S + 1 = T . Seja S um semigrupo onde T é um T
Demonstração: Escolha e S e considere T = Svjíe}.
Assim, com a seguinte extensão ® da operação binária * de S, T ê claramente um monoide com identidade e. Para
{x,y} C S e qualquer t C T, definiiios a operação binária 0 de T por x 0 y = x * y e t
Observe que a função i:f;
Então existe um mono- conjunto tal que
i:x<— ^ x ê um monomorfismo.
Seja 'l':T-- >'^T definidí
Já que t Cx) C T cada x T, onde a funçao vCx) deifine-se por (x) Cy) =
T X 0 y para todo y C T. Agora mostramos que ÿ:T--> T ê monomorfismo.
É claro que DomCT) = T.
para cada x C T, temos que Rng('i') ^ ^T. Se '{'(x) = (y) então ’l'(x)(e) = ’l'(y)(e). Isto impl;.ca que x = x « e = y 0 e = y. Portanto, ê injetiví.. Agora basta mostrar que 'i' e homomorf ismo. Mas, para x , y } ^ T temos para
e = t = e 0 t .
— > T definida por
cada t C T que 'i'(x 0 y) (t) = (x 0 x 0 'l'(y)(t) = 'i'(x) ('1'(y) (t) ) = (4'(x)o a composição de elementos em T. Po
Assim vimos que 'I': T T e um monomorfismo. Portanto, 'i'oi:S--é monomorfisijio.
Um corolário imediato do palavra W = W(L.| ,L2 . ,Lj ) ê quer que seja o semigrupo S, existe
S| + 1 = T tal que para cada f £ £ = W(x.^ ,X2 jXj ,. . . ,Xj ) tem solução
Ct1>^2 »^3’* *' ’ ^j^ ^ ( T)^.
W(x,y) = x^^y’^ que representam muitos X
Na presente dissertação estudamos palavras elementos de cada- 1. Por [4; 1? Teorema]
a l . X embora W nao seja Myc-univers e [9;Theorem 3.12], W ê IMyc-unive
y) 0 t = X 0 (y 0 t) = (y))(t), onde "o” indica rtanto, 'i'(x 0 y) =f (x)oÿ (y) T,
teorema 6.1 é que, se uma fjlyc-universal então, qual-
um conjunto T com a equação
(xi,X2,X3,...,Xj) =
rs;
0 seguinte exemplo, de unlia palavra x^^y’^ que é Prt-universal, indica como pode ser 1’epresentado qualquer elemento £ de uma X na £orma dei
Exemplo 1: Primeiro vamos indicar domo uma construção do tipo usada em [9;Theorem 1.1] mostra que a palavra x^y^.
que ê Prt-universal por [9;Corollar)
y
transformação típica f C 7. Esta diagrama seguinte.
-»4<-- >5«-- »-ó»-
A idéia é escrever a fuii
com ^ Prt{3,4,5,6}; na forma
Prt{3,4,5,6}; a função = (0 1 2) 3 3
forma para í »y^} ç Prt: (3) , e então "costurar"
junto com para obter a funçac
Sejam x^ = (3 6 5 4) e
símbolo [6] na funçao y^ diz que
que h. = x^y^ esta indicada no5
y ^ ^ K \ *' 3 4. 3» >:4 3 3 = ^-474
Sejam x^ = (0 2) e y^ =: (0 1) . É fãcil ver
que = (0 1 2) = (0 2)(0 1) = (0
sentamos estas transformações nos di
3.18], representa a f está estipulada no ção h^= 3^ com hj C Pr t (3) na f = h 4 U h 3 Ü { ( 6 , 0 ) } . y^ = C3 4 5) [6] , onde o y^Có) = °°. ObserVe diagramas seguintes: -►41-- >5» h. )^(0 = x^y^, gramas seguintes: Apre-
X j ---
3 3 = ='3^3
Finalmente, indicamos a i
com hj. Juntando os dios conjuntos
obtemos uma representação de. u = h
e w = y ^ U y ^ , temos facilmente que
w(6) = «>. V ---- ■&. -►.4 w. 3 3 u = V w
Desde que w ( 6 ) = «= = u(ê
definir a vontade uma extensão y de
Queremos fazer esta extensão y de t
resultante v^y^ de v^w^ seja a fi
f(2>. Lembrando que w(2) = yT^i2)
dêia de "costurar" h. de diagramas anteriores Uhj. Quando v = x ^ U x ^ 3 3 u = V w . Note que / I % y
.1
), temos condiçoes dew tal que óCDom(y)
al jeito que a extensão
nção f. Mas f(6) = 0 =
y = yf\J{ (6,2)} e x = v, e assim ob
v^w^(2) = v^(2) = 0 = f(6). 0 diagr
o diagrama anterior com mais uma seta
para fazer y de y4'v>*y3 ® seta
aumentando U p a r a fazer a £unç
X --- «»
Em resumo, querendo repre
a função f
3,— *.4,— ,.5,— ^6'— ►o:
representamos separadamente as duas
restrição u = f''(7\{6}) de f
3.^-- ^4,-- ^5.-- ^6
na forma u = desejada, e então
temos x^y^(6) = x^y^(2)
ama seguinte e exatamente
grossa nova, 6
ao f .
sentar na forma x^y^
componentes conexas da
mente as funções v e w a fim de obt de tal forma que f = x^y^.
Agora faremos uma observa nhas" de uma função g; isto ê, a res de g para a qual p Rng(g) enqua que t ^ Dom(g) e tal que g(t) = q abaixo, de uma função g, as setas gro nhas" de g.
er x e y, respectivamente.
ção a respeito de "barbi- peito de setas p
nto existe t ^ p tal = g(p). No diagrama ssas são as das "barbi-
N,
y /
g
Damos nomes 1 e 2 aos de duas dessas "barbinhas" de g porqi; ê permitido tratar ambas essas setas quer dizer que escolhemos um desses \ de uma "barbinha" enquanto que o out:
vertices que sao origens e, na pratica, nao nos como "barbinhas". Isto ertices para ser a origem o será então considerado
a origem de um "ramo” . (Um "ramo"
"barbinha".) Assim, pelos nossos motivos, g tem realmente
s5 cinco "barbinhas"; g também tem im "ramo" de comprimento
três entrando num 4-ciclo, e um "rí.mo" de comprimento dois
entrando no outro "ramo".
/ / / \
A nossa observação a respeito de "barbinhas"
quer apenas salientar que "barbinhaí;" nunca atrapalham a ca
pacidade de uma palavra W representar uma função tendo essas
"barbinhas"; além disso, tais "barb
presentação de f por W. Mostrar(;mos isto com apenas um
exemplo. Vamos aumentar a nossa ant
"barbinha" 7 '» 6 obtendo uma funçao g ^ 8. Veja o dia
grama seguinte:
é mais comprido que uma
V
.
nhas" podem ajudar a re
ga função f C ^ 7 com a 8.
,4-- -,.5
Ja tendo encontradas as fuições x e y tais que 3 3
f = X y , ê bem fâcil encontrar exteisões X e Y, de x e y respectivamente, tais que g = X^Y^.
g(5) = gC7), ê ütil observar onde y defina Y(7), tal que Y(7) = yC5). Y = y uíC7,y(5)) } = y Uí(7,3) }. No sentamos a função g = X^Y^ onde Y Observe que este diagrama ê um desen grama de f = x^y^, com mais a seta de Y.
t-- ^4^--
3 3 g = X-^Y^
Agora nos apresentamos n
f ^ 7, do exemplo 1. Observamos, oorêm, que ê mais difícil
. r r . 60 60
representar f na forma f = x y de D.M. Silberger usada no exemplo pois, como veremos,
Por isso, já que
leva o ponto 5. Agora Isto ê, seja
diagrama seguinte apre- (7) = 3 = Y(5) e onde X =x, irolvimento direto do dia-
7-^tAA-»>3 que ë elemento
N '2 Y-
jvamente a função
; isto e, que a técnica anterior não ê suficiente.
t c,)Sym(3). Finalmente, ap que generaliza a de D.M.Silberger, e . - , X 60 60
taçao de £ = x y
ex
'4-
Observe-se que a idêia de
h4 = 3. na forma h
{x4,y4}CPrt{3,4,5,6}, a £unção =
hj = ^3^7 3^ para {x^ ,yj} ^ P r t (3) e e
junto com para obter a £unção f
Em primeiro lugar, temos pela proposi
Prt (4). Ja que h4 = r4 segue,por \ h4)Prt{3,4,5,6}, e portanto o |-^60y60 • h4)Prt{3,4,5,6}. Em segun
{a,b}^Prt(3) tal que c^ = a^^b^®.
segue que { a , b } Q S y m ( 3 ) . Mas, para 60, 60 • j ^•z T r • que a b = id 3 c,. Logo, (x
resentamos outra técnica. que produz uma represen-
emplo 1. ^2 escrever a £unçao 60 60 = ^4 y4 para (0 1 2) na £orma ntao ''costurar'' h.
nao ê mais possível,
ção 4.2 que (x^y^ t r.)
[6 ; Lema 1.14], que
bviamente que
do lugar, se existe
entao pelo lema 1.3
{a,b}cSym(3) ë claro
Cj = hj. já que nao podemos representar nem nem na forma nao há mais nada
. 60 60 f na forma x y
Mas isto não implica que Podemos esc
ma f = gu{(2,0)} conforme o seguinte diagrama; ÿara "costurar".
ê impossível representar lever a função f da for-
3.-- ^4.-- ^5,-- ► 6 — — g
Alem disso, pelo teorema
g = 3. •0. ■h
na forma g = para {X,Y} C
X = (3 5 0 2 4 6 1) e Y = (0)(1 )(3)(4) (5) (6) [2] , onde o símbolo [2] na função Y diz que
4.6, a função
pode ser representada Prt(7). De fato, sejam
Y(2) = 00. Note-se que g = está indicada no diagrama abaixo.
•6* 0^ Y.
O (/ O
g = X ^ V ®
Já que Y(2) = « = g(2) ,
de uma extensão y de Y de tal fo :ma que 2 C Dom(y). De- (i
podemos definir a vonta-
, „ , 60 60 h na forma h = x y
, 60 60 1
Ja que Cx y r3)Prt 60 60 ~
que X y nao representa nem Oi 2 e nem 13* ■12^
•1 .
^^60 60 ^ r4)Prt(4), vemos que x^^yTambêm, desde que
50 -
nao representa 13. ^12.
■1
2 e nem 6'(x^^y^® ,, r^)Prt(5); portanto, x^^y
5'-- ►S. Outra vez, ï>0 111 •5 e nem 10»- ^ . 60 60 1 mente (x y ►1i- r^)Prt(6) ; donde se •■2i-- ►3i-- ►4i-- ►S e
60 senta Ok-
4t-- ►S. Tambêm lembramos que x 3-ciclo (3 4 5).
„ - 60 60
Entao sera que x y
Representa, sim! Lembrando que ( que x^^y^® representa 13t-- ►Hi---► Tambêm, jã que (x^^y^^ r2)PrtC2),
senta 8»-- e 10«--- ►Q. Então iodemos "costurar" as re presentações destas três ultimas funções, e assim obter uma representaçao para na forna = x°^y°^, onde
ê a função do diagrama seguinte:
3), facilmente, vemos •1 I-- ^2 , nem
nao representa
9i-- i-3^- 5. Nova- 60 60 -
i/'e que x y nao repre- nem 8
60
nao representa o
]iao representa h?
c60y60 ry)Prt(7), vemos ■5. 60 60
temos que x y repre-
10 \
12
\
13 \ //
No diagrama acima de que resultam do processo de "costurque "barbinhas" não atrapalham, pode nos estender e nas tal jeito que h^ fique funções x e y, respectivamente, de
aumentada pelas "barbinhas" 0--'Vv<^ Assim, conseguimos a representação d
Nenhuma das técnicas usa representaçao para a função d, abai com {x,y}^Prt (6) .
Oi-- ►l.
Questão I: Existe uma representaçã d = x^^y^® com í x , y } g Prt(6)?
Questão II: Se a resposta a questão acontece com o aumento de d por um onde entra essa tal "barbinha"? P
as setas grossas são as ar". Agora, lembrando
ias anteriormente dara uma _c j 60 60 !co, na forma d = x y
3 da funçao d na forma
I for negativa, o que Î "barbinha"? Importa Dr exemplo, se
dU{(6,1)} = tiver solução em Prt(7), entao dU{(6,p)} também tem solução em
p {1,2,3,4,5}?
Questão III: Se nenhum duí(6,p)} para cada p
C
{1,2,3,4,5}, então qi necessárias? Sabemos por [4;Theore infinito de "barbinhas" colocadas, a que resulta tem representação. Ser; tais "barbinhas" é suficiente?Prt(7) para cada
tem solução em Prt(7) antas "barbinhas" são m l ] , que com um número
transformação infinita que um número finito de
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