Um relevante domínio dos modelos estocásticos é o campo da Teoria das Filas (queueing theory). Sistemas reais podem ser reduzidos a componentes que podem ser modelados pelo conceito de uma determinada fila. A teoria das filas tem sido aplicada, com sucesso, na resolução de uma grande variedade de problemas: projeto de redes telefônicas, gerenciamento de centros de serviço, alocação de mão de obra em centros de reparo e manutenção, por exemplo. A ideia básica do conceito é emprestada da experiência de balcões de pagamento de supermercado (ANTONIOL, CIMITILE, et al., 2004; BREUER; BAUM, 2005).
A Teoria das Filas surgiu no início do século XX (1908) em Copenhague, Dinamarca. Erlang, que é considerado o pai da Teoria das Filas, estudou o problema de redirecionamento de centrais telefônicas. A aplicabilidade desse campo se expandiu nos pós Segunda Guerra Mundial (KLEINROCK, 1975; PRADO, 2004).
O sistema de filas descreve clientes saindo do serviço, esperando serviço se não imediato, e se tivesse esperado por serviço, deixando o sistema depois de ser servido. As características dos Processos de Filas para que se tenha descrição adequada do sistema de filas padrão de chegada dos clientes; padrão de serviço dos servidores; disciplina da fila; capacidade do sistema; número de canais de serviço e número de estágios dos serviços (GROSS et al,2008).
De acordo com Taha (2008) o estudo de filas trata da quantificação do fenômeno da espera em filas usando medidas representativas de desempenho como o comprimento médio de uma fila, o tempo médio da espera em fila e a média de utilização da instalação. A figura 9, inserida na discussão ensejada pelo contexto, descreve um sistema de fila única com vários canais de distribuição. Essa representação esquemática de fila pode representar o funcionamento de um caixa rápido de supermercado, por exemplo.
Neste campo de discussão é introduzido a conceituação básica sobre a teoria das filas, suficientes para entendimento dos modelos avaliados, que serão explicitados no capítulo correspondente ao Estudo de Caso. Não se trata, portanto, de um estudo aprofundado sobre a teoria das filas, embora esta teoria seja necessária para validação dos resultados de determinação de posicionamento de bases de despacho das ambulâncias do SAMU Natal.
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solicitações de serviço requisitados por um usuário, de modo que as requisições por um ou mais servidores. Nesse sentido, a figura adiante expõe de maneira contextualizada como funciona o processo de recebimento e atendimento no serviço de emergência médico objeto de estudo dessa dissertação. Novas requisições recebidas que não puderem ser imediatamente atendidas por um dos servidores formam filas, para atendimento a posteriori, conforme ilustrado na figura 10.
Figura 10: Modelo de Fila
Fonte: adaptado Liu, 2009
No que tange a representação formal de um modelo matemático, que permita formalizar estudos sobre o desempenho de sistemas computacionais, definições gerais sobre entidades e parâmetros são apresentadas pela literatura e necessários para o estabelecimento desse formalismo. O quadro 1 apresenta as principais entidades, parâmetros e simbologia (quando aplicáveis) consideradas numa abordagem clássica de Teoria das Filas. De maneira contextualizada segue a formalização desses parâmetros:
Quadro 1:Parâmetros e entidades considerados nos modelos de filas
Parâmetro Símbolo Descrição
Médico Regulador Não se aplica
Entidade responsável pelo atendimento de requisições dos usuários
Usuário Não se aplica
Entidade que requisita um serviço a ser prestado (atendido) por um servidor.
Chamado Não se
aplica
Solicitação feita por um Usuário a um Médico Regulador de um serviço a ser prestado.
Fila Não se
aplica
Entidade que armazena as chamadas recebidas que não puderam ser atendidas imediatamente. Comprimento da Fila
N Número de chamados no sistema, incluindo as que estão em serviço. Equipes de Atendimento Pré Hospitalar Médicos reguladores Fila de espera para atendimento
das chamadas Chegada de
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Tempo de Espera W Tempo médio decorrido entre a entrada de uma chamada na fila e o início do seu atendimento.
Tempo de Serviço S Intervalo de tempo médio decorrido entre os inícios de tratamento de duas requisições consecutivas.
Tempo de
Resposta R
Tempo médio total entre a chegada de uma requisição e o seu atendimento. Corresponde à soma do Tempo
de Espera com o Tempo de Serviço.
Taxa de Chegada λ Número médio de requisições recebidas em por unidade de tempo.
Taxa de Utilização U Porcentagem de tempo que um servidor permanece executando operações.
Taxa de Serviço X Número de consumidores que são atendidos por unidade de tempo (Throughput).
Fonte: Adaptado de Liu, 2009
Filas acontecem quando um recurso se encontra ocupado e ocorre a procura pelo mesmo recurso. Apesar disso, Moreira (2010) argumenta que não são todos os casos em que a formação de fila está associada à capacidade de atendimento. Tanto a variabilidade do intervalo entre chegadas quanto o tempo de atendimento, segundo este autor, provoca formação de filas. Segundo Law (2007) notações úteis servem de parâmetros para utilização das fórmulas para os cálculos.
Quadro 2: parâmetros de filas e suas relações algébricas
Fonte: Adaptado de Moreira (2010)
Em que:
λ taxa de chegada; µ taxa de atendimento;
P (0) probabilidade que o sistema esteja ocioso; P(n) probabilidade que haja n clientes no sistema;
P (n – K) probabilidade que a fila não tenha mais que K clientes;
Indicadores Equações Relações Algébricas
Utilização do sistema = /µ
Probabilidade de que haja n clientes esperando ou sendo
atendidos no sistema P(n) = (/µ) n P (0)
Probabilidade de que a fila não tenha mais que K clientes P (n = K) = (1 – (/µ)) K + 1 Número médio de clientes na fila Lf =2 / (µ (µ - )) Número médio de clientes no sistema L = Lf+ (/µ) Tempo médio que o cliente espera na fila Wf= Lf/ Tempo médio que o cliente espera no sistema W = L/
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Lf número médio de clientes na fila;
L número médio de clientes no sistema; Wf tempo médio que o cliente espera na fila;
W tempo médio que o cliente espera no sistema.
Segundo Fogliatti e Mattos (2007) define-se o sistema como determinístico quando o número de entidades que chegam e o momento em que as chegadas ocorrem são conhecidos. De modo contrário, as entidades podem chegar aleatoriamente ao longo do tempo o que se caracteriza como um processo estocástico. Logo, pode ser representado por uma distribuição de probabilidade que melhor se ajustar ao fenômeno. De acordo com Kleinrock (1975) os sistemas de filas fazem parte de classe de sistemas dinâmicos chamados de sistemas de fluxos. Este autor define um sistema de fluxo como aquele em que uma mercadoria ou entidade flui, se move ou é transportada passando por um ou mais pontos de atendimento ou processamento de capacidade finita.
Segundo Cooper (1981), o atendimento é caracterizado pelo número de postos de atendimento e o tempo de atendimento de cada um deles. Dessa forma, o processo de atendimento segue uma lógica próxima ao do processo de chegada, de modo que, o tempo do atendimento também pode ser representado por uma distribuição de probabilidade.
Para Law (2007), os modelos de simulação podem ser classificados em três dimensões. Na primeira dimensão os modelos podem ser determinados como estáticos ou dinâmicos. Os modelos estáticos, de acordo com Bateman (2013), não são influenciados pelo tempo. Neste tipo de modelo, o seu estado, ou seja, o conjunto de variáveis que descrevem um sistema não se altera ao longo do tempo. Por sua vez, os modelos dinâmicos são exatamente o inverso dos modelos estáticos, pois o estado do sistema descrito no modelo altera-se ao longo do tempo.
A segunda dimensão classifica os modelos de simulação em modelos a eventos discretos ou contínuos. Entretanto antes de apresentar esta abordagem é necessário definir o que é evento. Segundo Banks (1999) um evento consiste em uma ocorrência que altera o estado do sistema em análise. Visto isso, o mesmo autor afirma que os modelos de eventos discretos são aqueles que as variáveis de estado do sistema permanecem constantes ao longo de intervalos de tempo e sofrem
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alterações apenas em momentos específicos denominados tempo de eventos. De modo inverso, em modelos de eventos contínuos as variáveis de estado do sistema podem se modificar continuamente ao longo do tempo. Normalmente neste tipo de modelo as variáveis de estado são definidas por meio de equações diferencias, ou seja, essas equações estabelecem as taxas de variações do sistema.
Na terceira dimensão, os modelos de simulação são divididos em determinístico e estocástico. Para Law (2007), O modelo de simulação determinístico é aquele que não possui qualquer componente aleatória (probabilística). Dessa forma, em contrapartida, os modelos estocásticos possuem componentes aleatórias comumente descritas através de distribuições de probabilidade