Teorema dos Esquemas - Estudo e implementação de redes neurais e algoritmos genéticos para reso

entre os dois pais [46].

4.4.5 M´odulo de popula¸c˜ao

A popula¸cão normalmente é inicializada de forma aleatória e com um tamanho arbitrário. Em cada itera¸cão do algoritmo é gerada uma popula¸cão de filhos, pois dois pais produzem dois filhos. Assim, ao final de cada itera¸cão é necessário que a popula¸cão de pais seja descartada e substitu´ıda pelos filhos. Pode-se observar que não é isso que se vê na natureza em que a popula¸cão tende sempre a crescer. Entretanto, na natureza, o tamanho da popula¸cão é limitada a quantidade de recursos. Portanto, pode-se pensar que nos algoritmos genéticos, os indiv´ıduos estão competindo entre si por recursos limitados [8, 46].

4.5 Teorema dos Esquemas

A teoria tradicional dos algoritmos genéticos foi formalizada primeiramente por Holland em 1975 [45]. Assume-se que os algoritmos genéticos trabalham descobrindo, enfatizando e recombinando bons ”blocos de constru¸cão”de solu¸cões de uma maneira altamente paralela. A ideia é que boas solu¸cões tendem a ser encontradas a partir de bons ”blocos de constru¸cão” [43]. Holland introduziu a no¸cão de esquemas [45] para formalizar a no¸cão de ”blocos de constru¸cão”. Um esquema é um conjunto de strings de bits que podem ser descritos por um modelo feito de uns, zeros e asteriscos, os asteriscos significam ”não importa”. Por exemplo, o esquema H = 1 ∗ ∗ ∗ ∗1 representa o conjunto de todas as strings de 6 bits que come¸cam com 1 e terminam com 1. Lembrando que os esquemas não estão restritos a representa¸cão binária. Os s´ımbolos de um esquema formam o alfabeto de s´ımbolos utilizados em nossa representa¸cão cromossomial. As strings que se encaixam nesse modelo, como 100111 e 110011, são chamadas de instâncias de H. A quantidade de bits que não são asteriscos representa a ordem do esquema, nesse caso o esquema H é de ordem 2. Seu comprimento, o tamanho das strings poss´ıveis, é 5 [8, 43].

Não é poss´ıvel descrever todos os subconjuntos de um conjunto de tamanho l como um esquema. Na realidade, a grande maioria não pode ser descrito como esquema. Existem 2l possibilidades para uma string de tamanho l e 22l _{subconjuntos de strings, mas existem apenas 3}l esquemas poss´ıveis. Entretanto, a ideia central dos algoritmos genéticos é que os esquemas são os blocos de constru¸cão que são processados pelos operadores de sele¸cão, muta¸cão e crossover [43].

Qualquer string de tamanho l é uma instância de 2l diferentes esquemas. Por exemplo, a string 11 é uma instância de ∗∗, ∗1, 1∗ e 11. Assim, qualquer popula¸cão com n strings contém instâncias entre 2l _{e n × 2}l _{esquemas. Se todas as strings s˜}_{ao idˆ}_{enticas, ent˜}_{ao existem instˆ}_ancias de exatamente 2l _{esquemas. Caso contr´}_{ario, o n´}_{umero ´}_{e menor ou igual a n × 2}l_{. Isso significa,} que em uma dada gera¸cão, enquanto o algoritmo genético está explicitamente calculando as avalia¸cões de cada indiv´ıduo da popula¸cão, implicitamente ele está calculando a média das avalia¸cões de um número muito maior de esquemas, sendo a média das avalia¸cões de um esquema definido como sendo avalia¸cão média de todos as instâncias poss´ıvel desse esquema. Por exemplo, em uma popula¸cão gerada aleatoriamente, a média de metade da popula¸cão será uma instância de 1 ∗ ∗ ∗ · · · ∗ e a outra metade será instância de 0 ∗ ∗ ∗ · · · ∗. Assim como os esquemas não são explicitamente representados ou avaliados em um algoritmo genético, as médias das avalia¸cões

desses esquemas também não são calculadas ou armazenadas explicitamente. Entretanto, o comportamento de um algoritmo genético, em termos do aumento ou diminui¸cão do número de instâncias de um dado esquema, pode ser visto como se o algoritmo estivesse realmente calculando e armazenando as médias [43].

Pode-se calcular a dinâmica das instâncias de um esquema, ou aumento ou diminui¸cão de instâncias, da seguinte forma. Seja H um esquema com pelo menos uma instância presente na popula¸cão em um tempo t. Seja m(H, t) o número de instâncias de H no tempo t e û(H, t) a avalia¸cão média de H no tempo t, ou seja, a avalia¸cão média das instâncias de H em uma popula¸cão no tempo t. Deseja-se determinar o número de instâncias de H no tempo t + 1, E(m(H, t + 1)). Assume que a sele¸cão funciona da seguinte forma: o número esperado de filhos de uma string x é igual a f (x)/ ¯f (t), onde f (x) é a avalia¸cão de x e ¯f (t) é a avalia¸cão média da popula¸cão em um tempo t. Então, assumindo-se que x está presente na popula¸cão no tempo t e ignorando os operadores de muta¸cão e crossover, tem-se

E(m(H, t + 1)) = X x∈H

f (x)/ ¯f (t) = (ˆu(H, t)/ ¯f (t))m(H, t), (4.2)

onde, por defini¸c˜ao, ˆu(H, t) = (P

x∈Hf (x))/m(H, t) para x na popula¸cão no tempo t. Portanto, mesmo que os algoritmos genéticos não calculem explicitamente o valor de û(H, t), o aumento ou diminui¸cão de instâncias de um esquema dependem dessa quantidade [43].

Os operadores de muta¸cão e crossover podem destruir ou criar instâncias de H. Os efeitos na destrui¸cão de instâncias de H podem ser inclu´ıdos modificando o lado direito da Equa¸cão 4.2 afim de diminuir o limite em E(m(H, t + 1)). Seja pc a probabilidade de um crossover de um ponto ser aplicado a uma string e suponha que uma instância do esquema H é escolhida para ser um pai. O esquema H irá sobreviver ao crossover de um ponto se um dos filhos for também uma instância de H. A probabilidade Sc(H) de H sobreviver ao crossover de um ponto é dada por:

Sc(H) ≥ 1 − pcd(H)

l − 1, (4.3)

onde d(H) é definido como o comprimento de H e l é definido como o comprimento da string de bits no espa¸co de busca. Assim, os crossovers que ocorrem dentro do comprimento de H podem destruir H, então multiplica-se a fra¸cão da string que H ocupa pela probabilidade do crossover para obter-se um limite superior na probabilidade dele ser destru´ıdo. Subtra´ındo-se esse valor de 1 obtém-se o limite inferior de sobrevivência Sc(H). Em resumo, a probabilidade de sobrevivência é maior para esquemas curtos [43].

O efeito destrutivo da muta¸cão podem ser quantificados da seguinte forma: seja pm a probabilidade de um bit ser mudado. Então, Sm(H) será a probabilidade do esquema H sobreviver a muta¸cão de uma instância de H e é igual a (1 − pm)o(H), onde o(H) é a ordem de H. Assim, para cada bit, a probabilidade do bit não ser mudado será (1 − pm). Portanto, a probabilidade dos bits não definidos do esquema H ser mudado é essa quantidade multiplicado por si mesma o(H) vezes. Em resumo, a probabilidade de sobrevivência de um esquema durante a aplica¸cão do operador de muta¸cão é maior para esquemas de pequena ordem [43].

Portanto, a Equa¸c˜ao 4.2 pode ser reescrita para incluir os efeitos destrutivos do crossover e muta¸c˜ao da seguinte forma:

4.5. Teorema dos Esquemas 41 E(m(H, t + 1)) ≥ u(H, t)ˆ_¯ f (t) m(H, t)(1 − pc d(H) l − 1)[(1 − pm) o(H)_]. _(4.4)

A Equa¸cão 4.4 é conhecida como Teorema dos Esquemas [45]. Esse teorema descreve o crescimento dos esquemas de uma gera¸cão para a próxima gera¸cão. Esse teorema implica que esquemas curtos e de ordem pequena cujo a avalia¸cão média se mantém acima da média irá receber exponencialmente um maior número de amostras ao longo do tempo. Isso acontecerá se o número de amostras desses esquemas, que não foram destru´ıdos e que se mantém acima da avalia¸cão média, aumente por um fator de û(H, t)/f (t) a cada gera¸cão [43].

O teorema dos esquemas como mostrado na Equa¸cão 4.4 é um limite inferior, porque ele lida apenas com os efeitos destrutivos dos operadores de crossover e muta¸cão. Entretanto, acredita-se que o crossover é a fonte principal do poder dos algoritmos genéticos, devido a habilidade de recombinar instâncias de bons esquemas para formar instâncias igualmente boas ou melhores de esquemas. A suposi¸cão de que é assim que um algoritmo genético funciona é conhecida como Hipótese dos Blocos de Constru¸cão [43].

Na avalia¸cão de uma popula¸cão com n indiv´ıduos, um algoritmo genético está implicitamente estimando a adapta¸cão média de todos os esquemas que estão presentes na popula¸cão e aumen- tando ou diminuindo suas representa¸cões de acordo com o teorema dos esquemas. Essa avalia¸cão simultânea de um grande número de esquemas em um popula¸cão é conhecida como ”paralelismo impl´ıcito” [45]. A sele¸cão terá o efeito de gradualmente tender o processo de amostragem para instâncias de esquemas cujo o valor de avalia¸cão é estimado acima da média. Com o tempo, a média de avalia¸cão dos esquemas se tornará mais precisa, porque o algoritmo genético estará amostrando mais instâncias desse esquema [43].

O teorema dos esquemas e a hipótese dos blocos de constru¸cão lidam primariamente com as regras de sele¸cão e crossover. Holland (1975) propôs que a muta¸cão é o que previne a perda de diversidade de uma determinada posi¸cão do cromossomo. Por exemplo, sem a muta¸cão, todos os indiv´ıduos em uma popula¸cão poderiam ter a primeira posi¸cão de seu material genético idêntico e, portanto, poderia ser imposs´ıvel obter um novo indiv´ıduo com uma posi¸cão inicial diferente. A muta¸cão assegura que isso não irá ocorrer [43].

O teorema dos esquemas dado pela Equa¸cão 4.2 não se aplica somente a esquemas, mas para qualquer subconjunto de strings no espa¸co de buscas. A razão dos esquemas terem sido o foco da discussão é que eles são uma boa descri¸cão dos tipos de blocos de constru¸cão que são combinados pelo uso do crossover. Acredita-se que nessa formula¸cão dos algoritmos genéticos, os esquemas são uma boa descri¸cão para os blocos de constru¸cão relevantes de uma boa solu¸cão [43].

Cap´ıtulo 5

Simula¸cões e Implementa¸cão prática

Nesse cap´ıtulo é apresentado o desenvolvimento prático do trabalho. Primeiro são mostrados os materiais utilizados, a placa desenvolvida para controlar o robô e um programa para testar o funcionamento do robô. Depois, é mostrada a obten¸cão da cinemática direta do robô estudado, a aplica¸cão das redes neurais na resolu¸cão do problema e, por último, é mostrado a aplica¸cão dos algoritmos genéticos na resolu¸cão do problema.

5.1 Materiais utilizados

Para o desenvolvimento do presente trabalho foi utilizado um robô manipulador educacional com 5 graus de liberdade, como mostrado na Figura 5.1. Esse robô pode ser obtido facilmente em diversos fornecedores chineses de componentes eletrônicos por um pre¸co relativamente baixo quando comparado a robôs vendidos por grandes marcas. Para este trabalho, o robô foi obtido no site de vendas online goodluckbuy.com. Ele é montado sobre uma plataforma de acr´ılico, a estrutura é feita de alum´ınio e ele possui seis servomotores. Cinco servos conferem os cinco graus de liberdade e um servo é usado para controlar a garra do robô. São quatro servomotores do tipo Torobot TR213 com torque de 13 kg/cm e precisão de 0, 5◦ e dois servomotores do tipo Torobot TR205 com torque de 5,5 kg/cm e precisão de 0, 3◦. Além disso, os dois tipos de servos utilizados possuem 180 graus de rota¸cão.

Esse robô foi escolhido pelo fato de seu controle ser relativamente simples. Como todos os atuadores são servomotores, é necessário fazer apenas o controle de posi¸cão através de um PWM [47]. Portanto, toda a aten¸cão utilizada no projeto foi voltada para a solu¸cão da cinemática inversa que é o principal objetivo do presente trabalho.

Para controlar o robô foi utilizado um microcontrolador Arduino Uno Rev2, conforme mostrado na Figura 5.2. Segundo o website Arduino.cc, o Arduino é uma plataforma eletrônica de prototipagem de código aberto baseada na flexibilidade e no uso fácil do hardware e do software. O Arduino é destinado a artistas, designers, hobbistas e qualquer pessoa interessada em criar objetos ou ambientes interativos [48]. A utiliza¸cão desse microcontrolador possui inúmeras vantagens. Por exemplo, ele pode ser encontrado à venda por um pequeno pre¸co e possui seis sa´ıdas para PWM, o que é ideal para ser aplicado ao robô. Além disso, com a utiliza¸cão de um pacote desenvolvido por Giampiero Campa, é poss´ıvel controla-lo através do MATLAB [49].

Por ´ultimo, foram utilizados dois toolboxes do MATLAB para o desenvolvimento e aplica¸c˜ao

das redes neurais artificiais e dos algoritmos gen´eticos, o Neural Networks Toolbox e o Global Optimization Toolbox respectivamente.

No documento Estudo e implementação de redes neurais e algoritmos genéticos para resolução de cinemática inversa de um manipulador robótico com 5 graus de liberdade (páginas 57-62)