Teorema da proje¸c˜ ao limitada em ℜ d - Método de Projeções Ortogonais

47

Como x((k + 1)h) → ∞, então bx((k + 1)h) → ∞ o que seria uma contradi¸cão, já que bz(t) é uma trajetória ortogonal sob a fam´ılia L. Portanto

ΓF (u) · du = 0, para toda curva suave e fechada Γ ⊂ T .

4.3 Teorema da proje¸c˜ao limitada em

_ℜd

Nesta se¸cão, trataremos de dar condi¸cões suficientes para garantir a propriedade da proje¸cão limitada em fam´ılia de retas em ℜd_{, com d > 2, analogamente ao que se fez no teorema 3.2. A fun¸c˜}_{ao F (u) terá,}

também no caso d > 2, um papel decisivo. Contudo, o exemplo 4.1 deixa claro que F (u) sequer precisa ser cont´ınua, o que torna mais dif´ıcil o problema de caracterizar condi¸cões necessárias e suficientes para garantir a propriedade da proje¸cão limitada. Voltaremos a este ponto no final da disserta¸cão. Segue nosso principal resultado nesta dire¸cão.

Agora vamos demonstrar que, se T = Sd−1 _{e F (u) ∈ C}1_{, ent˜ao uma condi¸c˜}_{ao necess´}_{aria para que L}

tenha a propriedade da proje¸cão limitada é que F (u) satisfa¸ca a condi¸cão Z

ΓF (u) · du = 0, para todas as curvas suaves fechadas Γ ⊂ T

(4.21) Teorema 4.3 Assuma T = Sd−1 _{e F (u) ∈ C}1_{. Se F (u) satisfaz a condi¸c˜}_{ao (4.21), ent˜}_{ao a fam´ılia L}

tem a propriedade da proje¸c˜ao limitada. Demonstra¸c˜ao.

A demonstra¸cão será feita a partir de alguns lemas. A ideia geral da demonstra¸cão para garantir a propriedade da proje¸cão limitada nas condi¸cões dadas é a mesma usada no teorema 3.2, ou seja, encontraremos conjuntos convexos Hgque topologicamente são bolas convexas de dimensão d, tão grandes

como se queira, e tais que toda sequˆencia iniciada em seu interior permanece em seu interior.

Come¸camos com o lema 4.1 que nos garante uma propriedade an´aloga `a do item (iv) do lema 3.4. Lema 4.1 Se F (u) ∈ C1_{, ent˜}_{ao existe um compacto e}_{B tal que por todo z ∈}_ℜd_{− e}_B _{passa uma ´}_unica

reta de L.

Em outras palavras, o lema 4.1 nos diz que existe uma bola eB, tal que todo ponto z ∈ (ℜd_{− e}_B)

pertence a uma ´unica reta da fam´ılia L. Demonstra¸c˜ao.

Nossa demonstra¸cão segue a ideia de Bàràny et al. [4], porém usamos argumentos mais fáceis de compreender. Por hipótese temos que F (u) ∈ C1_{, e portanto F (u) satisfaz a condi¸c˜}_{ao Lipschitz (4.4), ou}

seja,

4.3 Teorema da proje¸c˜ao limitada em

_ℜ

48

e consequentemente, tamb´em satisfaz a condi¸c˜ao (4.3):

khF (u) − F (v), u − vik ≤ c ku − vk2.

Dado (4.3), o teorema 4.1 nos garante que a interse¸cão entre duas retas de L permanece uniformemente limitada. Então a fun¸cão

H(u, x) = F (u) + xu definida em ∆ = Sd−1_{× (r}

0, ∞) ´e injetora, para algum r0suficientemente grande.

Temos por hip´otese que F (u) ∈ C1_{, consequentemente H(u, x) ´e cont´ınua e injetora em ∆. Portanto}

pelo teorema D.1 do apˆendice, H(∆) ´e aberto em ℜd_.

Agora vamos mostrar que H(∆) (onde ∆ = Sd−1×[r0, ∞)) ´e fechado. Seja yn ∈ H(∆) uma sequˆencia

convergindo para y ∈ ℜd_{, com}

yn= F (un) + xnun (4.22)

J´a que Sd−1_{´e compacto, podemos supor que u}

n→ u∗∈ Sd−1. Assim, de (4.22),

xn = xnhun, uni = hyn, uni − hF (un), uni = hyn, uni

Portanto, xn → x∗= hy, u∗i ≥ r0, uma vez que xn ≥ r0. J´a que F (u) ´e cont´ınua, temos F (un) → F (u∗)

e portanto

y = lim[F (un) + xnun] = [F (u∗) + x∗u∗] = H(u∗, x∗)

com (u∗_{, x}∗_{) ∈ ∆. Portanto y ∈ H ∆}_.

Mostramos que H(∆), é aberto e H(∆)⊃ H(∆) é fechado. Com isso podemos concluir que H(∂∆) ⊃ ∂H(∆). Em particular, ∂H(∆) é compacto.

Tomemos uma bola eB tal que ∂H(∆) ⊂ eB. Agora vamos mostrar que ℜd_{− e}_B_{⊂ H(∆). Vamos}

argumentar por contradi¸c˜ao. Para isso, suponha que existe z ∈ (ℜd_{− e}_{B), de modo que n˜}_{ao haja nenhuma}

reta de L que passa por z. Seja w ∈ H(∆) ∩ℜd_{− e}_B_{. Tomemos um caminho cont´ınuo C que liga w a}

z, de modo que C ∩ eB = ∅ ver figura 4.3.

Como z /∈ H(∆) e w ∈ H(∆), logo existe pelo menos um ponto p ∈ C ∩ ∂H(∆) ⊂ eB; o que é uma contradi¸cão, já que C não intercepta eB. Logo, para todo z ∈ (ℜd_{− e}_{B) existe uma ´}_{unica reta de L que}

passa por z. Portanto a equa¸cão H(u, x) = z tem solu¸cão única para kzk > c, desde que c seja grande o suficiente.

Como F (u) ´e cont´ınua, podemos definir a fun¸c˜ao: f : Sd−1_{× (x}

0, ∞) → ℜ dada por:

f (u, x) = x + Z u

4.3 Teorema da proje¸c˜ao limitada em

_ℜ

49 Figura 4.3:

Ilustrando a situa¸c˜ao.

onde a integral ´e tomada ao longo de uma curva suave em Sd−1ligando u0at´e u. Aqui fixamos u0∈ Sd−1.

Cabe ressaltar que para f (u, x) ser bem definida, é necessário ter a condi¸cão (4.5), que afirma que F (u) é um campo conservativo em Sd−1_.

Consideremos agora o operador G : Sd−1_{× (x}

0, ∞) → ℜd definido por:

G(u, x) = H(u, f (u, x)) = F (u) + u x + Z u u0 F (w) · dw

Resulta do que provamos para H(u, x) que, dado c suficientemente grande, a equa¸cão G(u, x) = z tem uma única solu¸cão para cada z ∈ ℜd _{onde kzk > c.}

Agora fixe x ∈ (x0, ∞) e o conjunto:

Gx=

z ∈ ℜd : z = G(u, x) para algum u ∈ Sd−1 (4.23) Na demonstra¸cão que L possui a propriedade da proje¸cão limitada, Gxterá o mesmo papel que tinha

no caso d = 2, ou seja, para x suficientemente grande, Gxser´a homeomorfo a esfera Sd−1 e ortogonal `as

retas da fam´ılia L. Além disso, Gxdelimitará uma região convexa invariante sob proje¸cões ortogonais em

L. Para ver o homeomorfismo entre Gx e Sd−1, para x suficientemente grande, basta mostrar que, neste

caso,

G(u, x) = G(_eu, x) ⇒ G(u, x) ∈ lu∩ lue

o que só é poss´ıvel com u =eu e que G(u, x) é cont´ınua. O lema D.1 garante que, neste caso G/Sd−1× {x} : Sd−1→ Gx

´e um homeomorfismo.

Como Gx ´e homeomorfo a uma esfera, ele separa ℜd em dois abertos conexos: um limitado com

interior H+

x; e outro ilimitado, com exterior Hx−, com ∂Hx+= Gxe ∂Hx−= Gx.

Lema 4.2 Sob as condi¸c˜oes do teorema 4.3, H+

4.3 Teorema da proje¸c˜ao limitada em

_ℜ

50

Para a demonstra¸c˜ao desse lema vamos usar a mesma ideia que usamos na demostra¸c˜ao da primeira parte do lema 3.8, ou seja, vamos mostrar que existe um hiperplano suporte local para cada ponto da fronteira do conjunto H+

Demonstra¸c˜ao.

Dado o teorema de hiperplano suporte local D.2 (do apˆendice), ´e suficiente mostrar que Hx+= Hx+∪Gx

est´a contido em cada semiespa¸co. b H+ x = z ∈ ℜd_{; hz − z} 0, ui ≤ 0 . para cada u ∈ Sd−1 _{e z} 0= G(u, x).

Figura 4.4:

Ilustrando a situa¸c˜ao acima.

De fato, ´e suficiente mostrar que hz − z0, ui ≤ 0 para qualquer z = G(w, x) ∈ Gx, j´a que ∂Hx+ =

Gx ⊂ bHx+ implica em Hx+ ⊂ bHx+. Agora, para z = F (w) +

x + Z w u0 F (ζ) · dζ w e z0 = F (u) + x + Z u u0 F (ζ) · dζ u temos, E = hz − z0, ui = F (w) − F (u) + x(w − u) + w Z w u0 F (ζ) · dζ − u Z w u0 F (ζ) · dζ + u Z w u F (ζ) · dζ, u (4.24) = A + B + C onde A = hF (w) − F (u), ui B = x + Z u u0 F (ζ) · dζ [hw − u, ui] C = Z w u F (ζ) · dζ

Vamos iniciar avaliando B. Como kuk = kwk = 1, 4.8 nos diz que: hw − u, ui = −1₂kw − uk2.

4.3 Teorema da proje¸c˜ao limitada em

_ℜ

51

Ainda, f (w) = Z w

u(o)F (ζ)·dζ ´e cont´ınua no compacto S

d−1_{, e portanto limitada. Seja M = max |f( e}_w)|

paraw ∈ S_e d−1_{, ent˜ao escolhendo x > 2M teremos}

B ≤ −x₂kw − uk2 (4.25) Seguimos, avaliando A usando um “c´ırculo m´aximo” em Sd−1 _{que cont´em os vetores u e w:}

w(t) = ucos(t) + vsen(t), 0 ≤ t ≤ T

onde u = w(0), w =_e w(T ), v = ˙_e w(0), de modo que ˙_ex(t) = −usen(t) + vcos(t). Observe que v⊥u e v ∈ Sd−1_. Veja que ku − wk = q [1 − cos(t)]2+ sen2_{(t) ≈ 2} sen(2t) (4.26)

e que (4.24), a continuidade de F (u) em Sd−1_{e 4.8 nos garantem que existe um real K > 0, de tal modo}

que:

hz − z0, ui ≤ K + x hw − u, ui ≤ K − x kw − uk2 (4.27)

Portanto, basta considerar o caso de |T | suficientemente pequeno, pois se |T | ≥ ǫ > 0, com ǫ suficientemente pequeno, kw − uk = 2 sen(T2) ≥ 4ǫ implica em E ≤ K − x ǫ2 16 < 0, para x > 16K ǫ2 . Como F (u) ∈ C1_. A = hF (w) − F (u), ui = hF (w), ui = hF (w), u − wi = = hF (u) + O(T ), (1 − cos(T ))u − sen(T )vi

onde |O(T )| ≤ T supn (F (w(t)))′ o(Aqui usamos as rela¸c˜oes u⊥F (u), w⊥F (w) e a suavidade de F (u) e dew(t)). Entretanto,_e

(1 − cos(T ))u − vsen(T ) = −vT + O(T2) portanto, A = − hF (u), vi T + O(T2). Agora avaliamos C. C = Z T t=0 D (F ◦ ew)(t), ˙w(t)_e E· dt = Z T t=0h(F ◦ ew)(0) + O(t), v + O(t)i · dt = = Z T

t=0[hF (u), vi + O(t)] · dt = T hF (u), vi + O(T 2₎ Portanto E = A + B + C ≤ −x₂kw − uk2+ O(T2) ≤ −xT 2 2 + O(T 2_). _(4.28)

4.3 Teorema da proje¸c˜ao limitada em

_ℜ

52

Observe que o termo O(T ) em A e O(T2_{) em C podem sempre ser tomados independentemente de}

v. Ou seja, existe N tal queO(T2₎_{≤ NT}2 _{independentemente de v, em 4.28. Isto significa:}

E ≤ NT2₋x

2(T

2_{) < 0.}

desde que x > 2N . Isso mostra que todo ponto da fronteira do conjunto Hx+ possui um hiperplano

suporte local, portanto o teorema de hiperplano suporte local D.2 do apˆendice garante que o conjunto H+

x ´e convexo.

Lema 4.3 Sob as condi¸c˜oes do teorema 4.3, H+

x ´e um conjunto invariante para as proje¸c˜oes ortogonais

sobre as retas de L, para x suficientemente grande.

A demonstra¸cão do lema 4.3 será feita a partir de dois lemas. No primeiro diremos que para x suficientemente grande a proje¸cão de z ∈ Gx em qualquer reta de L permanece em Hx+. No segundo

diremos que se kzk ≤ ρ e kF (u)k ≤ ρ, para todo u ∈ Sd−1_{, ent˜ao kP} l(z)k ≤

√

2ρ se Pl(z) ´e a proje¸c˜ao

ortogonal de z em alguma reta de L. Demonstra¸c˜ao.

Lema 4.4 Sob as condi¸c˜oes do teorema 4.3, existe x0 tal que se x ≥ x0,

z = F (u) + x + Z u u0 F (ζ) · dζ u e b z = Pl2(z) = F (u2) + x2+ Z u u0 F (ζ) · dζ u2 ent˜ao x2≤ x.

Para a demonstra¸c˜ao desse lema vamos iniciar escolhendo z ∈ H+

x, seguiremos tomando uma reta

l2∈ L qualquer, e vamos mostrar que a proje¸c˜ao direta de z em l2permanece em Hx+.

Demonstra¸c˜ao.

Seja x > 0 suficientemente grande e z ∈ Gx, ou seja, z = F (u) +

x + Z u u0 F (ζ) · dζ u, para algum u ∈ Sd−1_{. Tomemos agora uma reta l}

2 ∈ L qualquer. Agora vamos encontrar bz = Pl2(z) ∈ Gx2, onde

b z = F (u2) + x2+ Z u2 u0 F (ζ) · dζ

u2. Temos que encontrar x2 tal que hz − bz, u2i = 0.

0 = hz − bz, u2i = hz, u2i − x2− Z u2 u0 F (ζ) · dζ portanto x2= hz, u2i − Z u2 u0 F (ζ) · dζ. Em outras palavras x2 = hz, u2i − Z u2 u0 F (ζ) · dζ = F (u) + x + Z u u0 F (ζ) · dζ u, u2 − Z u2 u0 F (ζ) · dζ = hF (u), u2i + x + Z u u0 F (ζ) · dζ hu, u2i − Z u2 u0 F (ζ) · dζ (4.29)

4.3 Teorema da proje¸c˜ao limitada em

_ℜ

53

Agora vamos mostrar que x2− x ≤ 0, ou seja, bz ∈ Hx+.

x2− x = hF (u), u2i + x + Z u u0 F (ζ) · dζ hu, u2i − Z u2 u0 F (ζ) · dζ − x = hF (u) − F (u2), u2i | {z } A + x + Z u u0 F (ζ) · dζ hu − u2, u2i | {z } B + Z u2 u F (ζ) · dζ | {z } C (4.30)

Os argumentos usados anteriormente (na demonstra¸c˜ao do lema 4.2) para mostrar que E = A + B + C < 0, se x ´e suficientemente grande, se aplicam exatamente da mesma maneira para mostrar que x2− x = A + B + C < 0, desde que x seja suficientemente grande. Portanto, x2≤ x.

Lema 4.5 Se sup

u∈Sd−1{kF (u)k} ≤ ρ, kzk ≤ ρ e P

lé a proje¸cão ortogonal em l ∈ L, então

kPl(z)k ≤

√ 2ρ. Demonstra¸c˜ao.

Veja que o segmento que liga F (u) a Pl(z) ´e a proje¸c˜ao ortogonal do segmento que liga 0 e z em l.

Segue que: kF (u) − Pl(z)k ≤ kzk ≤ ρ.

Por Pit´agoras, segue que:

kPl(z)k2= kF (u)k2+ kPl(z) − F (u)k2≤ 2ρ2

Assim, kPl(z)k ≤

√ 2ρ.

Agora vamos demonstrar o lema 4.3. Considere x0 como no lema 4.4 e ρ0 tal que Gx0 ⊂ B(0, ρ0) e

sup

u∈Sd−1{kF (u)k} ≤ ρ

0. Os lemas 4.1 e 4.2 nos permitem supor x0 suficientemente grande, de modo que

todo ponto de ℜd_{− H}+

x esteja em uma ´unica reta de L. Sejaex0 tal que B(0, 2ρ) ⊂ H_x_e+₀. Vamos mostrar

que H_x+_e₀ é invariante para proje¸cões em retas de L. Seja z ∈ H_ex+0. Há dois casos a considerar

1. Se kzk ≥ ρ0, ent˜ao z = F (u) + x + Z u u0 F (ζ) · dζ

u, com x0≤ x ≤ ex0. Neste caso, o lema 4.4

garante que Pl(z) ∈ Hx+⊂ H + e x0 2. Se kzk ≤ ρ0, ent˜ao kPl(z)k ≤ √

2ρ0< 2ρ, o que implica que Pl(z) ∈ H_x_e+₀.

Demonstra¸cão do teorema 4.3, existe x0tal que para x ≥ x0o conjunto Hx+é invariante para proje¸cões

em retas de L. Al´em disto, [

x≥x0

Hx+ = ℜd e cada Hx+ é limitado, já que Hx+é homeomorfo a uma bola

compacta em ℜd_{, para x ≥ x}

Cap´ıtulo 5

Considera¸c˜oes Finais

5.1 Conclus˜ao

Em 1991, Bàràny et al. [4] apresentaram alguns resultados interessantes a respeito do método de proje¸cões ortogonais sobre uma fam´ılia infinita de retas em ℜd_{, (d ∈ N). Neste trabalho detalhamos o}

que fizeram bem como acrescentamos novas observa¸c˜oes para os resultados apresentados pelos autores. (I) Mostramos que, para uma fam´ılia de retas L em ℜ2_{, onde n˜}_{ao existem retas paralelas `as seguintes}

afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(a) A fam´ılia L possui a propriedade de proje¸c˜ao limitada.

(b) O conjunto Ω formado pelas interse¸c˜oes de pares de retas de L, ´e limitado.

Seguimos a seguinte cadeia de implica¸c˜oes (a) ⇒ (b) ⇔ (c) e a principal implica¸c˜ao foi (c) ⇒ (a). (II) No caso d > 2 e uma fam´ılia de retas L em ℜd_{, onde o vetor direcional de cada reta l ∈ L}

pertence ao conjunto sim´etrico T ⊂ Sd−1_.

Iniciamos exibindo um exemplo de uma fam´ılia de retas L em ℜ3_{que possui a propriedade da proje¸c˜}_ao

limitada. Mas, F (θ) não é Lipschitz. Bàràny et al. acrescentam a condi¸cão de suavidade a F (θ), que não foi necessária para o caso d = 2.

Mostramos que, se a fam´ılia de retas L possui a propriedade da proje¸c˜ao limitada, ent˜ao F (u) satisfaz |hF (u) − F (v), u − vi| ≤ c ku − vk2

para todo u, v ∈ T . Além disso, se F (u) satisfaz a condi¸cão acima, então as sequências de proje¸cões ortogonais alternadas entre quaisquer pares de retas da fam´ılia L são uniformemente limitadas.

5.2 Trabalhos Futuros

55

Seguimos mostrando que, se T = Sd−1 _{e F (u) ∈ C}1_{, ent˜ao uma condi¸c˜}_{ao necess´}_{aria e suficiente para}

que L tenha a propriedade da proje¸c˜ao limitada ´e que, F (u) satisfa¸ca Z

ΓF (u) · du = 0

para toda curva Γ ⊂ T suave fechada.

5.2 Trabalhos Futuros

Com base no que estudamos no Bàràny et al [4], podemos citar dois poss´ıveis trabalhos futuros. 1. Mostrar que para uma fam´ılia de retas em ℜd _{definida em S}d−1 _{com d > 2, se F (u) é Lipschitz}

direcional, simétrica e satisfaz a condi¸cão (4.21), então a fam´ılia L tem a propriedade da proje¸cão limitada. Nossa conjectura é que isto funciona, também nesta condi¸cão mais geral.

2. Estudar a propriedade da proje¸c˜ao limitada, em fam´ılias de subespa¸cos afins em ℜd_{, com dimens˜}_ao

maior que 1.

3. Simular numericamente situa¸cões de poss´ıvel instabilidade na sequência de iterados (por exemplo kxnk → ∞) em fun¸cão de ru´ıdos admitidos em cada itera¸cão.

Apˆendice A

Resultados Da Geometria Euclidiana

Plana

Defini¸cão A.1 Um ângulo se denomina inscrito em um c´ırculo se seu vértice t é um ponto do c´ırculo e seus lados cortam o c´ırculo em pontos m e n distintos de t. Os pontos m e n determinam dois arcos. O arco que não contiver o ponto t é chamado de arco correspondente ao ângulo inscrito dado. Ver figura (A.1).

Figura A.1: arco correspondente.

Lema A.1 Todo ˆangulo inscrito em um c´ırculo tem a metade da medida do arco correspondente. Demonstra¸c˜ao.

57

Lema A.2 Todos os ângulos inscritos que tem mesmo arco correspondente tem a mesma medida. Em particular, todos os ângulos que submetem um semic´ırculo são retos. Ver figura (A.2).

Figura A.2: ˆangulos iguais e ˆangulo reto.

Demonstra¸c˜ao. Ver [5].

Lema A.3 Dado um triângulo retângulo qualquer de vértices M,N e P, então existe uma circunferência de diâmetro igual à hipotenusa que passa pelos vértices do triângulo retângulo ver figura (A.3).

Figura A.3: Triângulo Retângulo com Circunferência.

Demonstra¸c˜ao. Ver [5].

Apˆendice B

Resultados de ´Algebra Linear

Defini¸cão B.1 Seja V um espa¸co vetorial sobre o corpo dos números reais ℜ. Um produto interno sobre V é uma aplica¸cão que a cada par (u, v) ∈ V ×V associa um número real denotado por hu, vi satisfazendo as seguintes propriedades:

1. hu + v, wi = hu, wi + hv, wi, para todo u, v, w ∈ V 2. hαu, vi = α hu, vi, para todo u, v ∈ V e todo α ∈ ℜ 3. hu, vi = hv, ui, para todo u, v ∈ V

4. hu, ui > 0, sempre que u 6= ~0, ou seja, quando u n˜ao ´e o vetor nulo, e hu, ui = 0, se e somente se, u = ~0

Um espa¸co vetorial V munido de um produto interno é chamado de espa¸co Euclidiano, se tiver di- mensão finita. Se V for uma espa¸co vetorial sobre os complexos, V e o produto interno também são chamados, respectivamente, de espa¸co Hermitiano e produto Hermitiano.

Estamos interessados nesta se¸cão, em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e de ângulo entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma melhor compreensão da no¸cão de medida.

Defini¸cão B.2 (Norma) Seja V um espa¸co vetorial sobre o corpo ℜ. Uma norma em V é uma aplica¸cão

k·k : V −→ [0, ∞) satisfazendo as seguintes propriedades

59

1. kxk > 0 sempre que x 6= ~0 ; 2. kαxk = |α| kxk, para todo α ∈ ℜ; 3. kx + yk ≤ kxk + kyk

considerado com uma norma k·k, dizemos que V é um espa¸co normado. Defini¸cão B.3 Quando kuk = 1 diz-se que u é um vetor unitário do espa¸co V .

Para definirmos ˆangulo entre vetores precisamos do lema (B.1).

Lema B.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Seja V um espa¸co com produto interno. Ent˜ao, se kxk =phx, xi, para todos x, y ∈ V vale:

|hx, yi| ≤ kxk kyk Demonstra¸c˜ao.

Ver [17] ou [79].

Defini¸c˜ao B.4 Vamos definir o ˆangulo θ entre os vetores x e y (com 0 ≤ θ ≤ π ) por

cos(θ) = hx, yi kxk kyk

Pela defini¸cão (B.4), temos que dois vetores x, y ∈ V são perpendiculares (ou ortogonais) se, e somente se, hx, yi = 0, e usamos a seguinte nota¸cão x⊥y.

Defini¸cão B.5 (Proje¸cão Ortogonal) Dado dois vetores x, y não nulos em um espa¸co vetorial normado V , definimos a Proje¸cão Ortogonal de x sobre y, da seguinte forma

P rojy(x) = hx, yi

hy, yiy

Lema B.2 Dados duas retas l, l1∈ ℜd, encontrar os pontos que minimizam a distˆancia entre as retas.

Podemos encontrar esses pontos de duas formas, uma seria usando a teoria de m´ınimos quadrados e a outra seria encontrando os pontos p, q que satisfazem as equa¸c˜oes abaixo.

hp − q, ui = 0 hp − q, vi = 0

60

para isso vamos escrever os pontos p, q da seguinte forma

p = (1 − α)F (u) + α(u + F (u)) = F (u) − αF (u) + αu + αF (u) = F (u) + αu

para algum α ∈ ℜ. De forma similar para algum β ∈ ℜ o ponto q ´e dado por q = F (v) + βv

com base nesses pontos, vamos procurar os escalares α, β, que minimize a distˆancia entre as retas, ou seja, solu¸c˜ao do sistema abaixo

  

h(F (u) + αu) − (F (v) + βv), ui = 0 h(F (u) + αu) − (F (v) + βv), vi = 0

para resolver tal sistema, vamos usar a igualdade (4.2) e o fato que u, v ∈ Sd−1_{, isto ´e, kuk = kvk = 1,}

com isso a solu¸c˜ao do sistema ser´a             

α = hF (v), ui + (hF (u), vi)(hu, vi) 1 − (hu, vi)2

β = (hF (u), vi) + (hu, vi)(hF (v), ui) 1 − (hu, vi)2

temos ent˜ao

p = F (u) + αu

= F (u) +hF (v), ui + (hF (u), vi)(hu, vi) 1 − (hu, vi)2 u

= F (u) +hF (v), ui + (hF (u), vi)(hu, vi) + (hF (v), ui) − (hF (v), ui) 1 − (hu, vi)2 u

= F (u) +(1 − hu, vi)(− hF (u), vi) + (hF (v), ui) + (hF (u), vi) 1 − (hu, vi)2 u

= F (u) +(1 − hu, vi)(− hF (u), vi) 1 − (hu, vi)2 u +

(hF (v), ui) + (hF (u), vi) 1 − (hu, vi)2 u

= F (u) − hF (u), vi 1 + (hu, vi)u +

(hF (v), ui) + (hF (u), vi) 1 − (hu, vi)2 u

logo,

p = F (u) − hF (u), vi 1 + (hu, vi)u +

(hF (v), ui) + (hF (u), vi)

1 − (hu, vi)2 u (2.1)

Em particular, se as retas l e l1 se interceptam, então a sequência de proje¸cão ortogonal converge

Apˆendice C

Trajet´oria Ortogonal

Defini¸c˜ao C.1 (Curvas Orotogonais) Duas curvas suaves f1, f2 que se interceptam em x ∈ ℜd s˜ao

ortogonais em x se, e somente se, suas retas tangentes T1 e T2 s˜ao perpendiculares em x.

Em outras palavras, duas curvas f (t), g(t) s˜ao ortogonais no ponto {p} = f ∩ g, quando D

f (p), ˙g(p)E= 0.

Defini¸cão C.2 (Trajetória Ortogonal) Quando todas as curvas de uma fam´ılia G interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra fam´ılia H, então dizemos que as fam´ılias são trajetórias biortogonais. Portanto, uma trajetória ortogonal a uma fam´ılia de curvas L é uma curva que intercepta todas as curvas de L ortogonalmente.

Apˆendice D

Conjuntos Convexos e Abertos

Defini¸c˜ao D.1 (Conjunto Convexo) K ⊂ ℜn _{´e um conjunto convexo, se para quaisquer x, y ∈ K e}

qualquer α ∈ [0, 1], tivermos

αx + (1 − α)y ∈ K ou de forma equivalente

y + α(x − y) ∈ K

Defini¸c˜ao D.2 (Combina¸c˜ao Convexa) Sejam x1, x2, ..., xp elementos de K ⊂ ℜn. Elementos da

forma x = p X i=1 αixi = α1x1+ α2x2+ ... + αpxp com αi> 0, i = 1, 2, ..., n e p X i=1

αi= 1 s˜ao combina¸c˜oes convexas dos elementos dos elementos x1, x2, ..., xp ∈

Defini¸c˜ao D.3 (Fecho Convexo) Seja K ⊂ ℜn_{. O fecho convexo de K, representada como conv(K),}

´e o menor conjunto convexo que cont´em K

Em outras palavras, o fecho convexo de K é a interse¸cão de todos os conjuntos convexos que contém K. Ou o conjunto das combina¸cões convexas de todos os pontos em K.

Teorema D.1 (Teorema de Brouwer) .

Seja U um subconjunto aberto de ℜd_{, e seja f : U → ℜ}d_{, uma aplica¸c˜}_{ao injetiva cont´ınua. Ent˜}_ao

63

Demonstra¸c˜ao. Ver ([69]).

Defini¸c˜ao D.4 (Hiperplano) Um hiperplano ´e um conjunto da forma

x ∈ ℜd_{; a}T_{x = b}

onde a ∈ ℜd_{, a 6= 0 e b ∈ ℜ.}

Analiticamente é o conjunto solu¸cão de uma equa¸cão linear não trivial entre os componentes de x (e, portanto, um conjunto afim). Geometricamente, o hiperplano x ∈ ℜd_{; a}T_{x = b} _{pode ser interpretado}

como o conjunto de pontos com um produto interno constante para um dado vetor a, ou como um hiperplano com vetor normal a; a constante b ∈ ℜ determina o deslocamento do hiperplano desde a origem. Esta interpreta¸c˜ao geom´etrica pode ser compreendido, expressando o hiperplano na forma

x ∈ ℜd_{; a}T_{(x − x} 0) = 0

onde x0 ´e um ponto qualquer no hiperplano (isto ´e, qualquer ponto que satisfaz aTx0 = b). Esta

representa¸c˜ao pode ser expressa por

x ∈ ℜd_{; a}T_{(x − x}

0) = 0 = x0+ a⊥

onde a⊥ representa o complemento ortogonal de a, isto ´e, o conjunto de todos os vetores ortogonal a ele a⊥=v; aTv = 0 .

Defini¸c˜ao D.5 (Hiperplano suporte) Seja C ⊆ ℜd_{, e x}

0 ´e um ponto que pertence a fronteira de C.

Se a 6= 0 e satisfaz

aT_{x ≤ a}T_x 0

para todo x ∈ C, ent˜ao o hiperplano x ∈ ℜd_{; a}T_{x = a}T_x

0 ´e chamado de hiperplano suporte para o

conjunto C no ponto x0.

Teorema D.2 (Teorema do plano suporte) .

Se C é um conjunto fechado, com interior não vazio, e tem um hiperplano suporte em cada ponto y ∈ fr(C), onde fr(C) é a fronteira do conjunto C. Então C é convexo.

Demonstra¸c˜ao.

Nossa demonstra¸cão será por contradi¸cão. Suponha que C não fosse convexo, como C tem interior não vazio então podemos encontrar dois pontos x, y ∈ C de maneira que existe um ponto j no segmento de reta s que liga os pontos x, y de modo que j /∈ C. Ver figura D.1.

64 Figura D.1: Figura representando o conjunto n˜ao convexo C.

De acordo com a situa¸cão descrita na figura D.1, existe um ponto b ∈ s ∩ fr(C). Por hipótese, existe um hiperplano suporte no ponto b, ou seja, isso significa que x ou y não poderia pertencer ao conjunto C. O que seria uma contradi¸cão. Portanto, o conjunto C é convexo.

Defini¸c˜ao D.6 Seja C ⊆ ℜd_{, e x}

0´e um ponto que pertence a fronteira de C. Se a 6= 0 e satisfaz

aT_{x ≤ a}T_x 0

para todo x ∈ C ∩ B(x0, ǫ) para algum ǫ > 0, ent˜ao o hiperplano x ∈ ℜd; aTx = aTx0 ´e chamado de

hiperplano suporte local para o conjunto C no ponto x0.

Teorema D.3 (Hiperplano suporte local - Tieteze) Seja C um conjunto aberto conexo em um subespa¸co linear L. Se cada ponto x ∈ fr(C) possui um hiperplano suporte local, então C é convexo. Demonstra¸cão.

Apˆendice E

Resultados de C´alculo

Lema E.1 A fun¸c˜ao f :h−π 2, π 2 i −→ R, definida por f (x) =    x sen(x) , se x 6= 0 1 , se x = 0

é cont´ınua. Além disso, como seu dom´ınio é um compacto, então f (x) é limitada. Demonstra¸cão.

Ver [80].

Lema E.2 Considere F : Sd−1 _{→ ℜ}d_{, Lipschitz direcional, limitada e tal que F (u) · u = 0, para todo}

u ∈ Sd−1_{. Dado T ∈ ℜ, seja w : [0, T ] → S}d−1 _{de classe C}2_{. Ent˜}_{ao F (w(t)) · ˙}_{w(t) ´e Lipschitz. Em}

particular

Z t

0 F (w(ζ)) · ˙w(ζ) · dζ = F (w(0)) · [w(ζ) − w(0)] + O(t

2₎ _(5.1)

Demonstra¸c˜ao.

Para ver F (w(t)) · ˙w(t) ´e Lipschitz, nas condi¸c˜oes de lema (E.2), considere: Q = |F (w(t + h)) · ˙w(t + h) − F (w(t)) · ˙w(t)| = F (w(t + h)) · w(t + h) − w(t) h + R1− F (w(t)) · w(t + h) − w(t) h + R2 com R1 e R2valendo O(h). Portanto,

Q ≤ 1_h|[F (w(t + h)) − F (w(t))] · [w(t + h) − w(t)]| + O(h) ≤ _hc|w(t + h) − w(t)|2+ O(h)

66

Em particular g(t) = F (w(t)) · ˙w(t) sendo Lipschitz, vale que: Z t

0 F (w(ζ)) · ˙w(ζ) · dζ = tF (w(0)) · w(0) + O(t 2₎

= F (w(0)) · [w(ζ) − w(0)] + O(t2) Como quer´ıamos demonstrar.

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