Teste para múltiplas quebras de Bai-Perron (1998)

Os testes de múltiplas quebras estruturais têm sido uma parte importante dos trabalhos econométricos nas últimas décadas. Esses trabalhos remontam a Chow (1960), que testou a mudança de regime, em datas conhecidas a priori, usando uma estatística F. Quandt (1960) modificou a estrutura de Chow para considerar a estatística F com o maior valor em relação a todos os possíveis anos. Andrews (1993) e Andrews e Ploberger (1994) derivaram a distribuição limitante do Quandt e estatísticas de teste relacionadas. Mais recentemente, Bai (1997) e Bai e Perron (1998, 2003a) fornecem resultados teóricos e computacionais que ampliam ainda mais a estrutura de Quandt-Andrews, permitindo múltiplos pontos de quebra desconhecidos. No teste de Bai-Perron a amostra é dividida em subamostras e, nas subamostras, são estimados os parâmetros por MQO, guardando-se a soma dos quadrados dos resíduos (SQR). O teste busca as datas das quebras que minimizam o SQR total de toda a amostra. Bai e Perron (1998) descrevem os procedimentos globais de otimização para identificar as múltiplas quebras que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos do modelo de regressão:

𝑦_𝑡 = 𝑋_𝑡′𝛽 + 𝑍_𝑡′𝛿_𝑗+ 𝜀_𝑡 .

Em resumo, para um conjunto específico de pontos de interrupção, diga {𝑇}𝑚= (𝑇1, … , 𝑇𝑚)

podemos minimizar a soma dos quadrados dos resíduos:

𝑆(𝛽, 𝛿|{𝑇}) = ∑𝑚_𝑗=0 {∑𝑇𝐽+1−1𝑦 − 𝑋_𝑡′𝛽 − 𝑍_𝑡′𝛿_𝑗

𝑡=𝑇𝑗 }.

Usa-se a regressão padrão de MQO para obter as estimativas (𝛽̂, 𝛿̂). Os otimizadores globais de 𝑚 quebras é o conjunto de pontos de interrupção e estimativas de coeficientes correspondentes que minimizam a soma dos quadrados em todos os conjuntos possíveis de partições de 𝑚 quebras. Observe que o número de modelos de comparação aumenta rapidamente em 𝑚 e 𝑇, de modo que são necessários algoritmos eficientes para calcular os otimizadores. Os algoritmos práticos para computação dos otimizadores globais para múltiplos

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modelos de ponto de interrupção são descritos em Bai e Perron (2003a). Essas estimativas do ponto de ruptura global são então usadas como base para vários testes de ponto de interrupção. Bai e Perron (1998) descrevem uma generalização do teste de Quandt-Andrews (Andrews, 1993) em que testamos a igualdade do 𝛿𝑗 em múltiplos regimes. Para um teste com hipótese

nula de ausência de quebras contra uma hipótese alternativa de 𝑙 quebras, empregamos uma estatística F para avaliar a hipótese nula de que 𝛿₀ = 𝛿₁= ⋯ = 𝛿_𝑙+1 . A forma geral da estatística (Bai-Perron 2003a) é:

𝐹(𝛿̂) = 1 𝑇(

𝑇 − (𝑙 + 1)𝑞 − 𝑝

𝑘𝑞 )(𝑅𝛿̂)′(𝑅𝑉(𝛿̂)𝑅

′₎−1_𝑅𝛿̂.

Onde 𝛿̂ é a estimativa ótima de 𝑙 quebras da estimativa de δ, (𝑅𝛿)′= (𝛿₀′− 𝛿₁′, … , 𝛿_𝑙′− 𝛿_𝑙+1′ ), e 𝑉(𝛿̂) é uma estimativa da matriz de variância e covariância de 𝛿̂, que pode ser robusta à correlação serial e à heterocedasticidade, cuja forma depende de suposições sobre a distribuição dos dados e os erros em todos os segmentos.

Um único teste de ausência de quebras contra uma alternativa de 𝑙 quebras assume que o número alternativo de pontos de interrupção 𝑙 é pré-especificado. Nos casos em que não é conhecido, podemos testar a hipótese nula de nenhuma mudança estrutural contra um número desconhecido de quebras até algum limite superior, 𝑚*. Este tipo de teste é denominado duplo máximo, pois envolve maximização tanto para um dado quanto para vários valores da estatística de teste para 𝑙.

A versão igual ponderada do teste, denominada U Dmax, escolhe a alternativa que maximiza a estatística em relação ao número de pontos de interrupção. A abordagem alternativa, denotada U Dmax, aplica pesos às estatísticas individuais para que os valores 𝑝 implícitos marginais sejam iguais antes de tomar o máximo. As distribuições dessas estatísticas de teste são não-padrão, mas Bai e Perron (2003b) fornecem cálculos de valor crítico e de superfície de resposta para vários parâmetros de corte (tamanho mínimo de amostra para estimar uma interrupção), números de regressores e números de quebras.

Bai (1997) descreve uma abordagem intuitiva para detectar mais de uma interrupção. O procedimento envolve a aplicação sequencial de testes de ponto de interrupção. • Comece com a amostra completa e execute um teste de constância de parâmetros com intervalo desconhecido.

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em duas amostras e realize testes de pontos de ruptura desconhecidos em cada subamostra. Cada um desses testes pode ser visto como um teste da hipótese alternativa de 𝑙 + 1 = 2 versus a hipótese nula de 𝑙 = 1 quebras. Adicione um ponto de interrupção sempre que a hipótese nula da subamostra nula for rejeitada. (Alternativamente, pode-se testar apenas uma única subamostra que mostra a maior melhora na soma dos quadrados dos resíduos). • Repita o procedimento até que todas as subamostras não rejeitem a hipótese nula, ou até que o número máximo de pontos de interrupção permitido ou os intervalos de subamostra máximos para teste sejam atingidos.

Se o número de pontos de interrupção for pré-especificado, simplesmente estimamos o número especificado de pontos de interrupção, um de cada vez, usando esse método repetidamente. Uma vez que os pontos de interrupção sequenciais foram determinados, Bai recomenda um procedimento de refinamento pelo qual os pontos de interrupção são reestimados se forem obtidos a partir de uma subconjunto contendo mais de uma quebra. Esse procedimento é necessário para que as estimativas do ponto de interrupção tenham a mesma distribuição limitante que as obtidas no procedimento de otimização global.

Bai e Perron (1998) descrevem uma abordagem modificada de Bai (1997) em que, em cada etapa de teste, os pontos de interrupção 𝑙 sob a hipótese nula são obtidos por minimização global da soma dos quadrados dos resíduos. Podemos, portanto, ver essa abordagem como um procedimento 𝑙 + 1 versus teste que combina as abordagens de testes globais e sequenciais. Cada teste começa com o conjunto de 𝑙 pontos de interrupção globais de otimização e executa um único teste de constância de parâmetros usando a quebra de subamostra que mais reduz os resíduos de soma de quadrado. Observe que neste caso, nós apenas testamos a constância em uma única subamostra.