1. INTRODUÇÃO
2.4. Tensões de flexão
A análise estrutural da viga navio utiliza a Teoria Simples de Viga, que se pauta nas seguintes hipóteses:
1. Seções planas permanecem planas.
2. A viga é prismática sem aberturas e descontinuidades.
3. Outras formas de resposta estrutural aos carregamentos não afetam a flexão no plano vertical e podem ser tratadas separadamente.
4. O material é homogêneo e permanece no regime elástico.
Figura 2.5 – Elemento diferencial em flexão
A primeira hipótese está ilustrada na figura 2.5. Sob a ação do momento fletor, a viga sofre uma curvatura, com raio local R e, se as seções planas permanecem planas, a deformação longitudinal εx varia linearmente na
direção vertical e está relacionada com o raio de curvatura, R, como:
R y Rd Rd d y R x = − + = θ θ θ ε ( ) (2.1)
A superfície horizontal onde y e, portanto, a deformação é zero, é chamada de superfície neutra ou de eixo neutro. O material, por hipótese, homogêneo, elástico, com módulo de elasticidade E, apresenta a tensão normal na direção longitudinal: R y E E x x = ε = σ (2.2)
A ausência de força externa axial requer, por equilíbrio:
y
0 = =
∫
A x x dA F σ (2.3) Que se reduz a 0 =∫
A ydA (2.4)e indica que a superfície neutra coincide com o centróide da seção transversal da viga.
O equilíbrio de momentos requer que o momento externo Mz seja equilibrado pelo momento resultante das forças internas
∫
= A x z y dA M σ (2.5)que, após a utilização da equação 2.2, se reduz a:
R EI
Mz = (2.6)
onde I é o momento de inércia da seção transversal, definido por:
0 2 = =
∫
A dA y I (2.7)A equação 2.6 relaciona a curvatura com o momento fletor e se ela for utilizada para eliminar R da equação 2.2, o resultado é a familiar expressão para o calculo das tensões em função da distância y relativa ao eixo neutro:
I y Mz x =
2.5. Módulo de Seção
A equação 2.8 indica que σx é máximo quando y é máximo, isto é nos
extremos, superior e inferior, da seção transversal. Quando y corresponde a um destes extremos a quantidade I/y é chamada de módulo de seção e é usualmente denotado por Z. Como o eixo neutro não se localiza, geralmente, a meia altura da seção, existe, então, dois valores extremos de y: yD para o convés resistente mais distante da linha neutra e yK para a quilha, resultando dois valores para o módulo Z: ZD e ZK. Na maioria das embarcações, estrutura do fundo é mais robusta que a do convés, resultando uma localização abaixo do meio pontal para o eixo neutro. Uma altura de 0.4D acima da quilha é típica, mas tal localização varia entre os diferentes tipos de navios. Assim, as máximas tensões de flexão ocorrem tanto no convés quanto no fundo.
O cálculo dos módulos reduz-se ao cálculo das propriedades de área e de inércia da seção transversal em questão. Como a estrutura longitudinal da viga navio é uma composição de diversos elementos, a marcha de cálculo destas propriedades é simples, porém dependendo da quantidade de elementos pode ser trabalhosa. Nestes casos, o uso de planilhas eletrônicas auxilia sobremaneira o trabalho.
1. 2 5 m 1.25m 20 mm 10 mm 7 mm 22 mm 20 mm 18 mm 20 mm 17 mm Bojo 22 mm 30 mm S1 S2 S3 20 mm 25 mm 25 mm 1. 25m 45o 800x450x25 mm Espaçamento de cavernas 700 mm Distância entre anteparas 14 m
4. 00m 3. 25m 3. 25m 3.00m 3.00m 9.75m 6.50m
Figura 2.9 – Seção transversal de uma embarcação com cavernamento transversal
Tabela 2.1 – Cálculo das propriedades de área da seção mostrada na figura 2.9
ÁREA TRANSVERSAL DIST À MOMENTO MOMENTO DE INÉRICA
ELEMENTO CHAPEAMENTO PERFIS PAINEL LINHA ESTÁTICO DE ÁREA
ESP. COMPR. ÁREA N° ÁREA ÁREA TOTAL BASE DE ÁREA PRÓPRIO TRANSFERÊNCIA
(unidades) m m m2 m2 m m3 m4 m4 convés 1 0.020 6.50 0.1300 0.1300 11.750 1.5275 0.000 17.948 costado 1-2 0.022 3.25 0.0715 0.0715 10.125 0.7239 0.063 7.330 convés 2 0.010 6.50 0.0650 0.0650 8.500 0.5525 0.000 4.696 costado 2-3 0.020 3.25 0.0650 0.0650 6.875 0.4469 0.057 3.072 convés 3 0.007 6.50 0.0455 0.0455 5.250 0.2389 0.000 1.254 costado 3-f 0.018 2.75 0.0495 0.0495 3.875 0.1918 0.031 0.743 bojo 0.022 3.93 0.0865 0.0865 0.907 0.0785 0.051 0.071 teto do DF 0.017 8.50 0.1445 0.1445 1.250 0.1806 0.000 0.226 fundo 0.020 7.25 0.1450 0.1450 0.000 0.0000 0.000 0.000 quilha 0.015 1.25 0.0188 0.0188 0.625 0.0118 0.002 0.007 longarina 1 0.025 1.25 0.0313 0.0313 0.625 0.0196 0.004 0.012 longarina 2 0.025 1.25 0.0313 0.0313 0.625 0.0196 0.004 0.012 p. marginal 0.020 0.73 0.0146 0.0146 0.732 0.0107 0.003 0.008 ∑ 0.8985 4.0023 0.215 35.379
Altura da Linha Neutra yLN = ∑ me/∑ a = 4.0023/0.8985 = 4.454 m Inércia em relação a Linha de Base Iz = ∑ Ipróprio + ∑ Itransf = 0.215 + 35.379 = 35.594 m4 Mudança para Linha Neutra = - (∑ a) yLN2 = -17.825 m4
Meia Inércia em relação a LN I/2 = Iz - (∑ a) yLN2 = 35.594 - 17.825 = 17.769 m4 Módulo de resistência no fundo Zfundo = I/yLN = (2*17.769)/4.454 = 7.979 m3 Módulo de resistência no convés Zconvés = I/(D-yLN) = (2*17.769)/(11.750-4.454) = 4.871 m3
2.6. Tensões cisalhantes
Devido a variação do momento fletor ao longo do comprimento do navio, as tensões σAe σB em duas faces, de um elemento diferencial ao longo do
comprimento, não serão idênticas. Portanto, ao isolarmos uma porção deste elemento por meio de dois cortes, um na linha de centro e outro na distância s, ao longo do perímetro medido a partir da linha de centro, as forças resultantes da diferença de tensões devem ser equilibradas por uma distribuição de tensões cisalhantes no sentido longitudinal, ao longo das superfícies de corte. Por questões de simetria, as tensões de cisalhamento ao longo do corte na linha de centro não devem existir e o equilíbrio, portanto, deve ser totalmente obtido pela presença de tensões cisalhantes τ na outra seção de corte.
Figura 2.10 – Tensões de cisalhamento na flexão. Hughes, 1983.
∫
∫
− = s A s Btds tds tdx 0 0σ σ τ (2.9)Substituindo I y Mz x = σ em ambas as faces:
∫
∫
= − = B A s s ytds I dM ytds I M M tdx 0 0 τ (2.10) Substituindo dM=Qdx:∫
= sytds I Qdx tdx 0 τ (2.11)A integral na equação 2.10 é função da geometria da seção e da posição s ao longo desta. Por conveniência, associa-se o símbolo m para essa grandeza:
∫
= sytds m
0 (2.12)
e, pode-se notar que m é o momento estático, em relação a linha neutra, da área da área acumulada, iniciando-se em um corte livre de tensões cisalhantes. (ou livre ou no plano de simetria).
Substituindo m em 2.11 e isolando τ, obtém-se:
It Qm
=
τ (2.13)
O produto τt possui significado especial tanto no cisalhamento quanto na
torção de vigas de paredes finas. Ele é denominado como fluxo de cisalhamento, como analogia ao escoamento de um fluido ideal contido em uma rede de tubulações. Guarda as mesmas características, ou seja, em um entroncamento, se preserva a conservação da massa, “a soma dos fluxos que chegam deve ser igual a soma dos fluxos de saem”. O produto τt,
I Qm
q= (2.14)
Como, tanto Q quanto I, são constantes ao longo da seção, o fluxo de cisalhamento é diretamente proporcional a distribuição de m. De fato a relação Q/I pode ser interpretada como um fator de escala e uma vez calculada a distribuição de m, a distribuição do fluxo de cisalhamento é idêntica, a menos das unidades. Outra vantagem do cálculo de q é a não existência de mudanças abruptas com as variações de espessuras, o que já ocorre com a distribuição de τ.
PROBLEMAS 1. Uma embarcação com 10.000t de deslocamento e 100m de
comprimento apresenta máximo momento fletor de alquebramento da ordem de ΔL/100 (t.m). O pontal na Seção Mestra é de 12m e o eixo neutro se localiza a 4m acima da quilha. O momento de inércia da Seção Mestra é 48m4. Calcule os valores máximos de tensão de tração e de compressão e o local onde ocorrem.
2. Considere uma embarcação prismática com 130 m de comprimento, cujos pesos do casco, de máquinas e de carga sejam: 3200t, 800t e 6400t, respectivamente. O peso do casco é uniformemente distribuído ao longo do comprimento. O das máquinas se estende uniformemente ao longo de 1/5 do comprimento a meio navio, e o da carga se estende uniformemente sobre 2/5 do comprimento a partir da popa e 2/5 a partir da proa. Desenhe as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor, e determine seus valores nas descontinuidades e nos máximos.
3. Um navio hipotético possui a curva de pesos que varia linearmente de zero, na proa e na popa, a um máximo na seção mestra (meio navio), e a curva de flutuação que varia linearmente de zero, na seção mestra, a um máximo nas extremidades, proa e popa. Desenhe as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor e determine os valores extremos em função do deslocamento Δ e do comprimento L.
4. Os valores médios de peso por unidade de comprimento e de flutuação por unidade de comprimento de uma embarcação de 180m, representadas em seis segmentos iguais ao longo do comprimento da embarcação, são:
Segmento w (t/m) b (t/m) 1 78 33 2 150 126 3 88 145 4 75 141 5 63 78 6 93 18
Desenhe as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor e determine os valores em cada segmento e os valores máximos.
5. Uma barcaça tipo caixa, com 43m de comprimento, 10m de boca e 6m de pontal, pesa 544t quando vazia. O peso leve da barcaça pode ser considerado uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento. Ela é compartimentada em 4 porões de carga, todos de igual comprimento. Em uma de suas operações, ela foi carregada com grãos, de maneira uniforme, conforme a tabela seguinte:
Porão Carga (t)
1 192 2 224 3 272 4 176
Construir a curva de pesos, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor para a barcaça carregada e calcule os valores em cada antepara e os valores máximos.
6. Calcule o mínimo módulo requerido para a barcaça do problema anterior de sorte que a máxima tensão para aquela condição de carregamento não exceda 100 MPa.
7. Uma barcaça possui a vista em planta conforme mostrado na figura. Todos os planos de flutuação são idênticos. As cargas estão carregadas uniformemente nos porões, conforme indicado. Desprezando o peso próprio da barcaça, desenhe as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor para a barcaça flutuando em águas tranqüilas. Indique os valores em cada antepara e identifique os valores máximos da força cortante e do momento fletor. vazio 400 t 80 m 950 t 400 t 14 m 14 m 14 m 14 m 14 m 950 t vazio 14 m 1 0 m
8. Uma embarcação de 200m possui obras vivas prismática ao longo do comprimento. O peso do casco, de 2400t, pode ser adotado como uniforme ao longo do comprimento. Ela possui 6 porões de carga, idênticos, que estão carregados (em toneladas), começando pela proa, conforme a tabela a seguir:
Porão Carga Combustível Máquinas
1 400 100 2 700 200 3 800 300 4 800 300 5 100 800 6 500
Os pesos estão uniformemente distribuídos em seus respectivos porões. Desenhar as curvas de peso, de flutuação, de carregamento, de força cortante e de momento fletor, indicando os valores em cada ponto de mudança ou de inflexão e os valores de máximo.
9. Uma barcaça, do tipo caixa, com 100m de comprimento, 15m de boca e 15m de pontal, possui o peso de 1920t distribuídos uniformemente ao longo do comprimento. Ela é carregada com 1200t ao longo de 30m, em cada uma de suas extremidades, proa e popa (carga total de 2400t). Determine o máximo momento fletor para essa condição de carga e calcule as máximas tensões primárias, no convés e no fundo, admitindo que a seção mestra possua inércia de 4,61 m4.e altura da linha neutra de 2.25m acima da quilha.
10. Calcule os módulos de resistência no convés e no fundo para seção mostrada na figura. Todas as chapas possuem 6.34mm de espessura. Quais serão as tensões no chapeamento do convés se a embarcação está sujeita a um momento fletor de 1980tm?
4.5 m 1. 5 m 1. 5 m 1. 5 m 1.5 m 0.35 m 0.35 m 0.35 m 0 .7 0 m Todas as espessuras 6.35 mm
11. Calcule os módulos de resistência no convés e no fundo da seção mostrada na figura. Se o aço possui tensão de escoamento de 240MPa, qual é o fator de segurança ao escoamento para esta estrutura quando submetida a um momento fletor de 3960tm?
4.5 m 3. 5 m 3.0 m Placa de 3/4" Placa de 1/4" Placa de 1/2" 300mm x 3/4"
12. Um navio de 184m de comprimento e pontal de 14m está submetido a um máximo momento fletor de 50.000tm. O eixo neutro, na seção mestra, se localiza a 6m acima da quilha. Para a máxima tensão primária de 80MPa, determine o momento de inércia requerido para essa seção. A tensão máxima ocorre no convés ou no fundo? Qual o valor da tensão para a outra extremidade?
3. Estrutura secundária
3.1. Introdução
A estrutura secundária de uma embarcação consiste de um chapeamento reforçado por:
1. perfis leves, que limitando as dimensões das unidades de chapeamento o enrijecem, tais como cavernas, vaus de conveses, longitudinais, etc.
2. perfis pesados, que sempre servem de apoio aos perfis leves, recebendo destes a carga que lhes foi transmitida pelas unidades de chapeamento. São perfis pesados os anéis gigantes, as sicordas, as hastilhas, as quilhas, as longarinas e as escoas.
Esse conjunto de chapeamento, perfis leves e perfis pesados, considerado entre duas anteparas estruturais, é que se costuma designar por estrutura secundária. Vê-se que, como a estrutura secundária contém unidades de chapeamento, nela também está contida a própria estrutura terciária, a qual nada mais é do que o conjunto de unidades de chapeamento, sem que nele se considerem os perfis. Entretanto as tensões secundárias estão associadas com as deformações secundárias e as tensões terciárias com as deformações terciárias.
Convém lembrar as seguintes definições:
3. unidade de chapeamento: é a porção de chapa limitada por dois perfis adjacentes na direção longitudinal e outros dois na direção transversal.
4. painel: é uma porção da estrutura secundária, formada de chapeamento, perfis leves e perfis pesados, no caso mais geral, que
se toma para estudo. Contém, portanto, pelo menos duas unidades de chapeamento.
5. grelha: é um conjunto de vigas que se interceptam. Caso elas sejam ortogonais diz-se que a grelha é ortogonal.
6. grelha chapeada: quando se tem um conjunto de perfis que se interceptam, soldados a chapeamento em um lado (caso do convés) ou em dois lados (caso do duplo fundo), diz-se que tem-se uma grelha chapeada. Nesse caso supõe-se que o chapeamento, em lugar de ser contínuo, como realmente é, constitui-se de tiras de chapa que se soldam aos perfis, servindo-lhes de flanges. Desta forma, em lugar de um chapeamento reforçado, supõe-se que se tem uma verdadeira grelha, na qual cada viga é formada por um perfil com a tira de chapa que se lhe supõe soldada. Essa tira é chamada chapa colaborante e essa grelha fictícia designa-se por grelha chapeada.
Observando-se as figuras 3.1 a 3.3, nota-se que todos os enrijecedores leves ou pesados estão sujeitos à flexão devida às cargas laterais no chapeamento e, como possuem ligações entre si, formam um conjunto para resistir a estas cargas, tornando assim a análise deste tipo de estrutura bastante difícil em face ao grande número de elementos que a envolve.
Figura 3.1 - Estrutura do fundo de um navio tanque de casco singelo
Figura 3.2 - Detalhe de um painel do fundo
1-Quilha. 2-Chapeamento. 3-Hastilha. 4-Longitudinal leve. 5-Antepara transversal.
Pode ser utilizado o seguinte esquema para análise preliminar das tensões secundárias e sua superposição com as terciárias:
1. cálculo das tensões terciárias σ3 nas unidades de chapeamento (abcd
na Figura 3.4a), devido a pressão lateral, considerando esta unidade limitada por perfis leves e/ou pesados, desprezando qualquer deflexão dos perfis. Esta unidade deve ser verificada quanto à estabilidade sob a ação da tensão primária.
2. cálculo das tensões secundárias σ2'', nos perfis leves, supondo que
estes se apoiam sem recalque nos perfis pesados. Associa-se aos perfis leves uma certa largura de chapa, para funcionar como um de seus flanges. Essa porção de chapa, como se viu, denomina-se chapa
colaborante e será discutida adiante. Emprega-se a teoria simples de
viga e adotam-se hipóteses adequadas sobre as rotações nas extremidades de cada tramo da viga constituída do perfil mais sua chapa colaborante. Assim o problema se reduz ao da análise de uma viga com um só tramo. Atribui-se a essa viga uma certa fração da carga lateral que age sobre o chapeamento, daí se transmitindo ao perfil. A estima dessa fração de carga será discutida posteriormente.
f h c t t f th c
chapa
colaborante
alma
flange
1 2 4 6 5 chapa colaborante 3 (LN)
Figura 3.5 - Cálculo dos perfis Leves
3. cálculo das tensões σ2 '
, atuantes na grelha formada pelo chapeamento com os perfis mais pesados. Existem diversos métodos para o cálculo de
σ2 '
com diferentes graus de complexidade e precisão. No mais simples, método da teoria simples de viga com um só tramo, procura-se estimar
σ2'
ignorando-se o comportamento de grelha e imaginando-se que ela pode ser suficientemente bem representada analisando-se cada um daqueles perfis separadamente, como se desligado estivesse dos demais, e com chapas colaborantes, cargas e condições de extremidade arbitradas. Embora esse método simplifique muito o cálculo, é por demais subjetivo e impreciso, sendo inviável estimar bem aquelas condições que nele devem ser arbitradas, a não ser para certos casos convencionais. Apesar disto é o mais adequado para fases iniciais de análise.
A título de exemplo suponha-se que se deseja aplicar tal método para calcular o valor máximo de σ2
'
na longarinas2 QL, Figura 3.6, com o navio em águas tranqüilas e sem carga no porão e duplo fundo. De acordo com o método, imagina-se que QL esteja desligada das hastilhas B, C e D. Arbitram- se, então, condições de extremidades para QL, nos pontos em que ela intercepta as anteparas. Estas, pela rigidez que apresentam a deslocamentos no seu próprio plano, podem ser consideradas, com razoável precisão, como apoios irrecalcáveis para QL. É difícil, porém, estimar a rigidez à rotação de QL nas suas interseções com as anteparas, pois ela dependerá muito da geometria
antepara longarina quilha costado costado longarina antepara L1 L2 L3 QL L4 L5 L6 Q L6' L5' L4' QL' L3' L2' L1' B C D hastilha A A c d b a
Figura 3.6a - Esquema do fundo de um navio, entre anteparas
teto do duplo fundo
L5
fundo bojo
Figura 3-6b - Corte A-A
e do carregamento nos porões adjacentes. Como se visa a simplificar os cálculos neste método, deve-se arbitrar uma das condições extremas: restrição total à rotação (engastamento) ou restrição nula à rotação (apoio simples). A seguir estima-se a largura da chapa colaborante, tema que será estudado adiante. Resta, por arbitrar, a carga sobre QL. Na realidade QL recebe cargas de duas formas:
1. cargas distribuídas, provindas do chapeamento que sobre ela se apóia, ao longo de todo o seu vão;
2. cargas concentradas, provenientes das ações de cisalhamento com as hastilhas, nos pontos em que com elas se intercepta.
Embora o primeiro tipo de carga se possa estimar com razoável precisão, o segundo dificilmente se estimará bem, pois depende basicamente da rigidez à flexão de cada elemento da grelha, bem como da distribuição das cargas sobre o porão, caso as haja. Sensíveis alterações nesses parâmetros farão com que uma carga na interseção possa mudar não apenas de valor, mas também de sentido. O propósito do método é, porém, o de propiciar estimativas de σ2
' com
cálculos deveras simples, para arranjos e carregamentos convencionais. Por isso, costuma-se arbitrar um carregamento distribuído que, espera-se, produzirá um valor máximo de σ2
' próximo daquele que o carregamento real de QL acarreta. No caso que ora tratamos poder-se-ia adotar, como carregamento, a pressão sobre o fundo, ao longo de todo o vão de QL, entre L2 e L5. Isto significaria admitir que supomos ser a rigidez à flexão de QL bem maior que as das hastilhas, de sorte que essas últimas tendam a ter flechas maiores que as de QL e, por conseqüência, em QL apoiarem-se.
3.2. Distribuição de Cargas
Ao isolarmos um elemento reforçador de um painel requer que se façam hipóteses sobre a distribuição de cargas entre as várias vigas em que se considera o chapeamento reforçado. Cada uma dessas vigas é constituída de um perfil e de uma parte de chapeamento a ele associada, a chapa
colaborante. A distribuição de cargas pode ser efetuada de diversas maneiras, umas mais simples e outras mais elaboradas:
1. Cada reforço recebe toda a carga aplicada sobre a largura s e a transmite aos reforços mais rígidos que lhe servem de apoio. A situação está esquematizada na região AEBDFC da Figura 3.7, onde se representa um painel estrutural de um costado de um navio. Aí a caverna
C1, no trecho entre a escoa e o fundo, estaria recebendo a carga hidrostática da região hachurada e transmitindo-a à escoa e ao fundo nos pontos E e F, respectivamente. Essa distribuição é superestimada para a caverna a não ser que a distância s seja muito pequena quando comparada a distância b.
2. Cada reforço recebe a carga do losango determinado pelas diagonais de cada unidade de chapeamento. A região GHIJKL, da Figura 3.7, ilustra essa distribuição. A caverna C2, entre o convés e a escoa, receberia a carga distribuída sobre o losango KMHN, e a escoa entre L e K
receberia a carga distribuída sobre o losango LMKO.
3. Os reforços recebem a carga distribuída na região cujo centro ficam e que é limitada por linhas em ângulos de 45 graus. A distribuição está ilustrada na região PQRS da Figura 3.7. A caverna C3, no trecho entre o fundo e a escoa, receberia a carga distribuída sobre a área 1,2,3,4,5,6 e a escoa entre 2 e Q receberia a carga que se distribui sobre 2,7,Q e 3. Esta distribuição é a que mais se aproxima da realidade. Apesar de esta distribuição gerar um carregamento trapezoidal sobre o elemento desconsidera-se a diminuição nos extremos, adotando-se carregamento constante, uniformemente distribuído.
45o caverna C2 caverna C2 convés fundo antepara antepara A B C D escoa E F 1 2 3 4 5 6 G H I M N L K J O caverna C3 b s P Q R S 7 H K E F 2 5
Figura 3.7 - Esquemas de distribuição de cargas sobre os perfis
3.3. Os efeitos do cisalhamento na flexão de vigas. Chapa