Teoria da Probabilidade

Sendo o universo um sistema termodinâmico gigante, em conseqüência instabilidades e bifurcações são encontradas em todos os seus níveis (Prigogine, 1996), gerando intensas

variabilidades. O ser humano como integrante do universo não poderia ser diferente. Também está sob variações que, apenas simplificando ou mesmo idealizando sua visão sobre o que o cerca, pode agregar certo grau de certeza quanto ao seu conhecimento sobre o “universo morno”, conforme denominado por Prigogine (1996).

O ser humano tem dificuldades para lidar com esta variabilidade. Isto decorre da ca- pacidade limitada em processar informações, onde os processos mentais cognitivos ocor- rem forçosamente em forma parcial e seqüencial. Como a variabilidade lhe é adversa, desconfortável e complicada, freqüentemente passa a ignorar a incerteza que ali está em- butida. Mecanismos de simplificação passam a ser estruturados como forma de lidar com tal limitação (Hogarth, 1975).

Sobre esta capacidade limitada de processamento de informações, Hogarth (1975) en- fatiza que, dada sua limitada habilidade para o processamento de informações, o homem claramente necessita estruturar seu ambiente. Força então instrumentos de simplificação: a simetria, o fechamento, a proximidade, a continuidade, entre outros, buscando assim encontrar padrões temporais e/ou espaciais, que lhe permitam evidenciar o que se passa em seu redor. A habilidade e o desejo (Lins, 2004) para encontrar tais padrões de estabil- idade nas informações é reconhecida como de grande valor para sua sobrevivência (Simon & Summer, 1968) apud (Hogarth, 1975).

Referências sobre a “fairly accurate” 10_{estimação de valores de tendência central, mas}

não sobre valores de dispersão, sugerem uma maior familiaridade com médias do que com variâncias (Hogarth, 1975). Isto significa que a todo momento o ser humano é obrigado a tomar decisões sob incerteza enquanto marca indelével do universo. Clama, portanto, por mecanismos que permitam acessar medidas sobre as incertezas que o cercam.

Medida da Incerteza

Uma das mais interessantes abordagens sobre a medida da incerteza é a que se segue, auto-explicativa:

“Leis não governam o mundo, mas este tampouco é regido pelo acaso. As

leis físicas correspondem a uma nova forma de inteligibilidade que as repre- sentações probabilísticas irredutíveis exprimem. Elas estão associadas à in- stabilidade e, quer no nível microscópico, quer no macroscópico, descrevem 10_{“razoavelmente acurada” - tradução livre da autora.}

os eventos enquanto possíveis, sem reduzi-los a conseqüências dedutíveis ou previsíveis de leis determinísticas.” (Prigogine, 1996)

Axiomas de Kolmogorov

Uma vez que a probabilidade emergiu como medida da incerteza, um corpo teórico foi exigido para que a abordagem pudesse ficar sistematizada. Kolmogorov (c1956) in- troduziu a teoria da probabilidade, enquanto disciplina matemática, desenvolvendo-a ax- iomaticamente, a partir do conceito de corpo de probabilidades (field of probabilities), como sendo um sistema de conjuntos que satisfazem certas condições, compondo cinco axiomas, os quais formam o corpo de probabilidades e é demonstrada a consistência entre eles (Kolmogorov, c1956).

Os cinco axiomas de Kolmogorov (c1956) estão assim disponibilizados (Davenport, 1970), com tradução livre da autora:

1. “Dado um experimento, existe um espaço amostral Ω, representando a totalidade

dos possíveis resultados do experimento, e uma classe A de subconjuntos A de Ω, chamados eventos.”

2. “A cada evento A na classe de eventos A, pode ser associado um número real não

negativo P [A], ou seja, um número tal que 0 ≤ P [A]. Este número é chamado de probabilidade do evento A.”

3. “Para toda probabilidade associada P , é necessário que P [Ω] = 1.”

4. “Se os eventos A e B forem eventos mutuamente excludentes (disjuntos), ou seja

ATB = φ, então toda probabilidade associada P deve ser tal que P [ASB] = P [A] + P [B]. Tal função de conjunto é dita ser finitamente aditiva.”

5. “Se os eventos A1, A2, A3, . . . , An são eventos mutuamente excludentes, Ai

T

Aj = φ

para i 6= j, então qualquer probabilidade associada P deve ser tal que P

·_∞ S i=1 Ai ¸ = P [A1] + P [A2] + P [A3] + . . . = ∞ P i=1 P [Ai].”

Variável Aleatória

A definição de variável aleatória (random variable) está também em Davenport (1970), devendo antes passar pela definição do que seja faixa (range), espaço amostral da faixa

(range sample space) e imagem inversa (inverse image), com tradução livre da autora. Define-se:

- Faixa de uma função X definida em um espaço amostral Ω como sendo: RX , {x :

x = X(s) para s²Ω}.

- Espaço amostral da faixa como sendo: ΩX , RX.

- Imagem inversa de um conjunto A na faixa de uma função X definida em um es-

paço amostral Ω, como sendo: X−1_{(a) , {s : s²Ω, A ⊆ Ω}

X, e X(s)²A}.

- Variável aleatória é uma função X definida no espaço amostral Ω tal que a probabil-

idade da imagem inversa X−1_{(A) ⊂ Ω está definida para cada evento A no espaço}

amostral da faixa ΩX, quer dizer, uma função mensurável em Ω.

Funções de Probabilidade

Conforme Davenport (1970), as funções de probabilidade são:

FX, denominada de função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória

X definida no espaço amostral Ω sendo dada por:

FX(x) , P [X 6 x] = P [{s : s²Ω, −∞ < X(s) ≤ x}].

São características de FX os limites são dados por FX(+∞) = 1 e FX(−∞) = 0,

sendo ainda FX contínua e monotônica.

fX, denominada de função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória X

definida no espaço amostral Ω sendo dada por:

fX(x) , dF_dxX(x)

Momentos

Conforme Davenport (1970), o kth momento da variável aleatória X é o valor esperado da kth potência de X. Portanto:

E[Xk_{] =}X j

xk

jP [X = xj], (2.3.1)

E[Xk_{] =}

Z _+∞

−∞

xk_f

X(x)dx (2.3.2)

quando X for uma variável aleatória contínua com os valores possíveis x, e ∀k²N.

Função de Distribuição Normal

Gráficos foram inventados por Nicole d’Oresme (1325-1382), bispo de Lisieux, como auxiliares na análise de relações quantitativas. Sendo figuras de funções representam geometricamente como uma quantidade varia quando outra também varia, e, portanto, promove a unificação entre números e geometria. Basicamente estão direcionados para o reconhecimento rápido de padrões geométricos, pela utilização de formas simples como retas e curvas (facilmente reconhecíveis pela mente humana), difíceis de se determinar a partir dos números. Entre eles, histogramas vêm sendo largamente utilizados para dar sentido a informações variadas. (Mlodinow, 2004).

Entre os séculos XVII e XVIII, Abraham de Moivre e Pierre Laplace, trabalhando com probabilidade, encontraram funções contínuas de distribuição de probabilidades que passaram a ser denominadas de distribuição normal: como característica apresenta uma curva contínua em forma de sino, e apresenta simetria em torno de zero (0), para o caso padrão Z. Estas distribuições passaram a formar uma classe dentre as distribuições de expressão funcional f (x, µ, σ), sendo verificada sua dependência sobre dois parâmetros: a média µ e o desvio padrão σ. Para µ = 0 e σ = 1, tem-se a distribuição normal padrão (Isaac, 1995).

Enquanto classe, a distribuição normal pertence às distribuições denominadas famílias de distribuições de dois parâmetros, dado que qualquer membro da classe é determinado quando os dois parâmetros, média µ e desvio padrão σ, são conhecidos (ou fixados). Um dos seus primeiros e mais importantes disseminadores foi o matemático alemão Karl Friedrich Gauss, que demonstrou as múltiplas propriedades da distribuição normal, sendo também denominada de distribuição gaussiana, a partir de seus trabalhos (Isaac, 1995).

A expressão matemática da função de densidade normal padrão, N ∼ (0, 1), é dada por:

fX(x) = 1 √ 2πe −x2 2 (2.3.3)

A forma geométrica de sino é amplamente reconhecida, conforme Figura 2.3.1 a seguir:

]

x y

Figura 2.3.1: Geometria da Distribuição Normal

Esta distribuição tem, dentre suas notáveis propriedades, uma particularmente poderosa: ela preserva a normalidade nas mudanças de escalas permitindo que a soma de duas variáveis aleatórias independentes tenha também uma distribuição normal com média e variância representadas respectivamente pela soma de suas médias e de suas variâncias. (Isaac, 1995).

Outros aspectos são de notável relevância matemática:

– Aproximação com outras distribuições, ou seja, aproxima-se - sob condições restri-

tas - com várias outras distribuições, com particular ênfase para a distribuição bi- nomial com número grande de eventos com probabilidades próximas de 0, 5, e, a

de Poisson, para µ = λ e σ = √λ, com número grande de eventos de pequena

probabilidade (Davenport, 1970), (Clarke & Disney, 1970);

– Possibilidade de transformação linear sem perda da gaussianidade, ou seja,

“any finite linear transformation of a gaussian random process results

in a gaussian random process”, (Davenport, 1970) 11

11_{“toda transformação linear finita sobre um processo aleatório gaussiano resulta em um processo}

sob condições restritas, com particular ênfase para a distribuição lognormal (para baixos valores de variância, s);

– Facilidade de ser verificada sua condição estacionária, ou seja,

“if a gaussian process is stationary in the wide sense, then is also

stationary in the strict sense”, (Davenport, 1970) 12

onde ser amplamente estacionária significa a manutenção estacionária do primeiro e do segundo momentos (média e variância), traduz ser estritamente estacionária, ou seja, estacionária para os demais momentos.

Outras Funções de Distribuição

Considera-se que as principais e mais conhecidas funções de distribuição são conhecidas o suficiente. Entre elas têm-se as distribuições uniformes, binomiais, exponenciais, log- normal, de Cauchy, entre outras (Davenport, 1970),(Campello de Souza, 2002).