INTRODUÇÃO Caro aluno,
8- Observação: Em todas as substituições considere o módulo e o sinal encontrados.
2.9 TEOREMA DE NORTON
Até aqui observamos o uso do teorema de Thévenin na simplificação da análise dos circuitos de malhas complexas, pela substituição do circuito original por um circuito equivalente envolvendo uma fonte de tensão constante, e o gerador de Thévenin (ETH), atuando em série com uma resistência interna (RTH).
115 Estudaremos agora, o teorema de Norton, que emprega uma técnica bem semelhante à empregada pelo teorema de Thévenin, e que pode ser enunciado do seguinte modo: "Dois terminais de uma rede podem ser substituídos por um circuito equivalente, que consiste de um gerador de corrente constante In, em paralelo com sua resistência interna Rn".
Na figura 2-36 vemos uma malha original atuando como um bloco bem como seu circuito equivalente.
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Figura 2-36
Pela figura 2-36 b observamos que a corrente de Norton (In) é distribuída entre a resistência de Norton (Rn) e a resistência de carga (RL). Podemos observar pelo circuito da figura 2-36 b, que: ERL = ERn. Ora, ERL = IL x RL; ERn = I1 x Rn e In = I1 + IL. Assim sendo, podemos estabelecer a seguinte proporção:
Aplicando uma das propriedades das proporções, teremos: ou, então, IL(Rn + RL) =
Portanto, para calcularmos a corrente em RL, basta usarmos a fórmula:
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Figura 2-37 a
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Figura 2-37 b
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Figura 2-37 c
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Figura 2-37 d
Vamos determinar o equivalente de Norton para o circuito da figura 2-37.
Para isto, inicialmente, coloquemos A e B em curto-circuito, ou seja, daremos um curto em RL.
Deste modo, a corrente externa será:
Em seguida achemos a resistência de Norton: , estando a fonte em curto- circuito (2-37 c).
117 Assim, podemos escrever duas regras simples, para determinação da corrente e da resistência de Norton:
a) A corrente de Norton IN é uma corrente constante que flui num curto-circuito entre os
terminais da resistência de carga, quando esta é substituída por um curto-circuito (figura 2- 37 b).
b) A resistência de Norton RN é aquela resistência vista dos terminais da carga aberta,
olhando-se para a malha, quando sua fonte de tensão é substituída por sua resistência
interna (RN é definida da mesma maneira que a resistência de Thévenin - RTH), conforme
a figura 2-37 c. Na figura 2-37 d temos o equivalente de Norton: um gerador de corrente constante IN com sua resistência interna, em paralelo RN.
Consideremos o circuito da figura 2-38, no qual desejamos calcular a IN, RN e IL.
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Figura 2-38
Inicialmente, estabelecendo um curto-circuito em RL, forçosamente R3 ficará em curto, o que nos permite empregar a seguinte fórmula:
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Figura 2-39
O circuito da figura 2-39 ilustra o que acabamos de mencionar. A corrente IN é a corrente
que flui no curto-circuito (RL = 0).
Em seguida, calculamos a resistência de Norton. Para tal, podemos utilizar o circuito da figura 2-40.
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Figura 2-40
Desta forma, teremos:
Finalmente, observando o circuito da figura 2-41, temos o circuito equivalente, contendo a corrente de Norton, a resistência de Norton e a corrente IL.
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Figura 2-41
Pelo que já conhecemos, IL facilmente pode ser calculada da seguinte maneira:
Vejamos mais um exemplo simples de aplicação do Teorema de Norton, ilustrado na figura 2-42.
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Figura 2-42 a
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119 Primeiramente daremos um curto-circuito em RL, no circuito da figura 2-42 a, para
calcularmos a IN. Deste modo, teremos R3 em paralelo com R4 e a resultante das duas, em
série com R1 e R2. Assim, teremos uma Rt =
A corrente de Norton, na realidade, é a corrente que passa em R4, estando RL em curto. Sendo It = 1,8 A, IN será: It - IR3. Ou então,
Passemos agora ao cálculo de RN, que é a resistência vista dos terminais da carga aberta:
E, agora, de acordo com a figura 2-42 b, passemos ao cálculo de It. Portanto, IL =
Outros exemplos:
Vamos achar o equivalente de Norton da figura 2-43 a.
Solução: Inicialmente vamos encontrar a resistência de Norton que, conforme já
mencionamos anteriormente, é definida da mesma maneira que a resistência de Thévenin (RTH). Portanto, abrindo o circuito da parte "a" nos pontos A e B, temos dois resistores de 6Ω em paralelo, conforme nos mostra a figura 2-43 b. Na figura 2-43 c temos a resistência equivalente (RN).
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Figura 2-43 b
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Figura 2-43 c
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Figura 2-43 d
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Figura 2-43 e
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Figura 2-43 f
Figura 2-43 Ilustração do Teorema de Norton
Para calcularmos a corrente de Norton (IN) basta colocarmos um curto entre os pontos A e
121 igual à corrente total, podendo ser calculada assim: . Então, na parte "c" temos a corrente equivalente de Norton (IN). Juntando a resistência equivalente (parte "c") à
corrente equivalente (parte "e"), formamos o equivalente de Norton (figura 2-43f). Vamos encontrar o equivalente de Norton da figura 2-44 a.
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Figura 2-44 a
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Figura 2-44 b
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Figura 2-44 c
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Figura 2-44 d
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Figura 2-44 f
Figura 2-44 Ilustração do Teorema de Norton
Solução: Na figura 2-44 b a carga foi removida. Aí, temos R1 em série com R2. Estes dois
resistores estão em paralelo com R3. Este conjunto está em série com R4. Portanto, o
cálculo da resistência equivalente de Norton (RN) pode ser feito do seguinte modo:
A parte "c" nos mostra o que acabamos de demonstrar.
Ao colocarmos a fonte de corrente no circuito (10A), e substituirmos RL por um curto- circuito (figura 2-44 d), vamos procurar a corrente de Norton (IN). A corrente de Norton é a mesma que flui nos terminais da carga em curto.
Fazendo uma observação da figura 2-44 d vemos que a corrente total "It" se distribui do seguinte modo: It = I1 + I2. E que I2 = I3 + I4.
Ocorre que I4 = IN, ou seja, I4 é igual à corrente de curto-circuito equivalente. Resolvendo,
inicialmente, o circuito da figura 2-44 d por I2, temos:
Agora, resolvendo por I4, teremos:
Logo, I4 = IN = 0, 217 A
123 2.10 CONVERSÃO DO EQUIVALENTE DE NORTON PARA O DE THÉVENIN E VICE-VERSA
Às vezes, por questões de conveniência, torna-se mais fácil solucionar certos problemas de análise de circuitos empregando um método de equivalência entre geradores de corrente e de tensão.
Para isto, é recomendável adotarmos uma equivalência entre uma fonte de tensão e uma fonte de corrente.
Considerando os circuitos da figura 2-45, vamos observar que em "a" temos um gerador de tensão e em "b", um gerador de corrente.
Nestes dois circuitos, há uma carga RL que é alimentada, portanto, por um gerador de
tensão e por um gerador de corrente.
Recordemos, agora, as fórmulas já vistas anteriormente para o cálculo de IL, em ambos os
circuitos da figura 2-41.
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Figura 2-45 Conversão Norton para Thévenin e vice-versa Na figura 2-45, por exemplo, temos na parte "a" IL =
e na parte "b" temos:
Uma vez que nos propomos a estabelecer uma equivalência entre "a" e "b" da figura 2-45, teremos:
124 Agora, eliminando o denominador da equação, vem:
(IN x r) (r + RL) = E (r+RL).
Tirando o valor de IN, temos:
Simplificando o numerador e o denominador, temos: . Esta fórmula nos dá o valor da corrente de Norton, em função da tensão de Thévenin, não esquecendo que, para tal, consideraremos as resistências internas iguais, isto é: RTH = RN = r.
Portanto, da fórmula , podemos r também tirar o valor de "E", ou seja: E = IN x r, que é a fórmula que nos dará o valor da tensão de Thévenin, em função da corrente de Norton.
Exercícios de Aplicação
Suponhamos, um gerador de tensão, cuja "E" (ETH), seja igual a 20V sabendo-se que RTH(r)
é igual a 10Ω. Queremos saber o valor do equivalente de Norton.
Solução: neste caso, a fonte ou o gerador de corrente equivalente será:
Seja o circuito da figura 2-48 que queremos converter num equivalente de Norton.
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Figura 2-46 Equivalente de Thévenin
Solução: vamos colocar um curto-circuito nos terminais A e B do circuito da figura 2-47
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Figura 2-47 Convertendo o equivalente de Thévenin para o de Norton
Resolvendo para IN o circuito da figura 2-47 A, temos:
Agora, é só colocarmos a resistência do equivalente de Thévenin (RTH = r) em paralelo com
o gerador de corrente constante (IN = 1 A), e teremos a solução, que é o circuito da figura 2-47 b.
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Figura 2-48 Convertendo Norton para Thévenin
Solução: vamos computar a queda de tensão através de RN (figura 2-48 b). Esta queda IN x
RN, nos dará RTH, que é aproximadamente 250 V. Agora, colocamos a resistência
equivalente (RN = r = RTH) em série com o gerador de tensão constante (ETH).
Assim, obtemos o equivalente de Thévenin, conforme a figura 2-48 c.