Elementos de An´ alise Complexa na Modelagem de Problemas F´ısicos

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Elementos de An´ alise Complexa na Modelagem de Problemas F´ısicos

Anna Regina Corbo Costa

31 de janeiro de 2006

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Sum´ ario

1 Introdu¸c˜ao 2

2 Referencial Te´orico 4

2.1 Dom´ınios . . . 4

2.2 O Teorema de Green . . . 7

2.3 Fun¸c˜oes Complexas . . . 8

2.4 Fun¸c˜oes Anal´ıticas . . . 9

2.5 Integra¸c˜ao Complexa . . . 12

2.6 Aplica¸c˜oes Conformes . . . 17

2.6.1 A aplica¸c˜ao w=sen(z) . . . 17

2.6.2 A aplica¸c˜ao w= ^z−1_z+1 . . . 20

3 Fluxos de calor por condu¸c˜ao 22 3.1 Postulados F´ısicos . . . 22

3.2 Temperaturas estacion´arias numa parede . . . 24

3.3 Temperaturas numa placa com parte de uma fronteira isolada 30 4 Escoamento de um Fluido Bidimensional 34 4.1 Postulados F´ısicos . . . 34

4.2 Escoamento ao redor de um cilindro . . . 38

4.3 Escoamento de um fluido num canal atrav´es de uma fenda . . 41

4.4 Escoamento com rota¸c˜ao . . . 45

5 Considera¸c˜oes Finais 47

Referˆencias 48

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1 Introdu¸ c˜ ao

Vários problemas provenientes da F´ısica e da Engenharia, que envolvem a equa¸cão de Laplace e condi¸cões de contorno, podem ser resolvidos por meio de uma interpreta¸cão complexa. Nos últimos 100 anos, várias abordagens deste tipo foram estudadas e implementadas, em especial entre os anos de 1950 e 1970.

Como exemplo podemos citar as utiliza¸cões, por formula¸cões em variáveis complexas, em Dinâmica de Fluidos. Isto ocorre pois, ao trabalharmos em regime de escoamento potencial, ou seja, ao fazermos as hipóteses de fluido ideal bidimensional comcompressibilidadedesprez´ıvel e sistema decircula¸cão com escoamentoirrotacioanal, é poss´ıvel obter uma boa representa¸cão e pre- visibilidade do escoamento em determinado per´ıodo de tempo. Esta formula¸cão foi muito utilizada em proje¸cões de aerofólios por conta do problema de sustenta¸cão de um avião no ar; escoamento de fluidos l´ıquidos através de obstáculos; problemas de que envolvem a condu¸cão de calor ou eletricidade através corpos condutores; entre outros exemplos.

Estes problemas, são resolvidos, de maneira geral, através de aplica¸cões conformes. Na verdade, definimos estas aplica¸cões como uma transforma¸cão entre pontos do plano complexo. Isto ocorre pois a aplica¸cão pode ser rep- resentada graficamente, ou seja, é poss´ıvel entender a aplica¸cão como uma fun¸cão leva curvas em outras curvas do plano complexo. Desta forma, será mostrado aqui que o problema de encontrar uma fun¸cão de x e y que seja harmônica numa região e satisfa¸ca a certas condi¸cões preescritas na fronteira desta região pode ser resolvido por meio de transforma¸cões descritas por fun¸cões anal´ıticas.

Historicamente, Euler foi quem introduziu, no s´eculo XVIII, o conceito de

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fun¸cões de uma variável complexa assim como encontrou rela¸cões entre elas, como a Fórmula de Euler: eîθ = cosθ+isenθ que é sistematicamente usada na manipula¸cão de integrais atualmente. Ele foi o primeiro matemático que se dedicou ao estudo de fun¸cões complexas, sua interpreta¸cão geométrica e suas aplica¸cões em análise, hidrodinâmica e cartografia, especialmente. Porém, Euler não tinha a total compreensão de todas as implica¸cões da diferen- cia¸cão complexa. Por isso, o grande progresso nesta dire¸cão foi dado pelos matemáticos Cauchy e Riemann, quase 100 anos após as publica¸cões de Euler.

Atualmente, o uso da abordagem complexa para a interpreta¸cão de situa¸cões f´ısicas foi racionalizada, uma vez que dispomos de mecanismos mais efi- cientes e detalhistas na descri¸cão destes tipos de fenômenos, como a teoria de Equa¸cões Diferencias, onde o uso de algumas hipóteses, como a irrota- cionabidade do escoamento, podem ser descartadas, dando mais veracidade a modelagem destes problemas. Porém, quando a manipula¸cão do assunto visa a eficiência computacional ou mesmo para uma visualiza¸cão preliminar do problema, esta abordagem ainda é muito utilizada.

Desta forma, o objetivo geral deste trabalho consiste em exemplificar alguns dos problemas f´ısicos que podem ter uma abordagem complexa para sua solu¸cão. Para isso, serão descritos primeiramente alguns tópicos da teoria de Análise Complexa úteis nesta interpreta¸cão e que, muitas vezes, não são discutidos durante um curso de gradua¸cão.

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2 Referencial Te´ orico

Neste item, serão discutidos, enunciados e demostrados alguns tópicos da teoria de Análise Complexa essenciais para o desenvolvimento de nosso estudo.

Para uma abordagem mais completa consultar [1], [2], [4] e [5].

2.1 Dom´ınios

Discutiremos brevemente os conceitos topológicos necessários ao estudo de fun¸cões de uma variável complexa.

Defini¸c˜ao 1. Seja z0 um ponto do plano complexo e a um real positivo.

Ent˜ao o conjunto

D(z0, a) ={z;|z−z0|< a}

´e chamado de disco aberto de raio a e centro z0. J´a o conjunto D(z0, a) ={z;|z−z0| ≤a}

´e chamado de disco fechado de raio a e centro z0.

Defini¸c˜ao 2. Um subconjunto U de C ´e dito aberto se ∀z ∈ U podemos encontrar a >0 tal que D(z₀, a)⊂U.

Defini¸cão 3. Um subconjuntoV deCé dito fechado seC\V é aberto. Além disso, diz-se que V é limitado se∃R > 0tal que |z|< R para z em C. Defini¸cão 4. Se U ⊂ C e z ∈ C, diz-se que z é ponto de fronteira de U se todo disco de centro z contém pontos de U e de C\U. A fronteira de U é o conjunto formado pelos pontos de fronteira e será notada por ∂U.

Defini¸cão 5. Um caminho suave em C é uma aplica¸cão γ :J →C

com derivada cont´ınua em todos os pontos de J, onde J ⊂R´e um intervalo da formaJ = [a, b], a < b. Os pontos γ(a)e γ(b)s˜ao chamados ponto inicial

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e ponto final do caminho γ, respectivamente. Al´em disso, se γ(a) = γ(b) dizemos que γ ´e um caminho fechado.

Defini¸cão 6. Um caminho suave por partes em C é uma cole¸cão finita de caminhos suaves γ₁ : [a₁, b₁]→ C, ..., γn : [an, bn] →C, satisfazendo γi(bi) = γi+1(ai+1) para 1≤i≤n−1.

Defini¸cão 7. Um subconjunto não-vazio U ⊂C é chamado um dom´ınio se U é aberto e se, dados dois pontos quaisquer p e q em U, existe um caminho suave por partes, inteiramente contido em U, cujos pontos inicial e final são, respectivamente, p e q.

Defini¸cão 8. Uma cisão de um subconjunto U ⊂ C é uma decomposi¸cão U =A∪B, onde A∩B =∅ e os conjuntos A, B são ambos abertos em U.

Defini¸cão 9. Um conjunto U ⊂ C é dito conexo quando a única cisão que admite é U =U ∩ ∅, ou seja, U só admite a cisão trivial.

Defini¸cão 10. Seja γ0, γ1 : [0,1]→C dois caminhos suaves por partes num dom´ınio U; então γ0 é homotópico a γ1 em U, ou γ0 ∼ γ1, se existe uma fun¸cão cont´ınua Γ : [0,1]×[0,1] →U tal que

Γ(s,0) =γ0(s),0≤s≤1 Γ(s,1) =γ1(s),0≤s≤1

Além disso, se γ0 e γ1 são caminhos homotópicos fechados tem-se que Γ(0, t) = Γ(1, t),0≤t≤1.

Geometricamente, a defini¸cão acima significa que se definirmosγt : [0,1]→ U, γt(s) = Γ(s, t), então cada γt é um caminho suave fechado. Além disso, estes caminhos formam uma fam´ılia cont´ınua de caminhos que come¸ca emγ0

e termina em γ1, como ´e poss´ıvel observar na figura 1.

Defini¸cão 11. Se γ é um caminho fechado suave por partes em U então γ

é homotópico a zero, ou γ∼ 0, se γ é homotópico a um caminho constante.

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Geometricamente, temos que seγ ∼0 então o dom´ınio não possui ”bura- cos”, uma vez que existirá no dom´ınio U uma fam´ılia cont´ınua de caminhos {γt} totalmente contida em U, tal que γt é homotópico a um caminho constante, como esquematizado na figura 2.

Figura 1: Representa¸c˜ao de dois caminhos tais que γ0 ∼γ1

Figura 2: Representa¸c˜ao de um caminho tal que γ ∼0.

Defini¸cão 12. Um aberto U ⊂Cé dito simplesmente conexo se U é conexo e todo caminho fechado em U é homotópico a zero.

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2.2 O Teorema de Green

Este teorema, a versão do Teorema de Stokes para o plano, é um instrumento fundamental no estudo de fun¸cões de variáveis complexas, assim como na análise e desenvolvimento de certas aplica¸cões desta teoria. Para o desenvolvimento deste item, serão utilizados alguns conceitos de Análise Real no que dizem respeito a aplica¸cões do tipof :A→R², onde A é um subconjunto do plano.

Defini¸c˜ao 13. Se γ : [a, b] → U ´e um caminho suave em U e γ(t) = (x(t), y(t)), definimos a integral de linha f ao longo de γ por:

Z

γ

f = Z

γ

udx+vdy:=:

b

Z

a

[u(x(t), y(t))x⁰(t) +v(x(t), y(t))y⁰(t)]dt

Se γ = γ1 ∪...∪γn ´e um caminho suave em U, a integral de linha de f ao longo deste caminho ser´a definida por:

Z

γ

f = Z

γ1∪...∪γn

f = Z

γ1

f+...+ Z

γn

f

TEOREMA 1. Teorema de Green. Sejam U ⊂ R² um dom´ınio e f : U → R² uma aplica¸c˜ao de derivadas parciais cont´ınuas. Seja V ⊂ U um subconjunto satisfazendo:

(1) V ´e fechado e limitado;

(2) A fronteira ∂V de V consiste em um n´umero finito de caminhos suaves por partes simples (ie, sem interse¸c˜ao) com ∂V =γ1∪...∪γn;

(3) V \∂V ´e um dom´ınio.

Ent˜ao, escrevendof(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), temos que Z

∂V

f = Z

∂V

udx+vdy= Z Z

V

∂v

∂x − ∂u

∂y

dxdy.

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2.3 Fun¸ c˜ oes Complexas

A no¸cão de fun¸cão complexa envolve naturalmente a considera¸cão de duas variáveis reais. De fato, uma fun¸cão de variável complexa z é uma corre- spondência f que associa ao número z um único número complexo w, ou seja, f(z) = w. Por outro lado, como z = x+iy, também podemos dizer que tal fun¸cão associa ao par (x, y) ∈ R² o par w = (u(x, y), v(x, y)) = u(x, y) +iv(x, y) =f(x, y)∈R².

Já a no¸cão de limite e continuidade de uma fun¸cão complexa é análoga a no¸cão de limite e continuidade de fun¸cões reais, assim como suas propriedades e consequências. Desta forma, serão usados, porém omitidos do texto, estes resultados, uma vez que podem ser encontrados em vasta literatura, como exemplo em [2] e [5].

Uma diferen¸ca bastante interessante entre estes dois tipos de aplica¸cões está no tocante à diferenciabilidade. A razão desta diferen¸ca está na estrutura multiplicativa de C, ausente em R².

Defini¸c˜ao 14. Sejam U ⊂C aberto, z0 ∈U e f :U →C fun¸c˜ao complexa.

Se existir o limite

z→zlim0

f(z)−f(z0) z−z0

ent˜ao o chamamos de derivada de f(z) no ponto z0 e o notamos por f⁰(z0).

Como na derivada real, se f é derivável em z0 então f é cont´ınua em z0. Também são válidas as propriedades de derivada da soma, do produto e do quociente, assim como a regra da cadeia.

PROPOSIÇ ÃO 1. Condi¸cões de Cauchy-Riemann. Se a fun¸cão f(z) =u(x, y) +iv(x, y) tem derivada no ponto z0 =x0+iy0 então

∂u

∂x(x0, y0) = ∂v

∂y(x0, y0) e ∂v

∂x(x0, y0) =−∂u

∂y (x0, y0)

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2.4 Fun¸ c˜ oes Anal´ıticas

Defini¸c˜ao 15. Seja f : U → C, com U ⊂ C aberto e f fun¸c˜ao complexa.

Diz-se que f ´e anal´ıtica em U se f⁰(z) existe para todo z ∈U.

Defini¸cão 16. Uma fun¸cão complexa f definida e anal´ıtica em todo Cé dita uma fun¸cão inteira. Uma fun¸cão possui uma singularidade isolada no ponto z0 se existe r >0 tal que f é definida e anal´ıtica em D(z0, r)\ {z0} mas não em D(z0, r).

Vários resultados interessantes e fundamentais da teoria de Análise Com- plexa surgem a partir dos conceitos de diferenciabilidade e analiticidade de uma fun¸cão de variável complexa como, por exemplo, o fato de que uma fun¸cão complexa diferenciável é anal´ıtica e que toda fun¸cão anal´ıtica é in- finitamente diferenciável e, além disso, possui uma expansão em série de potência em torno de todo ponto de seu dom´ınio. Porém, os detalhes destes resultados serão deixados, por ora, de lado uma vez que podem ser visto em [2].

Defini¸cão 17. Seja f :U →R uma fun¸cão de classe C², onde U ⊂R é um aberto. Dizemos que f é harmônica se, em U, tem-se

∂²f

∂x² + ∂²f

∂y² = 0.

Esta equa¸cão é chamada de Equa¸cão de Laplace

PROPOSIÇ ÃO 2. Seja uuma fun¸cão harmônica e k uma constante complexa. A fun¸cão k.u também é harmônica.

demo.: A fun¸cãoué harmônica ⇒ ^∂_∂x²û2 + ^∂_∂y²û² = 0.

∂²ku

∂x² + ∂²ku

∂y² = ∂

∂x ∂ku

∂x

+ ∂

∂y

∂ku

∂y

=k∂²u

∂x² +k∂²u

∂y² =k ∂²u

∂x² +∂²u

∂y²

= 0 Logo, ku´e harmˆonica.

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PROPOSIÇ ÃO 3. Se f : U → C é anal´ıtica de classe C² então f é harmônica.

demo.:

Se f(z) = u(x, y) +iv(x, y) com u = Re(f) e v = Im(f), das condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann

∂u

∂x = ∂v

∂y e∂v

∂x =−∂u

∂y temos que

∂²u

∂x² = ∂²v

∂x∂y = ∂

∂y ∂v

∂x

=−∂²u

∂y²

e ∂²v

∂x² =− ∂²u

∂x∂y =− ∂

∂y ∂u

∂x

=−∂²v

∂y² Logo,

∂²f

∂x² + ∂²f

∂y² = ∂²u

∂x² +i∂²v

∂x²

+ ∂²u

∂y² +i∂²v

∂y²

= ∂²u

∂x² + ∂²u

∂y² +i ∂²v

∂x² +∂²v

∂y²

= 0 Isto é, f é harmônica.

Observe que no argumento acima foi provado também que as partes real e imaginária de f são fun¸cões harmônicas. Neste caso, dizemos que duas fun¸cões reais u, v : U → R são fun¸cões harmônicas conjugadas se elas são harmônicas e a fun¸cão complexa f =u+iv é anal´ıtica.

Ent˜ao, tendo em vista as condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann, a diferencial de v pode ser escrita como

dv = ∂v

∂xdx+ ∂v

∂ydy=−∂u

∂ydx+∂u

∂xdy.

Suponha, então que u é uma fun¸cão harmônica definida em U dom´ınio simplesmente conexo. O último membro da fórmula acima será uma diferencial exata somente se

∂

∂y

−∂u

∂y

= ∂

∂x ∂u

∂x

⇒ −∂²u

∂y² = ∂²u

∂x² ⇒ ∂²u

∂x² +∂²u

∂y² = 0

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o que é verificado, uma vez que a fun¸cão u satisfaz a Equa¸cão de Laplace.

Da´ı, podemos ver que o valor da integral de linha

(x,y)

Z

(x⁰,y0)

−∂u(x⁰, y⁰)

∂y⁰ dx⁰+∂v(x⁰, y⁰)

∂x⁰ dy⁰

é independente do caminho entre os limites de integra¸cão contanto que o caminho se situe no interior de U, uma vez que o integrando é uma diferencial exata.

Tomemos, agora, a seguinte fun¸c˜ao:

v(x, y) =

(x,y)

Z

(x0,y0)

−∂u(x⁰, y⁰)

∂y⁰ dx⁰ +∂v(x⁰, y⁰)

∂x⁰ dy⁰

+c,

onde c ´e uma constante real qualquer. Aplicando a Regra de Leibniz para as derivadas parciais desta integral de linha tem-se:

∂v

∂x =−∂u

∂y e ∂v

∂y = ∂u

∂x

que são, justamente, as condi¸cões de Cauchy-Riemann. Como as derivadas parcias até segunda ordem de u são cont´ınuas, por hipótese, então, pela rela¸cão acima, também o são as de v. Segue-se que f =u+iv é uma fun¸cão anal´ıtica de z emU. Além disso, se tomarmosif(z) =−v+iuesta também será anal´ıtica. Logo, ambas v e −v são conjugadas harmônicas da fun¸cão inicial u.

Desta forma, foi demostrado a seguinte proposi¸c˜ao:

PROPOSIÇ ÃO 4. Se u é uma fun¸cão harmônica definida num dom´ınio U simplesmente conexo, então existe sua conjugada harmônica v e é escrita da forma

v(x, y) =

(x,y)

Z

(x0,y0)

−∂u(x⁰, y⁰)

∂y⁰ dx⁰ +∂v(x⁰, y⁰)

∂x⁰ dy⁰

+c.

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2.5 Integra¸ c˜ ao Complexa

A teoria das integrais curvil´ıneas constitui uma parte importante da teoria de fun¸cões complexas. De fato, esta teoria é um dos principais diferenciais entre a Análise Real e a Complexa uma vez que, ao c ontrário das fun¸cões de variável real, as fun¸cões anal´ıticas admitem uma boa representa¸cão integral, uma vez que podem ser dadas nos pontos interiores a um disco fechado por uma integral ao longo de sua fronteira. Neste item, serão enunciados alguns resultados importantes para o desenvolvimento deste estudo.

TEOREMA 2. Fórmula Integral de Cauchy. Seja U um aberto deC e f :U →C fun¸cão anal´ıtica. Se γ é um caminho suave fechado em U, então para a∈U \ {γ} tem-se

f(a) = 1 2πi

Z

γ

f(z) z−adz

TEOREMA 3. Teorema de Cauchy. Se uma fun¸cão f é anal´ıtica em todos os pontos interiores e sobre um caminho fechadoγ contido num dom´ınio U, então

Z

γ

f(z)dz = 0.

A demostra¸cão deste teorema é feita a partir de casos particulares de caminhos como, por exemplo, um caminho circular, triangular ou retangular, por simplicidade. Depois é feita a generaliza¸cão.

Observa¸cão 1. O caminho fechado γ, do Teorema de Cauchy, pode ser na verdade um caminho fechado suave por partes, isto é, pode ser a cole¸cão finita de caminhos fechados γ1,...,γn. Neste caso, com as mesmas hipóteses,

teremos _n

X

k=1

Z

γk

f(z)dz = 0

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TEOREMA 4. Teorema de Morera. Seja f fun¸c˜ao cont´ınua em U dom´ınio simplesmente conexo e seja γ ⊂U um caminho fechado tal que

Z

γ

f(z)dz = 0

Então f é fun¸cão anal´ıtica.

O Teorema de Morera pode ser visto como a rec´ıproca do Teorema de Cauchy. Do mesmo modo, a demostra¸cão deste teorema é feita a partir de casos particulares de caminhos como, por exemplo, caminhos triangulares ou retangulares, por simplicidade, tendo como consequência imediata a generaliza¸cão para um caminho qualquer. Algumas destas estratégias, para os dois teoremas, pode ser encontrada em [5].

TEOREMA 5. Seja f fun¸cão cont´ınua em U ⊂ C aberto. Se f é anal´ıtica em U, exceto (possivelmente) sobre pontos de um segmento de linha L⊂C. Então f é anal´ıtica em todo U.

demo.:

Sem perda de generalidade, consideremosL⊂R, ou seja,Lest´a no eixo real.

Como a analiticidade é uma propriedade local, não há problema em tornamos U em um disco aberto qualquer que englobe L.

Para utilizarmos o Teorema de Morera para um caminho retangular, consideraremos 3 casos:

(i)Ln˜ao intercepta o dom´ınio delimitado pelo caminho R retangular fechado

⇒f ´e anal´ıtica em toda a regi˜ao R⇒pelo Teorema de Cauchy,R

R

f(z)dz = 0.

(ii) Um lado do caminho coincide com L.

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Seja, ent˜ao, a fam´ılia de caminhos (Rε), tal que Rε → R quando ε → 0.

Ent˜ao,

b

Z

a

f(x+iε)dz →

b

Z

a

f(x)dz

pela continuidade de f em U. Como L6⊂Rε para todoε >0⇒ f ´e anal´ıtica em todos os pontos de Rε ⇒ pelo Teorema de Cauchy

Z

Rε

f(z)dz = 0.

Mas f ´e cont´ınua em todo U. Logo Z

R

f(z)dz = lim

ε→0

Z

Rε

f(z)dz = 0.

(iii) O caminhoR engloba L.

Defina R como R = R1 ∪ R2 onde R1 é a parte retangular de R que se situa no semi-plano superior e delimitado por L e R2 é a parte retangular de R que se situa no semi-plano inferior e, também, delimitado por L.

Seja, ent˜ao, as fam´ılias de caminhos (R^ε₁) e (R₂^ε), tal queR₁^ε →R1 eR^ε₂ →R2

quando ε→0.

Logo, pelo item anterior, temos que Z

R

f(z)dz = lim

ε→0





 Z

R^ε1

f(z)dz+ Z

R^ε2

f(z)dz





= 0 + 0 = 0 Desta forma, pelo Teorema de Morera, f ´e anal´ıtica em U.

TEOREMA 6. Princ´ıpio de Reflexão de Schwarz. Seja f fun¸cão anal´ıtica no aberto U e cont´ınua em U∪∂U. Suponha que U está contido no

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semi-plano superior (ou no inferior) tendo um segmento L real como parte de sua fronteira.

Suponha que f(z)∈R quando z ∈R.

Então podemos definir uma extensão anal´ıtica g(z), da fun¸cão f(z), para o dom´ınio U ∈L∈U^∗, onde U^∗ ={z;z ∈U} e

g(z) =

(f(z), z∈U ∪L f(z),z ∈U^∗ demo.:

(i) Se z ∈U:

Por defini¸cão, se z ∈U então g(z) = f(z) e g é anal´ıtica em U. (ii) Se z ∈U, isto é, z∈U^∗:

Se z ∈U^∗ e h é pequeno o suficiente então (z+h)∈U^∗, pois U^∗ é aberto.

Assim,

g(z+h)−g(z)

h = f z+h

−f(z)

h =

"

f z+h

−f(z) h

#

Ent˜ao,

h→0lim

g(z+h)−g(z)

h = lim

h→0

"

f z+h

−f(z) h

#

=f⁰(z)

Isto é, a derivada de g existe e é cont´ınua, uma vez que f é anal´ıtica em U, o que implica que g é anal´ıtica em U^∗.

Por constru¸cão, g é anal´ıtica em U e foi provado que g é anal´ıtica em U^∗. Além disso, f é anal´ıtica no eixo real e g também o será, poisf(z)≡ f(z), sez ∈R. Logo, pelo teorema anterior, a fun¸cãogé anal´ıtica emU∪L∪U^∗.

TEOREMA 7. Teorema do Valor Médio. Seja f fun¸cão anal´ıtica em U ea∈U. Então f(a) é igual à média dos valores de f avaliados na fronteira de qualquer disco centrado em a.

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demo.:

Considerer >0 e o disco fechado centrado em a,D(a;r). Esta demonstra¸c˜ao ser´a dividida em duas partes:

(i) Mostrar que

f(a) = 1 2π

Z

∂D

f(a+re^iθ)dθ.

De fato, pela F´ormula Integral de Cauchy, f(a) = 1

2πi Z

∂D

f(z)

z−adz, z ∈∂D

Se considerarmos que z =a+re^iθ ⇒dz =ire^iθdθ. Logo, f(a) = 1

2πi Z

∂D

f a+re^iθ ire^iθ

a+re^iθ−a dθ = 1 2π

Z

∂D

f a+re^iθ dθ.

(ii) Mostrar que f(a) ´e a m´edia dos valores de f avaliados na fronteira ∂D.

Dividindo o c´ırculo ∂D em n partes iguais obtemos a parti¸c˜ao Pn=

a+r, a+reîθ¹, a+reîθ², ..., a+reîθⁿ⁻¹ onde θi−1 < θi e o arco θi−θi−1 = ^2π_n,∀i= 1, ..., n−1.

A média aritmética dos n números f(a+r), f(a+reîθ¹), ..., f(a+reîθⁿ⁻¹) será indicada por

M(f;n) = 1 n

n−1

X

k=0

f(a+re^iθ^k).

Podemos, ent˜ao, definir o Valor M´edio de f em ∂D como lim

n→∞M(f;n).

Escolhendo em cada arco

a+re^iθ^k⁻¹, a+re^iθ^k

o ponto a+re^iθ^k encon- tramos uma parti¸c˜ao pontilhada P_n^∗ tal que

X(f;P^∗) =

n−1

X

k=0

f(a+re^iθ^k)·(θi−θi−1) =

n−1

X

k=0

f(a+re^iθ^k)· 2π n

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Da´ı, temos

M(f;n) = 1 n

n−1

X

k=0

f(a+re^iθ^k) = 1 2π

X(f;P^∗)

Utilizando a defini¸cão de integral, segue que o valor médio de f em ∂D tem a seguinte expressão:

M(f;n) = lim

n→∞

1 2π

X(f;P^∗) = 1 2π

Z

∂D

f a+re^iθ dθ

Ou seja, M(f;n) =f(a) pelo item anterior.

2.6 Aplica¸ c˜ oes Conformes

Uma aplica¸cão que preserva ângulos, em valor absoluto, entre pares de curvas, em cada ponto do dom´ınio, se diz conforme nesse dom´ınio. As fun¸cões anal´ıticas possuem esta interessante propriedade de preservar ângulos justamente nos pontos nos quais a derivada não se anula. Desta forma, o termo aplica¸cão conforme será usado para significar a transforma¸cão de dom´ınios por uma fun¸cão anal´ıtica com derivada não nula.

2.6.1 A aplica¸c˜ao w=sen(z)

Como sen(z) = sen(x) cosh(y) + icos(x)senh(y) , a transforma¸c˜ao w = sen(z) pode ser escrita como

u=sen(x) cosh(y) e v = cos(x)senh(y).

Se x= ^π₂, ent˜aou= cosh(y) ev = 0. Assim, a reta x= ^π₂ ´e transformada na parte u≥1 do eixo real no plano-w, com uvariando de 1 ao infinito quando y varia de zero ao infinito por valores positivos.

(19)

Se y = 0, ent˜ao u = sen(x) e v = 0. Logo todo o eixo-x ´e transformado no segmento −1 ≤ u ≤ 1 do eixo-u da mesma forma que o segmento

−π/26x6π/2 é transformado neste mesmo segmento. A imagem da semi- reta superior do eixo-y é a semi-reta superior do eixo-v. Já a inferior será a semi-reta inferior do eixo-v, uma vez que quandox= 0, u= 0 ev =senh(y).

Estas transforma¸c˜oes s˜ao ilustradas na figura 3.

Figura 3: Transforma¸c˜oes pela aplica¸c˜ao w=sen(z).

A imagem do segmento y = c, −π/2 6 x 6 π/2, é a semi-elipse, cujas equa¸cões paramétricas são

u=sen(x) cosh(c) e v = cos(x)senh(c).

Se c > 0, ent˜ao v ≥0 e as equa¸c˜oes acima representam a parte superior da elipse

u²

cosh²(c)+ v²

senh²(c) = 1;

se c <0, elas representam a parte inferior. Os focos da elipse s˜ao os pontos w=±1, que independem de c.

(20)

A imagem da reta x=c, onde −π/26y6π/2, é a curva u=sen(c) cosh(y) e v = cos(c)senh(y), que é a parte direita da hipérbole

u²

sen²(c) − v²

cos²(u) = 1;

se c > 0, e é a parte esquerda se c < 0. Da mesma forma, w = ±1 são os focos desta hipérbole, como é poss´ıvel ver na figura 4.

Figura 4: Outras transforma¸c˜oes pela aplica¸c˜ao w=sen(z).

Cada ponto dado no semi-plano superior-w é um ponto de uma das semi- elipses bem definidas; portanto ele corresponde a um único ponto de um segmento horizontal bem definido, isto é, um único ponto da faixa semi- infinita

−π

2 6x6 π

2, y >0

(21)

no plano-z. Tamb´em, a cada ponto da faixa acima existe um ´unico ponto w.

Logo, a transforma¸c˜ao dessa faixa no semi-plano superior-w ´e bijetiva.

2.6.2 A aplica¸c˜ao w= ^z−1_z+1 Uma aplica¸c˜ao da forma

S(z) =w= az +b cz+d

é chamada deaplica¸cão linear fracionária. Se a, b, c e d satisfazemad−bc6= 0 então S(z) é dita umatransforma¸cão de Möbius.

A inversa S⁻¹ desta aplica¸c˜ao

S⁻¹(z) =z = −dw+b cw+a

é também uma aplica¸cão linear fracionária. Além disso, a composta de duas aplica¸cões lineares fracionárias é ainda linear fracionária.

A aplica¸cão S faz corresponder a cada ponto do plano-z, exceto ao ponto z = −d/c quando c 6= 0, um único ponto do plano-w. De acordo com a segunda equa¸cão, cada ponto do plano-w, exceto o ponto z = a/c quando c 6= 0, tem uma única imagem no plano-z. Esses pontos excepcionais para S e S⁻¹ são transformados nos pontos w = ∞ e z = ∞, respectivamente.

Como o plano complexo estendido, ou C^∞, consiste de todos os números complexos mais um ponto no infinito, então a aplica¸cão S estabelece uma correspondência bijetiva entre os pontos do plano-z estendido e do plano-w estendido.

Considere, então, a aplica¸cão linear fracionária w= z−1

z+ 1.

(22)

Ela leva o semi-plano x ≥ 0 no c´ırculo unitário |w| ≤ 1 e além disso, leva o semi-plano y ≥ 0 no semi-plano v ≥ 0. Como a transforma¸cão w⁰ = logw leva o semi-plano v ≥0 na faixa 0≤v⁰ ≤π, tem-se que a aplica¸cão

w⁰ = logz−1 z+ 1

leva o semi-plano superior na faixa 0 ≤v⁰ ≤ π, conforme podemos observar na figura 5.

Figura 5: Transforma¸c˜oes pelas aplica¸c˜oes w= ^z−1_z+1 e w⁰ = log^z−1_z+1.

(23)

3 Fluxos de calor por condu¸ c˜ ao

3.1 Postulados F´ısicos

Seja k a condutividade t´ermica de um material num corpo s´olido qualquer.

Então o fluxo de calor através de qualquer superf´ıcie no interior deste sólido

´e dado por:

Φ =−kdT dn

ondeT é a fun¸cão temperatura enrepresenta a distância normal a superf´ıcie.

Neste estudo, consideraremos que a temperatura seja uma fun¸cão de x e y, que não varia com o tempo. Desta forma, o escoamento de calor se acha num estado estacionário e bidimensional, paralelo ao plano-xy. Supomos, ainda, que nenhuma energia térmica seja criada ou destru´ıda no interior do sólido. Assim, a fun¸cão temperatura T (x, y) é cont´ınua assim como suas derivadas primeiras e segundas nos pontos interiores ao corpo.

Consideremos um elemento interior ao s´olido com base ∆x por ∆y, perpendicular ao plano-xy (Figura 6).

Figura 6: Representa¸c˜ao do s´olido com o elemento de base ∆x por ∆y.

A taxa de varia¸c˜ao de escoamento de calor para a direita atrav´es da face

(24)

esquerda ´e

−k∆y∂T

∂x

Se k é constante, a diferen¸ca entre essa taxa e a taxa de varia¸cão do escoamento através da face direita é

−k∆y∂²T

∂x²∆x

que ´e a taxa resultante de perda de calor do elemento atrav´es dessas duas faces.

Analogamente, a taxa resultante de perda atrv´es das faces superior e inferior do elemento ´e

−k∆x∂²T

∂y²∆y

O calor entra ou sai no elemento somente por uma destas faces. Além disso, as temperaturas no interior do elemento são estacionárias, por hipótese. Logo, temos:

−k∆y^∂_∂x²^T2∆x−k∆x^∂_∂y²^T²∆y= 0

⇒ −k∆x∆y

∂²T

∂x² + ^∂_∂y²^T²

= 0

⇒ ^∂_∂x²^T2 + ^∂_∂y²^T2 = 0

Da´ı, podemos concluir que a fun¸cão temperatura deve satisfazer à equa¸cão de Laplace em cada ponto interior do sólido, uma vez que podemos tomar

∆x e ∆y suficientemente pequenos.

Em vista da equa¸cão acima e da continuidade de T e suas derivadas parciais, temos que T é uma fun¸cão harmônica de x e y no dom´ınio representado pelo interior do corpo sólido.

As superf´ıcies T(x, y) = c, com c constante, s˜ao chamadas de isotermas.

Na verdade, elas são as isolinhas ou curvas de n´ıvel da fun¸cão T e podem ser consideradas como curvas no plano-xy em casos no qual o escoamento da temperatura é bidimensional, como o caso em questão. O gradiente de T é

(25)

perpendicular à isoterma em cada ponto, e o fluxo máximo de calor ocorre na dire¸cão do gradiente. Se S(x, y) é uma conjugada harmônica de T(x, y), então as curvas definidas por S(x, y) = c serão definidas como as linhas de escoamento, uma vez que suas tangentes serão o gradiente de T.

Se a derivada normal ^dT_dn é zero ao longo de uma parte da fronteira da chapa sólida, o fluxo de calor através dessa parte é zero. Isto é, a parte é termicamente isolada; ela é, portanto, uma linha de escoamento.

3.2 Temperaturas estacion´ arias numa parede

Seja uma placa semi-infinita delimitada pelos planos x = ^π₂, x = ^−π₂ e y=0, conforme descrito na figura 7. O objetivo é determinar a equa¸cão para as temperaturas estacionáriasT (x, y), uma vez que as duas primeiras fronteiras são conservadas à temperatura zero e a última em temperatura T=1.

Figura 7: Representa¸c˜ao da placa inicial.

Como hipótese inicial, suponha que a fun¸cão T(x, y) seja limitada em todos os pontos desta região, inclusive quandoy→ ∞. Do contrário, o problema teria infinitas solu¸cões. Desta forma, podemos escrever o problema de contorno da forma:

(26)

(i) ^∂_∂x²^T² +^∂_∂y²^T² = 0, se ^−π₂ < x < ^π₂ e y <0.

(ii) T ^−π₂ , y

=T ^π₂, y

= 0, se y <0.

(iii) T (x,0) = 0, se ^−π₂ < x < ^π₂. (iv) kT (x, y)k ≤1.

Podemos observar que as condi¸cões de contorno são todas do tipo T = c, c constante, tipo que é invariante sob aplica¸cões conformes. Desta forma, usaremos aplica¸cões conformes para obtermos uma região e um problema suficientemente simples para que a tal fun¸cão procurada se torne evidente.

Tome a fun¸c˜ao z⁰ = sen(z). Conforme o item 2.6.1, f transforma a faixa do exemplo no semi-plano superior do plano-z’. A imagem da base da faixa

é o segmento do eixo-x’ entre os pontos z⁰ = −1 e z⁰ = 1, as imagens dos lados são as partes restantes do eixo-x’. Da mesma forma, pelo item 2.6.2, este semi-plano é transformado na faixa infinita entre as retas v = 0 ev =π, pela transforma¸cão

w= logz⁰ −1

z⁰+ 1 = logr1

r2

+i(θ1−θ2) onde 0< θ1, θ2 < π.

Como indicado na figura 8, o segmento do eixo-x’ entre z⁰ =−1 e z⁰ = 1 ´e transformando na parte superior da faixa, e o resto do eixo na parte inferior.

Uma fun¸cão harmônica de u e v, limitada na faixa, tal que se anula no lado v = 0 da faixa e é igual a unidade no lado v =π é

T = 1

πv (1)

pois esta é a parte imaginária da fun¸cão f(w) = ^w_π. Mudando para as coordenadas x’ e y’ por meio da transforma¸cão

(27)

Figura 8: Esquema da transforma¸c˜ao da placa inicial sob as aplica¸c˜oes sen e log.

w= logz⁰ −1 z⁰+ 1 = log

z⁰ −1 z⁰ + 1

+iarg

z⁰−1 z⁰+ 1

(2) Temos que

v = arg

x⁰−1 +iy⁰ x⁰+ 1 +iy⁰

= arg

x⁰²+y⁰²−1 + 2iy⁰ (x⁰+ 1)²+y⁰²

Isto ´e

v = arctg

2y⁰ x⁰²+y⁰²−1

onde a fun¸c˜ao arco tangente toma valores de 0 a π, pois arg

z⁰ −1 z⁰+ 1

=θ₁−θ₂ e os ˆangulos s˜ao os indicados na figura.

A fun¸c˜ao T fica da forma : T = 1

πarctg

2y⁰ x⁰²+y⁰²−1

(3)

(28)

Como a fun¸cão usada na transforma¸cão (2) é anal´ıtica no semi-plano superior y⁰ > 0 e a fun¸cão (1) é harmônica na faixa, a fun¸cão (3) deve ser uma fun¸cão harmônica no semi-plano y⁰ >0, com as condi¸cões de contorno para as duas fun¸cões sendo as mesmas sobre as partes correspondentes das fronteiras. Além disso, a fun¸cão (3) satisfaz a equa¸cão de Laplace.

A fun¸cão representa as temperaturas estacionárias na placa semi-infinita y⁰ ≥ 0 com uma parte (−1< x < 1) da sua fronteira y⁰ = 0 mantida a uma temperatura T = 1 e o resto a temperatura zero. As isotermas T =c, com 0 < c < 1 são os c´ırculos abaixo com seus centros sobre o eixo-y’ e passando pelos pontos (±1,0):

c= _π¹arctg

2y⁰ x⁰²+y⁰²−1

⇒cπ = arctg

2y⁰ x⁰²+y⁰²−1

tg(cπ) = _x02+y^2y⁰⁰²−1 ⇒x⁰² +y⁰²−1 = _tg(cπ)^2y⁰

⇒x⁰²+y⁰²−_tg(cπ)^2y⁰ −1 = 0

Figura 9: Representa¸c˜ao das isotermas no plano-z’.

(29)

Finalmente, vamos determinar a solu¸cão do problema original, representado pelas condi¸cões (i), (ii), (iii) e (iv). Utilizando a transforma¸cão z⁰ = sen(z), ou x⁰ +iy⁰ = sen(x+iy), a mudan¸ca de variáveis pode ser escrita como

x⁰ =sen(x) cosh(y) y⁰ = cos(x)senh(y) e a fun¸cão harmônica (3), resultará em

T = 1 πarctg

2 cos(x)senh(y)

sen²(x) cosh²(y) + cos²(x)senh²(y)−1

Por´em como

sen²(x) cosh²(y) + cos²(x)senh²(y)−1

=sen²(x) (1 +senh²(y)) + cos²(x)senh²(y)−1

=sen²(x) +sen²(x)senh²(y) + cos²(x)senh²(y)−1

=sen²(x)−1 +senh²(y)(sen²(x) + cos²(x))

=senh²(y)−cos²(x) Ent˜ao, a fra¸c˜ao pode ser escrita como

2 cos(x)senh(y)

senh²(y)−cos²(x) = 2cos(x)/senh(y)

1−(cos(x)/senh(y))² =tg(2α) onde tg(α) = cos(x)/senh(y). A equa¸c˜ao para T ´e portanto

T = 1

πarctg(tg2α)⇒T = 2 πarctg

cos(x) senh(y)

(4) A fun¸c˜ao arco tangente em (4) toma valores de 0 a ^π₂ pois 0≤T ≤1, sendo seu argumento n˜ao-negativo.

Como sen(z) é anal´ıtica, esta faz com que a fun¸cão (4) seja harmônica na faixa −^π₂ < x < ^π₂, y > 0, em que o semi-plano é transformado, e satisfa¸ca

às condi¸cões de contorno (ii) e (iii). Além do mais, kT (x, y)k ≤1 em toda a faixa. Logo (4) é a equa¸cão de temperatura procurada.

(30)

As isotermas T =cs˜ao as curvas c= ²_πarctg

cos(x) senh(y)

⇒ ^πc₂ = arctg

cos(x) senh(y)

⇒tg^πc₂ = _senh(y)^cos(x)

⇒cos(x) =tg^πc₂ senh(y) cada uma das quais passa pelos pontos (±π/2,0).

Figura 10: Representa¸c˜ao das isotermas da equa¸c˜ao acima no plano-z.

Se k é a condutividade térmica, o fluxo de calor para a parede através da sua base é

−k∂T

∂y_y=0 = 2k πcos(x)

onde −^π₂ < x < ^π₂; e o fluxo para fora do plano x= ^π₂ ´e

−k∂T

∂xx=π_/ 2

= 2k

πsenh(y)

onde y > 0. Além disso, sabe-se que o produto de uma fun¸cão harmônica por uma constante, ainda é uma fun¸cão harmônica. Desta forma, a fun¸cão

T = 2T0

π arctg

cos(x) senh(y)

representa as temperaturas estacionárias na placa descrita neste exemplo, quando a base é mantida à temperatura T0 e os lados à temperatura zero.

(31)

3.3 Temperaturas numa placa com parte de uma fron- teira isolada

O objetivo, agora, é determinar as temperaturas estacionárias T(x, y) numa placa tal que um segmento em uma das fronteiras é isolado, se o resto desta fronteira é mantido a uma temperatura fixa, e se a segunda fronteira é mantida a outra temperatura fixa.

Suponhamos, então, uma placa semi-infinita y ≥ 0, onde T = 0 sobre a parte x <−1 da fronteira e T = 1 sobre a parte x >1. Além disso, suponha que a faixa−1< x <1 da fronteira é isolada termicamente das demais faixas, conforme a Figura 11. Estas faces são isoladas de forma que o problema é bidimensional.

Figura 11: Representa¸c˜ao da placa inicial.

De maneira an´aloga, o problema de contorno ´e dado por (i) ^∂_∂x²^T² +^∂_∂y²^T² = 0, se (∀x, y >0)

(ii) ^∂T_{∂y y=0} = 0, se (−1< x <1)

(32)

(iii) T(x,0) = 0, se x <−1 e T(x,0) = 1, se x >1.

onde T(x, y) ´e limitada para todos os x e y do dom´ınio.

A condi¸cão (ii) prescreve o valor da derivada normal da fun¸cão T sobre uma parte de uma linha de fronteira, e o valor da própria fun¸cão sobre o resto dessa linha.

Seja, então, a transforma¸cão conforme z =sen(w). Esta, leva o semi-plano superior y ≥ 0, no plano-z, na faixa delimitada por −^π₂ ≤ u ≤ ^π₂, v ≥ 0, no plano-w. O segmento isolado do eixo-x é transformado na base da faixa e o resto da fronteira, nos lados da faixa, conforme a figura anterior. Desta forma, nos cabe encontrar uma fun¸cão limitada T de u e v, harmônica, tal que

T =

1, u=π/2 0, u=−π/2 Como, por exemplo,

T = 1 2+ 1

πu= Re 1

2+ 1 πw

(5) Desta forma, a fun¸c˜ao temperatura procurada para o semi-plano ´e obtida escrevendo-se T em termos de xe y.

Utilizando a aplica¸c˜ao z = sen(w), ou x +iy = sen(u+iv), a mudan¸ca de vari´aveis pode ser escrita como

x=sen(u) cosh(v) y= cos(u)senh(v)

Portanto, uma vez que cosh²(v)−senh²(v) = 1, temos que x²

sen²(u) − y²

cos²(u) = 1. (6)

(33)

Ou seja, ao resolver a expressão em rela¸cão à u, observamos que, para cada u fixado, o ponto (x,y) está sobre a hipérbole (6). Os focos (±c,0) desta hipérbole satisfazem

c² =sen²(u) + cos²(u) = 1⇒c=±1

Além disso, o eixo transverso tem comprimento 2a = 2sen(u). Logo, a diferen¸ca de distâncias de um ponto aos focos também é de 2sen(u). Ou seja,

q

(x+ 1)²+y²− q

(x−1)²+y²= 2sen(u)

⇒sen(u) = ¹₂ q

(x+ 1)²+y²− q

(x−1)²+y²

⇒u= arcsen¹₂ q

(x+ 1)² +y²− q

(x−1)²+y²

De acordo com a equa¸cão (5), a fun¸cão temperatura procurada é T = 1

2 + 1

πarcsen1 2

q

(x+ 1)²+y²− q

(x−1)²+y²

onde a fun¸c˜ao arco seno varia da mesma forma que u, ou seja, de 0 a ^π₂.

As isotermas T =cs˜ao as curvas c= ¹₂ + _π¹arcsen¹₂

q

(x+ 1)²+y²− q

(x−1)²+y²

⇒π ^2c−1₂

= arcsen¹₂ q

(x+ 1)²+y²− q

(x−1)²+y²

⇒π ^2c−1₂

= arcsen¹₂ q

(x+ 1)²+y²− q

(x−1)²+y²

Isto é, são as partes das hipérboles confocais de equa¸cão (6), onde u = π ^2c−1₂

, as quais se situam mo semi-plano superior, conforme se pode ver na figura 12.

(34)

Figura 12: Representa¸c˜ao das isotermas na placa do exemplo.

Al´em disso, a temperatura ao longo da parte isolada da fronteira ´e T (x,0) = ¹₂ +_π¹arcsen¹₂

q

(x+ 1)²+y²− q

(x−1)²+y²

,−1< x <1.

= ¹₂ +_π¹arcsen¹₂ q

(x+ 1)²− q

(x−1)²

= ¹₂ +_π¹arcsen¹₂[(x+ 1)−(1−x)]

= ¹₂ +_π¹arcsen¹₂[2x]

= ¹₂ +_π¹arcsen(x)

(35)

4 Escoamento de um Fluido Bidimensional

4.1 Postulados F´ısicos

Neste estudo, consideraremos somente o escoamento bidimensional no estado estacionário, isto é, o movimento do fluido é suposto o mesmo em todos os planos paralelos ao plano-xy, sendo a velocidade paralela a este plano e independente do tempo. É suficiente, então, considerar o movimento do fluido no plano-xy.

Suponhamos que o vetor que representa a variável complexa q = q₁ +iq₂ designe a velocidade de uma part´ıcula do fluido num ponto qualquer (x,y), de modo que as componentes x e y da velocidade tem valores q1(x, y) e q2(x, y). Nos pontos interiores a um dom´ınio de escoamento em que não ex- istam fontes ou sorvedouros do fluido, as fun¸cões reaisq1,q2 e suas derivadas parciais de primeira ordem são supostamente cont´ınuas.

Seja C uma caminho e seja qt a componente da velocidade q tangente a C (qt é fun¸cão real). Se sé o comprimento de arco ao longo de C, o valor da integral de linha

Z

C

qt(x, y) (7)

é chamadocircula¸cãodo fluido ao longo de C. Quando a circula¸cão é dividida pelo comprimento da curva, o quociente representa uma velocidade média do fluido ao longo da curva, pelo Teorema do Valor Médio.

Suponhamos que C seja um caminho fechado interior a um dom´ınio simplesmente conexo, onde q1, q2 e suas derivadas parciais de primeira ordem são cont´ınuas. Se x+iy designa pontos de C, o número complexo dx+idy representa um vetor tangente a C cujo comprimento é ds. Logo, qtds é o produto dos comprimentos dos vetores q e dx+idy pelo cosseno do ângulo

(36)

entre eles, isto ´e, qtds ´e o produto escalar desses dois vetores;

qtds =q1dx+iq2dy

Com o aux´ılio do Teorema de Green, a circula¸c˜ao ao longo de C pode ser escrita como

Z

C

q1dx+q2dy= Z Z

R

∂q2

∂x − ∂q1

∂y

dxdy (8)

onde R ´e a regi˜ao delimitada por C.

Para uma interpreta¸cão f´ısica do integrando da última integral, seja C um c´ırculo |z−z0|=r0. A velocidade médiav0 ao longo de de C é então deter- minada dividindo-se a circula¸cão por 2πr0, e a velocidade angular média ω0

do fluido em torno do eixo do c´ırculo ´e v0/r0; assim ω0 = 1

πr²₀ Z Z

R

1 2

∂q2

∂x − ∂q1

∂y

dxdy

O segundo membro representa o valor m´edio da fun¸c˜ao ω= 1

2 ∂q2

∂x − ∂q1

∂y

(9) sobre a região circular R. Seu limite quando r0 tende para zero é o valor de ω no ponto z0. Logo, a fun¸cão ω(x, y), chamada de rota¸cão do fluido, representa o limite da velocidade angular de um elemento circular do fluido quando o c´ırculo se contrai para o ponto (x,y).

Se ω = 0, isto é, se a rota¸cão é nula em todos os pontos de um dom´ınio, o escoamento é irrotacional nesse dom´ınio. Além disso, dizemos que um fluido éincompress´ıvel se a densidade em cada elemento deste fluido for constante, ou seja, fisicamente, ele não sofre contra¸cões ou dilata¸cões ao longo do processo. Um outro aspecto f´ısico interessante é a viscosidade: esta pode ser interpretada como a medida de resistência ao cisalhamento, ou atrito, de

(37)

um fluido com outro meio qualquer que pode ser sólido, liquido ou mesmo gasoso. De forma geral, admitiremos aqui que o fluido é irrotacional, incompress´ıvel e não-viscoso.

Seja D um dom´ınio simplesmente conexo onde o escoamento ´e irrotacional.

Se C é um caminho fechado qualquer em D, segue-se da equa¸cão (8) e do Teorema de Green, que a circula¸cão ao longo de C é zero,

Z

C

(q1dx+q2dy) = 0

Como consequencia, se (x₀, y₀) ´e um ponto fixado em D, a equa¸c˜ao

φ(x, y) =

(x,y)

Z

(x0,y0)

[q1(x⁰, y⁰)dx⁰+q2(x⁰, y⁰)dy⁰] (10) define uma fun¸cão do ponto (x,y) em D, que é independente do caminho de integra¸cão entre os limites, desde que o caminho seja interior a D, pois a integral ao longo de um caminho C1 menos a integral ao longo de um outro caminho C2 é a integral ao longo de um caminho fechado C, que deve ser igual a zero, pelo Teorema de Cauchy.

Como a integral de linha (10) é independe do caminho, segue-se que o seu integrando é uma diferencial exata da fun¸cão φ(x, y). Logo,

q1 = ∂φ

∂x e q2 = ∂φ

∂y isto ´e, o vetor q´e o gradiente de φ,

q= ∂φ

∂x +i∂φ

∂y (11)

e a derivada direcional de φ em qualquer dire¸c˜ao representa a componente da velocidade do fluido nessa dire¸c˜ao.

(38)

A fun¸cão φ(x, y) é chamada potencial de velocidade. Segue da fórmula (10) que φ(x, y) varia de uma constante aditiva quando se muda o ponto de re- ferência z0.

As curvas φ(x, y) = 0 são chamadas de equipotencias. Elas são as curvas de n´ıvel da fun¸cão φ. Os vetores velocidade em todos os pontos são normais a essas curvas visto que q é o gradiente de φ.

Como no caso do escoamento de calor, a condi¸cão de continuidade do escoamento estacionário, exige que φ satisfa¸ca à equa¸cão de Laplace

∂²φ

∂x² +∂²φ

∂y² = 0

num dom´ınio que seja livre de fontes ou sorvedouros do fluido. Pela equa¸cão (11) e pela continuidade de q₁, q₂ e suas derivadas parciais, as derivadas parciais de φ até a segunda ordem são cont´ınuas num tal dom´ınio; assim, o potencial de velocidade φé uma fun¸cão harmônica no dom´ınio.

Se ψ(x, y) é uma conjugada harmônica da fun¸cão φ(x, y), então os vetores velocidade são tangentes às curvas

ψ(x, y) = c.

Estas curvas são chamadas linhas de corrente do escoamento; a fun¸cão ψ é a fun¸cão corrente. A fun¸cão

F(z) =φ(x, y) +iψ(x, y)

é anal´ıtica, uma vez queφ e ψ são conjugadas harmônicas. Diz-se que F é o potencial complexo do escoamento. Além disso,

F⁰(z) = ∂φ

∂x +i∂ψ

∂x = ∂φ

∂y −i∂φ

∂y

(39)

pois F é anal´ıtica e, consequentemente, φ e ψ satisfazem às condi¸cões de Cauchy-Riemann. Da´ı, segue que como

q= ∂φ

∂x +i∂φ

∂y = ∂φ

∂x −i∂φ

∂y =F⁰(z)

então, o conjugado da derivada do potencial complexo é a velocidade. Além disso, o módulo da velocidade é dado por

|q|= F⁰(z)

=|F⁰(z)|.

De acordo com a proposi¸cão 4, se φ é harmônica num dom´ınio simplesmente conexo D, então uma conjugada harmônica, definida em D, de φ, pode ser escrita como

ψ(x, y) =

(x,y)

Z

(x⁰,y0)

−∂φ

∂y⁰ (x⁰, y⁰)dx⁰ + ∂φ

∂x⁰ (x⁰, y⁰)dy⁰

Mas como

q1 = ∂φ

∂x e q2 = ∂φ

∂y ent˜ao

ψ(x, y) =

(x,y)

Z

(x⁰,y0)

[−q₂(x⁰, y⁰)dx⁰+q1(x⁰, y⁰)dy⁰]

sendo o caminho de integra¸c˜ao ´e qualquer contorno C1 interior a D, ligando estes dois pontos.

4.2 Escoamento ao redor de um cilindro

Suponhamos a existˆencia de um corpo cil´ındrico de raio R > 0 que se situa dentro de um fluido, como um rio, por exemplo, de escoamento em uma velocidade uniforme, tendo o seu eixo perpendicular a dire¸c˜ao do escoamento.

O objetivo é encontrar a equa¸cão determina o escoamento estacionário do fluido ao redor deste cilindro.

(40)

Para isto, representemos o cilindro pelo c´ırculo x² +y² = 1. Por simetria, podemos considerar somente a parte superior da figura como regi˜ao de escoamento. Desta forma, parte do eixo-x exterior ao c´ırculo pode ser tratado como fronteira da regi˜ao, conforme esquema da figura 13.

A fronteira desta região de escoamento é transformada em todo o eixo-u, no plano-w, pela aplica¸cão conforme

w=z+ 1

z (12)

isto é, a região de estudo é transformada no plano v ≥0.

Figura 13: Representa¸c˜ao do escoamento ao redor do cilindro unit´ario.

Quando o potencial complexo é a fun¸cãoF(z) =Az, onde Aé constante real positiva, temos que

φ(x, y) = Ax e ψ(x, y) =Ay.

Ou seja, as linhas de corrente ψ = c s˜ao as retas horizontais y = c/A, e a velocidade do fluido ´e o vetor

q=F⁰(z) =A

(41)

Logo, o escoamento ´e um escoamento uniforme para a direita. Desta forma, o potencial complexo para um escoamento no semi-plano ´e

F =Aw,

onde A é uma constante real. Logo, o potencial complexo para a região do c´ırculo será

F(z) =Aw(z) =A

z+ 1 z

. Por sua vez, a velocidade ser´a

q=F⁰(z)

=A_dz^d z+¹_z

=A 1− _z¹2

=A 1−_z¹²

Pode-se, ainda, observar que a velocidade tende para A, quando | z |→ ∞, o que explica o fato de o escoamento ser quase uniforme e paralelo ao eixo-x conforme se afasta do c´ırculo.

Da equa¸c˜ao da velocidade temos que q(z) = A

1− 1

z²

=q(z),

logo a equa¸cão representa também o escoamento do fluido na região inferior, utilizando o semi-c´ırculo inferior como linha de corrente, conforme o Pr´ıncipio de Reflexão de Schwarz.

Com o objetivo de encontrar a fun¸c˜ao corrente de F, consideremos z =re^iθ.

(42)

Como F(z) =φ(x, y) +iψ(x, y), temos F(z) =φ+iψ =A z+¹_z

=A re^iθ +_re¹iθ

=A

r(cosθ+isenθ) + _r(cos_θ+isenθ)¹

=A

r(cosθ+isenθ) + _r(cos^cos²^θ−isenθ_θ+isen²_θ)

=A

rcosθ+^cos_r^θ +i rsenθ− ^senθ_r Logo,

ψ=Asenθ

r− 1 r

Desta forma, as linhas de corrente Asenθ

r− 1

r

=c

são simétricas em rela¸cão ao eixo-y, conforme a figura 13.

4.3 Escoamento de um fluido num canal atrav´ es de uma fenda

Apresentaremos um outro exemplo de escoamento estacionário ideal que mostrará a influência de fontes e sorvedouros em problemas de escoamento.

Considere, então, o escoamento bidimensional de um fluido entre dois planos paralelos y= 0 e y=π, onde o fluido entra através de uma fenda estreita ao longo da reta x= 0, no semi-plano-z superior. Suponha, também, que a taxa de escoamento de entrada através da fenda seja de Q unidades de volume por tempo. Logo, a taxa de escoamento de sa´ıda da faixa é deQ/2 unidades de volume por tempo para cada extremidade, conforme o esquema abaixo.

Utilizando a aplica¸c˜aoz = log(w), transformamos a faixa do exemplo no semi-plano superior do plano-w. Ent˜ao:

z= log(w)⇔w=e^z ⇔w=e^xe^iy

(43)

Figura 14: Esquema do escoamento de um fluido num canal atrav´es de uma fenda pela aplica¸c˜ao expz.

Desta forma, se z =x com x∈Rentão w=e^x onde θ= 0, ou seja, o eixo-x tem como imagem o eixo-u positivo. Além disso, sex <0 entãow=e^x=u0

e 0 < u0 <1; sex >0 ent˜aow=e^x=u0 eu0 >1; se x→ −∞ent˜aow→0;

se x → ∞ então w → ∞. Por outro lado, se z = x+iπ então w = e^xeîπ, ou seja, a reta y = π tem como imagem o eixo-u negativo. Além disso, se z = 0 então w=e⁰ = 1. Podemos, então, concluir que a fronteira do canal é transformada na fronteira do semi-plano superior v ≥0.

A taxa de escoamento de fluido através de uma curva ligando um ponto z = x a um ponto (x, y) no interior da faixa é uma fun¸cão corrente ψ(x, y) para o escoamento. Sob uma aplica¸cão conforme, a fun¸cãoψé uma fun¸cão de uev que representa a fun¸cão corrente para o escoamento na região do plano- w, tendo a taxa de escoamento igual através das curvas correspondentes nos dois planos. Logo podemos concluir que, sob uma aplica¸cão conforme, uma fonte ou sorvedouro num dado ponto corresponde a uma fonte ou soverdouro igual na imagem deste ponto.

Da´ı ´e poss´ıvel ver que, no plano-w, existe uma fonte no ponto u = 1, com