Teste de Invariância Escalar (ȁ[-Teste)

Dado que a propriedade da invariância escalar é característica exclusiva de uma distribuição NB-Lei, uma forma direta de se testar a conformidade com esta distribuição seria avaliar o comportamento da frequência dos dígitos quando todos os elementos da série de dados se sujeitam a progressivas multiplicações.

Smith (1997) propôs o one scaling test, um teste de invariância escalar baseado na observação das variações ocorridas apenas na frequência do dígito 1 (um) da primeira posição de uma distribuição quando cada número do grupo é submetido a 696 multiplicações sucessivas pelo fator 1,01. Na primeira iteração, cada um dos números originais deve ser multiplicado por 1,01. Da segunda iteração em diante multiplica-se cada um dos números gerados na iteração anterior novamente por 1,01, até completar as 696 iterações.

O teste proposto no presente trabalho apresenta basicamente as seguintes diferenças em relação ao one scaling test:

O teste verifica as variações ocorridas em todos os dígitos das posições analisadas e não apenas o dígito 1 da primeira posição;

A constante multiplicativa oscilou em progressão aritmética (P.A.) e não em progressão geométrica (P.G.);

O teste foi aplicado varrendo-se um único período da base [1,10] e não três períodos [1,1000].

A opção pela verificação das variações ocorridas na frequência de apenas um dígito restringe a sensibilidade do teste, limitando a sua capacidade representativa dos desvios observados entre os elementos da distribuição analisada. Isto ocorre porque a variação

observada em um único dígito assumirá valores dentro do intervalo [0,n], onde o zero representaria o comportamento invariante e o n a sua máxima variação possível, sendo esta observada quando a ocorrência do dígito permutasse de 0 para n ou vice-versa.

Recomenda-se que a série seja multiplicada pelos termos de uma progressão aritmética crescente no intervalo [1,10[, tendo 1 + r por termo inicial, onde r seja o menor múltiplo da base 10 possível. A escolha da menor razão múltipla da base 10 possível (0,1; 0,01; 0,001... 1/10n) fará com que os termos da P.A. assumam uma maior quantidade de valores dentro do intervalo, conferindo assim uma maior precisão ao resultado do teste. No teste aplicado neste trabalho foi utilizado um r de 0,001, com a P.A. variando do termo inicial 1,001 ao termo final 9,999. O ponto de parada aberto em 10 garante que ao final das consecutivas multiplicações o último termo da P.A. não se converta em um valor igual ou superior ao múltiplo da base. Não fosse esta restrição os dígitos retornariam a sua proporção inicial, reiniciando um redundante ciclo de testes da série.

É oportuno ressaltar que quanto menor for a razão, maior será, além da precisão, o esforço computacional empregado nas sucessivas multiplicações, com repercussão direta no tempo de processamento do teste.

No entanto, apenas multiplicar a distribuição por si não mensura a conformidade com a NB-Lei, é necessário identificar a constante que provocou o desvio máximo em um dígito ou conjunto de dígitos da distribuição. Muito embora seja possível identificar o comportamento do desvio observando apenas as variações sofridas em um único dígito, optou-se neste teste por considerar os desvios absolutos ocorridos em todos os dígitos para as p posições analisadas na distribuição testada, conferindo, desta forma, uma maior precisão ao teste realizado.

O teste aqui realizado poderá ser reproduzido observando-se as seguintes etapas:

Identifique de forma individualizada a quantidade de vezes em que cada dígito aparece nas 4 (quatro) primeiras posições da distribuição analisada;

Multiplique todos os elementos da distribuição pelo primeiro termo da P.A. (1 + 0,001n);

Identifique de forma individualizada a quantidade de vezes em que cada dígito aparece nas 4 (quatro) primeiras posições da distribuição resultante;

Calcule os desvios absolutos nas ocorrências de cada dígito em cada uma das 4 (quatro) posições, comparando os valores obtidos das ocorrências na distribuição resultante com os valores da distribuição analisada;

Some os desvios observados nos dígitos das posições selecionadas para análise e divida pelo fator 2pn, onde n é o número de elementos da série de dados testada e p é a quantidade de posições verificadas no teste;

Armazene o resultado obtido no item anterior e repita o processo a partir da etapa 2 utilizando o termo seguinte da P.A. até que o seu valor seja 9,999;

Identifique o ȁ[ como sendo o maior valor obtido na etapa 5 dentre todos os termos testados da P.A. (1,001 a 9,999).

O ȁ[-Teste é um teste do tipo quanto menor melhor, indicando a proporção máxima de desvios observados por excesso de ocorrências na distribuição resultante. O seu valor oscilará entre 0 (zero) e 1 (um), indicando respectivamente uma invariância perfeita (ausência de desvios com a manutenção de todas as proporções de ocorrências para os dígitos nas posições investigadas) e uma variação total (desvio máximo com uma renovação total dos dígitos nas posições) (vide resultados obtidos com a aplicação do teste de invariância escalar - ȁ[ no apêndice E-32).

Foi observado em decorrência da aplicação dos testes que as primeiras posições apresentam um maior potencial de evidenciação do efeito da invariância na distribuição como um todo. Isto ocorre porque o comportamento invariante em uma posição é influenciado pelo comportamento invariante das posições anteriores e influenciará a invariância das posições seguintes. Desta forma, quanto maior for a quantidade de posições anteriores associadas a uma posição analisada, mais precisa será a avaliação do seu comportamento invariante. Como corolário, temos que a análise do comportamento invariante na primeira posição, individualmente observada, será a que melhor representa o comportamento da distribuição como um todo. Consequentemente, a análise do comportamento invariante na última posição, também individualmente observada, será a que pior representará o comportamento da distribuição como um todo. Vide exemplo da invariância constante do Apêndice C, enquanto os dígitos da primeira posição assumiram um comportamento invariante para as constantes exemplificadas, os dígitos das posições seguintes obtiverem desvios crescentes.

O ȁ[-Teste teve o seu valor crítico calculado em 0,10225, para um nível de significância Į  01, mediante a utilização da técnica estatística bootstrap, vide seção

5.3.3. Ressalta-se que, excepcionalmente na aplicação do bootstrap para este teste, foram realizadas apenas 1.000 simulações para o cômputo do seu intervalo de confiança, visto que o seu tempo de processamento não permitiu a obtenção tempestiva de um resultado com 10.000 simulações.

O resultado obtido com o ȁ[-Teste identifica a proporção máxima de desvios observados por excesso de ocorrências após as progressivas multiplicações, avaliando, desta forma, a conformidade do conjunto de dados em sua integralidade, ou seja, considerando o comportamento de todos os dígitos para todas as posições. Por esta razão o ȁ[-Teste foi considerado neste trabalho como o teste mais preciso na determinação da conformidade de um conjunto de dados com as propriedades de uma distribuição NB-Lei. O ȁ[-Teste possui o perfil de um teste de cunho gerencial, podendo ser utilizado na determinação de prioridades para análise, mediante a formação de um ranking de conformidade para os conjuntos de dados a serem auditados.