Terceiro Conjunto de Problemas trabalhado

Problema 7- (ENEM/2010) Existe uma cartilagem entre os ossos que vai crescendo e se calcificando desde a infância até a idade adulta. No fim da puberdade, os hormônios sexuais (testosterona e estrógeno) fazem com que essas extremidades ósseas (epífises) se fechem e o crescimento seja interrompido. Assim, quanto maior a área não calcificada entre os ossos, mais a criança poderá crescer ainda. A expectativa é que durante os quatro ou cinco anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 centímetros.

Revista Cláudia. Abr. 2010 (adaptado). De acordo com essas informações, um garoto que inicia a puberdade com 1,45 m de altura poderá chegar ao final dessa fase com uma altura

a) mínima de 1,458 m. b) mínima de 1,477 m. c) máxima de 1,480 m. d) máxima de 1,720 m. e) máxima de 1,750 m.

Problema 8: A NOTA DE CEM REAIS (adaptado de SOUZA, 2001)

Um indivíduo entrou numa sapataria e comprou um par de sapatos por R$ 60,00, entregando, em pagamento, uma nota de R$ 100,00. O sapateiro, que no momento não dispunha de troco, mandou que um de seus empregados fosse trocar a nota numa confeitaria próxima. Recebido o dinheiro, deu ao freguês o troco e o par de sapatos que havia sido adquirido.

Momentos depois, surgiu o dono da confeitaria exigindo a devolução do seu dinheiro: a nota era falsa! E o sapateiro viu-se forçado a devolver os cem reais que havia recebido. Surge, afinal, uma dúvida: qual foi o prejuízo que o sapateiro teve nesse complicado negócio?

Problema 9 - (ENEM/2010) Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses.

Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.

Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais?

a) 1 667 b) 2 036 c) 3 846 d) 4 300 e) 5 882

No terceiro conjunto de problemas tivemos a formação de 6 duplas, assim, participaram desse encontro de intervenção um total de 12 alunos.

O problema 7, retirado da prova do ENEM 2010, tratava sobre o crescimento humano durante a puberdade. Afirmando que, ao longo dessa fase, um garoto pode crescer entre 27 e 30 cm. Considerando um garoto que iniciou a puberdade com 1,45 m, pergunta-se qual a altura máxima que ele poderá atingir com o fim dessa fase.

122 O problema 8, retirado do livro ―Matemática divertida e curiosa‖ de Malba Tahan, consistia em uma narrativa sobre o caso da nota de cem reais. Um sapateiro vendeu um par de sapatos por 60 reais e recebeu pela venda uma nota de cem reais, não tendo troco para o comprador, ele manda trocar a nota em uma confeitaria. Após isso, ele dá o troco ao cliente que vai embora. Momentos depois, o dono da confeitaria pede a devolução de seu dinheiro, pois, a nota de cem reais era falsa. Assim, o sapateiro devolve os cem reais ao confeiteiro. Diante desse contexto, pergunta-se qual foi o prejuízo do sapateiro nessa venda.

O nono problema, também retirado do ENEM 2010, tratava sobre a durabilidade da cédula e da moeda de um real e dos custos na produção desses dois tipos de dinheiro. A moeda possui um custo de produção superior a cédula, porém dura bem mais que o dinheiro de papel. Assim, dados os custos de produção de cada um e, dispondo de R$ 1000,00 para a fabricação de moedas, questiona-se quantas cédulas a mais era possível fabricar com esse mesmo valor.

Dessa forma, considerando o terceiro conjunto de problemas, os grupos tiveram o seguinte desempenho:

Quadro 32: Síntese do despenho dos grupos no conjunto de problemas 3. Grupos Solução do Problema 7 Solução do Problema 8 Solução do Problema 9

(A21, A11) Correta Errada Correta

(A13, A15) Correta Errada Correta

(A14, A8) Correta Errada Correta

(A3, A1) Errada Errada Errada

(A2, A20) Errada Errada Correta

(A17, A5) Correta Errada Correta

Dos três problemas aplicados, o número 8 não foi solucionado de maneira correta por nenhuma dupla; o número 7 foi solucionado de forma adequada por 4 grupos e, dois emitiram respostas erradas; já o número 9 teve 5 acertos e uma resposta errada.

Na solução do problema 7, dois grupos apresentaram como respostas a letra ―a‖, mínima de 1,458 m, que não atende as condições presentes no enunciado. Pois, considerando que o garoto no início da puberdade tem 1,45 m e, durante essa fase, pode crescer de 27 a 30 cm, e que o problema solicita a altura final que ele poderá alcançar, isso só acontecerá se ele atingir os 30 cm máximo de crescimento.

123 Dessa forma, os alunos precisavam observar que o crescimento máximo do garoto seria de 30 cm e, somar esse valor com sua altura no início da puberdade. Assim, a altura máxima atingida seria de 1,75 m, conforme solução abaixo:

Figura 46: Resolução correta apresentada pelo grupo (A13, A15).

No problema 8 todos os alunos erraram a resposta. Os grupos, ao iniciarem a leitura dessa questão, reclamaram que ela era muito grande. Nessa questão eles precisavam atentar que o sapateiro devolveu os cem reais ao dono da confeitaria, já que a nota de cem reais trocada era falsa, sendo o seu prejuízo os R$ 40,00 dados como troco ao freguês e o par de sapatos no valor de R$ 60,00. Em termos financeiros, podemos afirmar que o sapateiro teve um prejuízo de R$ 100,00.

Das respostas inadequadas para esse problema, quatro foram solucionadas com um mesmo tipo de pensamento: os grupos contabilizaram como prejuízo os 100 reais devolvidos ao confeiteiro, os 40 reais do troco e os 60 do par de sapatos, considerando como prejuízo total 200 reais. Dois grupos apresentaram respostas diferentes: 140 reais de prejuízo, 40 do troco dado ao freguês e 100 devolvidos ao confeiteiro e, 40 reais, desconsiderando o valor do par de sapatos. Algumas resoluções apresentadas foram:

Figura 47: Resolução incorreta apresentada pelo grupo (A13, A15).

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Figura 49: Solução incorreta apresentada pelo grupo (A17, A5).

Comentário: na solução inicial proposta pelo grupo (A3, A1), percebemos que apresentaram a resposta correta, o prejuízo do sapateiro foi de R$100,00. Porém, após expor detalhadamente todos os valores, o grupo conclui que o prejuízo total foi de R$200,00, considerando como parte do prejuízo os cem reais devolvidos ao confeiteiro (que não deveria ser computado como prejuízo, já que ocorreu apenas a devolução do valor trocado).

No problema 9, tivemos apenas uma resposta inadequada. Os grupos, inicialmente, sentiram dificuldades em solucionar essa questão, pois, não percebiam que precisavam verificar a quantidade de cédulas e de moedas que seria possível produzir com os mil reais. Após esclarecer que era necessário calcular essas quantidades para em seguida compará-las, eles passaram à resolução da questão. Dessa forma, verificaram que com R$ 1000,00 dava para produzir 5882 cédulas e, com esse mesmo valor, produzia-se 3846 moedas. Portanto, ao comparar as duas quantidades, percebe-se que com os mil reais era possível fabricar, aproximadamente, 2036 cédulas a mais.

Figura 50: Solução correta apresentada pelo grupo (A14, A8).

Comentário: na solução conjunta dessas questões, chamamos a atenção dos alunos para a interpretação correta dos enunciados, prestando atenção em expressões restritivas, tais como ―poderá chegar‖ (problema 7) e ―aproximadamente‖ (problema 9) e o que elas indicam na questão.

125 Assim, na discussão da questão 7, após uma leitura conjunta do enunciado, destacamos que a referida expressão indicava a altura máxima que poderia ser atingida pelo garoto após a puberdade. Dessa forma, considerando que nessa fase um garoto pode crescer entre 27 e 30 cm, após sua passagem, o crescimento máximo atingido seria de 30 cm. Portanto, somando esse valor a altura do garoto no início da puberdade, obtém-se a altura máxima a ser atingida, que é de 1,75 m.

Já na questão 9, discutimos que a expressão ―aproximadamente‖ indicava algo que não era exato, mas que possuía uma melhor aproximação para o valor a ser considerado como correto(resposta da questão). Após apresentar duas alternativas que haviam sido marcadas pelos grupos, apontaram que a resposta correta seria 2036, resultante da diferença entre a quantidade de cédulas e moedas que poderiam ser produzidas com o mesmo valor – mil reais. Por último, deixamos a discussão da oitava questão. Realizamos uma leitura coletiva e passamos a questionar os alunos sobre informações presentes no enunciado da questão. Após alguns questionamentos, os alunos perceberam que o prejuízo do sapateiro era os R$ 40,00 dados como troco ao freguês e o par de sapatos no valor de R$ 60,00, pois, os R$100,00 do confeiteiro foram apenas devolvidos, não sendo computado como prejuízo. Dessa forma, o sapateiro perdeu o troco dado ao cliente e o par de sapatos, totalizando cem reais, que foi o seu prejuízo nesse complicado negócio.

Apesar de não terem acertado o prejuízo do sapateiro e, de afirmarem que o problema era muito grande, ―parece uma história‖, a maioria dos alunos o acharam interessante, justificando que ele desperta a curiosidade para saber a solução do ―caso curioso‖.