Uma condição suficiente para a palavra yn xm representar ramos

Esta dissertaçao foi ji obtenção do título de

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

'UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA A PALAVRA

AGRADECIMENTOS

Ao professor Donald Morison Silberger pela sua orientaçao, dedicação, paciência.

Ä Vera, pelas horas qu pudesse realizar esta dissertação;

A Universidade Federal sibilitou a realização deste trab

despreendimento e amizade;

e dela me separei para que

de Santa Catarina que pos-alho ;

Aos responsáveis pela ninha formação, meus pais. meus professores da primeira serie

ultima disciplina do Curso de Pos-Craduação;

do Primeiro Grau até a

0 meu sincero

função

RESUMO:

0 resultado principal des Oi-- t---- -»Z»— . »-3*—— ► . . . h-expressa na forma y^x"' para fun { x , y } Ç k x k se o terno (k,n,m) for "justo". ta dissertação ê que a k-2i-- ►k-l pode ser ções X e y com ie inteiros positivos

ABSTRACT;

The main result of this d the function Oi---►!!---►2i— — ►Ss---be written in the form for f with {x,y}Ckxk if the triple (k,n tegers is "fitting” .

issertation is that

— can

unctions x and y ,m) of positive

in-ÍNDICE Introdução ... 07 Capítulo I - Generalidades Capítulo II - Historico '09 19

Capítulo III- Técnica de represent justo ... ir r,=Y^X^ com (k,n,m) rn„m Capitulo IV - Y X representa r^^ £or justo ... 25 sempre que (k,n,m) 54 Capitulo V - Y X representa r^^ justo ...

sem que (k,n,m) seja

Capítulo VI - A importância de X

Bibliografia

68

76

INTRODUÇÃO:

. ,Lj) for uma palavra, Quando W = W , L2 ,

elemento do monoide livre c'lL? gerjado pelos j geradores livres distintos ,L2,••.,L j ; e

então dizemos que W é universal Dara S se, e somente se. S for um semigrupo.

para cada f ^ S existe uma subst ,L2 , . . . ,Lj } em S tal que W(;: que W ê J '-universal quando 3 ^ e para cada Té. temos qué W ê

-tuiçao L^i

•fi de

1,f2,...,fj) = f. Dizemos é uma família de semigrupos

universal para T.

0 nosso trabalho aplic£-se na tentativa de deci-ersais e quais sao Prt- se de todo monóide simê-dir quais palavras W são Myc-univ

universais, onde Myc denota a cias

X _ _

trico X = {g : g e funçao com R n g ( g ) ^ X = Dom(g)}, e onde Prt denota a classe de todo mon5ide Prt(X) = {g : g ê fun­ ção com Rng(g) u D o m ( g ) C X}. Importante nesta area e a estipulação das palavras W tais q

solução em Prt(k), onde k = {0,1, função "ramo" 0*---i^li---**2i--

►St--je a equação W = r^^ tem ?,3,...,k-1 } e é a

... <--- ►k-Zi-- ►k-l .

rias para { a , b } C P r t ( k ) tal que

No teorema 4.1 estabelescemos condiçoes

necessâ-esse teorema para estender o resultado de Osvaldo Momm [6]

6. . 6

que a equaçao = Y ^ nao tem s

6. 6

que a equaçao r^ = y x tambem não

r, = y^x^ tem solução para todo k finito com k ^ {3,4}. Utilizamos

olução, mostrando assim tem solução, mas que

0 nosso principal resiiltado ë o teorema 4.6, n. m

em que mostramos que a equaçao rj^ Prt(k) se o terno (k,n,m) é "jus "justo" esta definido nesta disser parece quase uma equivalência. Ac nos dara um método para demonstrar

= yx"' tem solução em to". 0 conceito de tação. 0 teorema 4.6 reditamos que esse teorema

a nossa conjetura seguinte: sitivos, existe inteiro . Para cada par (n,m) de inteiros po

N(n,m) tal que a equação r^, = y^x ” tem solução (x,y) C (Prt (k) ^ sempre que k > N(n,m).

CAPÍTULO I GENERALIDADES

No presente capítulo co ções e definições que usaremos nest apresentamos algumas proposições e posteriormente, nesta dissertação.

locamos notações, conven- e trabalho. Além disso,

lemas que serão utilizados.

1.1. NOTACOES: {0,1,2,3,... }. Para todo k C. w , Utilizaremos oj 0 símbolo Z k representa o

para denotar o conjunto denota u (j {-k : kÇü)} conjunto {0 ,1 , 2 ,..,,k-1}

com m < n, é claro que Para S e T conjunjos, SvT denota

{ x : x C S e x ^ T ^ . Assim, (jNk = {k,k+1,k+2,k+3,...} para cada k £ w ; e para {m,n} ^ u

n^m = {m,m+1,m+2,m+3,..., n -1}.

Para um conjunto arbitra indica o número cardinal de M.

k £ w temos que |kl = k, e que facil ver que n>m = n-m sempre q

rio M, a expressão M Desta forma, para cada

= Também é

ue m < n e que {m,n}Co). Quando m C Z si e n C

significa que n = km para algum bém dizemos que m é um divisor ou é um múltiplo de m. Usaremos m çao m n.

Seja

Z, a expressão m n k ^ Z . Neste caso tam- am fator de n, e que n

1 para negar a

proposi-(j) M = {n^ : i £ k } Ç Z N l . Então entendemos por máximo divisor comum de M o elemento máximo do conjunto {x ; x £ w\1 e para cada i ^ k } .

"i

vazio Z\1. usaremos a expressaci Da mesma forma, entendemos por minime conjunto M o elemento mínimo do cc X para cada i C k}. A expres denota o menor múltiplo comum do con; Seja k, ^ (ü\2. Então fator primo de k, e M(k) denota

Seja {m,n}Çw\2. Entã ë dito par de Ehrenfeucht se, e somen M(SCm))

’^2’... ’^k-1 ^ * múltiplo comum do mesmo njunto {x : x C “ ^1 e são [nQ ,n^ ,.... ’^k-1 ^ unto M. S(k) denota o menor [2,3,4,... ,k]. 0 o par ordenado (m,n) te se, M(S(n)) ?m+1,2n+1) ë par de n. É fãcil observar que (

Ehrenfeucht e que (2m,2n) não o ê sempre que {m,n}<^cj\1. Alem disso, (m,n) ê par de Ehrenfeuclit se, e somente se,

(n,m) também o é.

m

Sejam X um conjunto arl Chamamos mundo de f e indicamos por Wrld(f) = Dom(f) U Rng(f), onde Dom para algum y ^ X} e Rng(f) = {y : (x X C X}. Para A um conjunto qualq indica o conjunto (AxX) n f, e a expr conjunto {y : (x,y) C f para algum

Dizemos que a relação biná e somente se, |f[{x}]|á1 para qualque função e x él Dom(f), o único element

itrârio e f ^ XxX. Wrld(f) ao conjunto

(f) = {X : (x,y) ^ f ,y) C f para algum uer, a expressão ffA sssão f[A] denota o X C A } .

ria f é uma função se,

X . Para f uma

) do conjunto f[{x}] ê s a imagem de x por

Para indicar que dito a imagem de x por f. Denotam(|)

f com uma das expressões: f(x) ou f^ x ^ Dom(f) escrevemos f(x) =

{(x,x) : x < X } . A função idfx c de ou a,permutação identidade d Utilizamos Prt(X) pa { f : f ê função com Wrld(f) S X } .

hama-se a função identida- X.

ra representar o conjunto Os elementos de Prt(X) são ditos transformações parciais de X. Dizemos

f £ X se, e somente se, f £ Prt :x) e Dom(f) = X. elementos de X são ditos transfcirmações de X.

que Os Chamamos* f permutação de X se, e somente

ção bijetiva de X. Usaremos junto de todas as permutações,de X.

Dada uma relação binãri que o digrafo de (x,y) ê a figura grafo de f ê uma figura obtida da

se, f ê uma transforma- ym(X) para indicar o

con-f e Cx,y) á f, dizemos x->-y. Assim, o d i -reunião de todos os dígra-fos dos elementos de f. Por exomplo, o dígrafo da relação binária f = {(0 ,0) , (0 ,1),(1,2 ) , ( 2

Q u a n d o k è w s 2 , c h a m a m o s p r i m e n t o . k - 1 e a n o t a m o s p o r r^^

= {(jjj + 1^ : j € ( k - 1 ) } c u j o d í g

0 í---> 1 1— ^ 2 1--- ^ 3 ^ ....

Observe que Dom(rj^) = k Portanto C, Prt(k).

Seja k C üj\1 . Chaman

3),(3,2)} ê:

função "ramo” de com- à função

rafo ê;

I-- »k-2 I-- >k-1

1 e que RngCr^^) = k\1 .

ão f cujo dígrafo ê da

Isto quer dizer que, para (Xi f da figura acima ê : i

^ k } | = k ç ü3\1, a funçao

£ ( k-1 ) } U { , Xq) } .

Se f ë o ciclo acima, então ê evidente que f =id['X Alem disso, f^ = i d s e m p r e que k

ver f ,= (x^^^ . . .Xj^_^ ^0 ^1 •*' ^i^ f ê uma permutação cíclica de X se Usamos o símbolo c^^ para designar o

(0 1 2 3 4 .... k-2 k-1) .

Sejam f e g duas relações para indicar a relação binaria {(x,z) Cy>2) ^ g para algum y}. Isto é, que alguns autores escrevem g o f.

p. Também podemos escre- para qualquer i ^ k. Esta

Wrld(f) = {x. : j ^ ,k}= X, k-ciclo canônico

binárias. Usaremos gf : (x,y) ^ f enquanto gf é a composição usual

1.2.LEMA: Sejam f e g relações binárias. Então a) Dom(gf) Dora(f) .

b) Rng(gf) C Rng(g).

Demonstração: a) Seja x C Dom(gf). Então existe um elemento y tal que (x,y) ^ gf. Por definição, existe um elemento z tal que

X é Dom(£). Portanto, Dom(gf) bl Seja r C RngCgfl. que (t,r) C g£. Por definição, (t para algum s. Desde que (s,r) C Portanto, Rng(g£) < ^ R n g ( g ) . 0

Dom(f) .

Então existe t tal s) ^ £ enquanto (s,r)^g g segue que r C Rng(g).

1.3. LEMA: Seja X um conjunto £ini £ormação ou injetiva ou sobrejetiva,

to. Se f ê uma trans- então £ C Sym CX).

Demonstração: Seja £ uma trans£oriiação injetiva de X £inito'. Vamos mostrar que Rng(£) X. É evidente que Rng(£) ^ X. Desde que £ ê injetiva, temos que

Dom(£) Rng(£)

Rng(£) X

Mas como Dom(i) = X, temos que Portanto, ja que í

Rng(£) X segue que RngC£) = X. Agora suponhamos que £ é Rng(f) = X e assim jDom(f)

{x,y} ç X tal que x ^ y e tal qu X = Rng(£f(X\{y})) enquanto |Rng(£) ê £inito e que sobrejetiva. Então Rng(£)|. Mas se existe 3 £Cx) = £ (y), então iRngCffCXvíy}))

X\{y} X pois X ê £inito; e isto ê uma contradiçao. Logo concluimos que £ ê injetiva.^

1.4. DEFINICAO: Dizemos que duas rei são isomor£as e anotamos £ = g se, d jeção h : Wrld(g) i--- >Wrld(£) tal q

ções binarias £ e g somente se, existe bi- ue £ = hgh” ^ .

1.5. DEFINICAO: Seja X um conjunto. Seja F C SymCX). Dizemos que F é disjunta como permútações e anotamos dcp se, e somente se, para qualquer par

£ e g de F ou X = g Cx) .

temos que para caca x C X

de elementos distintos ou X = £(x)

1.6. LEMA: Se (n,k) = 1, então ex n

£ e cíclica.

Lste £ C Sym(k) tal que

Demonstração: Seja (n,k) = 1 . Po inteiros x e y tais que nx + ky

-n Seja £ = c^. Então c^ = £“ , e que a permutação £ do conjunto k t

se £ não £osse cíclica então £^ tabbém nao seria cíclica. [1; Theorem 1] existem = 1. Segue que

(cJ)'^.Cidf'k) = CcJ)"^. £ C Sym(k). Observe ambêm ê cíclica, pois

1.7. DEFINICAO: Chamamos uma £amília polente se, e somente se, A B se

não vazia ^ de equi- lapre que {A,B

Quando ^ ê equipolente, então j | 3^ |] denota todo A ^ •

pa ra

1.8. DEFINIÇÃO: Seja {k,m,n} C uvZ. terno (k,n,m) ê justo se, e somente X do conjunto k-1 tal que ou C|x

Dizemos que o se, existe partição

que

1. F é equipolente.

2. [f] é fator de m. 3. (m/ÍFl,1iFjI) = 1.

Salientamos que a definiç mente a condição que é a hipótese do 4.6.

ao 1 . 8 indica exata- nosso teorema principal •

nos um alfabeto finito a z* o monoide livre Os elementos de e*

soletradas com as le-1.9. Estudo das Palavras: Considere

e arbitrário E = {A , B ,C ,....}. Sej gerado pelas letras do alfabeto z. são as palavras finitas que podem ser

tras em E , e são denotadas por letfas gregas minúsculas. 0 símbolo <j) significara a palavra va;ia. A operação bina­ ria em z* é simplesmente a concatena

palavras a e B são consideradas igua soletração de ct é exatamente a soletr

çao das palavras. Duas is se, e somente se, a ação de 3; e anotamos a = n n-1 a = a a Para a £ E* e e a° = (j).

definimos, como usual,

Exemplos: 1. A operação concatenaç pois, se a = AB e p = AABA então

Pa = AABAAB.

2. Se A = ABAB =(AB)^ e

10 não e comutativa; aß = ABAABA enquanto

ÀT = tX. Por [11; Lema 1.12], te comutam se, e somente se, são potênci 3. ct(l)= (|)01 = CX , para quaq

mos que duas palavras as de uma mesma palavra uer a ^.E*. como sendo Definimos o comprimento d Assim, |é = 0, n = n. L £ z e s e a = L , entao

{a,ß} Z* temos que |aß

Exemplos; 4. Se a = ABBAÀB = AB^A^B 5. Se ß = BBAB = B^AB, eii 6. Se Y = BAABBBA = BA^B^i

Se ct ê uma palavra, entãc palavra a escrita na ordem inversa, a = AB^AB então ã = BAB^A.

uma palavra a ^ = 1 para qualquer Além disso, para

entao

tão = 4.

, entao y = 7 .

denotamos por ã a Por exemplo, se

1.10. Complexidade de uma palavra: ,n(0) , n ( n ,n(2) ,n(3)

a - Lo L^ 1^3

{n(i) ; i C k.}Çcú\1 e ^ sempr Então dizemos que a tem complexidade

Seja a C E* tal que n(k-2) n(k-1) ^ ^k-2 ^k-1 3 que i C { j -1,j + 1} ^ k k.-2 3 Exemplos: 1. a = AB A B e de complex mos: Lg = L2 = A, L^ = Lj=B, n(0) = i n(2) = 3.

2. g=B^A^ ê de complexidadé dois. Neste caso. dade quatro. Em a te- (3) = 1 , n(1) = 2 e

Lq = B, = A, n(0) = n > 0 e n

3. Y = B^A^^B^ é de compleí = A, n(0)=n > 0, n(l) = m > 0 e

Neste trabalho consideramos de complexidade dois. Um tratamento complexidade se encontra em [1 1; § 1

1) = m > 0.

;idade três e Lq = = B, n(2) = j > 0.

principalmente palavras mais formal da noção de .16] .

1.11. Universalidade de uma palavra: finito, M um monoide e x C M. Diz

Sejam E um alfabeto mos que uma palavra

a C T.* representa x em M, e anotamos (a+xlM se, e somente se, existe um homomorfismo ^ : E*,

Agora, se a ^ E * , S for uri semigrupo e x C S, H tal que = x.

dizemos que a ê universal para S, « plesmente universal para S se, e somer do X £ S.

Quando S é uma família de uma palavra a ê F^-universal se, e todo elemento finito S ^ Dizemo universal se, e somente se, a + iS infinito S é. ^ . Se a for ambos I^-universal dizemos que a ê ^ - u n

Em nosso trabalho interessam lias de monoides:

1. Prt = {Prt(X) : X

anotamos aiiS ou sim- te se, (a-t-x)S para

to-semigrupos, dizemos que somente se, a ü S para s que a palavra a ê

para todo elemento F^-universal e Lversal.

mais as seguintes famí-

2. Myc = {^X : X ë conjun to}.

CAPÍTULO II HISTÕRICO

Os primeiros conceitos b|sicos sobre Termos Univer­ sais foram introduzidos por volta de 1964 por Jan Mycielski. Ja em 1966, o Boletim da Academia Pclonesa de Ciências publi­ cou o artigo de J.R.Isbell [4], que

Termos Universais. Neste artigo,

teoremas 2.2 e 2.3, formulou algujmas perguntas e respondeu uma delas.

foi o primeiro tratando de J.R.Isbell demonstrou os

2.1. DEFINICAO: Uma palavra B cham vra a se, e somente se, 0 <

e p tais que a = = &p.

i-se um bordo de uma pala- e existem palavras X

Dizemos que um bordo g de assim 6 ^ <t> ê bordo curto de a se ^xiste a = gTg.

2.2.TEOREMA: Se a não tem bordos c universal.

a e curto se B á -a. tal que

urtos, então a é

IMyc-Dizemos que uma permutaçao

2

lução de X se, e somente se, f = i

f C Sym(X) ê uma invo-i [ x .

r

'X. Seja {i,n,p} ^ üj\1 , 2.3.TEOREMA: Sejam X finito e f C

onde n = p^ e p ê primo. Então, ^xistem g ^X e uma involuçao h de X tais que f = g^h

0 teorema 2 . 2 ê uma ge construção facil por meio da qual I

ê universal para

Qeralização natural duma 2 2 ;bell observou que B A

Com outro argumento faci

>2 , 2

que B A nao e FMyc-universal, po

2

, Isbell mostrou também

2 , 2

C2 em lavra

'2 .

s B A não representa Segue-se, sem dificuldade, que existe uma pa-que é IMyc-universal mas que não é FMyc-universal.

Pelo teorema 2.3, J.R.I é FMyc-universal. Ele observou que

2 2

-sal, ja que A B A nao representa s ta {(i,i+13 : i Ê ü)}. Assim, vim FMyc-universal não tem que ser

IMyc-0 teorema 2.3 também imp ;^2j + 1gn^2i FMyc-universais para

V

n = p , com k é w e p primo.

2 2

sbell concluiu que A B A 2 2 - -

A B A nao e IMyc-univer-em “u, onde s^ deno-DS que uma palavra

jniversal.

ica que A^^B^A^^"^^ e cada {i,j}^üj com

• J.R.Isbell também mostrou são FMyc-universais, e perguntou se e Myc-universais.

Em 1972, na sua tese de do obteve a seguinte generalização do teo

2.4.TEOREMA: Seja X infinito. Sej

que BA^BA e BAB^A stas palavras sao

utorado, G .F .McNulty[5] rema 2.2 de J.R.Isbell

que para {a,B} C P acontece que, n de B, nem existe t (j> tal que mento a direita de a e segmento à

X -

-£:P»-- X uma funçao arbitraria.

--- »’'X

em a e segmento proprio ê, simultaneamente,seg- ssquerda de 3. Seja

ntão existe um

homomorfis-mo tal que ^ £ 1^? =

Observamos que a hipotes P no teorema 2.4, implica que nenhi

Em 1973, D.M.Silberger[8

do teorema 2.2 de J.R.Isbell.

2.5.TEOREMA: Se a ê uma palavra q a ê IPrt-universal.

, a respeito do conjunto m elemento de P tem bordo,

] faz outra generalização É o seguinte:

ue nao admite bordos, entao

Em [9], D.M. Silberger d<;monstrou o teorema abaixo que ê de fundamental importância, mot

sentação de ramos:

vando o estudo da

repre-2.6. TEOREMA.: Seja a £ E * . Então o] é Prt-universal se, e somente se. Ca + f) Prt (Wrld (f)) parla toda função f que ê injetiva e conexa no sentido de que f seja grafo direto.

Dentre as conseqüências de contram em [9], mencionamos as seguint

(i) B^A^ e B^A^ são Pr (ii) b"^A^ ê Prt-universal

3te teorema e que se en-3S :

:-universais.

(iii) e B^AB^+ 1A são Prt-universais para todo k C (*)•

Observamos que a afirmação numa resposta afirmativa à indagação d das palavras BA^BA e BAB^A.

Em 1977, A.Ehrenfeucht e aperfeiçoaram o teorema 2.3 de J.R

2.7.TEOREMA: Seja n um inteiro positivo contendo um menor ,k (iii) acima implica

J.R.Isbell a respeito

D.M.Silberger [2] Jsbell, com

fator primo impar p. Seja k o mai divide n. Então, as afirmações segv

^ ^ k+1

I • 2 < P •

or inteiro tal que 2

intes são equivalentes:

2. Para cada X finito e

X *

existem g C ^ e uma involuçao h de

Para todo k^cü\2, a expres o menor fator primo de k, e M(k) den comum dos elèmentos do conjunto {2,3,4 resultado principal de [3] generaliza 2.3 de J.R.Isbell.

para cada f ^ X, X tal que £ = g % .

são S(k) representa Dta o menor múltiplo ,... ,k}. 0 seguinte completamente o teorema

2.8.TEOREMA: Seja {m,n}^uA2. As seguintes afirmações são equivalentes:

1 . M.(SCm))‘ n e M(S(n 2. B^a’^ é Myc-univerèal. 3. B^a’^ é FSym-unive^sal .

Apresentamos, agora, um aperfeiçoamento introduzido por D.M.Silberger [10] do teorema ant e n o r :

2.9.TEOREMA: Seja {m,n}^cD\2. A são equivalentes: 1. M(S(m))tn e M 2. b’^A^ ê Prt-univ s seguintes afirmações S(n)) ‘ m. ersal. 3. B^a’^ ê Myc-universal 4. B^a’^ ê Sym-universai

0 teorema abaixo ê um res Margaret Weems Harris [12] em sua tes

altado obtido por Î de mestrado em 1977

2.10 .TEOREMA: Sejam {m,n}Sü)v1 e a’^B^ Prt-universal Então, B^A™ ê Prt-universal.

Também é interessante menci centrais da dissertação de mestrado d em 1980. Os mesmos tratam da represen

onar dois teoremas e Diana dos Santos[7] tação de ramos.

para todo k ^ w\1 . Então, a FPrt-universal.

2.12.TEOREMA: tambem o ë.

Se A^B®A^ FPrt-ui

Finalmente, apresentamos im resultado obtido por i versai, então A^b’^A^

Osvaldo Momm [6], em sua tese de mestr resultado da resposta negativa ã segui berger: Para todos inteiros positivo

ado em 1980. Este nte pergunta de D.M.Sil- s n,m e k temos que CbV rj^)Prt(k)

2.13.TEOREMA: (B^A^ í r^^PrtCS)

No capítulo IV, mostramos Alem disso, provamos que, para todo k

(BM(k)AM(k)^ rj)Prt(j) para qualquer

implicando fortemente a veracidade da (}:onjetura do Osvaldo Momm [6] de que (B^'a^‘ Í r^)Prt(k).

Lambêm que (B^A^t r4)Prt(4) C ü3v3, acontece que

CAPÍTULO III - Técnica de representar r,=Y X com (k,n,m) justo

Neste capitulo apresentambs alguns exemplos de funções X e y em Prt(k), tais que

ê satisfeita sempre que o terno (k,n assim, detalhadamente, a técnica usad X e y

a equação r^^ = y^x^ ,m) é justo, mostrando

1 para a determinação de*

Inicialmente apresentamos a funçao r^^

= 1 5 , n = 6 0 e m = 3 0

Oi— ►! h—^2i— »-3i— »A*— >5>— >6'— >7>— >8'— >9' Diagrama 1.1: r^ ^ Consideremos a partição x do conjunto k-1 = 14, com Xq = {0,1, X2 = {9,10}, X3 = {11}, X4 = {12} e ->10«— >11'— >12'— >13*— >14 = {Xq ,X^,X2,X3,X4,X3} 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , X, = { 7 , 8 } ,

Para cada i C 6 = x coias permutações f^ ^ Sym(X^): fg = (0 1

f2 = (9 10), fj = (11), f^ = (12) e que o conjunto X^ ê simplesmente o d

Xg = {13}.

ideremos as seguintes 2 3 4 5 6), f^ = (7 8), fg = (13). Observe jmínio de f ^ .

^0

Diagrama 1.II: As funções f^ pa

10

2 a cada 11 12 13 C^ O' h Í4 Í5 i C 6 = X . 14 Seja Yq = {Xq}, Y^ = {X

Observe que Y = {Yq,Y.^,Y2} é uma cor Para cada j C 3 = Y

permutações hj £ SymCUYj): hg = (C = (7 8) (9 10) e h2 = ( H ) (12) (13) Dom(hj) = u Y j para cada j £ 3 = |y

.X^) e Y, = fXj.X^.Xj} jjartiçâo de X.

sideremos as seguintes 1 2 3 4 5 6),

Observe que

Diagrama 1.III: As funções para

Como C^/ Y. , Y. ) = 1 , para cada j C 3 =1y| que existe perm

tal que u. s }i tal que u- = h--'

J J m) J tal que u^ .

10

11 12 O 13 O 14 cada j C 5 = |y

pelo lema 1.6, temos ataçâo Uj de ÜY^

ira algum inteiro x 3

Neste exem])lo, tais podem

ser: Uq = (0 4 1 5 2 6 3 ), u^ = (7 8)

Note-se que Uq = hg , isto e; Xq = -3

9 10) e U2=(1 1) (12) (13) m

/ Y,

„30 _ u

Uq - hp. Além disso, é fãcil obse

m = hj e que u^ / Y. 30/2 = u. = u.15 m / Y, para qualquer inteiro X2 e U2

Observe que Dom(Uj) = Dom(hj) = ijYj

rvar, neste exemplo, que

h^ . Também U2 = h2‘ 30/3 10 , U2 = U2 = h2-3ara cada j ^ 3 = Y 0^ K 2 3 4 .5 u, u.

Diagrama 1.IV: As funções Uj para

Seja Hj uma permutação cíclica obtida de *^^j pela intercalação de todas as componentes cíclicas de U j . Assim, tais Hj podem ser: Hg = (0 4

11

12

13

O 14

u-cada j ^ 3 = ]Y |.

1 5 2 6 3),

H^ = (7 9 8 10) e H2 = (11 12 13). Observe que Dom(H^) = Dom(Uj) = Dom(hj) = u Y ^ para cada j é. 3 = Y

H,

H-10 11 12 13 ^ 1^ -- ---^ 14

Diagrama 1.V: As funções para

Agora consideremos x = uíl"

H, cada j ^ 3 = jY

Consideremos a partiçao X do conjunto k-1 = 15 com Xq= {0,1,2 X2= {9,10}, X3= {11}, X^= {12}, X^= cor Para cada i ^ 7 = |x permutações € Sym(X^): £q= ( 0 1 2 3 Í2 = (9 10), £3 = (11), £4 = (12), Observe que o conjunto X^ ê simplesrae que em relação ao diagrama 1.II aprese ponto fixo. = {Xq,X^,X2,X3,X4,X3,X^} ,3,4,5,6}, X^= {7,8}, {13}, Xg= {14}. sideremos as seguintes 4 5 6), £^ = ( 7 8 ) , 5 = (13) e £g = (14). nte o domínio de £^ e ntamos apenas mais um

^0 ^1 ^2

Diagrama2.II: As £unções £^ para ca

3 ^4 ^5 ^6

da i C 7 = X

Sejam Yq = {Xq}, = {X^ Y3 = {X3,Xg}. Observe que Y = {Yq, ção de X.

Para cada j C 4 = Y conl permutações hj C Sym(uYj): Hq = ( 0 = (7 8)(9 10), h2 = (11)(12) e h que Dom(h.) = UY- para cada j C A =

J •) ,X2}, Y2 = {X3,X4} e ^ 1 ’^ 2 ’^3^ é uma parti-sideremos as seguintes 1 2 3 4 5 6 ), (13)(14). Observe Y .

0 1 2 3 4 5 6 7^ 8 9 1 0

^ ÍS— ^ »V_^ _(>

DiagramaZ.III : As funções hj par^ cada j ^ 4 = |y

Como C^/\y . I , I |y^ I |) = 1 ,

para cada j 4 = Y que existe permijtaçao u^ de U Y^ i

tal que u^ = m// Y,

e tal que u^ ^ = h j . Neste caso.

Uq = (0 4 1 5 2 6 3) , u^ = (7 8) (9 10

1 12 13 14 15 C/

pelo lema 1.6, temos

U3 = (13) (14) . Observe que,neste ex

ra algum inteiro

tais Uj podem ser:

, u, = (1 1)(1 2) e

emplo, Uq = h“^.

isto ê; x^ = -3, e que u.

m/ Y 30/

fãcil observar que u^ = e que u^

Alem disso, U2 = h2 e par m/lY. ^2 ® ^3 também U2 30/2 = u. 30/2 ,15

u^ = u, = h^. Observe que Dom(u.)

cada j C 4 = ]Y j. - hQ. Também é /IyJ 30/2 15 = u^ = u,| = . a quaisquer inteiros 15 , ^2 " 2 ® ^3 = Dom(h^) = U Y j para 0 1 2 4 5 ,6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C/ u, u. u. 2 ^3

Para cada j C 4 = Y conside çao cíclica de U Y ^ obtida pela inte componentes cíclicas de U j . Assim, Hq = (0 4 1 5 2 6 3) , = (7 9 8 10) , H3 = (13 14). Observe que Dom(H^) =

remos uma permuta-rcalação de todas as . tais podem ser;

H2 = (11 1 2) e

Dom(u-) = Dom(h.) = U Y . para cada j ^ 4 = |y|.

0 1^ 2. 3^ 4 5 6 7 8^,9 1Q 11 12 13 14 15

H,

Diagrama2.V: As funções para ca

2 “ 3

ia j é. 4 = IY I .

Agora consideremos a £un isto ê: X = (0 4 1 5 2 6 3)(7 9 8 10)(1 Observe que x ^ Sym(15) = Sym(k-I).

Construiremos, agora, a traji sideremos o conjunto H = {7,9,11,12,13 g^ = (7 9 11 12 13 14 15) uma permutaç

g-Diagrama2.VI : Função g^ e as funço

H. íao X = U : j é. 4 }, 1 12) (13 14) [15] . sformação y. Con- ,14,15} e ío cíclica de H. s para cada i é. 7

Observe que propositadament do conjunto H para conseguirmos H

(7,60) = 1 e, pelo lema 1.6, existe j de H tal que g^^ = g^. Neste casc g2 = (7 11 13 15 9 12 14), e então obse

§2

0 1 3 4 5 6

Diagrama2.VII : Função g2 obtid.

Agora estendemos estrategic para uma função g^ que não ê injetiva tal extensão ê de obter uma função g^ no conjunto H, mas introduzindo o pont da extensão de g2* Com isso, quere que §3(0) = 5 neste caso esta c g2(15). Portanto, definimos g^ = g g2 U {(0,9) }.

Diagrama2.VIII : Função g^

Antes de acabar a construça exemplo, explicamos mais detalhadamente

e excluimos o ponto 0 = 7. Assim, (1HI,n)= ermutação cíclica g2 , podemos utilizar rvar que g2 = g^. 11 12 13 14 15 de g. . amente a permutação g2 0 nosso motivo para concordando com g2

o 0 dentro do domínio mos tal gj de forma ondição ë que g3(0) = 2 ^ 1 ( 0 , g2(15))} =

12 13 14 15

o da função y neste como servira esta

ex-tensão de g2 obtida pela reuniã binha” (0,g2(15)) = (0,9).

Observe-se que 6 C Dom( 6 ^ Dom(g2*^x^^) , pois x^®(6) = 0 Dom queremos y^^(O) = y^®x^®(6) = r^^(6) = uma extensão de g2> com Dom(y) = 16. então, uma extensão preliminar de g2, ção de y. Ainda, desejando que y60 que a nossa definição de g^ dâ que y

Agora definimos y = g j ^ Note-se que a transformação y ê uma p k\1 unida com a "barbinha” (0,g2(15))

y a Q Q C i Q Q ^ / Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Diagrama2.IX: Função y. D de §2 com a "bar-r^ , mas que (g2). Alem disso, 7. Esta y sera A função gj é, e §3 ® restri-(0) = 7, observamos °(0) = g3°(0) = g^°(15)=7 { (v,v) : v C (kNl)\H} ermutação do conjunto = (0,9). Finalmente, apresentamos a e y desejadas. Nao é difícil ave

y _{Q. Ci- Q- Q.}

0 1. 2. 3. ,4 5 ^

Diagrama2.X: As funções x e y. 12 13 14 15 s transformações x riguar, do diagrama 11 12 13 14 15

EXEMPLO 3: r. = onde k = 81 , n =

Evitamos aqui o diagrama da

Consideremos a partiçao X = do conjunto k-1 = 80 com Xq = {0,1 X^ = {4,5}, X^ = {6,7}, X. = {8,9}, )( Xg = {12,13}, X^ = {14,15}, Xg, = {16, X^Q = {20,21}, X^T = {22,23}, X^^ = {í ‘11 12 ‘15

1

6

X^^ = {35,36,37}, X^j, = {38 ,39,40}, X^ 18 X20 = {44,45,46}, X^T = {47,48,49}, X 2 1 X23 = {53,54,55}, X, 4 = {56,57,58}, X^ 24 64,65,66,6 7,68,69,70,71,72,73,74,75}, ) X2g = {78} e X^g ={79}.

Para cada i € 30 = |x| cons permutações C Sym(X^): = (0 1) £3 = (6 7), £4 = (8 9), £5 = (10 11), £,^ £g = (16 17), £q = (18 19),

₁₀

= (20 2|), f ^ ^ = (22 23), m = 55440 = 2f3?5.7.11 Í^O’^ 1 ’^ 2 ’’"'’^29^ , X^ = {2,3}, 5 = {1 0,1 1}, 7}, Xn = {18,19}, 4,25}, X^3 = {26,27}, 2 ,33 ,34} , g = {41,42,43}, 2 = { 50 ,51 ,52 } , 3 = {59,60,61 ,62,63,' ^26 = {76}, X,,= {77}, 27' ideremos as seguintes £^ = (2 3), £2 = (4 5), = (12 13) , fy = (14 15) £^2 = (24 25), £,^ = (26 27), £^4 = (28

1

1

29), £^5 = (30 31),

m/9

6160 e 61()0 = 1 (mod3) .

3) u, = h^, isto ê; X, = 6

u™ = U2, jã que m = 55440 s 3(mod17).

u.

4) u, = h,, isto é; X, = 1

Seja Hj uma permutaçao c

pela intercalação de todas as componei|ites cíclicas' de Uj . Assim, tais Hj podem ser: Hq = (0

20 22 24 26 28 30 1 3 5 7 9 11 13 15 1 = (32 35 38 41 44 47 50 53 56 33 36

34 37 40 43 46 49 52 55 58), H2 = U2 + (59 65 71 60 66 72 61 67 73 62 68 74 63 69 75 64 70) e i (76 77 78 79).

Agora definimos a função isto ê: X = (0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 53 56 33 36 39.42 45 48 51 54 57 34 37

(59 65 71 60 66 72 61 67 73 62 68 74 6: 79) [80]. Vê-se que x Sym(80)

m / Y, e u-m / 1 = U2 V Y, Entao u. m 1'i. e u- - U 3 ”"/4 - ,1 1 3, clica obtida de UY ^ ; : 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 19 21 23 25 27 29 31), 39 42 45 48 51 54 57 = UÍH. : j C 4}, 20 22 24 26 28 30 1 3 (32 35 38 41 44 47 50 40 43 46 49 52 55 58) 69 75 64 70) (76 77 78 Sym(k-1).

deremos o conjunto G = {0,2,4,6,8,1 26,28,30,32,35,38,41,44,47,50,53,56,5 g = (0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 2 47 50 53 56 59 76 77 78 79 80) uma pe 0,12,14,16,18,20,22,24, 9,76,77,78,79,80} e 4 26 28 30 32 35 38 41 44 rmutação 31-cíclica de G. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 r V— V _^ ^ V.—

X

"A.

10 11 12 13 X 14 15 1.6 17 20 21 22 23 24 25 ^ "a. X ^ 26 27 28 29 30 31 v _ ^ 38 39 40 41 42 43 Vn__ '44”^ 4 5 __ 46 47 48 49 ' 50" 51 52 54 5 5 "^56^ 5 7 5.8 ' ; 8 69 70 71 72 73 74 -'■*«---^ ^ 75 76 li 77 . 78 7^9 805» /' g

Diagraama 3.III: Função g e as £u

í r

nções para cada i ^ 30,

existe gQ = (0 26 76 16 47 6 32 79 22 8 35 80 24 59 14 44 4 30 78 20 53 10 3 Observe que g^ tambem e uma permutag: junto G e que g^ =

ja que 55440 e 12(mod31).

Neste c

56 12 41 2 28 77 18 50 ) tal que gj = g. ão 31-ciclica do Con­ oco „n 55440 12 aso go = go = go

Agora definimos y = u gQ uidl^(k\G). Tem-se que y C S

Apresentamos, agora, as fu das e que satisfazem a equação rg^ =

X = (0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 1 3 1 5 1 7 1 9 21 23 25 27 29 31 H 3 2 35 3 36 39 42 45 48 51 54 57 34 37 40 43 46 60 66 72 61 67 73 62 68 74 63 69 75 64 y = (0 26 76 16 47 6 32 79 22 56 12 41 24 59 14 44 4 30 78 20 53 10 38)(1)(3) (1 7)(1 9)(21 )(23)(25)(2 7)(29)(31 )(33)(34)(36)(37)(39)(40) (42) (43) (45) (46) (48) (49) (51 ) (52) (54) (55) (S 0 (58) (60) (61 ) (62) (63) (64) (65) (66) (6 7) (68) (69) (70) (71 ) (72) (7:5) (74) (75) . { (v,v): V ^ (k\G)} = y m (81) = Sym(k). ições X e y deseja- >^^x^ com n=m= 55440. 26 28 30 1 3 5 7 9 11 8 41 44 47 50 53 56 33 49 52 55 58) (59 65 71 70) (76 77 78 79) [80] . 2 28 77 18 50 8 35 80 5) (7) (9) (11) (13) (15)

No exemplo 3, conseguimos ijima solução (x,y) C (Prt(81))^ para a equação r^ = y^x^. onde n = m = 55440, de tal forma que y é uma permutação do con­

lia No proximo,exemplo 4, soluc Ioga rg2 = y^x^ de novo para n = m = Mas parece que nossas técnicas nos obri função y de tal forma que y não é u to 82. Tal y vai ser, no exemplo 4 junto 82\1 reunião com uma "barbinha de 82\1.

Neste sentido, o exemplo 3 1, mais simples; e o exemplo 4 é semelha

;.onaremos a equaçao ana-55440 = 2!3?5.7.11. jjarão a escolher uma

permutação do conjun- uma permutação do con- " levando 0 dentro n m EXEMPLO 4; r, = y x onde k = 82 e n = n = 55440 = 2:37 5.7.11. Seja X = {Xq,X^ ^30 c o n j u n t o k- 1 = 81 com Xq = { 0 , 1 } , X. = { 2 , 3 } , X2 = { 4 , 5 } , ^3 = { 6 , 7 } , X4 = { 8 , 9 } , X3 = { 1 0 ,1 1 } , Xg = { 1 2 , 1 3 } , X7 . { 1 4 , 1 5 } , Xg = { 1 6 , 1 7 } , Xg = { 1 8 , 9 } , X^Q = { 2 0 , 2 1 } , ^ 1 1 = { 2 2 , 2 3 } , X ^ 2 = í 2 4 , 2 5 } , x^ 3 = {: : 6 , 2 7 } , X^ 4 = { 2 8 , 2 9 } , ^15 = { 3 0 , 3 1 } , X^g = { 3 2 , 3 3 , 3 4 } , X^ 7 := { 3 5 , 3 6 , 3 7 } , ^18 = { 3 8 , 3 9 , 4 0 } , X^g = { 41 , 4 2 , 4 3 } , X, ,Q = { 4 4 , 4 5 , 4 6 } , ^ 2 1 = { 4 7 , 4 8 , 4 9 } , X 2 2 = { 5 0 , 5 1 , 5 2 } , X , 3 = { 5 3 , 5 4 , 5 5 } , ^24 = { 5 6 , 5 7 , 5 8 } , X2 5 = { 5 9 , 6 0 ,61 , 62 , 6 5 , 6 4 , 6 5 , 6 6 , 6 7 , 6 8 , 6 9 , 70, 71 , 7 2 , 7 3 , 7 4 , 7 5 } , X2 ^ = { 7 6 } , X2 7 = { 7 7 } , X2 8 = { 7 8 } , semelhante ao exemplo nte ao exemplo 2. ,4,2 uma partição do

Jã que (™/1y^ Y. ) = 1

que Uj

/

utação Uj de uYj para cada j C 4 = |y| que existe pe

tal que Uj s , tal

tais Uj podem ser: Ug = h g , u^ = , ^2 = (59 65 71 60 66 , pelo lema 1.6, temos

Neste exemplo.

72 61 67 73 62 68 74 63 69 75

Tambëm ë fácil observar que:

1) Uq = hg, isto ê; Xg = 1

jã que m/16 ë o numéro împar 3465

2) u^ = , isto ë ; x^ = 1

ja que m/9 = 6160 e 6160 e 1 (mod3).

3) U2 = , isto ë ; X2 = 6

u. (h^)^ = = h 2

-4) u, = h,, isto ë; X, = 1

Seja Hj uma permutação cíclica obtida pela

in-tercalaçao de todas as componentes cic

64 70) e Uj = hj. m / Y, m e u. /16 e u.

V I Y^

m /9 = “ / = m / y. m e u. ₂/I ” / Y. Então u-m / y. e u. _{■ U 3} ™/4 ,_{- > 13} icas de u ^ . Assim,

tais podeni ser: Hq = (0 2 4 6 8 1

26 28 30 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

= C32 35 38 41 44 47 50 53 56 33 36

37 40 43 46 49 52 55 58), = (5

73 62 68 74 63 69 75 64 70) e = (7

Agora definimos x = uiHj

X = (0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31)(32 35 38 36 39 42 45 48 51 54 57 34 37 40 43 46 60 66 72 61 67 73 62 68 74 63 69 75 64 0 12 14 16 18 20 22 24 25 27 29 31 ) , 39 42 45 48 51 54 57 34 9 65 71 60 66 72 61 67 6 77 78 79 80) . : j C 4}, isto é : 26 28 30 1 3 5 7 9 11 41 44 47 50 53 56 33 49 52 55 58)(59 65 71 70) (76 77 78 79 80) [81]

Para construirmos a transfo

mesma estratégia do exemplo 2. Cons H = (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 44 47 50 53 56 59 76 77 78 79 80 81) e 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 35 38 59 76 77 78 79 80 81) uma permutação rmaçao y usamos a ideremos o conjunto 28 30 32 35 38 41 g^ = (2 4 6 8 10 41 44 47 50 53 56 31-ciclica de H.

Agora estendemos estrategicair para uma função não injetiva g^. Nc extensão é o de obter uma função g^ c conjunto H, mas inserindo o ponto 0 Com isso, queremos tal g^ de forma qi Neste caso, esta condição ê que §3(0) tanto, definimos g^ = g2U í (0,g2(81))}

Explicamos, agora, como servi de g2 obtida pela reunião de g2 con.

(0,g2(8D ) = (0,26).

Observe que 1 C Dom(rg2^, n pois x™(1) = 0 ^ Dom(g2). Alem dis y V ( 1 ) = r82(1) = 2. Esta y sera com Dom(y) = 8 2 . A função g^ é uma de §2 ’ ® ^3 ® restrição de y. podemos observar que a nossa definição y^^(O) = gjíO) = gJCSI) = 2.

Agora definimos y = g ^ U { (v Note-se que a função y ê uma permutaç; k\1 = 82\1 reunida com a "barbinha"

Quando o terno (k,n,m) for nicas, para produzir uma solução (x,)

ente a permutação g2

sso motivo para tal oncordando com g2 no no domínio de g^. e g3 (0) = g2(k-1) . = g2(81) = 26. Por- = g2UÍ(0,26)}. rã esta extensão g^ a "barbinha" as que 1 ^ Dom(g«x’^) , so, queremos y^(0) =

uma extensão de g2

extensão preliminar Desejando que y^(0')=2 de gj dã que v) :v £ ((k\1)\H)}. ão do conjunto (0,g2(8D ) = (0,26) justo, as nossas téc- ) C Prt(k)xPrt(k) para

a equação usualmente podem solução. 0 fato parece ser o de que soluções ë grande quando k £or grande pio 5 mostra uma solução para a equaçãc n = m = 55440 = 2f3?5.7.11, que ê dife seguida no exemplo 3 para a mesma equaç

EXEMPLO 5: r^ = y’^x"^ onde k = 81 e n =

Para construirmos as transfc sideremos a partição X = {Xq,X^,X2,.. k-1 = 80 com Xq = {0 ,1 ,2 , . .. , 22 }, X X2 = {46 ,47 ,48 ,... ,58 }, X3 = {59,60 ,6

produzir mais de uma o conjunto de tais

0 próximo exem-_n. m

com r8i = y X

rente da solução con-a o .

X^Q = {78} e

= {75}, X,

Para cada i ^ 12 = |X conj permutações ^ Sym(Xj^) : £q = (0 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22), 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 = (46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71), £^ £^ = (74), £7 = (75), £g = (76), £g £^^ = (79). m =.55440 = 2f3?5.7.1 1 rmaçoes x e y con- .,X^ ^} do conjunto = {23,24,25,...,45}, ,...,71}, X, = {76}, Xg = {77}, ideremos as seguintes 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 = (23 24 25 26 27 28 42 43 44 45) , 57 58), £3 = (59 60 = (72), = (77), £5 = (73) , £^0 = (78) e

55 56 57 58 ^ -- V ____'>* ] 59 60 61 72 73 74 75 76 77 78 79 CJ ci c| L> ^5 ^6 ^7 ^8 _ ^9 ^10 ^11 Diagrama 5.1: Funções para cada

Sejam Yq = {Xq,X,}, Y^ = Y2 = {X^,X^,...,X^^}; evidentemente, Y partição de X.

Para cada j £. 3 = Y , consideremos as seguintes 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 permutações h. ^ SymCuY.): hg = (0 1 D 3 12 1 3 14 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 20 21 22)(23 24 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 50 51 52 53 54 55 56 57 58)(59 60 61 62 70 71 ) e = (72) (73) (74) (75) (76) (77 jâ que (”^/| Y^

I > i I

Yj | | ) = 1 80 {X2,Xj} e = {Yq,Y ^ ,Y2} é uma 25 26 27 28 29 30 31 15), = (46 47 48 49 63 64 65 66 67 68 69 (78)(79) .

para cada j ^ 3 = |y | que existe per nutação u^ de u Yj tal X •

que Uj S hj , tal que u^ = para que = hj . Neste exemplo, tb

5 1 Uq = (0 14 5 19 10 1 15 6 20 11 2 16 (23 37 28 42 33 24 38 29 43 34 25 39 41 32), u^ = (46 56 53 50 47 57 54 63 60 70 67 64 61 71 68 65 62) e U2 (77) (78) (79) . Observe que: 1 . Uq = hg^, isto' ê; Xq =

ja que m/2 = 27720 = 5(mod23). Então

7 21 12 3 17 8 22 13 4 18 9) 30 44 35 26 40 31 45 36 27 48 58 55 52 49)(59 69 66 = (72)(73)(74)(75) (76) m/ -9 e que Uq 2. u^ = h^^ , isto ê; x.

u-| , ja que m/2 = 27720 e 4(mod13).

hi = ' ' r

3. U2 = h2 , isto ê; X2 =

Seja Hj uma permutaçao c calação de todas as componentes cícli Hj /podem ser; Hq = (0 23 14 37 5 28

6 29 20 43 11 34 2 25 16 39 7 30 21 41 12 35 3 26 17 40 8 31 algum inteiro Xj e tal is Uj podem ser: Y, m /2 - Uq - Uq m u₀ 0 - U5 q _(hQ ) rt,-9^5 - hQ, m/ = -3 e que u.| m/ Y. m = u. 3ntao u

₁

1

= u. m/ 1 e que U2 m/8 = U2 = h2 L c l i c a o b t i d a p e l a i n t e r

-:as de u.. Assim tais J

22 45 13 36 4 27 18 41 9 32), = (46 60 57 70 54 67 51 64 48 61 58 71 55 68 ^ H2 = (72 73 74 75 76 77 78 79 80).

Agora definimos x = u O

Para construirmos a transiormação y usaremos estratégia semelhante a dos exemplos 1

G = {0,23,46,59,72,73,74,75,76,77,78,79

72 73 74 75 76 77 78 79 80) uma permuteção cíclica de G.

59 56 69 53 66 50 63 47 2 65 49 62) e 3. Seja o conjunto 80} e g = (0 23 46 59 17 18 19 20 21 22 \ ( t 52 53 54 55 5 6 ^ 7 ^ ^ 8 ,59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 V__Jf V--Jf V___jf V--3^-^-- ---if __Jf ___^ 6 9 ^ 0 ^ 1 X ^ 72 u 'X'' "A' 73 74 75 76 77 Ü ÍJ U (J 79 80 C/ g ----f i ---Diagrama 5.II: Funçao g e funçõe s f^ para cada i ^ 1 2=|x

Ja que (|G|,n) = (13,55440) = 1, pelo lema 1.6,

existe gQ = (0 73 78 46 75 80 72 7

gQ = g. Observe que gQ também é

conjunto G e que gQ = g^.

Agora definimos y = gQ u

gQ id I (k\G) . Observe que y ^ Syn

Finalmente, nao é difícil

X e y satisfazem a equação r^

n = m = 55440.

23 74 79 59 76) tal que

uma permutação cíclica do

(k) = Sym(81).

verificar que as funções

n m 1 r, -i

,n^in

CAPÍTULO IV - Y X representa r^^ sempre que (k,n,m) for justo

Neste capítulo expomos ( sultados.

4.1.TEOREMA: Seja {k,n,m}Oüj\2 . rj^ = g^f^. Então, as condições seg

1. f ^ Sym(k) ou f £ Sy 2. Se £ C Sym(k), então f”^(k-1) = 0.

s nossos principais

re-3. Se f ^ SymCk-1), enta g f C k M ) C Sym(k\l) e g = gl^(kv1)U{

ejam {f ,g } Prt(k) e uintes são satisfeitas:

m(k-1).

g ^ SymCkvíf^^Ck-n } e

0 ou g ^ SymCkl ou ambos (0,g(k-1)}.

que r^^ ê injetiva e Demonstração: 1. k-1 = DomCr^^) = Dom

Portanto, k-1 ^ D o m ( f ) C k„ Desde

que k-1 = DomCrj^), temos que f™[^(k-1) è injetiva e por­ tanto f^(k-l) também o ê. Se considerássemos (k-1") C Dom(f) e. f não injetiva, então existiria x C k-1 tal que f(x) = f(k-1) e desta forma teríamos que

gnfm-1f^k-i) = g^f”'-'*f(x) = g^f"^(x) = chegaríamos a uma contradição. Portí então f ê uma injeção de k em k. já que k ê finito.

Agora suponhamos que

Ck-= rj^(k-l) Ck-= g^'f'^Ck-l) Ck-= rj^(x) = (x+1 ) C k e nto, se (k-1) C Dom(f)

Segue que f CSym(k),

Dom(£) = k-1. Mas Rng(£) = f[k] = £[k-1] k-1 = k-1 < k = k . Po

tal que Rng(f) = k\{x}. Admitamos que x k-1. Entao £[k-1] d k, pois rtanto, existe x k k\{k-1,x}| = k-2 < k-1 = lRng(r,)|. = g"'£"'-’'[£[k-1]] m ’>

1

,

temos que [k\{x} ] = g^£ gn£m-2[£[^k_i)v{x}]], pois ( k - l ) ^ D £[k\{x,k-1}] , portanto k-1 = |rj^[k] Mas Rng(rj^) = r^[k] = = g^£™-'' [k\{x>] . Já que n-2 £^[k] = £[k\{x}] £[k'v{x,k-1}] contradição. Portanto, x = k-1 e concluimos que £ CSym(k-l), jã que ê £inito. [£[kv{x}]] = 3m(£). Mas £ [ ( k - 1 ) \ { x } ]= = k-2 o que ê uma Rng(f) = k-1. Assim Dom(£) = k-1 e que k-1

Desde que r^^ ê injetiva, que Dom = g^£^, temos que g^|^£'^[k-1] ê ir gf^f^^ík-l] também o é. Mas se Rng

n^m

e segue que r, = g £ C Sym(k) o qie é £also. Portanto 2. Seja £ ^ Sym(k). Éntão, £^ C Sym(k).

r^) = k-1, e que jetiva e, portanto, g) = k, então g€Sym(k)

R n g ( g ) C k. Assim, ou g nao é inj ou £’''^(k-1) C Dom(g).

etiva e Dom(g) = k

Dom(g^) = k, donde se seguiria que k e chegaríamos a uma contradição

•m,

e concluímos que £ (k-1) í, Dom(g). Admitamos que £ (k-1) ^

Mas k\1 = Rng (rj^) ^ Rng (g) , e portanto Rng(g) = k\1 . Desde n

que k\1 = Rng (r^^) Rng (g ) C k\ 1 , i;ambem temos que Rng(g ) = k\1. Já que £"^(k-1) C k\1 , temos c

c-1 = Dom(r|^) = Dom (g^f’’’'^) = Portanto, Dom(g) ^ k

0. Segue que £’^(k-1)<^kv1

n-Então existe x C k\{£’^(k-1)} = Dom(i) tal que g(x) = £™(k-1). Assim g^(x) = g^~^£"'(k-1) = g^“'^(co)n- 2

£^(k-1) C Dom(g) e que n > 1. Pc

k\{£"*(k-1)} o que é uma contradição. Assim, concluimos que f"^(k-1) = 0 e que Dom(g) =

e que k\1 ê £inito, segue-se que

3. Seja £ é^Sym(k-l).

temos que Dom(f^) = k-1 = Rng(£^). Admitamos que exista i

ue £™(k-1) C Rng(g).

= », 3a que

rtanto, x C Dom(g^) =

k\1 . já que k\1 = Rng(g) g ^ Sym(k\1).

Entao, para todo i é Z

£ (j) = i para algum j C k-1 = Dom( r]^(j) = g^f"^(j) = g^(i) = g^~^g(i) = uma contradição. Logo concluimos qu

assim que k-1 C D o m ( g ) .

^ (k-1)vDom(g). Então r^). Portanto, j + 1 =

(oo) = oo, o que é (k-1 )\Dom(g) = (j) e Seja X = £’^(k-2). Entã r, (k-2) = k-1. Já que x C Rng(£) = n ^ N n /-in ^ -y ^ ^ 0 g (x) = g f (k-2) = k-1 e que g^ (x) =k- 1 <[. k- 1 ,

existe t é n tal que g (x) k-1

Seja y = g^Cx). Então y € kv{k-1 gCy) = k-1.

Admitamos, que Dom(g) = Segue-se que g^Cy) = g’^'^Ck-l) = g^ Seja z = fTy). Lembrando que f C z ^ k-1 = Dom(r^). Portanto, z+1 gn£mf-m(;y) = g’^(y) = «>, o que é uma

enquanto g^^^(x) = k-1. } = k-1, enquanto

iC-1 . Então k-1 ^ Dom(g).

2

(oo) = 00 j a que n > 1 . Sym(k-I), vemos que . r^(z) = g^f^^Cz) =

:ontradição. Assim temos Dom(g) ^ k, concluimos que Dom(g) ^ k-1. Mas, como k-1 ^

que Dom(g) = k.

Jâ que k\1 = i']^[k] = g'

temos que k\1 Ç. R n g ( g ) C k. Se ^ng(g) = k, então g^Sym(k) n

^""[k] = g ' ^ E k - n ç g i k - n ç k

Portanto podemos supor que Rng(g) k M = r^[k] = g^^f^^ík] = g[g^"''£"'[k]] temos que Rng(g) = k\1. Portanto, ê injetiva em k.

k. Então, desde que ^ k pois g^~''£"^[k] S k,

Rng(g) = k\1 e g não

AFIRMACAO I: gf ( k - n é in

Seja {i,j}Çk-1 tal que existe { i - | , j ^ } ^ k-1 tal que £"^(i^) £ é Sym(k-I). Segue que r^(i.^) = g g^£"'(j.) = r, (j.).

n

1.

-m,

em k-1 = Dom(rj^). Logo i = £ (i.^) gf'(k-l) ë injetiva, como £oi a£irmad

jetiva, g(i) = g(j)- Então = i e £"^(j 1 ) = j , pois = g"(i) = g"(jî = pois rj^ ê injetiva = f’^Cj.j) = j e assim t».

AFIRÎ4ACA0 II: g^Ckxl) ê inj etiva.

Seja { i , j } ^ k \ l tal qu(î g(i) = gCj). Desde que k-1 ^ Doin(g) , que g|^(k-1) ê injetii

temos que gl^(k-l) ê uma bijeçâo de

ra, e que RngCg) = k\1 , k-1 sobre k\1. Segue que existe { i ^ , j ^ } ^ k-1 corn g(i-|) = i e gCj-]) = j- Jâ que

f"^Cj2) = j-|- Portanto, ^]^CÍ2) = g^

g^"^(j) = g”‘ ^gCj-|) = g” Cj^) = g^f’^(j2^ = ^k*'^2^’ ® assim

Í2 = j2 pois n > 1, {Í2,j2^— = Dom(rj^) e r^ ë injetiva, Então i^ = £"'(Í2) = f”^(j2) = jj, pois £ ë injetiva e portanto i = g(i^) = g ( j p = j. Assim gfCkVl) ë injetiva, como foi afirmado.

Ja que gf(k-l) ë uma bijeçâo de k-1 sobre k \ 1 , segue que g(0) ^ g(x) para todo

a afirmaçao II implica que g[^(kv1) £ Sym(k\1) e segue que g(k-1) * g(x) para todo x ^ (k\1)\{ bëm g[^((k-1)\1) ë injetiva e g|^({0 injetiva,pois Rng(g) = k\1„ Segue c (k-1)\1. Da mesma forma k-1} = (k-1)\1. Mas tam- U ((k-1)\1) uik-1 }) não ë lue g(0) = g(y) para

algum y C k\1 . Desta forma y ^ (k s 1 ) \ ( (k-1 ) \ 1 ) = {k-1},isto ë, y = k-1. Portanto, g(0) = g(k-1)

g = g r ( k M ) u { (0,g(k-1))}. f

4.2.PROPOSIÇÃO: (g^f^ Í r4)Prt(4)

e segue que

6

Então, os seguintes casos são exigidc

Entã -6 Casol: £ ^ Sym(4).

Desde que £ C SymC4) temos que ou £' (x y) (z w) . Se £^ = idf'(4), então idf'(4\1)^ r^. Portanto £^ tem qui

isto ê, ou £^ = CO 1)(2 3) ou £^ = (0 2)(1 3) ou £^ = (0 3)(1 2) (1 2). Desde que ). s pelo teorema 4.1. o g ^ Sym(4\1) e £°(3) = 0. = id['(4) ou £^ ê do tipo 4 = g'’. Mas (gl'(4\1))'’ e ser da £orma (x y)(z w ) ;

6 Mas £^(3) = 0. Portanto £^ = (0 3)

g ^ Sym(4M), segue que g = id|(4\1 idf"(4\1)o(0 3)(1 2). Mas (0,3) € id

(0,3) ^ _4* Segue que g f í6.6 4

Portanto, g^£^ = (4\1)o(0 3) (1 2)

Caso2: £ ^ Sym(3). Logo

Subcaso2.1 : g C Sym(4). da £orma (0 1 2 3), então g^ = idf^( g^£^ = id 1^(4) oid 1^(3) r^. Mas, por uma permutação cíclica do conjunto 4, volução da £orma (x y)(z w ) . Neste g^£^ ou (z w) C g^£^. Mas r^ não ê uma transposição. Portanto, g^£^

Subcaso2.2 : g C Sym(4\1) mente, £^ = idf'(3). jã que g £ Sym g^ = idf"(4M). Portanto, idf(4\1)oic

, £^ = id["(3).

jâ que, se g não £osse ) e teríamos que

outro lado, se g £osse então g^ seria uma in- caso, ou (x y) g^oidf'(3)

contêm subconjunto que ^4*

e g(0) = g(3). Nova-4\1) temos que

6.6 desde que (1,1) £ g^f^ mas que (1,1)

[^(3)Q = r^. Assim, ^ r^ concluimos que i r.

4.3. PROPOSIÇÃO; Seja k ^ ü)\3. Ent para qualquer j tal que 3 á j á 1<

Demonstraçao: Seja 3 á j á k. Adnjitamos que r^ = g^(k)£M(k)

i o ( g M W f M t k )

com { f , g } ^ P r t ( j ) . Entao os seguint teorema 4.1.

Casol : Sym(j). Entã fM(k)^j_^) ^ Desde que £ é Sym Também, jâ que g é. Sym(j\1), temos q

j\ll = j-1 à 2. Portanto, id^(j\1 Assim, desde que (i,i) é.

0 < i á j , mas ( 1 , 1 ) ^ rj concluim

es casos são exigidos pelo

o g ^ SymCj \1) e

(j), temos que idf^Cj) = id I^Cj \ 1) , pois ue g

)oidf(j) = gM(k) .M(k) para todo i com

^ M(k).MCk) Ds que Tj g ^ £

Caso2: £

^

Sym(j-l). En :ão £

Subcaso2.1: g ^ Sym(j). M(k) .M(k)

Portanto, £i-n.xv^ ^ id jf^C j ) oid [^( j -1) = idf^Cj-l) = r j . '

. . M(k).M(k)

Assim, r j g ^ ^ .

De novo, = idf^Cj-l). Jâ que ^ Sym(j\1), temos rM(k) = id|^(j-1). Então gM(k) = idl^Cj). Subcaso2.2: gh-jN”!)

^

Syii(j\1) e g(0) = gCj-1). }= id^CjNl) U{(0,j-1)}. que g^^^^ = id^Cj^1)U{(0,g^‘

^^^Cj-Portanto, id [^( j \ 1) oid [^( j-1) ^ = r ^ . Assim, desde que (i,i) € para todo i com 0 < i < j que (1,1) ^ r^ concluimos que r^

mas

4.4. COROLÁRIO; Sejam { u ,v}^Z e k

gM(k) .M(k) •

B

i r.JPrtCj) para qu 3 < 3 < k.

Demonstraçao: Decorre imediatamente

alquer j tal que

ia proposição 4.3. ^ Do corolário 4.4 ê fâci:. k ! kl (g ■£ ■ I rj)Prt(j) para qualquer j observar que tal que 3 á j s k. 4.5.PROPOSIÇÃO: Seja { k , n , m } Ç 2. S Então r^ = g^£^ se pelo menos uma

ê satisfeita. 1. (n,k) = 1. 2. (m,k) = 1. 3. ( 4. ( Demonstraçao: 1. Seja Cn,k) = 1 . En Pelo lema 1.6 podemos escolher g £

n

tal que g = c, . Entao r, = c, oi

eja { £,g}^ Prt (k) . as condições seguintes

n,k-1) = 1.

m,k-1) = 1.

tão considere £ = id|(k-1) 3ym(k), com g cíclica, d[^Ck-1) = g^f^.

2. Seja (m,k) = 1. En :ao considere g = idf^Ckvl) Pelo lema 1.6 podemos escolher £ ^ S]

tal que = Cj^. Então r^, = idfCk

3. Seja (n,k-1) = 1. Er

Pelo lema 1.6 podemos escolher h £

^m(k), com £ cíclica, k

tao considere £ = id|^(k-1) ym(k\1) tal que

-Tomando g = h U { (0 ,h(k-1)} segue

4. Seja (m,k-1) = 1. g = idf'CkM ) U { (0 ,g(k-1)} . Pelo le £ é^Sym(k-l), com £ cíclica, tal c rj^ = (idl^Ckxl) U { (0,g(k-1)})ocj^_^ =

que r, =

Então considere

ma 1.6 podemos escolher k-1 • Entao

Agora apresentamos nosso que ê o seguinte:

principal resultado.

4.6.TEOREMA: Se o terno (k,n,m) (bV I r^)Prt(k).

Demonstração: Suponhamos que o tern Sejam X partição do conjunto k-1 £amília X satisfazendo a definição

e justo, então D (k,n,m) seja justo. e Y partição dá de justo. Sejam X — {XQ,X-|,X2,»»«)Xg^-|} com X = s com ição X do conjunto = t.

jã que, atê agora, a par

k-1 foi descrita somente sob condições satisfeitas pelos números cardinais dos elementos de Xj é claro que nós pode­ mos supor que os conjuntos são segmentos consecutivos da sequência 0 ,1 ,2 ,3 ,...,k-2. Istc

tamos supondo, para cada inteiro posi cada X ^ Xj^, que

Y = {Yq,Y^,...,Y

t-1 }

max. U { X ^ : O s v < i } < x < mín.

quer dizer que nós es­ tivo i é. s-1 e para

Para cada i é s defini tnos , e seja

5 são y^, y ^ + 1 ,

yi + 2, y^ + 3,... »yj^+Pj^-'l* Seja a permutação cíclica Yi = ^ Pi

" j=0 3 i-1

Entao, os elementos d

(Vi 7i+1 7í+2 y^+3 ... yi+Pi'

Desde que somente as condições satisfeitas pelos

números cardinais dos elementos da partiçao Y estão estipu-do conjunto X^

ladas nas hipóteses, podemos supor c

consecutivos dos conjuntos X^

Para cada j é. t definiir

Assim, para cada j é. t temos que

Yj - Í^Q(j)» ^Q(j) + 1» ^Q(j)+2’ ^Q(j) Seja h^ = U{f. : i € Q(j + 1)\Q(j)}

observe que h^ ê uma permutaçao de

exatamente Y^ componentes cíclic

Yjll-cíclo de UYj, pois |x^

i € Q(j + 1)\QCj). Mas, jã que, por

ue os Yj são segmentos

3-1 os Q(j) = E

[Y-i = 0 ^

para cada j é. t , e

UY., e que h. tem J

as cada qual sendo um

Yj para todo

lipotese temos para cada

j £ t que (™/l Yj I , I I Yj I I ) = ^, ê fiicil ver, pelo lema 1.6,

tal que u^ ” ^1 para algum inte m/|Y.

“í = h . . Seja Hj uma permu de U Y j obtida pela intercalaçao

cíclicas de U j . Pelo lema 1.6, ë m |y . 1 V I Y -e portanto qu-e H^ = (H^ •’ )

Se j a A = U { H j : j é . t

k-1 = U { U Y j : j £ t , temos que

Sej a X £ k-1. Então

tais que x C ^ Y ^ , e portanto

lia {H^ : V é. t} ë dis junta como

iro X j , e tal que

tação Yj . Yj -cíclica

de todas as componentes

facil ver que H- = ^-j -- u 1 A"'Cx) = ( ; V €. t})” (x) = ( U { ” /|y . h“ Cx) = u. 3 (x) - h. (x) = Observando que A £ Sym(k-I). Afirmamos i € s }. existem i é. s e j £ t

X £ UYj. Ja que a

famí-permutações, segue que

: V C Q(v+1)\Q(v)}) (x) =

( U { f ^ : V é. s})(x). Observando q

Sym(k-I), vemos que a afirmação esta

^e {A, U{f^: V é s}

demonstrada. Tambêm

temos que a"^(x) = fj^(x) para o dado i ^ s.

do conjunto k. Ha dois casos a cc

Casol: ( X + 1 ,n) = 1. Então seja nsiderar. g = (Yo 72 _{y s-1} k-1) do conjunto G = {yo»yi>y2»y3 (1g1 ,n) = (s+1 ,n) = (|x| + 1 ,n) = 1 . a permutaçao (s+1)-cíclica 7s ^,k-1}. Observe que

Portanto, pelo lema 1.6,

existe permutaçao cíclica gg de G

B = g Q { (v,v) : V C k\G} e observa

mamos que r, = B^A^.

Seja X < k - 1 . Então

tais que x C ^ Y j , e portanto

casos a considerar.

tal que gg = g* Tomando ndo que B €. Sym(k)

afir-îxistem i é; s e j t

c ^ U Yj. Ha très

sub-Subcasol : x = y^+p para algum p ^ Pj^-1* Então

rj^(x) = x+1 = y^+p+1 = (id (k\G) ) (y^, |p+1 ) = B (y^+p+1) =

B’^fi(yi+p) = B^A®(y^+p) = b’^A^^Îx).

SubcasoZ : x = yj^+p^^-1

r^(x) = x+1 = y ^ + p . = y . ^ , . g ( y j )

-e i é. s-1 . Entao

Bn,mA“‘(yi+Pi-1) = B^a"^(x).

SubcasoS: x = ys_i+Ps_i

B^A"^Cyg_^+Pg_^-1) = B“A‘“(x).

Finalmente r^[k-1) = «>

-1. Então X = k-2 e

= b"c») = B V c k - l ) , já que A CSym(k-l). Assim a afirmaçao fica demonstrada.

Caso2: ( X ,n) = 1.

y^ .... ys_.-] k-1) a permutação s-cíclica

do conjunto H = ... »^s-l’^"^^' Observe que ntão seja

( Hl,n) = (s,n) = ( X ,n) = 1 . Port

te permutaçao cíclica conjunt

Tomando ^ U H O , g2 (k-1)) } U { (v

afirmamos que r^^ = B^a"' onde g2 C

Seja X ^ k - 1 . Então e

subcasos a considerar.

Subcasol: x = y^+p para

rj^(x) = x+1 = yjL+P+1 = (id |^(k\H)) (y^+p

anto, pelo lema 1.6, exis-n o H tal que g2 = g-| • v) : V £ k A V ^ H U Í O } } Sym(k\1). xistem i é s e j ^ t X C U Yj . Ha quatro L l g u m p £ Pj^-1* Entao +1) = B^(y^+p+1) =

B^£i(yi+p) = B V ( y ^ + p) = B^a”^(x). SubcasoZ: x = yo^Po- 1. yg+Pg = y^ = g^Ck-l) = g^(k-l) = B^^Ck-l) = B“ "'B(k-l) =,n-1 ^n-1 ,n-1 B “" g 2 ( k - 1 ) = B “- ' B ( 0 ) = B^^CO) = B “(b^o^ = n 0 '^>^0-^P0-^ = B V ( y Q + p Q - 1 ) = B^^A^^Cx) SubcasoS: x = y^^+Pj^-l

Então rj^(x) = x+1 = y^+p^ = y^^-, =

B^£i(yi+Pi-1) = B V ( y ^ + p ^ - 1 ) = B^^A^^Cx).

Subcaso4: x = y^ i+Ps.-]

Então i^j^Cx) = x+1 = k-1 = g-iCys.-j)

Finalmente , r^^Ck-l) = oo =

A é. Sym(k-I). Portanto, a afirmaçãc

,n^ para i ^ (s-1)\1 . -1 , isto ê ; X = k - 2 . n = B^a"^(x) . B^(“ ) = B^^A^Ck-l) , jã que fica demonstrada. ||

CAPÍTULO V - yV representa rj^ sem

Colocamos neste capítul formações x e y em Prt(k) tais ê satisfeita sem que o terno (k,n,m deixamos algumas perguntas abertas trabalho.

que (k,n,m) seja justo.

), alguns exemplos de trans-que a equação r^ = y^x^

seja justo. Além disso,

t

elacionadas com o nosso

Exemplo A: A equação r^ = y^^x^^ mas o terno (5,30,30) não ê justo.

É fãcil ver que a única k-1 = 4 tal que ou (|xl,n) = (|x

(|x|+1,30) = 1 ê X = {{0,1 ,2,3}}. que X = 1 e portanto (1,30) = 1, partição X de k-1 = 4 temos que

(|x|,30) 1 ^ (|x[+1,30). Agora o Y de X = {{0,1 ,2,3}} ê Y = {{{ Yq = {{0,1,2,3}}^ Y = { Yq} . Assim, .30 tem solução em P r t (5), partição X do conjunto 30) = 1 ou ( X|+1,n) =

Assim, com esta X temos mas com quaquer outra

1 < |xl < 5 e então que bserve que a única partição

0,1,2,3}}}. Isto ê, note que (”^/i Y,. | , 1 | Yp. j ]) = ( /I ,4) = 2 s 1 o que não satisf

Agora construiremos as t satisfazem a equação r^ = y^^x^®.

az a definição de justo.

ransformações x e y que

Consideremos as transforp e g = (0 4)(1 3) (2) conforme o diag

ações f = (0 3) (1 2) [4] rama A.I, seguinte.

g — ^ f ----r;

2

DiagramaA.I: As funçô Observe que r^ = g£, 5S £ e g, Intercalando as transposi-ções que são componentes de £ obtemos £.j = (0 1 2 3) [4] Intercalando as componentes 2-cícl;.cas de g obtemos g,| = CO 1 4 3 H 2 ) . Sejam x = £.^ e y = g.^ , e note que x y são as £unções desejadas tais que

y

---2^ 3"'"

= y.30. 30

DiagramaA.11 : As £unç

Exemplo B: A equaçao r^ = y^^x^^ mas o terno (6,30,30) não ê justo.

Observe, como no exempl X so conjunto k-1 = 5 tal que ou ou (|xl+1 ,n) = (1x1+1 ,30) := 1 ê X observe que a única partição Y de isto ê, Yq = {{0,1 ,2,3,4}}^: Y = {Yq

oes x e y,

tem solução em Prt(6),

3 A, que a única partiçao dxj ,n) = (jxl ,30) = 1 = {{0,1,2,3,4}}. Agora,

X ë Y ={{{0,1,2,3,4}}}; Assim, observamos que

C

m/ _{0 0} ) = (^^^^1,5) = (30,5) 4 5 1 o que não satis-£az a definição de justo.

Construiremos,agora, as 30 30

fazem a equaçao r^ = y x

Seja f = (0 4) (1 3) (2) do conjunto k-1 = 5 conforme o dia

f.

funções X e y que

satis-[5] uma permutação obtida jrama B.I, abaixo:

Diagrama B.I: A função f.

Intercalando as transpo f^ = (0 1 4 3) (2) [5] , que ê a função J Ò ições de f obtemos X desejada.

Diagrama B.II: A funçãc f^ = x

Seja g = (1 4) (2 3)(5) conjunto k\1 = 6\1 conforme o diag

g

0

1

2" ” '"*‘3

uma permutaçao obtida do rama B.III seguinte.

Diagrama B.III: A funçã

Intercalando as componen obtemos g^ = (1 2 4 3) (5).

V

o g

K, ' - - \ 4r---5

1 2 3 4

Diagrama B.IV: A funçao

Agora definimos y = g^ L

Finalmente, podemos averi abaixo, que as funções x = f^ e y

30 30 ró = y X . y X g-{ (0,5)}. ;uar do diagrama B.V, satisfazem a equação Diagrama B.V: As funções

Exemplo C: A equaçao rg = y^^x^^ mas o terno (k,n,m) = (9,30,60) não

Para cada sequência Jq â

X e y.

tem solução em Prt (9.), ê justo.

v-1

de inteiros tais que z j. = k-1 ex i = 0 ^

tas partições X = {X^ : i C v} do Xi = ji para cada i é! v. Pelos

à 1

istem, possivelmente,

mui-:onjunto k-1 tais que :iossos fins,basta escolher

família F de "equiva-somente uma representante, em cada ta:

lentes" partições de k-1, para examinar. Neste exemplo, não ê difícil averiguar que existem aj)enas quatro tais famílias