4.3 A conjectura de Ore
4.3.2 O Teorema de Gow
Primeiro, precisamos de alguns resultados preliminares. A partir dessa se¸c˜ao, M ´e um ideal maximal contendo Rp, como definido na Se¸c˜ao 4.3.1, e G ´e um grupo finito simples do tipo Lie em caracter´ıstica p. Seja χi um car´ater irredut´ıvel complexo de G, denotaremos o
car´ater central associado a χi por ωi. Al´em disso, escreveremos ω1 para o car´ater central
do car´ater principal e ωSt para o car´ater central do car´ater de Steinberg. Note que o
car´ater central foi definido para as somas de classes de conjuga¸c˜ao, mas se g ∈ G e g est´a na classe de conjuga¸c˜ao Ki, escreveremos simplesmente ωi(g) para indicar ωi(Ki) (veja
se¸c˜ao 1.3).
Vamos discutir um pouco a no¸c˜ao de defeito de um p-bloco. Seja pe a maior potˆencia
de p que divide a ordem de G. Dizemos que um p-bloco tem defeito d se pe−d ´e maior
potˆencia de p que divide a dimens˜ao de todos os caracteres χ ∈ Irr(G) que est˜ao no bloco. O Teorema 4.17 diz que, no caso em que G ´e um grupo finito simples do tipo Lie, ent˜ao G tem exatamente dois blocos. Um deles cont´em apenas o car´ater de Steinberg, que satisfaz St(1) = |G|p e assim esse bloco tem defeito 0. O outro bloco cont´em o car´ater principal,
ent˜ao possui defeito m´aximo.
Tamb´em podemos definir uma no¸c˜ao de defeito para classes de conjuga¸c˜ao de G. Dizemos que uma classe de conjuga¸c˜ao K possui defeito d se pd ´e maior potˆencia de p que divide |CG(x)|, para x ∈ K . O interessante ´e que as duas no¸c˜oes de defeito est˜ao
ligadas e ´e poss´ıvel mostrar que o n´umero de blocos que possuem defeito m´aximo ´e igual ao n´umero de classes de conjuga¸c˜ao de elementos p-regulares que possuem defeito m´aximo (veja [18, Se¸c˜ao 8.2]).
Dessa forma, o fato de G possuir apenas um ´unico bloco de defeito m´aximo implica G possuir uma ´unica classe de conjuga¸c˜ao com defeito m´aximo, que ´e a classe de conjuga¸c˜ao
4.3. A conjectura de Ore Cap´ıtulo 4. O car´ater de Steinberg e Aplica¸c˜oes
da identidade. Isso implica que, com a exce¸c˜ao da identidade, nenhum centralizador de um elemento semisimples (p-regular) cont´em um p-subgrupo de Sylow de G. Tal fato ser´a utilizado na proposi¸c˜ao seguinte.
Proposi¸c˜ao 4.18. Seja g um elemento semisimples diferente da identidade e seja Ki a
classe de conjuga¸c˜ao que cont´em g. Ent˜ao ωj(g) ≡ 0 mod p, para todos os χj 6= St.
Demonstra¸c˜ao. Como ωj(g) =
χj(g)|Ki|
χj(1) , temos ω1(g) = |Ki|. Al´em disso, para todos os
caracteres centrais ωj diferentes de ωSt, temos ωj(g) ≡ ω1(g) mod M , pelo Teorema 4.17.
Assim, ωj(g) ≡ |Ki| mod M . Se mostrarmos que p divide |Ki| mostraremos ωj(g) ≡ 0
mod M , pois M cont´em Zp e, portanto, ωj(g) ≡ 0 mod p. ´E isso que faremos.
Como g ´e semisimples, p n˜ao divide a ordem de g. Se al´em disso, ocorrer que p n˜ao divide |Ki|, como |G| = |Ki||CG(g)|, isso for¸ca com que p divida |CG(g)|. Mais ainda,
todas as potˆencias de p que dividem G, tem que dividir |CG(g)|. Portanto, |CG(g)| cont´em
um p-subgrupo de Sylow de G. Mas isso n˜ao pode ocorrer pelas observa¸c˜oes que fizemos antes da proposi¸c˜ao. Portanto p divide |Ki| e o resultado segue.
Agora, vamos determinar uma express˜ao conveniente para o car´ater central ωSt.
Proposi¸c˜ao 4.19. Seja g um elemento semisimples diferente da identidade, ent˜ao
ωSt(g) = ±|G : CG(g)|p0.
Demonstra¸c˜ao. Temos St(g) = ±|CG(g)|p e St(1) = |G|p. Assim:
ωSt(g) = ± |Ki||CG(g)|p |G|p = ±|G||CG(g)|p |CG(g)||G|p .
Agora, como |G|p ´e a p-parte de |G|, ent˜ao |G|
|G|p = |G|p
0 e, de modo an´alogo, temos |CG(g)|p |CG(g)| = 1 |CG(g)|p0, ent˜ao ωSt(g) = ± |G|p0 |CG(g)|p0 = ±|G : CG(g)|p 0.
Agora, vamos escrever o car´ater Λ (introduzido na Proposi¸c˜ao 1.17), em fun¸c˜ao dos caracteres centrais: Λ(g) = X χ∈Irr(G) |G|χ(g) χ(1) = X χ∈Irr(G) |CG(g)||Ki|χ(g) χ(1) = |CG(g)| X χ∈Irr(G) ωχ(g). (4.7)
Com isso, estamos em condi¸c˜oes de demonstrar o seguinte teorema:
Teorema 4.20. [14] Seja G um grupo finito simples do tipo Lie de caracter´ıstica p e seja g um elemento semisimples diferente da identidade em G. Ent˜ao, vale:
4.3. A conjectura de Ore Cap´ıtulo 4. O car´ater de Steinberg e Aplica¸c˜oes
Λ(g) |CG(g)|p
≡ ±|G|p0 mod p.
Em particular, Λ(g) ´e n˜ao-nulo e g ´e um comutador em G.
Demonstra¸c˜ao. Usando a Equa¸c˜ao (4.7), temos |CΛ(g)
G(g)| = ωSt+
Pr−1
i=1ωi(g). Tomando essa
express˜ao m´odulo p, como ωi(g) ≡ 0 mod p, se ωi 6= ωSt, obtemos:
Λ(g) |CG(g)|
≡ ωSt(g) mod p
≡ |G : CG(g)|p0 mod p.
Se multiplicarmos a congruˆencia dos dois lados por |CG(g)|p0, como |G : CG(g)|p0 = |G|p0
|CG(g)|p0, obtemos o resultado desejado. Al´em disso, p n˜ao divide |G|p
0, ent˜ao Λ(g) n˜ao
pode ser zero. Em particular, g ´e um comutador.
Lembremos que um elemento semisimples h ∈ G ´e regular se |CG(h)| ´e coprimo com
p. Nessas circunstˆancias obteremos tamb´em o seguinte resultado.
Teorema 4.21. Se g ´e um elemento semisimples e Ki e Kj s˜ao classes de conjuga¸c˜ao
de elementos semisimples regulares de G, ent˜ao g pode ser expresso como um produto xy, com x ∈Ki e y ∈Kj.
Demonstra¸c˜ao. Note que g ∈ Kv ´e expresso como um produto de elementos da classe
Ki e da classe Kj se, e somente se, a constante de estrutura aijv ´e diferente de 0. Da
Proposi¸c˜ao 1.15, temos aijv diferente de 0 se, e somente se, Pχ∈Irr(G)
χ(xi)χ(xj)χ(g) χ(1) 6= 0,
onde xi ∈ Ki e xj ∈ Kj. Escrevendo essa express˜ao em fun¸c˜ao dos r caracteres centrais
de G, temos: X χ∈Irr(G) χ(xi)χ(xj)χ(g) χ(1) = r X l=1 χl(xi)χl(xj)ωl(g) |Kv| . (4.8)
Isso implica aijv diferente de 0 se, e somente se,
r
X
l=1
χl(xi)χl(xj)ωl(g) 6= 0. (4.9)
Observando que ωl(g) = ωl(g−1) e que g−1 ´e tamb´em um elemento semisimples, pela
Proposi¸c˜ao 4.18, temos ωl(g) ≡ 0 mod p, para todos os ωl que n˜ao s˜ao ωSt. Ent˜ao
tomando m´odulo p a Equa¸c˜ao (4.9), temos:
r
X
i=1
χ(xi)χ(xj)ωi(g) ≡ St(xi)St(xj)ωSt(g) mod p.
Como xi e xj s˜ao elementos semisimples regulares, temos St(xi) = ±1 e St(xj) = ±1.
4.3. A conjectura de Ore Cap´ıtulo 4. O car´ater de Steinberg e Aplica¸c˜oes
express˜ao acima n˜ao pode ser congruente a 0 m´odulo p. Em particular, aijv n˜ao ´e zero,
como quer´ıamos.
Note que seKi´e uma classe de elementos semisimples regulares, ent˜aoKi0, a classe de
conjuga¸c˜ao que cont´em os inversos de Ki, tamb´em ´e composta de elementos semisimples
regulares. Assim, o seguinte corol´ario:
Corol´ario 4.22. Se G ´e um grupo finito simples do tipo Lie em caracter´ıstica p e g ´e um elemento semisimples, ent˜ao g ´e um comutador da forma [x, y], com x ∈Ki e y ∈ G,
onde Ki ´e uma classe de conjuga¸c˜ao de elementos semisimples regulares.
Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 4.21, g ´e um produto xy, com x ∈Ki e y ∈Ki0, portanto
g ´e um comutador da forma [hxh−1, hyh−1], para x ∈ Ki e y, h ∈ G (veja Proposi¸c˜ao 1.16
e as observa¸c˜oes seguintes).