Um teste de hipóteses é um método estatístico que permite decidir sobre a rejeição ou a não rejeição de uma hipótese feita sobre determinado parâmetro de uma população, tendo como base as evidências fornecidas pelos dados de uma amostra.
Duas hipóteses mutuamente exclusivas são consideradas: a hipótese nula (𝐻0) e a hipótese alternativa (𝐻1). A primeira corresponde à suposição que será testada, enquanto que a segunda corresponde à suposição que será aceita, caso 𝐻0 seja rejeitada [63].
Supondo um teste sobre um parâmetro θ da população, a hipótese nula consiste em afirmar que tal parâmetro é igual a um valor θ0 de interesse, conforme indica (E.7).
𝐻0 ∶ θ = θ0 (E.7)
Já a hipótese alternativa depende do objetivo do teste, de acordo com a Tabela E.3.
Tabela E.3 – Hipótese alternativa em função do objetivo do teste.
Hipótese alternativa Objetivo do teste
𝐻1 ∶ θ ≠ θ0 Provar que θ é diferente de θ0 (teste bilateral) 𝐻1 ∶ θ > θ0 Provar que θ é maior do que θ0 (teste unilateral) 𝐻1 ∶ θ < θ0 Provar que θ é menor do que θ0 (teste unilateral)
O parâmetro θ é estimado com base nos dados da amostra, considerando o estimador θ̂. No entanto, como as estimativas variam de uma amostra para outra, para testar se a amostra foi de fato retirada de uma população onde θ = θ0, é necessário conhecer a distribuição amostral de θ̂ sob a hipótese nula, para assim definir uma estatística de teste (𝐸0) apropriada.
A estatística 𝐸0 é calculada em função de θ̂. Ao comparar o valor obtido (𝑒0) com um valor crítico (𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡) definido pelo nível de significância (α) do teste, pode-se decidir se a hipótese nula deve ser rejeitada ou não, conforme mostra a Tabela E.4. O conjunto de valores da estática de teste que levam à rejeição de 𝐻0 recebe o nome de Região Crítica.
Tabela E.4 – Região Crítica de acordo com a hipótese alternativa.
Hipótese alternativa Região Crítica (rejeição de 𝑯𝟎)
𝐻1 ∶ θ ≠ θ0 |𝑒0| > 𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡 𝐻1 ∶ θ > θ0 𝑒0 > 𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡
Quando a hipótese nula é rejeitada, a hipótese alternativa é aceita. Entretanto, vale ressaltar que a rejeição de 𝐻1 não quer dizer necessariamente que 𝐻0 é aceita. Ou seja, apenas
não há evidências suficientes para suportar 𝐻1 ao nível de significância 𝛼 [63].
Em um teste bilateral, a área sob a curva da distribuição da estatística 𝐸0 entre −𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡 e 𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡 é igual a 1 − 𝛼, como pode ser visto na Figura E.6.
Figura E.6 – Valor crítico em função do nível de significância do teste: 𝐻1∶ θ ≠ θ0.
No caso dos testes unilaterais, considera-se a Figura E.7 ou a Figura E.8.
Figura E.7 – Valor crítico em função do nível de significância do teste: 𝐻1∶ θ > θ0.
Desta forma, após fixar o nível de significância do teste, pode-se definir a Região Crítica por meio das expressões indicadas na Tabela E.5.
Tabela E.5 – Valor crítico em função do nível de significância do teste.
Hipótese alternativa 𝑬𝒄𝒓𝒊𝒕 em função de 𝜶 𝐻1 ∶ θ ≠ θ0 2 𝑃(𝐸0 > 𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡) = 𝛼
𝐻1 ∶ θ > θ0 𝑃(𝐸0 > 𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡) = 𝛼 𝐻1 ∶ θ < θ0 𝑃(𝐸0 < 𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡) = 𝛼
O valor de 𝛼 é equivalente à probabilidade de se rejeitar 𝐻0 quando ela é verdadeira
(erro I), por isso, a fim de que essa probabilidade seja reduzida, tal valor deve ser pequeno. Entretanto, para um mesmo tamanho de amostra, quanto menor o valor de 𝛼, maior a probabilidade de não se rejeitar 𝐻0 quando ela é falsa (erro II). Logo, pode-se concluir que deve haver um compromisso entre as probabilidades dos erros I e II.
Tradicionalmente, o nível de significância do teste é fixado em 5%, partindo da premissa de que este é um valor admissível para a probabilidade do erro I. Já para calcular a probabilidade do erro II, é necessário conhecer o verdadeiro valor do parâmetro θ.
No entanto, como θ é desconhecido (do contrário não haveria a necessidade de estimá- lo), o que se faz é supor que tal parâmetro é igual a θ1, por exemplo. Assim, avalia-se qual seria a probabilidade da hipótese nula não ser rejeitada caso o verdadeiro valor de θ fosse igual a θ1.
A Figura E.9 destaca a área correspondente a probabilidade de cada erro.
Figura E.9 – Probabilidade dos erros I e II.
Como o valor de 𝛼 é fixo, a probabilidade do erro II diminui à medida que a distância entre θ0 e θ1 aumenta, ou quando o tamanho da amostra aumenta, já que a variância do estimador θ̂ se torna menor (as distribuições exibidas na Figura E.9 ficam mais estreitas).
A decisão de rejeitar ou não a hipótese nula também pode ser feita com base no valor- p, o qual é obtido a partir do valor da estatística 𝐸0, conforme mostra a Tabela E.6.
Tabela E.6 – Cálculo do valor-p a partir do valor da estatística de teste.
Hipótese alternativa Valor-p em função de 𝑬𝟎
𝐻1 ∶ θ ≠ θ0 valor-p = 2 𝑃(𝐸0 > |𝑒0|) 𝐻1 ∶ θ > θ0 valor-p = 𝑃(𝐸0 > 𝑒0) 𝐻1 ∶ θ < θ0 valor-p = 𝑃(𝐸0 < 𝑒0)
Ao comparar o valor-p com o nível de significância do teste, é possível deduzir se o valor da estatística 𝐸0 pertence ou não à Região Crítica. Por exemplo, em um teste bilateral, se valor-p < 𝛼, pode-se concluir que |𝑒0| > 𝑒𝑐𝑟𝑖𝑡, já que a área entre −𝑒0 e 𝑒0 será maior do que 1 − 𝛼. Desse modo, pode-se rejeitar 𝐻0.
O valor-p pode ser interpretado como o menor nível de significância que levaria à rejeição da hipótese nula com base nos dados da amostra. Dessa maneira, pode-se dizer que tal estatística oferece uma medida quantitativa quanto à adequação da decisão de se rejeitar 𝐻0, ou seja, quanto menor esse valor, menor o risco de se cometer o erro I [63].
E.3.1. Teste de hipóteses sobre o coeficiente de correlação linear
A fim de testar se o coeficiente de correlação linear (ρ) entre duas variáveis é igual a zero, o primeiro passo consiste em definir uma estatística de teste apropriada.
O parâmetro ρ é estimado pelo coeficiente de correlação de Pearson (r). Quando ρ = 0, é possível verificar que o coeficiente 𝑟 possui uma distribuição amostral simétrica em torno de zero, com variância igual a (1 − 𝑟2) (𝑛 − 2)⁄ . Assim, pode-se definir a estatística de teste dada pela equação (E.8), a qual possui uma distribuição t de Student com n−2 graus de liberdade.
𝑇0 = 𝑟 √𝑛 − 2
√1 − 𝑟2 (E.8)
Considerando o teste unilateral apresentado em (5.7), a hipótese nula é rejeitada quando 𝑡0 > 𝑡𝛼,𝑛−2 (sendo 𝑃(𝑇0 > 𝑡𝛼,𝑛−2) = 𝛼), o que pode ser verificado a partir do valor-p, caso este seja menor do que o nível de significância do teste.
Desse modo, ao rejeitar 𝐻0, pode-se concluir que há uma relação linear positiva entre as variáveis, isto é, à medida que uma aumenta a outra também aumenta, e vice-versa (𝐻1 é aceita).
APÊNDICE F – CARACTERÍSTICAS DOS EVENTOS DE
VTCD E DESEMPENHO DO SISTEMA MONITORADO
Neste apêndice são apresentadas as estatísticas levantadas com base nos resultados de medições provenientes do projeto de P&D considerado neste trabalho, a fim de analisar as características dos eventos e o desempenho dos barramentos monitorados.
Também foram obtidas estatísticas quanto ao tipo dos afundamentos de tensão, sendo avaliado o impacto desses distúrbios sobre o funcionamento dos conversores de frequência.