Corol´ario 4.7. O car´ater de Steinberg ´e um car´ater irredut´ıvel de G.
Demonstra¸c˜ao. J´a temos St = ±χ para χ ∈ Irr(G). Se St = −χ, ter´ıamos [1G
B, χ] = −1,
o que contradiz o fato de 1G
B ser um car´ater de G. Assim, temos St = χ.
´
E interessante notar que at´e este ponto, utilizamos apenas as propriedades dadas pelo par-BN para mostrar a irredutibilidade do car´ater de Steinberg. Para discutir os valores do car´ater de Steinberg, precisamos que o par-BN seja split e que G satisfa¸ca as rela¸c˜oes de comutadores. De toda forma, apenas com um par-BN que n˜ao seja split ´e poss´ıvel calcular o grau do car´ater de Steinberg.
Proposi¸c˜ao 4.8. Se G ´e um grupo finito com um par-BN, ent˜ao o grau do car´ater de Steinberg ´e dado por |B : B ∩ n0Bn−10 |, onde n0 ∈ N ´e tal que π(n0) ´e o elemento de
comprimento m´aximo do grupo de Weyl. Demonstra¸c˜ao. Ver [8, Teorema 67.10].
Este resultado n˜ao ´e muito f´acil de utilizar na pr´atica, pois costuma ser complicado calcular a interse¸c˜ao de subgrupos. Isso ´e um ind´ıcio que precisamos de um pouco mais estrutura para obter mais informa¸c˜oes de St.
4.2
Valores do Car´ater de Steinberg
Assumiremos nessa se¸c˜ao que G ´e um grupo finito com um par-BN split em caracter´ıstica p e que satisfaz as rela¸c˜oes dos comutadores (veja Defini¸c˜oes 3.47 e 3.49). Nessas condi¸c˜oes, cada subgrupo parab´olico PJ tem uma decomposi¸c˜ao de Levi, com PJ = UJ o LJ. Al´em
disso, LJ possui tamb´em um par-BN. O resultado seguinte relaciona os caracteres de
Steinberg dos subgrupos G e LJ. Uma demonstra¸c˜ao desse resultado pode ser encontrada
em [6, Proposi¸c˜ao 6.3.3].
Proposi¸c˜ao 4.9. Se PJ ´e um subgrupo parab´olico de G, ent˜ao temos:
(StG)PJ = St PJ LJ.
Uma observa¸c˜ao sobre a nota¸c˜ao. Neste caso, StLJ denota o car´ater de Steinberg de
LJ e n˜ao a restri¸c˜ao do car´ater de Steinberg de G ao grupo LJ.
Nesta se¸c˜ao, discutiremos alguns resultados que permitem calcular os valores do car´ater de Steinberg. Isso ser´a ´util para discutirmos certas aplica¸c˜oes na Se¸c˜ao 4.3.
Proposi¸c˜ao 4.10. Suponha que g ∈ G n˜ao est´a em nenhum subgrupo parab´olico pr´oprio de G. Ent˜ao St(g) = (−1)|I|, onde I ´e o conjunto de ´ındices associados aos geradores do grupo de Weyl do par-BN.
Demonstra¸c˜ao. Lembramos que um subgrupo parab´olico ´e qualquer subgrupo conjugado a um PJ, para J ⊆ I. Se g n˜ao est´a em nenhum subgrupo parab´olico pr´oprio, ent˜ao
nenhum conjugado de g pode estar em PJ para J ( I. Caso contr´ario, xgx−1 ∈ PJ
implica em g ∈ x−1PJx. Dessa forma, temos 1PJ(g) = 1 |PJ| X x∈G xgx−1∈PJ 1 = 0, para J ( I. Aqui estamos cometendo um pequeno abuso de nota¸c˜ao para indicar que o somat´orio ´e vazio. Assim, St(g) = (−1)|I|.
4.2. Valores do Car´ater de Steinberg Cap´ıtulo 4. O car´ater de Steinberg e Aplica¸c˜oes
Proposi¸c˜ao 4.11. Se g ∈ PJ e n˜ao ´e conjugado a nenhum elemento de PK para K ( J
ent˜ao:
(i) St(g) = 0, se g n˜ao ´e conjugado em PJ a algum elemento de LJ.
(ii) St(g) = (−1)|J||CUJ(g)|, se g ∈ LJ.
Demonstra¸c˜ao. (i) Como g ∈ PJ podemos utilizar a Proposi¸c˜ao 4.9 para calcular St(g).
St(g) = StPJ LJ(g) = 1 |LJ| X x∈PJ xgx−1∈L J StLJ(g). (4.6)
Por hip´otese, nenhum conjugado de g est´a em LJ, logo o somat´orio ´e vazio e St(g) = 0.
(ii) Da mesma forma, como g ∈ LJ podemos utilizar a Proposi¸c˜ao 4.9. Consideremos
agora, os x ∈ PJ tais que xgx−1 ∈ LJ. Utilizando a decomposi¸c˜ao de Levi, temos
PJ = UJLJ, assim se x ∈ PJ, ent˜ao x = yz, para y ∈ UJ e z ∈ LJ.
Vamos mostrar que xgx−1 ∈ LJ se, e somente se, y ∈ CUJ(zgz
−1). Suponha xgx−1 ∈
LJ. Temos y ∈ CUJ(zgz
−1) se, e somente se, [y, zgz−1] = 1. ´E o que verificaremos agora:
[y, zgz−1] = yzgz−1y−1zg−1z−1
= xgx−1zg−1z−1. (pois x = yz)
Como g, z ∈ LJ, temos (zg−1z−1) ∈ LJ. Por hip´otese, xgx−1 ∈ LJ, logo [y, zgz−1] ∈ LJ.
Temos tamb´em:
[y, zgz−1] = y(zgz−1)y−1(zg−1z−1).
Como UJ ´e normal em PJ, temos (zgz−1)y−1(zg−1z−1) ∈ UJ. Assim, [y, zgz−1] ∈ UJ.
Como UJ ∩ LJ = {1}, temos [y, zgz−1] = 1 e y ∈ CUJ(zgz −1). Reciprocamente, se y ∈ CUJ(zgz −1), temos: xgx−1 = y(zgz−1)y−1 = zgz−1. (pois y ∈ CUJ(zgz −1 ) )
4.2. Valores do Car´ater de Steinberg Cap´ıtulo 4. O car´ater de Steinberg e Aplica¸c˜oes
Isso implica xgx−1 ∈ LJ, pois z ∈ LJ. Com isso, podemos escrever a Equa¸c˜ao (4.6) da
seguinte forma: St(g) = 1 |LJ| X z∈LJ X y∈CUJ(zgz−1) StLJ(zgz −1 ) = 1 |LJ| X z∈LJ X y∈CUJ(zgz−1)
StLJ(g) (pois z, g ∈ LJ e StLJ ´e fun¸c˜ao de classe de LJ)
= 1 |LJ| X z∈LJ |CUJ(zgz −1)|St LJ(g) = |CUJ(g)|StLJ(g). (|CUJ(h)| ´e fun¸c˜ao de classe de UJ)
Observe que g n˜ao est´a em nenhum subgrupo parab´olico pr´oprio de LJ. A raz˜ao disso ´e
que os parab´olicos de LJ s˜ao da forma PK ∩ LJ para K ⊆ J e, por hip´otese, g n˜ao est´a
em nenhum PK, para K ( J. Utilizando a Proposi¸c˜ao 4.10 obtemos:
St(g) = |CUJ(g)|(−1) |J|
.
Corol´ario 4.12. St(1) = |G|p.
Demonstra¸c˜ao. Tomando g = 1 e J = ∅ na Proposi¸c˜ao 4.11, obtemos St(1) = |U |. Pela Proposi¸c˜ao 3.48, U ´e um p-subgrupo de Sylow de G, portanto, St(1) = |G|p.
Proposi¸c˜ao 4.13. Se g ∈ LJ e g n˜ao ´e conjugado em G a nenhum elemento de PK para
K ( J ent˜ao:
(i) |CUJ(g)| = |CG(g)|p.
(ii) StG(g) = (−1)|J||CG(g)|p.
Demonstra¸c˜ao. TomeK a classe de conjuga¸c˜ao de G que contenha g e K a correspondente soma de classe de conjuga¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 1.14, ωSt(K) ´e um inteiro alg´ebrico.
ωSt(K) = St(g)|K | St(1) = St(g) St(1) |G| |CG(g)| .
Usando a Proposi¸c˜ao 4.11 e o Corol´ario 4.12 obtemos:
ωSt(K) = (−1)|J||CUJ(g)| |U | |G| |CG(g)| = (−1)|J| |G : U | |CG(g) : CUJ(g)| .
4.2. Valores do Car´ater de Steinberg Cap´ıtulo 4. O car´ater de Steinberg e Aplica¸c˜oes
Assim ωSt(K) ´e um n´umero racional e como ´e tamb´em um inteiro alg´ebrico, deve ser
um n´umero inteiro. Isso mostra que |CG(g) : CUJ(g)| divide |G : U |. Como U ´e um
p-subgrupo de Sylow de G, |U | ´e maior potˆencia de p que divide G assim, |G : U | = |G|p0.
Em particular, isso implica que |CG(g) : CUJ(g)| =
|CG(g)|
|CUJ(g)| ´e coprimo com p. Al´em disso,
|CUJ(g)| ´e uma potˆencia de p e portanto, |CUJ(g)| = |CG(g)|p. Isso prova os itens (i) e
(ii).
Proposi¸c˜ao 4.14. Se g ∈ G e n˜ao est´a em nenhum subgrupo parab´olico pr´oprio de G ent˜ao:
(i) |CG(g)| ´e coprimo com p.
(ii) A ordem de g ´e coprima com p.
Demonstra¸c˜ao. Usando a Proposi¸c˜ao 4.13 com J = I, temos UI = {1} e |CG(g)|p = 1.
Isso prova o item (i). Como g ∈ CG(g), ent˜ao p n˜ao pode dividir a ordem de g e isso
prova o item (ii).
Quando G ´e um grupo finito do tipo Lie em caracter´ıstica p > 0, um elemento g ∈ G ´
e semisimples se, e somente se, sua ordem for coprima com p. Dizemos que um elemento g ∈ G ´e semisimples regular se g for semisimples e |CG(g)| for coprimo com p. Dessa forma,
a Proposi¸c˜ao 4.14 diz que para acharmos um elemento semisimples regular ´e suficiente procurar um elemento que n˜ao esteja em nenhum subgrupo parab´olico pr´oprio.
Proposi¸c˜ao 4.15. Suponha que g ∈ PJ e g n˜ao ´e conjugado em G a nenhum elemento
de PK para K ( J. Ent˜ao g ´e conjugado em PJ a um elemento de LJ se e somente se a
ordem de g ´e coprima com p.
Demonstra¸c˜ao. Se g ´e conjugado a um elemento x ∈ LJ, ent˜ao x n˜ao pode estar em um
subgrupo parab´olico pr´oprio de LJ. A raz˜ao disso, novamente, ´e que os parab´olicos de LJ
s˜ao da forma PK∩ LJ. Aplicando o item (ii) da Proposi¸c˜ao 4.14 a x com LJ no lugar de
G, obtemos que a ordem de x ´e coprima com p e portanto, a ordem de g ´e coprima com p.
Reciprocamente, se a ordem de g ´e coprima com p, devemos mostrar a existˆencia de um z ∈ PJ tal que zgz−1 ∈ LJ. Para mostrar isso, faremos uso do Teorema de Schur-
Zassenhaus1. Considere o subgrupo hU
J, gi = UJhgi gerado por UJ e g. Como UJ ´e
normal em PJ, UJ ´e normal em UJhgi. Al´em disso, a ordem de g ´e coprima com p, logo
UJ ∩ hgi = 1. Dessa forma, UJ ´e um subgrupo normal de Hall de UJhgi, pois |UJ| ´e uma
potˆencia de p e |UJhgi : UJ| = |hgi|, que ´e coprimo com p. Como UJ ´e um p-grupo, em
particular, ´e sol´uvel e estamos nas hip´oteses do Teorema de Schur-Zassenhaus.
Pelo que foi argumentado anteriormente, fica claro que hgi ´e um complemento de UJ
em UJhgi. Vamos verificar agora que hUJ, gi ∩ LJ ´e um outro complemento de UJ. Como
LJ∩ UJ = 1, temos hUJ, gi ∩ LJ∩ UJ = 1. Pela decomposi¸c˜ao de Levi, g = xy com x ∈ LJ
e y ∈ UJ. Assim gy−1 ∈ hUJ, gi ∩ LJ e portanto g ∈ (hUJ, gi ∩ LJ)UJ. Tal fato implica
UJ(hUJ, gi ∩ LJ) = UJhgi e da´ı hUJ, gi ∩ LJ ´e um complemento de UJ.
Assim, pelo Lema de Schur-Zassenhaus, os dois complementos s˜ao conjugados e existe z ∈ hUJ, gi tal que zgz−1∈ LJ.
1Seja K um subgrupo normal de Hall de G. Se K ou G/K for sol´uvel, ent˜ao quaisquer dois comple-
mentos de K em G s˜ao conjugados [31, Teorema 7.42]. Um subgrupo de Hall ´e um subgrupo K de um grupo finito G em que |K| e |G : K| s˜ao coprimos.