Teoremas Sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov)

Teorema B.2.1 Se para o sistema (B.1), existe uma fun¸c˜ao V (x) continuamente dife- renci´avel tal que

(i) V (x) > 0 (ii) ˙V(x) ≤ 0 ent˜ao x∗

= 0 ´e est´avel.

Teorema B.2.2 Se para o sistema (B.1), existe uma fun¸c˜ao V (x) continuamente dife- renci´avel tal que

(i) V (x) > 0 (ii) ˙V(x) < 0 ent˜ao x∗

= 0 ´e assintoticamente est´avel.

Teorema B.2.3 Se para o sistema (B.1), existe uma fun¸c˜ao V (x) continuamente dife- renci´avel tal que

(i) V (x) > 0 (ii) ˙V(x) ≤ 0

(iii) V (x) → ∞ quando kxk → ∞ ent˜ao x∗

Teorema B.2.4 (Teorema de La Salle) Se para o sistema (B.1), existe uma fun¸c˜ao V(x) continuamente diferenci´avel tal que

(i) V (x) > 0 (ii) ˙V(x) ≤ 0

(iii) n˜ao existe x 6= 0 tal que ˙V(x) = 0, para todo t ≥ 0 ent˜ao x∗

= 0 ´e assintoticamente est´avel.

B.3

Princ´ıpio do Modelo Interno

Em muitos problemas de controle, a entrada de referˆencia y∗

pode ser modelada por Qr(s)y

∗

= 0 (B.2)

onde Qr´e um polinˆomio conhecido, e s, _dtd ´e o operador diferencial. Por exemplo, quando

y∗

= constante, Qr(s) = s. Quando y∗ = t, Qr(s) = s2 e quando y∗ = Asen(ω0t) para

algumas constantes A e ω0, ent˜ao Qr(s) = s2 + ω20, etc. Similarmente, uma perturba¸c˜ao

determin´ıstica d pode ser modelada como

Qd(s)d = 0 (B.3)

para algum Qd conhecido, em casos onde existe informa¸c˜ao suficiente sobre d. Por exem-

plo, se d ´e um sinal senoidal com amplitude e fase desconhecida, mas com frequˆencia ωd

ent˜ao ele pode ser modelado por (B.3) com Qd(s) = s2+ ω2d.

A id´eia por tr´as do princ´ıpio do modelo interno ´e que por incluir o fator _Qr(s)Q1 _d(s) no controlador C(s), n´os podemos anular o efeito de y∗

e d no erro de rastreamento e = y∗

−y, ou seja, o modelo interno ´e um operador aplicado `a referˆencia com o objetivo da planta acompanh´a-la.

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