)®® A B (A ® B) (A ® B) ® A ~ V V V V F V F F V F F V V F V F F V V F
EXERCÍCIOS
1) Construa a tabela verdade para as fórmulas abaixo e prove que são satisfatíveis:
a) H = (P Q) Q b) G = (P Q) (P Q)
«Ú
®®Ù
3.3.4 Equivalência lógica (rtepresentada por )Û
Dadas duas fórmulas H e G, G equivale a H (G H), se e somente se, para toda interpretação I, I[G] = I[H]
Fazendo a tabela verdade para a fbf H = (A B) (B A), temos: ®Ù® Û A B A ® B B ® A (A ® B) Ù(B ® A) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V
Comparando a tabela verdade da fórmula H, acima, com a tabela verdade fórmula P Q (bicondicional, vista no item 2.2.5), verifica-se que são idênticas. Diz-se, então, que a fórmula H e o bicondicional são equivalentes.
«
Fazer as tabelas verdade para as fórmulas G e H abaixo e verificar se são equivalentes (verificar se G H):
a) G = A B e H = ~(A B) b) G = ~(A B) e H = ~A ~B ® Ú Ú Ù Û
EXERCÍCIOS
3.3.5 Implicação lógica (representada por Þ)
Sejam as fórmulas G e H. As três condições seguintes são equivalentes:
(1) ~G Ú H é uma tautologia.
(2) G Ù ~H é uma contradição.
(3) G ® H é uma tautologia.
K L (lê-se K implica logicamente em L) se satisfizer a uma das três condições acima especificadas. Escolhendo a condição (1), sua tabela verdade será:
Þ K L ~K ~K Ú L V V F V F F V V V F F F F F V V
que não é uma tautologia. Logo, K não implica logicamente em L.
46
K L M P Q P Ù Q Ú Q P Ù Q P Ú Q V V V V V V V F F F F V F V F V F V F F F F F F Resumindo: P Q K L M V V V V V V F F F V F V V F V F F F F FUma fórmula G implica logicamente uma fórmula H (G H) se uma das condições acima for satisfeita.
Exemplos: Considere as fórmulas a) K = (P Q) Q
b) L = P Q c) M = P Q
As tabelas verdade de K, L e M são:
Þ
ÙÚ
Ù Ú
EXERCÍCIOS
1) Considerando as fórmulas K, L, e M do último exemplo, verificar se:
a) L Þ M
b) M Þ K
c) L Þ K
d) K Þ M
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Usando a mesma condição (1) para testar se L Þ K, temos:
K L ~L ~L Ú K
V V F V
F F V V
V F V V
F F V V
resulta em uma tautologia. Logo, L implica logicamente em K.
Aplicando o critério (2), G ~H, para verificar se L Þ K,
faz-se a tabela verdade para L ~K, chega-se ao seguinte resultado: Ù Ù K L ~K L Ù ~K V V F F F F V F V F F F F F V F
que é uma contradição.
Aplicando o critério (3), que é fazer a tabela verdade para L K, verifica-se que é uma tautologia.
Chega-se à conclusão que, se duas fórmulas atendem a um dos critérios acima, pode-se afirmar que uma implica logicamente na outra, mesmo que não se teste os outros dois critérios.
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Outra maneira de verificar a implicação lógica:
Dadas duas fórmulas G e H, G implica H (G H) se, e somente se, para toda interpretação I,
se I[G] = T, então I[H] = T
Pela definição de implicação acima, K implica M. Observe que para as duas interpretações I[K] = V , I[M] = V também. Quando I[K] = F, nada se pode afirmar sobre I[M]. Da mesma forma, L implica K e L implica M. Já não se pode dizer o mesmo a respeito de M em relação a L e K, uma vez que para todas as interrpretações I[M] = V, nem todas as interpretações de I[L] e I[K] são também verdadeiras.
Þ
EXERCÍCIOS
2) Construa as tabelas verdade para as fórmulas A = (~P Q) e B = (P Q) e verifique se A Þ B, usando este último critério
de implicação.
« Ú
49
4.1 Argumento
Suponha que seja feita a pergunta: “A Terra tem luz própria?”. Uma forma de buscar a resposta é procurar um termo intermediário que se relacione com outros termos da pergunta. Esse termo pode ser “planeta”. A partir desse termo, pode-se formular as seguintes sentenças:
Um planeta não tem luz própria. A Terra é um planeta.
Logo, a Terra não tem luz própria.
A terceira sentença é uma conclusão, que foi tirada a partir das duas primeiras e, com isso, a pergunta foi respondida.
Outro exemplo: 3 + 2 = 5
5 = 4 + 1 3 + 2 = 4 + 1
Raciocínios como os apresentados acima, são da forma
silogística.
Capítulo 4
Validade de um
Argumento
50
Aristóteles definiu o silogismo como:
“O silogismo é uma série de palavras em que, sendo admitidas certas coisas, delas resultará necessariamente alguma outra, pela simples razão de se terem admitido aquelas.”
Silogismo significa ligação, ou seja, a ligação de dois termos através de um terceiro.
As sentenças que servem para provar ou, pelo menos, para fornecer alguma evidência para a conclusão são chamadas de premissas. Um conjunto de sentenças, onde algumas são premissas e outra é a conclusão é chamado de argumento.
Um argumento pode ser escrito de diversas formas. Vejamos o seguinte exemplo:
Andar de bicicleta é um ótimo exercício. Josefina anda de bicicleta. Josefina pratica um ótimo exercício.
Alguns autores preferem representar o argumento da forma:
Andar de bicicleta é um ótimo exercício. Josefina anda de bicicleta.
Josefina pratica um ótimo exercício. (três pontos para identificar a conclusão.)
\
Outros autores preferem a forma:
Andar de bicicleta é um ótimo exercício. Josefina anda de bicicleta.
ÞJosefina pratica um ótimo exercício. (o símbolo condicional
51
Indicadores de conclusão logo portanto assim por conseguinte dessa maneira neste caso daí de modo que então assim sendo segue-se queo(a) qual implica que resulta que
podemos deduzir que
Indicadores de premissa desde que como porque assumindo que visto que admitindo que
isto é verdade porque a razão é que
em vista de
como conseqüência de
como mostrado pelo fato que sabendo-se que
supondo que
Um argumento acontece quando se pretende provar ou demonstrar uma conclusão, a partir de uma ou mais premissas.
Uma maneira de representar, na lógica proposicional, um argumento é:
O importante é caracterizar a conclusão. Na álgebra proposicional as premissas e conclusão são representadas por símbolos proposicionais (letras maiúsculas).
Um argumento onde a conclusão decorre das premissas é um argumento válido. Argumentos dessa forma são conhecidos pela expressão latina modus ponens (método de afirmação).
Existem termos que são freqüentemente usados para assinalar a conclusão e as premissas de um argumento. Abaixo, destacamos alguns dos mais freqüentemente utilizados:
Proposição simples
- O criminoso é primário
- O criminoso cometeu um descuido - O criminoso terá sua pena diminuída.
Representação
P Q R Representação na lógica proporcional:
(P Q) (P R) ~P ~R.
Note que (P R) tem, obrigatoriamente, que vir entre parênteses. A fbf acima, se escrita da forma (P Q) P R ~P
~R, nos levaria a duas situações:
— primeiro, surgiria a dúvida: qual é a conclusão, o primeiro ou o segundo condicional?
— em segunda instância, a sua avaliação seguiria a precedência dos operadores e primeiro seria feito ((P Q) P), depois seria avaliado (R ~P) e, por fim, os dois condicionais restantes , o que levaria a um resultado diferente do esperado.
Úٮٮ ® ÚÙ®Ù ® ÚÙ Ù ®
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Na lógica proposicional, temos: A B C.
Como o operador conjunção ( ) tem precedência sobre o condicional ( ), não é necessário escrever (A B) C. Porém, há situações que os parênteses são obrigatórios.
Vejamos o argumento abaixo:
O criminoso é primário, ou cometeu um descuido. Se o criminoso for primário, então terá sua pena diminuída. O criminoso não é primário. Logo, sua pena não será diminuída.
Ù®
Ù
® Ù®
A viagem para Manacapuru dura uma hora. A
João irá a Manacapuru B