Frederico Pereira Santos

Um método sintético de difusão para aceleração do esquema de fonte de espalhamento em cálculos S_N unidimensionais de fonte fixa

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós- Graduação em Modelagem Computacional, do Instituto Politécnico, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Área de concentração: Matemática Aplicada e Computação Científica.

Aprovado em 9 de setembro de 2011.

Banca Examinadora:

____________________________________________

Nova Friburgo 2011

À minha mãe que, com muito carinho e apoio, não mediu esforços para que eu chegasse até esta etapa de minha vida.

Aos meus orientadores Prof. Ricardo Carvalho de Barros e Prof. Hermes Alves Filho pelo apoio e inspiração no amadurecimento dos meus conhecimentos e conceitos que me levaram a execução e conclusão desta dissertação de mestrado.

À Capes pelo apoio financeiro.

Não é bom tentar impedir o conhecimento de ir para frente.

A ignorância nunca é melhor do que o conhecimento.

Enrico Fermi

6$1726)UHGHULFR3HUHLUD8P0pWRGR6LQWpWLFRGH'LIXVmRSDUD$FHOHUDomRGR(VTXHPD GH,WHUDomRGH)RQWHGH(VSDOKDPHQWRHP&iOFXORV618QLGLPHQVLRQDLVGH)RQWH)L[D I'LVVHUWDomRPHVWUDGRHP0RGHODJHP&RPSXWDFLRQDO±,QVWLWXWR3ROLWpFQLFR

8QLYHUVLGDGHGR(VWDGRGR5LRGH-DQHLUR1RYD)ULEXUJR

2HVTXHPDLWHUDWLYRGHIRQWHGHHVSDOKDPHQWR6,pWUDGLFLRQDOPHQWHDSOLFDGRSDUDD FRQYHUJrQFLD GD VROXomR QXPpULFD GH PDOKD ILQD SDUD SUREOHPDV GH WUDQVSRUWH GH QrXWURQV PRQRHQHUJpWLFRVQDIRUPXODomRGHRUGHQDGDVGLVFUHWDVFRPIRQWHIL[D2HVTXHPD6,pPXLWR VLPSOHVGHVHLPSOHPHQWDUVRERSRQWRGHYLVWD FRPSXWDFLRQDOSRUpP RHVTXHPD6,SRGH DSUHVHQWDU WD[D GH FRQYHUJrQFLD PXLWR OHQWD SULQFLSDOPHQWH SDUD PHLRV GLIXVLYRV EDL[D DEVRUomR FRP YiULRV OLYUHV FDPLQKRV PpGLRV GH H[WHQVmR 1HVWD GLVVHUWDomR GHVFUHYHPRV XPD WpFQLFD GH DFHOHUDomR EDVHDGD QD PHOKRULD GD HVWLPDWLYD LQLFLDO SDUD D GLVWULEXLomR GD IRQWHGHHVSDOKDPHQWRQRLQWHULRUGRGRPtQLRGHVROXomR(PRXWUDVSDODYUDVXVDPRVFRPR HVWLPDWLYD LQLFLDO SDUD R IOX[R HVFDODU PpGLR QD JUDGH GH GLVFUHWL]DomR GH PDOKD ILQD SUHVHQWHV QRV WHUPRV GD IRQWH GH HVSDOKDPHQWR GDV HTXDo}HV GLVFUHWL]DGDV 61 XVDGDV QDV YDUUHGXUDV GH WUDQVSRUWH D VROXomR QXPpULFD GD HTXDomR GD GLIXVmR GH QrXWURQV HP JUDGH HVSDFLDOGHPDOKDJURVVDFRPFRQGLo}HVGHFRQWRUQRHVSHFLDLVTXHDSUR[LPDPDVFRQGLo}HV GHFRQWRUQRSUHVFULWDVTXHVmRFOiVVLFDVHPFiOFXORV61LQFOXLQGRFRQGLo}HVGHFRQWRUQRGR WLSR YiFXR 3DUD DSOLFDUPRV HVWD VROXomR JHUDGD SHOD HTXDomR GD GLIXVmR HP JUDGH GH GLVFUHWL]DomR GH PDOKD JURVVD QDV HTXDo}HV GLVFUHWL]DGDV 61 GH WUDQVSRUWH QD JUDGH GH GLVFUHWL]DomR GH PDOKD ILQD SULPHLUR LPSOHPHQWDPRV XPD UHFRQVWUXomR HVSDFLDO GHQWUR GH FDGD QRGR GH GLVFUHWL]DomR H HQWmR GHWHUPLQDPRV R IOX[R HVFDODU PpGLR HP JUDGH GH GLVFUHWL]DomRGHPDOKDILQDSDUDXViORQRVWHUPRVGDIRQWHGHHVSDOKDPHQWR&RQVLGHUDPRV XP Q~PHUR GH H[SHULPHQWRV QXPpULFRV SDUD LOXVWUDU D HILFLrQFLD RIHUHFLGD SHOD SUHVHQWH WpFQLFD'6$GHDFHOHUDomRVLQWpWLFDGHGLIXVmR

3DODYUDVFKDYH7UDQVSRUWHGHSDUWtFXODVQHXWUDV2UGHQDGDVGLVFUHWDV,WHUDomRGHIRQWHGH HVSDOKDPHQWR$FHOHUDomRVLQWpWLFDGHGLIXVmR

The scattering source iterative (SI) scheme is traditionally applied to converge fine- mesh numerical solutions to fixed-source discrete ordinates (S_୒) neutron transport problems.

The SI scheme is very simple to implement under a computational viewpoint. However, the SI scheme may show very slow convergence rate, mainly for diffusive media (low absorption) with several mean free paths in extent. In this work we describe an acceleration technique based on an improved initial guess for the scattering source distribution within the slab. In other words, we use as initial guess for the fine-mesh average scalar flux in the scattering source terms of the S_N discretized equations used in the transport sweeps, the coarse-mesh solution of the neutron diffusion equation with special boundary conditions to account for the classical SN prescribed boundary conditions, including vacuum boundary conditions. To apply this coarse-mesh diffusion solution into the fine-mesh SN transport sweep discretized equations, we first perform within-node spatial reconstruction, and then we determine the fine-mesh average scalar flux for use in the scattering source terms. We consider a number of numerical experiments to illustrate the efficiency of the offered diffusion synthetic acceleration (DSA) technique.

Keywords: Neutral particle transport. Discrete ordinates. Source iteration. Diffusion synthetic acceleration.

Figura 1 - Ângulos Polar (θ) e Azimutal (φ) ... 19

Figura 2 - Grade de discretização espacial ... 25

Figura 3 - Nodo Arbitrário ߁௝ ... 27

Figura 4 - Domínio unidimensional de comprimento X ... 35

Figura 5 - Grade espacial em uma região R do domínio ... 36

Figura 6 - Interfaces interiores ao domínio ... 37

Figura 7 - Contorno esquerdo ... 38

Figura 8 - Contorno direito ... 38

Figura 9 - Menu Principal ... 45

Figura 10 - Tela Principal do Aplicativo para o Transporte de Partículas Neutras ... 46

Figura 11 - Tela Principal do Aplicativo para a Difusão de Partículas Neutras ... 46

Figura 12 - Gráfico do Resultado Numérico Gerado pelo NCD_1D_1G ... 47

Figura 13 - Problema-Modelo Heterogêneo 1 ... 49

Figura 14 - Tela Principal do Aplicativo NCD_1D_1G para o Problema Modelo 1 ... 50

Figura 15 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Homogêneo com Condições de Contorno tipo FP1 ... 53

Figura 16 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Homogêneo com Condições de Contorno tipo JP1 ... 53

Figura 17 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Homogêneo com Condições de Contorno tipo S₂ ... 54

Figura 18 - Problema-Teste Heterogêneo ... 58

Figura 19 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo com Condições de Contorno tipo FP1 ... 59

Figura 20 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo com Condições de Contorno tipo JP1 ... 59

Figura 21 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo com Condições de Contorno tipo S₂ ... 60

Figura 23 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo Altamente

Espalhador com Condições de Contorno tipo JP1 ... 63 Figura 24 - Desvios Relativos Percentuais para o Problema Heterogêneo Altamente

Espalhador com Condições de Contorno tipo S2 ... 64

Tabela 1 - Condições de contorno aproximadas em relação às Eqs. (49a-b) ... 35

Tabela 2 - Algumas Quadraturas Angulares de Gauss-Legendre ... 48

Tabela 3 - S16 - Problema-Modelo Homogêneo ... 55

Tabela 4 - Problema Modelo Homogêneo - S₄, S₈, S₁₆, S₁₂₈ ... 55

Tabela 5 - Número de Iterações Relativo às Condições de Contorno Especiais e Propriedades Materiais ... 56

Tabela 6 - Número de Iterações Relativo às Estratégias DSA de MalhaFina e DSA de Malha Grossa para os Métodos Numéricos Clássicos S_N ... 57

Tabela 7 - S64 – Problema-Modelo Heterogêneo ... 61

Tabela 8 - Problema Modelo Heterogêneo - S4, S8, S32, S64, S128 ... 61

INTRODUÇÃO... 12

1 MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL DO TRANSPORTE DE NÊUTRONS ... 17

1.1 A Equação Linearizada de Boltzmann ... 17

1.2 O Esquema Iterativo de Fonte de Espalhamento (SI) ... 22

1.3 Equações de Ordenadas Discretas (SN) ... 23

1.4 Métodos Numéricos Clássicos para Problemas S_N ... 26

1.4.1 Método DD (Diamond Difference) ... 27

1.4.2 Método Degrau (Step) ... 28

1.4.3 Método Degrau Característico ... 28

1.4.4 Equações Auxiliares Generalizadas ... 29

2 ACELERAÇÃO SINTÉTICA DE DIFUSÃO (DSA-diffusion synthetic acceleration) ... 31

2.1 A Equação de Difusão de Nêutrons ... 31

2.2 As Condições de Contorno Especiais ... 32

2.3 Método de Malha Fina (Diferenças Finitas) para a Equação da Difusão 35 2.4 Método de Malha Grossa (Espectronodal) para a Equação da Difusão 39

2.4.1 O Esquema de Reconstrução Nodal ... 43

2.5 O Esquema SI Acelerado ... 43

3 O APLICATIVO COMPUTACIONAL ... 45

3.1 Gerador de Quadraturas Angulares de Gauss-Legendre ... 47

3.2 Aspectos Computacionais ... 49

3.3 Raio Espectral ... 50

3.4 Taxa de Absorção e Fuga de Nêutrons ... 51

4.2 Problema Heterogênio ... 57 5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS ... 66 REFERÊNCIAS ... 68

INTRODUÇÃO

Neste ano completa-se um século do modelo atômico planetário, proposto pelo cientista neo-zelandês Ernest Rutherford, após seu decisivo experimento (1911), que provou que o modelo atômico que se usava até então, em que os elétrons (partículas com carga elétrica negativa) estavam incrustados numa massa de carga elétrica positiva (os prótons) não explicava uma série de fenômenos. Este modelo é conhecido como “pudim de ameixas”.

Apesar de Rutherford ter postulado a existência de partículas neutras constituintes dos átomos, foi apenas em 1932 (21 anos mais tarde) que o físico inglês James Chadwick detectou o nêutron.

Após a descoberta do nêutron, que não possui carga elétrica, muitos experimentos foram realizados para investigar o resultado de interações nêutron-nucleares. Devido à neutralidade elétrica dos nêutrons, eles podem colidir com os núcleos atômicos mesmo com baixíssima energia cinética. Foi após investigações experimentais das interações dos nêutrons com a matéria, que foi possível desenvolver reatores nucleares que geram energia elétrica a partir de uma cadeia de reações nucleares de fissão dos núcleos dos átomos de urânio com grande liberação de energia. Na indústria, a neutrongrafia também é muito utilizada em ensaios não destrutivos para detectar falhas, corrosões, bolhas em materiais densos, como por exemplo, fuselagem de aviões. Em medicina, na terapia de certas doenças, como lesões cerebrais, podemos citar a terapia por captura neutrônica no boro (BNCT, cf. Boron Neutron Capture Therapy). Nessa terapia, o boro é injetado no paciente que se aglomera em torno da lesão. Ao incidir um feixe de nêutrons na região da lesão emitido por um reator nuclear, o boro absorve esses nêutrons e torna-se radioativo, emitindo radiação que destrói as células doentes. Em geofísica, podemos usar fontes de nêutrons para a detecção de hidrocarbonetos (petróleo ou gás natural) no subsolo terrestre.

Como vemos, existem várias aplicações da neutrônica benéficas para a humanidade.

Portanto, o estudo do transporte de nêutrons é muito importante na atualidade, e neste contexto, a modelagem computacional surge como uma ferramenta muito útil. Ademais, permite a aplicação em cálculos de blindagem, que visam a proteger os equipamentos e a biosfera contra a radiação ionizante.

A descrição da migração dos nêutrons no interior de um meio material, com a

probabilidade de interação com os núcleos dos átomos constituintes deste meio, constitui a modelagem física do fenômeno de transporte de nêutrons. O próximo passo é desenvolver uma modelagem matemática e computacional deste problema físico, para então, simular a distribuição de nêutrons no domínio de interesse. A modelagem computacional segue basicamente duas escolas distintas: (i) a escola probabilística, não descrita nesta dissertação, cuja filosofia básica é resolver aproximadamente o problema exato, e nesta linha incluímos os métodos estocásticos, e.g., os métodos de Monte Carlo [1]; (ii) e a escola determinística, cuja a filosofia básica é resolver exatamente um problema aproximado. Nesta linha, inserem-se os métodos determinísticos, e.g., os métodos de elementos finitos [2], os métodos de paridade par e ímpar [3], os métodos integrais [4], os métodos de ordenadas discretas [3], entre outros.

Na modelagem computacional via escola determinística, abordada nesta dissertação, fazemos uso da equação de transporte de partículas neutras, e.g., nêutrons ou fótons, também denominada equação linearizada de Boltzmann devido sua similaridade com a expressão obtida por L. Boltzmann [5] em conexão com a teoria cinética dos gases, e que, em nosso contexto, representa um balanço entre produção e remoção de partículas. A equação de transporte de nêutrons é uma equação integrodiferencial parcial linear de primeira ordem em sete variáveis independentes: três espaciais, duas angulares, uma energética e uma temporal.

Considerando a grande complexidade ou até mesmo a impossibilidade de obtermos uma solução analítica em forma fechada, métodos numéricos são desenvolvidos com o objetivo de obtermos soluções numéricas para o problema. Estes métodos numéricos discretizam as variáveis do espaço de fase e usam vários esquemas diretos ou iterativos para resolver o sistema de equações algébricas resultante. A variável energia pode ser tratada pela aproximação multigrupo [1]. A variável angular pode ser tratada seguindo vários caminhos: a aproximação da difusão [6], a expansão em harmônicos esféricos [4], o método de ordenadas discretas [1]. Nesta dissertação, usamos o modelo de ordenadas discretas (SN) e a variável espacial pode ser discretizada por métodos de malha fina, e.g, o método Diamond Difference (DD) [1]; os métodos de malha média, e.g., métodos de elementos finitos; ou métodos de malha grossa, e.g., os métodos nodais, entre os quais citamos a classe dos métodos espectronodais SGF, cf., “spectral Green’s function” [7]. A variável temporal também pode ser discretizada com métodos de malha fina, média e grossa, implícitos e explícitos [8,9].

Nesta dissertação, consideramos o modelo determinístico do transporte de partículas neutras em meios materiais não multiplicativos, i.e., meios materiais onde não ocorre multiplicação de partículas. Em outras palavras, uma partícula ao colidir com um núcleo atômico constituinte do meio material, poderá ser absorvida (não gerando outras partículas

idênticas) ou sofrer espalhamento, i.e., após uma colisão, um nêutron emergirá e poderá não ser o mesmo nêutron que colidiu com o núcleo-alvo. Ademais, consideramos: (i) estado estacionário, i.e., não há dependência temporal; (ii) problema de transporte de nêutrons monoenergéticos, i.e., não há transferência de energia nas colisões dos nêutrons com os núcleos; (iii) fonte fixa, i.e., nêutrons são gerados por fontes externas em todas as direções com igual energia e intensidade; e (iv) geometria unidimensional.

Um esquema clássico de convergência da solução numérica de problemas SN de fonte fixa é fundamentado em uma forma de solução em série de Von Neumann [1] que é conhecida na literatura como esquema iterativo de fonte de espalhamento (“source iteration”, SI). Este esquema iterativo é frequentemente usado em métodos numéricos de malha fina (DD e Degrau) e o método nodal Degrau Característico.

Em geral o esquema iterativo de fonte de espalhamento é bastante eficiente do ponto de vista computacional no que diz respeito às operações aritméticas em cada iteração e às necessidades de memória. Este esquema também converge a solução em um número razoável de iterações [1]. Por exemplo, o esquema SI converge em uma iteração problemas em meios absorvedores puros. Em problemas com regiões oticamente largas (vários números de livres caminhos médios) e com grande probabilidade de espalhamento intragrupo de energia, entretanto, a convergência do esquema SI torna-se muito lenta, já que, nessas circunstâncias, nêutrons que têm feito muitas colisões em um dado grupo de energia deverão contribuir substancialmente com a distribuição do fluxo escalar. Esta convergência lenta é particularmente notada para cálculo de transporte envolvendo um ou poucos grupos de energia com o grupo térmico correspondente à faixa de 0 a 1 eV, pois uma vez que os nêutrons tenham completado os processos de moderação energética, eles podem fazer várias colisões com os núcleos-alvos a menos que altos absorvedores de nêutrons térmicos, e.g., cádmio, estejam presentes. Mesmo em faixas de energias altas, a convergência lenta pode ocorrer, particularmente se apenas núcleos mais pesados estão presentes, pois os nêutron têm que fazer um grande número de colisões antes de transferir energia suficiente em média para ser removido do grupo de energia. Quando se usam grupos mais estreitos de energia, a taxa de convergência do esquema SI tende a aumentar.

Várias técnicas têm sido usadas para acelerar, i.e., aumentar a taxa de convergência em cálculos de transporte de partículas, em geral [10,11,12,13,14,15], e do esquema SI, em particular, e.g., aceleração de Chebychev; sobrerrelaxação de 2 ciclos; rebalanceamento de malha grossa; métodos sintéticos, entre outros. Observamos que os dois últimos métodos de aceleração listados acima, diferentemente dos dois primeiros, originam-se em argumentos

físicos sobre as propriedades do domínio de solução.

É fato conhecido que técnicas de aceleração sintéticas são muito eficientes. O conceito de um esquema de aceleração sintético foi introduzido por Kopp [16], que usou a equação de difusão [17] como operador de baixa ordem para acelerar iterações de transporte.

Reed [18] mostrou que o método sintético de difusão é rapidamente convergente para grades espaciais finas, mas diverge para grades mais grossas. Alcouffe [19] propôs uma solução para a divergência descrita por Reed, introduzindo a eficiente aceleração sintética de difusão (DSA), que é rapidamente convergente para malhas espaciais de qualquer espessura.

Nesta dissertação, descrevemos uma estratégia de aceleração para o esquema iterativo SI baseada na melhoria da estimativa inicial para a distribuição da fonte de espalhamento no interior do domínio de solução. Em outras palavras, usamos como estimativa inicial para a fonte de espalhamento na grade de discretização de malha fina, a solução numérica da equação da difusão de nêutrons com condições de contorno especiais, que aproximam as condições de contorno prescritas que são clássicas em cálculos S_N, incluindo condições de contorno do tipo vácuo. Para tanto, desenvolvemos dois tipos de estratégias: aceleração sintética de malha fina e aceleração sintética de malha grossa. Na estratégia de aceleração de malha fina, resolvemos numericamente a equação da difusão usando o convencional método de diferenças finitas com grade fina de discretização espacial coincidente com a grade de discretização utilizada no método S_N, onde implementamos o esquema SI. Na estratégia de aceleração de malha grossa, resolvemos numericamente a equação da difusão usando o método espectronodal com grade grossa de discretização espacial acoplado a um esquema de reconstrução espacial intranodal para gerar as estimativas iniciais do perfil da fonte de espalhamento na grade fina de discretização usada no método SN com esquema iterativo SI.

Observamos neste ponto, que o método espectronodal de difusão gera solução numérica completamente livre de erros de truncamento espacial. Em outras palavras, o método espectronodal gera soluções numéricas para problemas de difusão que coincidem com os valores numéricos gerados a partir da solução analítica, a menos de erros de arredondamento da aritmética finita computacional. Essa característica do método espectronodal de difusão, como descrevemos nesta dissertação, ocorre, pois como veremos no capítulo2, as equações de diferenças possuem parâmetros que preservam incondicionalmente a solução geral analítica da equação da difusão no interior de cada nodo de discrestização espacial.

Em prosseguimento, apresentamos uma sinopse desta dissertação. No capítulo 1, descrevemos a formulação S_N da equação de transporte de nêutrons em geometria unidimensional; os três métodos clássicos de malha fina: DD, Degrau e Degrau Característico

para a resolução numérica das equações SN; o esquema SI e suas respectivas equações de varreduras generalizadas. No capítulo 2, apresentamos a equação da difusão de nêutrons em geometria unidimensional, a aproximação das condições de contorno usadas tradicionalmente em problemas SN, o método de diferenças finitas para a equação da difusão, o método espectronodal juntamente com o esquema de reconstrução intranodal, também para a equação da difusão, e o esquema SI acelerado. No capítulo 3, apresentamos o aplicativo computacional desenvolvido nesta dissertação, um gerador de quadraturas angulares de Gauss-Legendre e uma técnica para estimar o raio espectral da matriz de iteração do esquema SI. No capítulo 4 consideramos alguns experimentos numéricos para ilustrar a eficiência do esquema de aceleração sintética de difusão, e uma discussão é apresentada no capítulo 5, assim como algumas sugestões para trabalhos futuros.

1 MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL DO TRANSPORTE DE NÊUTRONS

Na modelagem matemática que vamos adotar para o problema físico de transporte de partículas neutras, assumimos que todos os parâmetros materiais do meio hospedeiro são conhecidos. Será levada em conta a migração da população média de partículas, mas não o comportamento individual de cada uma. A população de partículas neutras, e.g., nêutrons ou fótons, será tratada como uma grandeza estatística, considerando os caminhos pelos quais as partículas são geradas, migram e são removidas.

Neste capítulo, na seção 1.1, apresentamos uma equação integrodiferencial, conhecida como equação linearizada de Boltzmann [1], que descreve matematicamente o fenômeno de transporte no qual partículas neutras, tais como nêutrons ou fótons, interagem diretamente com os núcleos dos átomos do material hospedeiro, mas não entre si. Para introduzir a base matemática, vamos considerar um estado estacionário, monoenergético, espalhamento linearmente anisotrópico e com fonte fixa isotrópica em geometria unidimensional num domínio de comprimento X. Em prosseguimento apresentamos o esquema iterativo de fonte de espalhamento SI (source iteration) na seção 1.2; as equações de ordenadas discretas SN na seção 1.3 e os métodos numéricos clássicos na seção 1.4.

1.1 A Equação Linearizada de Boltzmann

A equação de Boltzmann, que constitui a base de aproximadamente todos os cálculos de transporte de partículas neutras, em sua forma mais geral é escrita como

1

,, ,+ ∘,, ,+்,,, , =

′

ஶ

଴

′

ସగ

^ᇱ, ′ →, ^ᇱ்,′,′, ′,+,, , .

Como vemos é uma equação integrodiferencial parcial de primeira ordem em sete variáveis (1)

independentes: três componentes do vetor posição , uma variável energia , duas componentes do versor velocidade e o tempo . A notação usada aqui é convencional [1], o fluxo angular de nêutrons ,, Ω, é a intensidade do número de partículas em com energia por unidade de volume espacial que, por unidade de tempo, atravessa uma superfície unitária cuja normal tem a direção Ω. Para cada evento causado por um nêutron de energia ′ e migrando na direção Ω′, existe uma probabilidade E^ᇱ, Ω′ →, ΩΩ que um dos nêutrons emergentes da colisão com um núcleo atômico terá energia em e direção Ω em Ω. A multiplicidade é o número de nêutrons que aparecem como resultado de um evento e é definida como

=ௌ+ி+௫௡

்

,

onde ் é a seção de choque macroscópica total que caracteriza a probabilidade que uma colisão ocorra, ௌ, ி e ௫௡ são respectivamente as seções de choque macroscópicas de espalhamento, de fissão e de reações do tipo , e é o número de nêutrons prontos que aparecem no processo de fissão. As seções de choque macroscópicas estão relacionadas com a probabilidade por unidade de comprimento que uma partícula com uma dada energia relativa sofrerá um determinado tipo de reação nuclear ao migrar uma distância unitária no meio hospedeiro. Quanto maior for a seção de choque macroscópica do meio hospedeiro, menor será o livre caminho médio (m.f.p. cf. “mean free path”) da partícula neste meio, i.e., menor será a distância média percorrida pelo nêutron ou fóton até que tal reação nuclear ocorra. O termo ,, Ω, na Eq. (1) representa a contribuição de nêutrons gerados por fontes externas e é a velocidade dos nêutrons.

Partindo da equação de transporte dependente do tempo e da energia [Eq. (1)]

consideramos um modelo matemático simplificado com sete aproximações que definimos a seguir. Primeiro, consideramos o problema estacionário de transporte de nêutrons, isto é, não há dependência temporal, e portanto, a variação do fluxo angular de nêutrons com o tempo é nula. Assim temos

1

,, Ω,= 0 .

Em prosseguimento, consideramos o problema de transporte de nêutrons monoenergéticos, no qual não há transferência de energia nas colisões dos nêutrons com os núcleos. Portanto, a (3) (2)

Eq. (1) aparece como

∘, +், = Ω′

ସగ

Ω′ → Ω c், Ω′+, Ω .

Ademais, consideramos meios materiais não multiplicativos, onde a fissão e reações do tipo , são desconsideradas. Assim a Eq. (2) resume-se a

= ௌ

்

.

Consideramos = conforme notação convencional [1], onde é o ângulo polar relativo ao eixo-x positivo como ilustrado na Figura 1. Observamos, neste ponto, que normalmente o ângulo polar é medido em relação ao eixo-z positivo. Porém, como é convencional tratar problemas unidimensionais na literatura especializada [1], denominamos os eixos coordenados conforme Figura 1. Ademais, em geral o símbolo para a seção de choque macroscópica é Σ ao invés de . Entretanto, nesta dissertação usamos o símbolo para denotar a seção de choque macroscópica que tem unidade cm^-1 para evitar confundir o leitor com o símbolo de somatório que usamos com frequência no texto.

Em prosseguimento, podemos escrever a Eq. (4) como

Figura 1 - Ângulos Polar (θ) e Azimutal (φ).

ΩሬሬԦ θ ݔ

ݖ

ݕ φ

(5) (4)

̂+ !"̂+ !#∘,!,+்,!, =

!′,′ →!,ௌ,!′,′′!′

ଵ

ିଵ ଶగ

଴

+,!, .

Para o caso unidimensional, calculamos o fluxo angular apenas ao longo do eixo x.

Considerando o fluxo angular como azimutalmente simétrico, i.e., ,!′,′ =,′

2$ e calculando a integral em !′ a Eq. (6) aparece como

,+், = ′ →ௌ,′′

ଵ

ିଵ

+, .

Em geometria unidimensional é convencional expandir ′ →ௌ em polinômios de Legendre [1] nas variáveis angulares e ′. Portanto escrevemos

′ →ௌ= %2ℓ + 1

2

௅

ℓୀ଴

ௌℓ&^ℓ′&^ℓ .

Nesta dissertação, consideramos o espalhamento isotrópico e o espalhamento linearmente anisotrópico, isto é, consideramos a anisotropia do espalhamento até a primeira ordem. No espalhamento isotrópico '= 0, os nêutrons incidentes em qualquer direção ′ emergirão das colisões com os núcleos-alvos com igual probabilidade para todas as direções emergentes.

Considerando o espalhamento linearmente anisotrópico '= 1, a Eq. (8) assume a forma

,+்,= 1

2ௌ_బ ,^ᇱᇱ

ଵ

ିଵ

+

+3

2ௌ_భ ′,^ᇱᇱ

ଵ

ିଵ

+ ,

0 ≤ ≤( , − 1 ≤ ≤ 1 ; com as condições de contorno prescritas

(7)

(9)

(10) (6)

(8)

0,= , 0 < < 1

e

(,= ) , − 1 < < 0 .

Para as condições de contorno do tipo reflexiva usamos em (11a-b) =0, − , 0 < < 1

e

)= (, − , − 1 < < 0 .

As condições de contorno do tipo vácuo são obtidas fazendo = 0 e )= 0.

Definimos o termo à esquerda da equação de balanço neutrônico (10) como termo de remoção de nêutrons como resultados de colisões e da migração dos nêutrons. O termo à direita é definido como termo de produção de nêutrons gerados por fontes de espalhamento e por fonte interior no domínio de intensidade .

Neste ponto, para simplificar a notação, escrevemos a Eq. (10) na forma

' =*+ ,

onde podemos definir o operador de migração-colisão '=

+் , e o operador de espalhamento

*=1

2ௌ_బ ∙

ଵ

ିଵ

^ᇱ+3

2ௌ_భ ′∙

ଵ

ିଵ

^ᇱ .

Na próxima seção, descrevemos um esquema iterativo que é tradicionalmente usado para convergir soluções numéricas para problemas de transporte de nêutrons modelados matematicamente pelas equações (10 - 11).

(12a)

(12b)

(14) (13) (11a)

(11b)

(15)

1.2 O Esquema Iterativo de Fonte de Espalhamento (SI)

O mais básico esquema de iteração de transporte é a iteração de fonte (SI), a qual é definida como

'^{ሺℓାଵሻ} =*^ሺℓሻ+ , ℓ ≥ 0 ,

onde ^ሺ଴ሻ é inicializado pelo usuário [3]. O algoritmo SI possui os seguintes passos: (i) introduz-se uma estimativa para o fluxo escalar

+= ,^ᇱᇱ

ଵ

ିଵ

e para a corrente total

,= ^ᇱ,^ᇱᇱ

ଵ

ିଵ

no lado direito da Eq. (10); (ii) usando esta estimativa, as Eqs. (10 - 11) são resolvidas para obtermos ; (iii) esta estimativa para assim obtida é introduzida na Eq. (17) e na Eq. (18) para obter as novas estimativas para + e para , respectivamente. Este esquema iterativo é repetido até que um critério de convergência pré-estabelecido seja satisfeito. Neste ponto observamos que se a estimativa inicial para o fluxo escalar +^ሺ଴ሻ = 0, para a corrente total ,^ሺ଴ሻ = 0 e a ℓ-ésima estimativa do fluxo angular é definida como ^ሺℓሻ, então para ℓ ≥ 1, concluímos que ^ሺℓሻ, é o fluxo angular constituído de partículas que tenham sido espalhadas no máximo ℓ − 1 vezes. Então, para domínios compostos por regiões oticamente espessas (baixa fuga de nêutrons) e com espalhamento dominante, as partículas nessas regiões espaciais sofrem tipicamente muitas colisões antes de serem capturadas ou migrarem pelos contornos. Para tais sistemas, o esquema SI converge lentamente e eficientes estratégias de aceleração são de grande interesse para a modelagem computacional [3].

(17)

(18) (16)

1.3 Equações de Ordenadas Discretas (SN)

O método de ordenadas discretas (SN) para a equação de transporte (10) discretiza a variável angular em - valores e, como resultado, o termo integral de fonte é aproximado por uma fórmula de quadratura. Em geometria unidimensional, é usada tradicionalmente a quadratura angular de Gauss-Legendre [1] de ordem par, mas outras quadraturas também podem ser consideradas para a aproximação [20]. Desta forma, considerando estado estacionário, monoenergético, espalhamento linearmente anisotrópico e fonte fixa, que tratamos nesta dissertação, as equações SN em geometria unidimensional aparecem como

௠

௠+்௠= 1

2ௌ_బ % ௡

ே

௡ୀଵ

.௡+

+3

2௠ௌ_భ % ௡௡

ே

௡ୀଵ

.௡+ ,

0 ≤ ≤( , /= 1:- ; com as condições de contorno prescritas

௠0= ௠ ௠> 0

e

௠(= )௠ ௠ < 0 .

Para as condições de contorno do tipo reflexiva usamos em (20a-b) ௠ =0, −௠ , ௠ > 0

e

)௠ =(, −௠ , ௠ < 0 .

As condições de contorno do tipo vácuo são obtidas fazendo ௠ = 0 e )௠= 0 nas Eqs. (20a-b).

Aqui definimos ௠= ,௠, ௠ =௠, )௠= )௠ e .௡, = 1:-, como os pesos da quadratura.

(20a)

(21b) (20b)

(21a) (19)

Para determinarmos as ordenadas discretas ௠ e os pesos .௠ da quadratura SN de Gauss-Legendre, fazemos

ଵ

ିଵ

≈ % ௡

ே

௡ୀଵ

.௡ ,

onde ௡, = 1:-, são as raízes do polinômio de Legendre de grau N e representam as direções discretas do fluxo angular de nêutrons. Os polinômios de Legendre podem ser definidos pela fómula de Rodriguez [21], porém, do ponto de vista computacional, consideramos mais útil usar a seguinte fórmula de recorrência

&଴= 1

&ଵ=

&ேାଵ= 1

-+ 102-+ 1&ே−-&ேିଵ1 , = 1,2, …

Os pesos das quadraturas são determindos de tal forma que os polinômios de Legendre de graus 0 até N - 1 sejam integrados exatamente pelas quadraturas. Portanto, usamos a propriedade de ortonormalidade dos polinômios de Legendre descrita como

&^ℓ&௞

ଵ

ିଵ

= 2

2ℓ + 12ℓ,௞ ,

onde 2ℓ,௞ é o delta de Krönecker que é definido como segue

2ℓ,௞ =3 1 , ℓ =# .

0 , ℓ ≠# 4

Assim, obtemos um sistema de equações lineares com N equações e N incógnitas, cf.

apresentamos a seguir

(23)

(24)

(25) (22)

56 66 7 66

68 &଴ଵ.ଵ+&଴ଶ.ଶ+ ⋯ +&଴ே.ே = 2

&ଵଵ.ଵ+&ଵଶ.ଶ+ ⋯ +&ଵே.ே= 0

&ଶଵ.ଵ+&ଶଶ.ଶ+ ⋯ +&ଶே.ே = 0

⋮

&ேିଵଵ.ଵ+&ேିଵଶ.ଶ+ ⋯ +&ேିଵே.ே = 0 .

4

Neste ponto, observamos, que no aplicativo computacional que desenvolvemos implementamos um módulo gerador de quadraturas angulares de Gauss-Legendre, onde usamos a metodologia que descervemos aqui. Isto é, as ordenadas discretas ௠, / = 1:-, são as raízes do polinômio de Legendre de grau N que é construído conforme Eq. (23); e os pesos da quadratura são determinados resolvendo o sistema (26) na forma matricial. A matriz de coeficientes tem os elementos da primeira linha sempre iguais a 1, os da segunda linha sempre iguais a ௠, /= 1:-, e da terceira linha até a N-linha serão os valores &ℓ௠, ℓ = 2:-− 1 e /= 1:-. O vetor que aparece no membro direito do sistema tem sua primeira componente igual a 2 e todas as demais iguais a zero. Descrevemos este método mais detelhadamente no capítulo 3 desta dissertação.

Obtida a discretização da variável angular , o nosso próximo passo nesta dissertação é discretizar a váriavel espacial e para tanto consideramos uma grade de discretização espacial em um domínio unidimensional de comprimento ( como ilustramos na Figura 2.

Nesta grade espacial, cada célula de discretização 9௝, : = 1:,, possui comprimento ℎ_௝, seções de choque macroscópicas constantes ்௝, ௌ_బ௝ e ௌ_భ௝, e fonte constante ௝.

Agora aplicamos o operador

Figura 2 - Grade de discretização espacial.

0

2

1=

x x

3

x

5

x

7

x

−1

x

+1

x

−1

X = x

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

h

L L

(26)

1

ℎ_௝ ∙

௫ೕశభ మ

௫ೕషభ మ

na Eq.(19). O resultado são as convencionais equações discretizadas de balanço espacial S_N ௠

ℎ_௝ ;_௠௝ା^భ

మ−_௠௝ି^భ

మ<+்௝=௠௝ = 1

2ௌ_బ௝% =௡௝

ே

௡ୀଵ

.௡ +

+3

2௠ௌ_భ௝% ௡=௡௝

ே

௡ୀଵ

.௡+௝ ,

/= 1:- , : = 1:, ,

onde definimos os fluxos angulares nos cantos da célula espacial 9௝ como _௠௝±^భ

మ =௠;_௝±^భ

మ< , e o fluxo angular médio na célula como

=௠௝ = 1

ℎ_௝ ^௠

௫ೕశభ మ

௫ೕషభ మ

.

1.4 Métodos Numéricos Clássicos para Problemas SN

As equações discretizadas de balanço espacial (27) não são suficientes para resolver com unicidade a formulação S_N da equação de transporte de nêutrons, pois elas conduzem a um sistema indeterminado de equações lineares e algébricas, onde o número de incógnitas é maior que o número de equações. Observamos que para um nodo arbitrário 9௝ temos 3- incógnitas, conforme ilustramos na Figura 3. Portanto, para uma grade de discretização espacial constituída de , nodos, obtemos 3-, incógnitas. O sistema indeterminado constituído pela Eq. (27) juntamente às condições de contorno e condições de continuidade (27)

(28)

(29)

formam um sistema de 2-, equações algébricas com 3-, incógnitas; deste modo precisamos de -, equações auxiliares para garantir a unicidade da solução. Assim, as equações de balanço devem ser acopladas a equações auxiliares que envolvam as incógnitas do problema (௠௝±^భ_మ e =௠௝) para obtermos solução única. O tipo de equação auxiliar a ser utilizado definirá o método numérico que modela o problema de transporte de nêutrons.

A seguir, apresentamos as equações auxiliares dos métodos classicamente utilizados em problemas de transporte SN. Os dois primeiros são métodos de malha fina e o terceiro pertence à classe dos métodos nodais.

1.4.1 Método DD (Diamond Difference)

A equação auxiliar do método DD possui a forma

=௠௝ = _௠௝ା^భ

మ+_௠௝ି^భ

మ

2 , / = 1:- , : = 1:, ,

isto é, o fluxo angular médio é aproximado pela média aritmética entre os fluxos angulares nas extremidades das células na mesma direção, assumindo que o fluxo angular distribui-se como uma linha reta no interior da célula espacial, que é contínua na interface das células adjacentes; por isso, o método DD também recebe a denominação de método LD, cf. linear

Figura 3 - Nodo Arbitrário 9௝.

߰_ଵ,௝ା^భ

మ

߰ே ଶ,௝ା^భ_మ

߰ே ଶାଵ,௝ି^భ_మ

߰_ே,௝ି^భ

మ ߰_ଵ,௝ା^య

మ

߰ே ଶ,௝ା^య_మ

߰ே ଶାଵ,௝ି^భ_మ

߰_ே,௝ି^భ

మ

߰തଵ,௝

߰തே ଶ,௝

߰തே ଶାଵ,௝

߰തே,௝

(30)

diamond, que vem a ser o clássico método incondicionalmente estável implícito trapezoidal para problemas de valor inicial [22].

1.4.2 Método Degrau (Step)

A equação auxiliar do método Degrau possui a forma

=௠௝ =>

௠௝ା^భ_మ , para ௠ > 0 ௠௝ି^భ_మ , para ௠ < 0

4, /= 1:- , : = 1:, .

Aqui o fluxo angular médio no interior da célula espacial é igual ao fluxo angular na extremidade da célula na direção da varredura de transporte.

1.4.3 Método Degrau Característico

A equação auxiliar do método Degrau Característico, também denominado CN (Constant Nodal), possui a forma

=௠௝ =1 +௠௝௠௝ା^భ_మ+1 −௠௝௠௝ି^భ_మ

2 ,

com

௠௝ = ℎ?ℎ_௝்௝

2௠@− 2௠

ℎ_௝்௝

, / = 1:- , : = 1:, .

Neste método, os parâmetros ௠௝, com / = 1:-,: = 1:,, são calculados de forma que a solução geral analítica do problema no interior do nodo 9௝ seja preservada considerando a fonte de espalhamento como constante. Portanto, este método gera soluções numéricas para problemas S_N em meios puramente absorvedores que são livres de erros de truncamento (32a)

(31)

(32b)

espacial.

1.4.4 Equações Auxiliares Generalizadas

Podemos escrever as equações auxiliares para os métodos apresentados anteriomente na forma generalizada

=௠௝ =1 +௠௝_௠௝ା^భ

మ+1 −௠௝_௠௝ି^భ

మ

2 ,

/ = 1:- , : = 1:, ,

dependentes dos parâmetros ௠௝, com / = 1:-,: = 1:,, a determinar de acordo com o método escolhido. Para o método DD fazemos

௠௝ = 0 , / = 1:- , : = 1:, .

Para o método Degrau fazemos

௠,௝ = 3 1 , ௠ > 0

−1 , ௠< 0

4 , / = 1:- , : = 1:, .

E para o método Degrau Característico usamos a Eq. (32b). Portanto, partindo das equações de balanço espacial [Eqs. (27)] e aproximando o fluxo escalar médio no interior de cada célula espacial por

+=௝ = % =௡௝

ே

௡ୀଵ

.௡ , : = 1:, ,

e a corrente média no interior de cada célula espacial por

,̅௝ = % ௡=௡௝

ே

௡ୀଵ

.௡ , : = 1:, ,

podemos deduzir as equações de varreduras usadas no esquema iterativo SI

(34a)

(34b)

(36) (35) (33)

_௠௝±^భ

మ = B|^௠|

ℎ_௝ −்௝

2 1 −D௠௝DE _௠௝∓^భ

మ+*௠௝+௝

B|^௠| ℎ_௝ +்௝

2 1 +D௠௝DE ,

/ = 1:- , : = 1:- ,

onde definimos a fonte de espalhamento como

*௠௝ = 1

2ௌ_బ௝+=௝+3

2௠ௌ_భ௝,̅௝ , / = 1:- , : = 1:- .

Escolhido o método e definido o valor correspondente do parâmetro ௠௝, conforme Eqs. (33), usamos as Eqs. (37) e (38) para efetuarmos as varreduras de transporte para cada iteração de fonte. Em outras palavras, para uma dada estimativa da fonte de espalhamento no esquema iterativo SI, varremos de x = 0 até x = X, célula pós célula para ௠ > 0, e retornamos de x = X até x = 0, célula pós célula para ௠ < 0, para então procedermos a uma nova estimativa para a fonte de espalhamento. Este algoritmo repete-se até que um critério de convergência pré-estabelecido seja satisfeito.

(37)

(38)

2 ACELERAÇÃO SINTÉTICA DE DIFUSÃO (DSA-diffusion synthetic acceleration)

Nesta classe de aceleração, [1] usamos uma aproximação de baixa ordem, que é gerada pela teoria da difusão com condições de contorno especiais e que aproximam as condições de contorno de incidência prescrita da teoria de transporte, como um método de aceleração do esquema SI para a convergência da solução numérica de problema de transporte na formulação SN.

Neste capítulo, apresentamos a equação da difusão de nêutrons em geometria unidimensional na seção 2.1. Na seção 2.2 descrevemos três tipos de condições de contorno especiais, que aproximam as condições de contorno prescritas clássicas na teoria de transporte. Em prosseguimento, na seção 2.3 apresentamos um método de malha fina (diferenças finitas) que gera a solução numérica para a equação da difusão. Descrevemos na seção 2.4 um método de malha grossa (espectronodal) para a equação da difusão juntamente a um esquema de reconstrução nodal para a solução gerada pelo método espectronodal no interior de cada célula de discretização da grade espacial. Concluindo, duas estratégias de aceleração são apresentadas para o esquema SI na seção 2.5, i.e., estratégia DSA de malha fina e estratégia DSA de malha grossa.

2.1 A Equação de Difusão de Nêutrons

Para derivar a equação da difusão de nêutrons em geometria unidimensional, usamos as definições (17) e (18) na Eq. (10), e então integramos a equação de transporte resultante em todas as direções angulares. Este procedimento conduz à equação da continuidade

+= 2 ,

onde definimos a seção de choque macroscópica de absorção = −_బ .

(39)

(40)

Ademais, consideramos a lei de Fick

= − ,

onde o coeficiente de difusão é definido como

= 1

3−_భ .

A lei de Fick (41a-b) é a essência da aproximação da difusão de nêutrons. Ela implica que partículas migram de regiões de alta concentração para regiões de baixa concentração.

Portanto, substituindo a Eq. (41a) na Eq. (39), obtemos a equação da difusão de nêutrons em estado estacionário, monoenergético e fonte fixa em geometria unidimensional

−

+= 2 .

A aproximação das condições de contorno consideradas para as condições de contorno prescritas dadas nas Eqs. (11a-b) é descrita na próxima seção. Observamos neste ponto que a fonte externa obtida no modelo de difusão, cf. Eq. (42), é o dobro da fonte externa usada no modelo de transporte, cf. Eq. (10).

2.2 As Condições de Contorno Especiais

Vamos considerar a expansão do fluxo angular em polinômios de Legendre na variável angular

,=2ℓ + 1

2 ^ℓℓ

ℓ

.

A aproximação-P [1] considera L=1 na Eq. (43). Neste caso, = [Eq. (17)] e = [Eq. (18)], que substituídos na Eq. (43), implica

,= 1

2+3

2 .

(41b)

(42)

(44) (41a)

(43)

Para fluxo angular incidente isotrópico em = 0 e = , a Eq. (44) aproxima a Eq. (20a) ( =, > 0) e a Eq. (20b) ( = , < 0) nas seguintes formas

= 1

20+3

20 , > 0 ,

e

=1

2−3

2|| , < 0 .

Usando a quadratura angular de Gauss-Legendre , temos = ^√ e = −^√; portanto obtemos

0 =2√3

3 −√3

3 0 ,

para o contorno esquerdo (= 0) e

= −2√3

3 +√3

3 ,

para o contorno direito (=), onde e são os fluxos angulares isotrópicos incidentes prescritos em = 0 e =, respectivamente. Se condições de contorno do tipo vácuo são aplicadas em = 0 e/ou = , então fixamos = 0 e/ou = 0 nas Eqs. (46a-b).

Chamamos a aproximação para as condições de contorno prescritas dadas nas Eqs. (46a-b) de condições de contorno do tipo S .

Descrevemos outro tipo de aproximação para as condições de contorno prescritas para a equação da difusão (42), que chamamos de condições de contorno de fluxo direcional (FP₁). Para obtermos as expressões para esse tipo de condição de contorno, integramos a Eq.

(45a) em todas as direções incidentes em = 0, i.e., 0 < < 1, e a Eq. (45b) em todas as direções incidentes em = , i.e., −1 >> 0. Os resultado são

0 =4 3−2

30 , e

(45b)

(46a)

(46b)

(47a) (45a)

= −4 3+2

3 .

Oferecemos ainda um terceiro tipo de aproximação para as condições de contorno prescritas que chamamos de condições de contorno de corrente parcial (JP1). Para obtermos as expressões para as condições de contorno JP1, primeiro multiplicamos as Eqs. (45a-b) pela variável angular e então integramos as equações resultantes em todas as direções incidentes nos contornos, de maneira análoga ao procedimento descrito para as condições de contorno FP1. Os resultados são

0 =−1

20 ,

e

= −+1

2 .

Escrevemos as condições de contorno prescritas aproximadas S2, FP1 e JP1 para a equação da difusão (42) na seguinte forma generalizada:

0 =−0 ,

e

= −+ ,

onde os valores para os parâmetros e são apresentados na Tabela 1 para as condições de contorno classicamente usadas em cálculos de transporte de partículas.

(48a)

(48b)

(49a)

(49b) (47b)

Tabela 1 - Condições de contorno aproximadas em relação às Eqs. (49a-b).

Tipo de condição de

contorno Valores de Valores de

Reflexiva zero zero

Vácuo zero ^√

(S2) (FP1) (JP1)

Prescrita ^√

(S2)^a

(FP1) ^a 1 (JP1) ^{a √}

(S2)

(FP1) (JP1)

a. (S2) condições de contorno do tipo S2; (FP1) condições de contorno de fluxo direcional; (JP1) condições de contorno de corrente parcial.

2.3 Método de Malha Fina (Diferenças Finitas) para a Equação da Difusão

Partindo da equação da difusão de nêutrons (42) em estado estacionário, monoenergético com fonte fixa prescrita em geometria unidimensional, considere um domínio unidimensional como ilustrado na Figura 4.

Dividimos uma dada região em células espaciais uniformes. Conforme Figura 5 a seguir.

Região 1 Região 2 ⋯ ^{Região R}

ݔ= 0 ܺ=ݔ

ܦ_ଵ ߪ_௔ଵ

ܳ_ଵ

ܦ_ଶ ߪ_௔ଶ

ܳ_ଶ

ܦ_ோ ߪ_௔ோ

ܳ_ோ

Figura 4 - Domínio unidimensional de comprimento X.

Agora vamos considerar 3 tipos de fronteiras de células: interfaces interiores, contorno esquerdo e contorno direito.

(a) Interfaces interiores (Figura 6)

Integramos a equação de difusão de nêutrons (42) no interior da célula fictícia, cf.

Figura 6, que resulta a −+ℎ

2 ^భ_మ+ℎ

2 ^భ_మ = ℎ+ ℎ .

Usando as fórmulas de diferenças avançada e recuada para aproximar as derivadas na Lei de Fick podemos escrever a Eq. (50) como

−

ℎ^భ

మ+

ℎ

2 +

ℎ

2 +

ℎ +

ℎ ^భ

మ−

ℎ^య మ = ℎ+ ℎ ,

que é a equação de diferença de três pontos para as interfaces interiores.

Região R: ܦ_ோ, ܳ_ோ, ߪ_௔ோ

Figura 5 - Grade espacial em uma região R do domínio.

NC = 4 ℎ_௝ିଶ ℎ_௝ିଵ ℎ_௝ ℎ_௝ାଵ

߁_௝ିଶ ߁_௝ିଵ ߁_௝ ߁_௝ାଵ

(50)

(51)

(b) Primeira célula espacial (contorno esquerdo, x = 0)

Integramos a equação de difusão de nêutrons (42) no intervalo [0, ], cf. Figura 7, e obtemos

−+^భ

మ

ℎ

2 = ℎ . Fazendo = −^భ

మ, cf. Eq. (49a), e usando diferenças avançada e recuada juntamente à continuidade de corrente podemos escrever a Eq. (52) como

+ ℎ +

ℎ

2 ^భమ− ℎ^య

మ =+ ℎ , que é a expressão usada para o contorno esquerdo.

ℎ_௝ ℎ_௝ାଵ

߶_௝ି^భ

మ

߶_௝ା^భ

మ

߶_௝ା^య

మ

ݔ_௜ ݔ_௜ାଵ

Célula fictícia

Figura 6 - Interfaces interiores ao domínio.

(52)

(53)

(c) J’ésima célula espacial (contorno direito, x = X)

Integramos a equação da difusão de nêutrons (42) no intervalo [, ], cf. Figura 8, e obtemos

−+_಻శ^భ

మ

ℎ

2 = ℎ .

Fazendo = −+^భ_మ, cf. Eq. (49b), e usando diferenças avançada e recuada juntamente à continuidade de corrente podemos escrever a Eq. (52) como

−

ℎ ಻షభ

మ++

ℎ +ℎ

2 ^భమ =+ ℎ , que é a expressão usada para o contorno direito.

ℎ_௃

߶_௃ି^య

మ ߶_಻ష^భ

మ

߶_௃ା^భ

మ

ݔ_௃ିଵ

Figura 8 - Contorno direito.

ݔ=ܺ

ݔ_௃ ℎ_ଵ

߶^భ

మ ߶^య

మ

߶^ఱ

మ

ݔ_ଵ

Figura 7 - Contorno esquerdo.

ݔ= 0 ݔ

(54)

(55)

Para as condições de contorno prescritas, não convencionais para o problema de difusão de nêutrons, usamos os parâmetros e cf. Tabela 1. Para a condição de fluxo escalar nulo fazemos → ∞, e.g., = 10 e = 0 nos códigos computacionais. As Eqs.

(51) para = 1:− 1 juntamente às Eqs. (53) e (55) formam um sistema tridiagonal simétrico com diagonal dominante de + 1 equações algébricas em + 1 incógnitas ^భൗ_మ, ^యൗ_మ, ^ఱൗ_మ, ..., _{಻శభ మ}ൗ . O método de malha fina para difusão é um método numérico convergente cuja solução satisfaz as condições de contorno, é contínua nas interfaces dos nodos e, gera soluções numéricas tão mais precisas quanto mais fina for a grade de discretização espacial; i.e., ℎ → 0, = 1:.

2.4. Método de Malha Grossa (Espectronodal) para a Equação da Difusão

Consideremos uma grade espacial de malha grossa em um domínio unidimensional de comprimento X, como ilustrado na Figura 2. Agora escrevemos a equação da continuidade (39) e a lei de Fick (41a) para um nodo espacial , nas quais aplicamos o operador

1

ℎ ∙

ೕశభ మ

ೕషభ మ

.

Os resultados são as equações discretizadas

ೕశభ మ

ೕషభ మ

_ೕ +! = 2

e

̅ = −^ೕ

ೕ#^భ_మ−^భ_మ$ . Aqui definimos a quantidade média

(57) (56)

% = 1

ℎ %

ೕశభ మ

ೕషభ మ

, %= &' ,

e os parâmetros constantes no interior do nodo

≡ seção de choque macroscópica de absorção, = 1:;

≡ coeficiente de difusão, = 1:; ≡ fonte fixa isotrópica interior, = 1:.

Agora buscamos a solução geral analítica para ∈ na forma =()*^{ೌೕ ⁄} +

e

= +)*^{ೌೕ ⁄} + .

Substituindo as Eqs. (59) e (60) nas Eqs. (39) e (41a) para ∈ obtemos *^{ೌೕ ⁄} ()−

) *^{ೌೕ ⁄} +)= 2−

e

) *^{ೌೕ ⁄} ()−*^{ೌೕ ⁄} +)= .

Aqui obtemos as soluções particulares dadas por = 0 e = ⁄, = 1:, e para solução não trivial, devemos ter

) = ±- .

Escolhendo ()= 1, obtemos +)= - . Portanto, as soluções (59) e (60) gerais no interior do nodo aparecem como

=* ^{⁄ ೕ}+2

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64a) (58)