Taxa de Absorção e Fuga de Nêutrons

Após a convergência da solução numérica do problema de transporte S_N, calculamos a taxa de absorção de nêutrons dada por região ,

4 RESULTADOS NUMÉRICOS

Neste capítulo vamos considerar dois problemas-modelos de fonte fixa em geometria unidimensional para verificar a eficiência das estratégias de aceleração DSA de malha fina e DSA de malha grossa desenvolvidas nesta dissertação de mestrado. Na seção 4.1 apresentamos um problema-modelo homogêneo com espalhamento isotrópico e na seção 4.2 um problema-modelo heterogêneo com espalhamento linearmente anisotrópico. Em ambas as seções, apresentamos os desvios relativos percentuais entre os resultados numéricos gerados pelo aplicativo NCD_1D_1G utilizando o modelo de difusão com diferentes tipos de condições de contorno especiais e os resultados gerados utilizando o modelo de transporte S_N.

4.1 Problema Homogêneo

Consideremos um domínio homogêneo unidimensional de comprimento 100 cm, com seção de choque macroscópica total ் = 1.0 cm^-1 e seção de choque macroscópica de espalhamento ௌబ = 0.995 cm⁻¹. Fluxos de nêutrons unitários são aplicados em x = 0 e x = 100 cm, i.e., ௠ = 1, para ௠ > 0 e ௠ = 1, para ௠ < 0 nas Eqs. (20a) e (20b) e/ou = = 1 nas Eqs. (49a) e (49b), com quadratura angular S16 de Gauss-Legendre. Para resolver este problema, usamos o método DD com uma grade espacial fina composta de 2000 nodos e um critério de convergência requerendo que a norma máxima discreta dos desvios relativos entre duas estimativas consecutivas dos fluxos escalares nas extremidades dos nodos não exceda a10^-6.

Nosso primeiro experimento consiste em estimarmos os desvios relativos percentuais entre os resultados numéricos gerados para o problema-teste homogêneo pelo modelo da difusão de partículas neutras com condições de contorno especiais, conforme descrevemos na seção 2.2, e os resultados numéricos gerados pelo modelo de transporte SN utilizando as quadraturas angulares de Gauss-Legendre S2, S4, S8 e S16. Esses desvios relativos percentuais estão representados nas Figuras 15, 16 e 17.

Figura 15 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Homogêneo com Condições de Contorno tipo FP₁.

Figura 16 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Homogêneo com Condições de Contorno tipo JP1.

Figura 17 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Homogêneo com Condições de Contorno tipo S2.

Como vemos nas Figuras 15, 16 e 17, as condições de contorno tipo JP1 no problema de difusão levaram a desvios relativos percentuais menores que os demais. Ressaltamos neste ponto que esta conclusão será dependente do problema considerado.

O número de iterações requerido para a convergência da solução pelo esquema SI não acelerado foi 2158. Usando o presente esquema DSA de malha grossa com condições de contorno especiais JP1 o número de iterações reduziu para 1097. Isto é, o número de iterações para a convergência foi reduzido de 49,2%.

Nos três próximos experimentos numéricos, as condições de contorno prescritas SN, a seção de choque macroscópica total, a grade de discretização espacial e o critério para a convergência do método serão mantidos. Nosso terceiro experimento numérico consiste em reduzir a espessura do domínio deste problema-modelo em 10 cm. Conforme Tabela 3, à medida que diminuímos o domínio de 100 cm para 50 cm, o presente esquema DSA de malha grossa torna-se mais eficiente, i.e., o número de iterações para a convergência é reduzido de 49,2% (100 cm) para 54% (50 cm). Esta boa característica também conduz a uma diminuição

do tempo de CPU requerido para a convergência em cada execução do aplicativo. Os resultados estão listados na Tabela 3.

Tabela 3 - S16 - Problema-Modelo Homogêneo.

Espessura do

a. número de iterações para a convergência;

b. tempo de CPU para a convergência;

c. redução do número de iterações;

d. redução do tempo de CPU.

Nosso quarto problema-teste consiste em considerar várias ordens para a quadratura angular S_N de Gauss-Legendre para o problema-modelo homogêneo de 100 cm. Como vemos na Tabela 4, à medida que a ordem da quadratura aumenta, o esquema SI não acelerado leva ao mesmo número de iterações até a convergência. Entretanto, o esquema de aceleração DSA de malha grossa diminuiu suavemente a eficiência relativa de 55,8% para 48,9%.

Tabela 4 - Problema Modelo Homogêneo - S4, S8, S16, S128.

a. número de iterações para a convergência;

b. tempo de CPU para a convergência;

c. redução do número de iterações;

d. redução do tempo de CPU.

No quinto experimento numérico consideramos os três tipos de aproximações (FP1, JP1, S2) para as condições de contorno prescritas clássicas SN para a solução da equação da

difusão no esquema acelerado para o problema-modelo com ߪௌ_బ = 0,995 ⁻¹, 0,97 ^ିଵ e 0,8 ^ିଵ. Os números de iterações para a convergência são apresentado na Tabela 5.

Tabela 5 - Número de Iterações Relativo às Condições de Contorno Especiais e Propriedades Materiais.

c. SI acelerado com a presente estratégia DSA de malha grossa.

De acordo com a Tabela 5, a medida que o domínio torna-se menos espalhador, e portanto, mais absorvedor o número de iterações SI para a convergência diminui. Esta característica do esquema SI foi justificada no capítulo 1, seção 1.2. Para os experimentos numéricos listados nas colunas 2 e 3 da Tabela 5, a condição de contorno tipo JP1 foi a que levou à maior eficiência do esquema de aceleração DSA de malha grossa. Já no experimento numérico exibido na coluna 4 da Tabela 5, foi a condição de contorno tipo FP1 que levou à maior eficiência de aceleração.

Nosso sexto experimento numérico consiste em comparar a estratégia DSA de malha grossa com a estratégia DSA de malha fina considerando as condições de contorno especiais (FP1, JP1, e S2) e os métodos numéricos clássicos para problemas SN (DD, Degrau e Degrau Característico) descritos na seção 2.4. Os números de iterações são listados na Tabela 6 e nos revela que as estratégias de aceleração DSA de malha fina e de malha grossa levaram a praticamente o mesmo número de iterações para a convergência. Entretanto, o esquema SI acelerado foi mais eficiente para os métodos DD e Degrau Característico quando usamos condições de contorno tipo JP₁ no problema de difusão. Por outro lado, com o método Degrau, as condições de contorno tipo FP₁ levaram a maior eficiência.

Tabela 6 - Número de Iterações Relativo às Estratégias DSA de Malha Fina e DSA de Malha Grossa para os Métodos Numéricos Clássicos SN.

Condições de contorno

especiais

Métodos Numéricos

DD Degrau Degrau Característico

JP₁ 1098^a 1097^b 1461^a 1461^b 1063ª 1063^b

FP1 1444ª 1444^b 1259ª 1259^b 1439ª 1439^b

S2 1349ª 1349^b 1378ª 1378^b 1341ª 1341^b

a. SI acelerado com a presente estratégia DSA de malha fina;

b. SI acelerado com a presente estratégia DSA de malha grossa.

Neste problema-modelo o desvio relativo percentual máximo entre os resultados numéricos gerados para os fluxos escalares de nêutrons com os modelos acelerados e não objetivo de verificar a eficiência do esquema de aceleração proposto nesta dissertação para o caso solicitado.

Neste problema-modelo consideramos um domínio unidimensional heterogêneo de comprimento 30 cm constituído de cinco regiões definidas por três zonas materiais, com parâmetros físico-materiais e fonte externa, cf. ilustrados na Figura 18 e condições de contorno tipo vácuo à esquerda (x = 0) e à direita ( x = 30 cm).

Para resolver numericamente este problema, usamos o método DD com uma grade espacial composta de nodos de espessura 0,01 cm, quadratura angular de Gauss-Legendre S64

e um critério de convergência requerendo que a norma máxima discreta dos desvios relativos entre duas estimativas consecutivas dos fluxos escalares nas extremidades dos nodos não exceda 10^-6.

Similarmente ao descrito na seção anterior, nosso primeiro experimento consiste em estimarmos os desvios relativos percentuais entre os resultados numéricos gerados para o problema-teste heterogêneo pelo modelo da difusão de partículas neutras com condições de contorno especiais e os resultados numéricos gerados pelo modelo de transporte SN utilizando as quadraturas angulares de Gauss-Legendre S2, S4, S16 e S64. Esses desvios relativos percentuais estão representados nas Figuras 19, 20 e 21, que nos revelam que as condições de contorno especiais tipo JP1 no problema de difusão levaram a uma diminuição dos desvios relativos percentuais quando comparada com as demais. Entretanto, observamos que esses valores são mais altos que os apresentados para o problema homogêneo na seção anterior, sobretudo nas regiões 1 e 4: notemos que a razão de espalhamento, definida na Eq. (5), nestas regiões é 0,4; isto significa que estas regiões são pouco espalhadoras e, portanto, os resultados numéricos gerados pelo modelo de difusão são menos precisos quando comparados com os resultados numéricos do modelo de transporte S_N.

Observamos também, que a região 3, na qual existe a presença de fonte externa, obtemos menores desvios relativos percentuais em todos os três experimentos representados nas Figuras 19, 20 e 21. Isso é devido ao fato de a fonte dominar a solução do problema

Figura 19 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo com Condições de Contorno tipo FP₁.

Figura 20 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo com Condições de Contorno tipo JP1.

Figura 21 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo com Condições de Contorno tipo S2.

O número de iterações SI não acelerado requerido para a convergência da solução numérica do problema-teste heterogêneo foi 42. Usando o presente esquema de aceleração DSA tanto de malha grossa, quanto de malha fina, e considerando os três diferentes tipos de condições de contorno especiais (FP1, JP1 e S2), em todos os casos, o número de iterações reduziu para 28. Isto é, o número de iterações para a convergência foi reduzido de 33,3%. O tempo de CPU requerido para a convergência em cada execução também foi reduzido de 34,4%.

No próximo experimento numérico, alteramos as espessuras das regiões que compõem o domínio do problema-modelo heterogêneo nas proporções de 1 2⁄ , 2, 3, e 4, e, usamos a estratégia de aceleração DSA de malha grossa com condições de contorno especiais JP1. Os números de iterações para a convergência da solução numérica, para cada caso considerado, estão listados na Tabela 7. E mostram que à medida que todas as regiões que compõem o domínio têm suas espessuras aumentadas, o presente esquema DSA de malha grossa torna-se menos eficiente, i.e., o número de iterações para a convergência é reduzido de 38,9% para

17,6% nos experimentos numéricos listados na Tabela 7. Ressaltamos, entretanto, que esta característica pode ser dependente do problema heterogêneo considerado.

Tabela 7 - S64 – Problema-Modelo Heterogêneo.

Proporção de

a. número de iterações para a convergência;

b. tempo de CPU para a convergência;

c. redução do número de iterações;

d. redução do tempo de CPU.

Nosso terceiro experimento numérico consiste em considerar várias ordens para a quadratura angular S_N de Gauss-Legendre, listadas na Tabela 8, para o problema-modelo heterogêneo. Neste teste numérico também usamos a aceleração DSA de malha grossa com condições de contorno tipo JP₁.

Tabela 8 - Problema Modelo Heterogêneo - S₄, S₈, S₃₂, S₆₄, S₁₂₈.

a. número de iterações para a convergência;

b. tempo de CPU para a convergência;

c. redução do número de iterações;

d. redução do tempo de CPU.

No problema-teste heterogêneo considerado nesta dissertação, a mudança da ordem da quadratura não provocou alteração no número de iterações em nenhum dos experimentos numéricos listados na Tabela 8. Como consequência, a eficiência relativa permanece a mesma em todos os casos.

Usamos os presentes esquemas DSA de malha grossa e DSA de malha fina com cada uma das condições de contorno especiais, descritas na seção 2.2, para acelerar o esquema SI considerando os métodos numéricos clássicos SN (DD, Degrau e Degrau Característico) descritos na seção 2.4. Os números de iterações para a convergência da solução numérica permaneceram os mesmos em todas as execuções, i.e., 42 iterações para os casos não acelerados e 28 iterações para os casos acelerados.

O quinto experimento numérico consiste em considerar os três tipos de aproximação (FP₁, JP₁, S₂) para as condições de contorno visando à solução numérica da equação da difusão no esquema SI acelerado para este problema-teste, apenas considerando as seções de choque macroscópicas de espalhamento isotrópico como 95% da seção de choque macroscópica total ߪܶ, i.e., ߪௌ_బ1= 0,475 ⁻¹, ߪௌ_బ2= 1,14 ⁻¹ e ߪௌ_బ3= 0,885 ⁻¹. Assim como descrito no primeiro experimento desta seção, as Figuras 22, 23 e 24 ilustram os desvios relativos percentuais entre os resultados numéricos gerados pelo modelo da difusão com as três condições de contorno especiais e os resultados numéricos gerados pelo modelo de transporte SN utilizando as quadraturas angulares de Gauss-Legendre S2, S4, S16 e S64.

Figura 22 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo Altamente Espalhador com Condições de Contorno tipo FP₁.

Figura 23 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo Altamente Espalhador com Condições de Contorno tipo JP₁.

Figura 24 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo Altamente Espalhador com Condições de Contorno tipo S2.

Como vemos nas Figuras 22, 23 e 24, os desvios relativos percentuais para o problema heterogêneo altamente espalhador foram mais baixos que os apresentados para o problema original. Este fato deve-se ao modelo de difusão representar melhor o fluxo de nêutrons em domínios compostos por regiões com espalhamento dominante. Portanto, os resultados numéricos para os fluxos escalares de nêutrons, gerados pelo modelo de difusão para casos com essa característica, constituem uma melhor estimativa inicial que será usada para a aceleração sintética de difusão (DSA). As Figuras 22, 23 e 24 nos revelam, também, que as condições de contorno tipo FP₁ no problema de difusão levaram a desvios relativos percentuais menores que os demais.

Para o problema heterogêneo altamente espalhador descrito acima, o número de iterações para a convergência do esquema SI não acelerado foi 376. Usando o esquema de aceleração DSA de malha grossa com condições de contorno especiais tipo FP₁, o número de iterações reduziu para 221. Isto é, o número de iterações para a convergência da solução numérica foi reduzido de 41,2%.

No problema-modelo considerado nesta seção o desvio relativo percentual máximo entre os resultados numéricos gerados para os fluxos escalares de nêutrons com os modelos acelerados e não acelerados não ultrapassou 0.00032%.

Todos os experimentos numéricos foram realizados utilizando o código computacional NCD_1D_1G em um computador pessoal com sistema operacional de 32 Bits Windows 7 Ultimate, CPU Intel® Pentium® Dual T3400 e memória (RAM) de 2,00 GB. Ressaltamos que o tempo de CPU deve ser visto apenas como um elemento ilustrativo ou indicativo do ganho em termos de performance, pois normalmente não temos o controle sobre o número de processos executados simultaneamente com o código.

Com base nos resultados numéricos apresentados neste capítulo para os dois problemas-modelos considerados nas seções 4.1 e 4.2 respectivamente, ressaltamos que os raios espectrais, cf. definidos na seção 3.3, permanecem os mesmos, pois a matriz de iteração do esquema SI não foi alterada. Essencialmente, a proposta de aceleração desta dissertação é a obtenção de uma melhor estimativa para a fonte de espalhamento. Concluímos esta dissertação no próximo capítulo, onde apresentamos as nossas conclusões e as sugestões para trabalhos futuros.

5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Desenvolvemos nesta dissertação duas estratégias numéricas de aceleração do esquema iterativo de fonte de espalhamento (SI), convencionalmente usado para convergir soluções numéricas em métodos de malha fina para problemas de transporte de partículas neutras na formulação de ordenadas discretas (SN). A essência das estratégias de aceleração propostas está na obtenção de uma melhor estimativa inicial para a fonte de espalhamento, i.e., tanto para sua componente isotrópica, quanto para sua componente linearmente anisotrópica. A melhor estimativa, a que nos referimos, é obtida a partir do modelo de difusão de nêutrons com condições de contorno especiais que aproximam as condições de contorno prescritas que usamos no problema S_N original. Implementamos esta técnica para problemas S_N monoenergéticos, unidimensionais, com espalhamento linearmente anisotrópico e fonte interior fixa. Nessas condições, descrevemos duas modalidades de aceleração sintética com aproximação de difusão: o esquema de aceleração sintética de malha fina e o esquema de aceleração sintética de malha grossa. O primeiro esquema fundamenta-se na solução numérica da equação da difusão usando o clássico método de diferenças finitas na configuração canto de malha. O segundo esquema de aceleração fundamenta-se na solução numérica livre de erros de truncamento espacial da equação da difusão usando o método espectronodal de malha grossa, onde cada nodo coincide com as regiões materiais do domínio, e em seguida, a técnica de reconstrução espacial é implementada nos mesmos pontos de grade de discretização das equações SN.

Mesmo em problemas pouco difusivos, i.e., domínio altamente heterogêneo com seções de choque macroscópicas de absorção elevadas, cf. ilustramos no problema-modelo da seção 4.2, vemos que o presente esquema de aceleração sintética de malha fina, assim como o de malha grossa, mostrou-se bastante eficiente, tanto no que diz respeito à redução do número de iterações, quanto ao tempo de CPU computacional. Atribuímos essa boa característica do esquema proposto ao simples fato de que alguma estimativa inicial com base em alguma teoria aplicável, no nosso caso a teoria da difusão, é melhor do que a estimativa inicial nula, como é tradicionalmente feito para obtermos os valores dos fluxos angulares não colididos como primeira estimativa da solução numérica.

Como trabalhos futuros propomos a implementação desta técnica de aceleração sintética de difusão para problemas SN multigrupo de energia para que sejam incluídas em nosso modelo as transferências de energia que podem ocorrer nos eventos de espalhamento entre os nêutrons e os núcleos dos átomos constituintes do meio. Propomos também a implementação da técnica de aceleração sintética, que descrevemos nesta dissertação, para convergência dos esquemas iterativos SI e NBI, cf. one-node block inversion [25], em problemas SN adjuntos, que são muito utilizados em teoria da perturbação, em problemas tipo fonte-detetor de partículas neutras, em redução de variância nos métodos de Monte Carlo, entre outras aplicações. Ressaltamos aqui que a essência desta dissertação está publicada na Ref. [24].

Concluindo, esta dissertação sustenta-se no tripé que, em nosso entendimento, também sustenta o nosso Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional: (i) área de aplicação – Engenharia Nuclear, (ii) contribuição metodológica relevante – método de aceleração sintética de difusão do esquema de iteração de fonte de espalhamento, (iii) implementação da metodologia para cálculos computacionais de problemas – código computacional desenvolvido em linguagem C++.

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