O objetivo, agora, ´e determinar as temperaturas estacion´arias T(x, y) numa placa tal que um segmento em uma das fronteiras ´e isolado, se o resto desta fronteira ´e mantido a uma temperatura fixa, e se a segunda fronteira ´e man-tida a outra temperatura fixa.
Suponhamos, ent˜ao, uma placa semi-infinita y ≥ 0, onde T = 0 sobre a parte x <−1 da fronteira e T = 1 sobre a parte x >1. Al´em disso, suponha que a faixa−1< x <1 da fronteira ´e isolada termicamente das demais faixas, conforme a Figura 11. Estas faces s˜ao isoladas de forma que o problema ´e bidimensional.
Figura 11: Representa¸c˜ao da placa inicial.
De maneira an´aloga, o problema de contorno ´e dado por (i) ∂∂x2T2 +∂∂y2T2 = 0, se (∀x, y >0)
(ii) ∂T∂y y=0 = 0, se (−1< x <1)
(iii) T(x,0) = 0, se x <−1 e T(x,0) = 1, se x >1.
onde T(x, y) ´e limitada para todos os x e y do dom´ınio.
A condi¸c˜ao (ii) prescreve o valor da derivada normal da fun¸c˜ao T sobre uma parte de uma linha de fronteira, e o valor da pr´opria fun¸c˜ao sobre o resto dessa linha.
Seja, ent˜ao, a transforma¸c˜ao conforme z =sen(w). Esta, leva o semi-plano superior y ≥ 0, no plano-z, na faixa delimitada por −π2 ≤ u ≤ π2, v ≥ 0, no plano-w. O segmento isolado do eixo-x ´e transformado na base da faixa e o resto da fronteira, nos lados da faixa, conforme a figura anterior. Desta forma, nos cabe encontrar uma fun¸c˜ao limitada T de u e v, harmˆonica, tal que
T =
1, u=π/2 0, u=−π/2 Como, por exemplo,
T = 1 2+ 1
πu= Re 1
2+ 1 πw
(5) Desta forma, a fun¸c˜ao temperatura procurada para o semi-plano ´e obtida escrevendo-se T em termos de xe y.
Utilizando a aplica¸c˜ao z = sen(w), ou x +iy = sen(u+iv), a mudan¸ca de vari´aveis pode ser escrita como
x=sen(u) cosh(v) y= cos(u)senh(v)
Portanto, uma vez que cosh2(v)−senh2(v) = 1, temos que x2
sen2(u) − y2
cos2(u) = 1. (6)
Ou seja, ao resolver a express˜ao em rela¸c˜ao `a u, observamos que, para cada u fixado, o ponto (x,y) est´a sobre a hip´erbole (6). Os focos (±c,0) desta hip´erbole satisfazem
c2 =sen2(u) + cos2(u) = 1⇒c=±1
Al´em disso, o eixo transverso tem comprimento 2a = 2sen(u). Logo, a diferen¸ca de distˆancias de um ponto aos focos tamb´em ´e de 2sen(u). Ou seja,
De acordo com a equa¸c˜ao (5), a fun¸c˜ao temperatura procurada ´e T = 1
As isotermas T =cs˜ao as curvas c= 12 + π1arcsen12
Isto ´e, s˜ao as partes das hip´erboles confocais de equa¸c˜ao (6), onde u = π 2c−12
, as quais se situam mo semi-plano superior, conforme se pode ver na figura 12.
Figura 12: Representa¸c˜ao das isotermas na placa do exemplo.
Al´em disso, a temperatura ao longo da parte isolada da fronteira ´e T (x,0) = 12 +π1arcsen12
q
(x+ 1)2+y2− q
(x−1)2+y2
,−1< x <1.
= 12 +π1arcsen12 q
(x+ 1)2− q
(x−1)2
= 12 +π1arcsen12[(x+ 1)−(1−x)]
= 12 +π1arcsen12[2x]
= 12 +π1arcsen(x)
4 Escoamento de um Fluido Bidimensional
4.1 Postulados F´ısicos
Neste estudo, consideraremos somente o escoamento bidimensional no estado estacion´ario, isto ´e, o movimento do fluido ´e suposto o mesmo em todos os planos paralelos ao plano-xy, sendo a velocidade paralela a este plano e in-dependente do tempo. ´E suficiente, ent˜ao, considerar o movimento do fluido no plano-xy.
Suponhamos que o vetor que representa a vari´avel complexa q = q1 +iq2 designe a velocidade de uma part´ıcula do fluido num ponto qualquer (x,y), de modo que as componentes x e y da velocidade tem valores q1(x, y) e q2(x, y). Nos pontos interiores a um dom´ınio de escoamento em que n˜ao ex-istam fontes ou sorvedouros do fluido, as fun¸c˜oes reaisq1,q2 e suas derivadas parciais de primeira ordem s˜ao supostamente cont´ınuas.
Seja C uma caminho e seja qt a componente da velocidade q tangente a C (qt ´e fun¸c˜ao real). Se s´e o comprimento de arco ao longo de C, o valor da integral de linha
Z
C
qt(x, y) (7)
´e chamadocircula¸c˜aodo fluido ao longo de C. Quando a circula¸c˜ao ´e dividida pelo comprimento da curva, o quociente representa uma velocidade m´edia do fluido ao longo da curva, pelo Teorema do Valor M´edio.
Suponhamos que C seja um caminho fechado interior a um dom´ınio sim-plesmente conexo, onde q1, q2 e suas derivadas parciais de primeira ordem s˜ao cont´ınuas. Se x+iy designa pontos de C, o n´umero complexo dx+idy representa um vetor tangente a C cujo comprimento ´e ds. Logo, qtds ´e o produto dos comprimentos dos vetores q e dx+idy pelo cosseno do ˆangulo
entre eles, isto ´e, qtds ´e o produto escalar desses dois vetores;
qtds =q1dx+iq2dy
Com o aux´ılio do Teorema de Green, a circula¸c˜ao ao longo de C pode ser escrita como
onde R ´e a regi˜ao delimitada por C.
Para uma interpreta¸c˜ao f´ısica do integrando da ´ultima integral, seja C um c´ırculo |z−z0|=r0. A velocidade m´ediav0 ao longo de de C ´e ent˜ao deter-minada dividindo-se a circula¸c˜ao por 2πr0, e a velocidade angular m´edia ω0
do fluido em torno do eixo do c´ırculo ´e v0/r0; assim
O segundo membro representa o valor m´edio da fun¸c˜ao ω= 1 sobre a regi˜ao circular R. Seu limite quando r0 tende para zero ´e o valor de ω no ponto z0. Logo, a fun¸c˜ao ω(x, y), chamada de rota¸c˜ao do fluido, representa o limite da velocidade angular de um elemento circular do fluido quando o c´ırculo se contrai para o ponto (x,y).
Se ω = 0, isto ´e, se a rota¸c˜ao ´e nula em todos os pontos de um dom´ınio, o escoamento ´e irrotacional nesse dom´ınio. Al´em disso, dizemos que um fluido ´eincompress´ıvel se a densidade em cada elemento deste fluido for con-stante, ou seja, fisicamente, ele n˜ao sofre contra¸c˜oes ou dilata¸c˜oes ao longo do processo. Um outro aspecto f´ısico interessante ´e a viscosidade: esta pode ser interpretada como a medida de resistˆencia ao cisalhamento, ou atrito, de
um fluido com outro meio qualquer que pode ser s´olido, liquido ou mesmo gasoso. De forma geral, admitiremos aqui que o fluido ´e irrotacional, incom-press´ıvel e n˜ao-viscoso.
Seja D um dom´ınio simplesmente conexo onde o escoamento ´e irrotacional.
Se C ´e um caminho fechado qualquer em D, segue-se da equa¸c˜ao (8) e do Teorema de Green, que a circula¸c˜ao ao longo de C ´e zero,
Z
C
(q1dx+q2dy) = 0
Como consequencia, se (x0, y0) ´e um ponto fixado em D, a equa¸c˜ao
φ(x, y) =
(x,y)
Z
(x0,y0)
[q1(x0, y0)dx0+q2(x0, y0)dy0] (10) define uma fun¸c˜ao do ponto (x,y) em D, que ´e independente do caminho de integra¸c˜ao entre os limites, desde que o caminho seja interior a D, pois a integral ao longo de um caminho C1 menos a integral ao longo de um outro caminho C2 ´e a integral ao longo de um caminho fechado C, que deve ser igual a zero, pelo Teorema de Cauchy.
Como a integral de linha (10) ´e independe do caminho, segue-se que o seu integrando ´e uma diferencial exata da fun¸c˜ao φ(x, y). Logo,
q1 = ∂φ
∂x e q2 = ∂φ
∂y isto ´e, o vetor q´e o gradiente de φ,
q= ∂φ
∂x +i∂φ
∂y (11)
e a derivada direcional de φ em qualquer dire¸c˜ao representa a componente da velocidade do fluido nessa dire¸c˜ao.
A fun¸c˜ao φ(x, y) ´e chamada potencial de velocidade. Segue da f´ormula (10) que φ(x, y) varia de uma constante aditiva quando se muda o ponto de re-ferˆencia z0.
As curvas φ(x, y) = 0 s˜ao chamadas de equipotencias. Elas s˜ao as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao φ. Os vetores velocidade em todos os pontos s˜ao normais a essas curvas visto que q ´e o gradiente de φ.
Como no caso do escoamento de calor, a condi¸c˜ao de continuidade do es-coamento estacion´ario, exige que φ satisfa¸ca `a equa¸c˜ao de Laplace
∂2φ
∂x2 +∂2φ
∂y2 = 0
num dom´ınio que seja livre de fontes ou sorvedouros do fluido. Pela equa¸c˜ao (11) e pela continuidade de q1, q2 e suas derivadas parciais, as derivadas parciais de φ at´e a segunda ordem s˜ao cont´ınuas num tal dom´ınio; assim, o potencial de velocidade φ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica no dom´ınio.
Se ψ(x, y) ´e uma conjugada harmˆonica da fun¸c˜ao φ(x, y), ent˜ao os vetores velocidade s˜ao tangentes `as curvas
ψ(x, y) = c.
Estas curvas s˜ao chamadas linhas de corrente do escoamento; a fun¸c˜ao ψ ´e a fun¸c˜ao corrente. A fun¸c˜ao
F(z) =φ(x, y) +iψ(x, y)
´e anal´ıtica, uma vez queφ e ψ s˜ao conjugadas harmˆonicas. Diz-se que F ´e o potencial complexo do escoamento. Al´em disso,
F0(z) = ∂φ
∂x +i∂ψ
∂x = ∂φ
∂y −i∂φ
∂y
pois F ´e anal´ıtica e, consequentemente, φ e ψ satisfazem `as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann. Da´ı, segue que como
q= ∂φ
∂x +i∂φ
∂y = ∂φ
∂x −i∂φ
∂y =F0(z)
ent˜ao, o conjugado da derivada do potencial complexo ´e a velocidade. Al´em disso, o m´odulo da velocidade ´e dado por
|q|= F0(z)
=|F0(z)|.
De acordo com a proposi¸c˜ao 4, se φ ´e harmˆonica num dom´ınio simplesmente conexo D, ent˜ao uma conjugada harmˆonica, definida em D, de φ, pode ser escrita como
sendo o caminho de integra¸c˜ao ´e qualquer contorno C1 interior a D, ligando estes dois pontos.