INTRODUÇÃO Caro aluno,
8- Observação: Em todas as substituições considere o módulo e o sinal encontrados.
2.8 TEOREMA DE THÉVENIN
Nem sempre as leis de Ohm e de Kirchoff constituem a ferramenta necessária para a resolução de circuitos mais complexos.
O teorema de Thévenin faz parte de um grupo de teoremas sobre estruturas elétricas complexas, possibilitando-nos meios mais eficazes para a análise simplificada de circuitos dessa natureza.
A técnica utilizada possibilita a redução de um circuito complexo a um circuito equivalente simples, que passa a atuar como a rede original.
O teorema de Thévenin pode ser enunciado da seguinte maneira: "qualquer rede de dois terminais pode ser substituída por um circuito equivalente simples, constituído por um gerador, chamado gerador de Thévenin, cuja tensão ETH, atuando em série com sua
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b
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Figura 2-25
Os circuitos a seguir nos mostram uma sequência de operações, que visam a determinar os dois elementos fundamentais constituintes do teorema de Thévenin, ou seja, ETH e RTH.
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107 Vejamos agora, algumas regras usadas na determinação de ETH e RTH:
1 - Entendemos por tensão de Thévenin (ETH) aquela tensão vista nos terminais de carga, no circuito original, estando a resistência de carga removida, isto é, tensão em circuito aberto. É o que nos ilustra a figura 2-26 b.
Conforme observamos na figura 2-26 b, para calcularmos a tensão de Thévenin (ETH), removemos a carga RL. Neste caso a tensão de Thévenin é a tensão vista nos terminais em circuito aberto A-B. Isto significa que a tensão de Thévenin é a própria queda de tensão em R3. Assim, basta calcularmos a corrente total do circuito e multiplicamos por R3:
Portanto, temos que: VR3 = VAB = ETH = 50 V
2 - Quanto à resistência de Thévenin (RTH), trata-se da resistência vista dos terminais de carga aberta, quando olhamos para a rede original, estando as fontes de tensão do circuito substituídas por suas resistências internas.
A figura 2-26 c, ilustra o que acabamos de mencionar. Neste caso, a fonte foi curto circuitada e o circuito passou a ter: R1 em série com R2 e as duas em paralelo com R3. Deste
modo, a resistência equivalente entre os pontos A e B é 100 Ω, que é a resistência de Thévenin.
3 - Agora, resta-nos fazer o equivalente de Thévenin, para o circuito da figura 2-26 a. É o que nos mostra a figura 2-26 d.
Aí temos uma fonte de tensão de 50V, que é o gerador de Thévenin; em série com esta fonte temos uma resistência, que é a de Thévenin (100 Ω).
Este circuito, portanto, é capaz de fazer fluir uma corrente (iL) através de uma carga (RL), substituindo o circuito da figura 2-9 a.
Para calcularmos a corrente iL no circuito da figura 2-26 d é só empregar a Lei de Ohm:
Bem, agora, perguntamo-nos: que vantagem seria empregarmos tal método na resolução dos circuitos, uma vez que, aparentemente as coisas se tornaram mais complicadas, pois se trata de um circuito muito simples, podendo ser resolvido pela aplicação das leis de Ohm e de Kirchoff?
108 Realmente, para o circuito que acabamos de analisar, isto constitui uma verdade. Entretanto a veracidade do teorema de Thévenin torna-se evidente se modificarmos o circuito.
Para isto, vamos supor que quiséssemos achar o valor da corrente IL quando RL assumisse diversos valores, como por exemplo:
RL1 = 20 Ω RL2 = 50 Ω RL3 = 100 Ω RL4 = 1200 Ω
Se fôssemos aplicar as leis de Ohm e de Kirchoff, por exemplo para calcular a IL em cada
RL diferente, não resta dúvida que seria um trabalho bem laborioso. Entretanto, calculando o equivalente de Thévenin, facilmente determinamos os valores de corrente para cada valor diferente de RL, uma vez que ETH e RTH, são grandezas independentes do valor de RL. Vejamos mais um exemplo bem simples, de aplicação do teorema de Thévenin, para em seguida entrarmos na análise de circuitos mais complexos.
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Figura 2-27
Para calcularmos a tensão de Thévenin (ETH), basta acharmos a tensão entre os pontos A e B. Portanto, ao retirarmos RL do circuito, a E R2 tensão
equivale à f.e.m. do gerador equivalente de Thévenin.
Agora, com a fonte "E" em curto-circuito, passemos ao cálculo de RTH, que por natureza R1 R2 do circuito, será:
Finalmente, teremos o circuito equivalente de Thévenin, seguido dos seus elementos fundamentais, (RTH e ETH), conforma a figura 2-28 a seguir.
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Figura 2-28
Vamos supor que quiséssemos calcular a potência dissipada no resistor R2 do circuito da figura 2-29, aplicando o teorema de Thévenin.
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Figura 2-29 Ilustração do teorema de Thévenin
Precisamos encontrar o equivalente de Thévenin para o circuito da figura 2-29. Vamos abrir o circuito nos pontos A e B, pois R2 representa nossa RL. O circuito passa a ser como
o da figura 2-29.
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Figura 2-30 R2 removida do circuito
As fontes E1 e E2 estão em oposição. Logo a corrente total será:
Esta corrente, passando em R3 produzirá uma queda de tensão de 2,5 V e passando em R1
produzirá uma queda de tensão de 7,5 V. Assim, já podemos achar a tensão VAB que será
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Figura 2-31 Potencial entre os pontos A e B, igual a 12,5 V
Pelo exposto no circuito da figura 2-31, observamos que a fonte E1 é que determina o
fluxo de corrente, pois esta fonte tem valor maior que E2. Assim sendo, de acordo com o
sentido de corrente estabelecido, temos que, pelo lado de E2, a tensão VAB = E2 + VR3, pois
estas duas tensões estão em série e se somam, dando VAB = 12,5 V.
Pelo lado de E1, a tensão VAB = E1 - VR1, pois estas duas tensões estão se opondo.
Logo: VAB = 20V - 7,5V; ou VAB = 12,5V. Portanto, sendo VAB = 12,5V, concluímos que a
tensão de Thévenin é 12,5V.
Agora vamos calcular a resistência de Thévenin. E só abrir o circuito da figura 2-29 nos terminais A e B e curto-circuitar as fontes E1 e E2.
O circuito ficará como o da figura 2-32 a e 2-32 b.
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Figura 2-32
Assim, podemos fazer o equivalente de Thévenin para o circuito da figura 2-29, usando o circuito da figura 2-33.
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Figura 2-33 Equivalente de Thévenin
Deste modo, ficou fácil calcularmos a potência de R2. É só achar a corrente total, elevar ao
quadrado e multiplicar por R2. Isto pode ser feito da seguinte maneira:
Outros exemplos Exemplo 1
Vamos encontrar o equivalente Thévenin do circuito da figura 2-34 a.
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Figura 2-34 Ilustração do teorema de Thévenin
Solução:
Primeiro removemos a carga. Então, determinamos a Resistência de Thévenin (RTH), substituindo o gerador pela sua resistência interna, conforme nos mostra a parte "b". A rede fica então simplificada (parte c).
A tensão em circuito aberto, ETH, é determinada deixando-se a carga desconectada (circuito aberto em A-B). Nestas condições temos 3V em A-B (parte d).
Esta tensão de circuito aberto é representada como um gerador de tensão constante (parte e). Finalmente, temos os circuitos das partes "c" e "e", que são combinados para produzir o Equivalente de Thévenin, conforme a parte "f".
Exemplo 2
Vamos encontrar o Equivalente de Thévenin do circuito da figura 2-35 a.
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Figura 2-35 b
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Figura 2-35 c
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Figura 2-35 d
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Figura 2-35 e
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Figura 2-35 f
Figura 2-35 Ilustração do Teorema de Thévenin
Solução:
Vamos remover a carga. Em seguida, olhando para dentro dos terminais A e B, determinemos a resistência de Thévenin (b). Deste modo, o gerador de corrente de 10A foi substituído por uma resistência infinita (circuito aberto). Utilizando a fórmula a seguir,
114 , podemos encontrar a resistência equivalente, que é a resistência de Thévenin. Pela parte "b" podemos observar que R1 e R2 estão em série, e ambas estão em paralelo com R3. A resultante deste conjunto está em série com R4. Então, substituindo na
fórmula os valores das resistências, teremos (na parte "c"):
Na parte "d" observamos que uma porção da corrente do gerador produz uma queda de voltagem em R3. Aliás, não flui corrente em R4, pois o circuito está aberto neste ponto. Em
consequência, a corrente de R2 é a mesma de R3. Assim, a queda de tensão em R3 é a tensão de Thévenin, pois é a tensão em circuito aberto. Observando, portanto, a parte "d", notamos que 10A entram no circuito pelo gerador. Temos dois ramos de corrente, I1 e I2,
uma vez que A-B está aberto, conforme já mencionamos.
O ramo de I2 possui uma resistência de 700Ω e o outro 100Ω. O ramo de R3 é o que nos
interessa, uma vez que precisamos conhecer a queda de tensão em R3. Sabemos que
correntes em ramos paralelos se dividem inversamente proporcionais às resistências. Portanto, podemos afirmar que em R1 passa uma corrente sete vezes maior que a do ramo
de R2 com R3, pois R1 = 100 Ω, e R2 + R3 = 700 Ω. Isto nos leva a escrever o seguinte:
Na parte "f" temos o equivalente de Thévenin, constituído por um gerador de tensão constante e sua resistência interna.