Testes de hip´ oteses para a variˆ ancia σ 2 de uma popula¸c˜ ao Normal com m´edia desconhecida

Suponhamos que observamos uma amostra aleat´oria (X1, . . . , Xn) de uma popula¸c˜ao X ∼ N(µ, σ2),

em que µ é desconhecido. Vamos nesta seçcão considerar 3 hipóteses diferentes respeitantes ao parâmetro variância populacional, σ2_.

Teste bilateral

X _{Testamos aqui a hip´}_{otese de que o parˆ}_{ametro variˆ}_{ancia populacional σ}2_{, da popula¸c˜}_{ao acima}

definida, vale σ2 0:

H0 : σ2= σ02 vs H1: σ2 6= σ02

X _{Vamos escolher a estat´ıstica de teste com base no estimador de σ}2_{, S}2_{, variˆ}_{ancia amostral:}

X2 = (n − 1)S

σ₀2

sob H0

∼ χ2_(n−1)

X _{Definamos a regi˜}_{ao de rejei¸c˜}_{ao do teste, para um n´ıvel de significˆancia α, pr´e-especificado. Vamos}

escolhê-la para valores muito grandes e muito pequenos da estat´ıstica de teste, indicadores de uma despropor¸cão entre as variâncias amostrais e populacionais, não condizente com a hipótese nula - ver figura seguinte.

c1 c2

α/2 α/2

Assim defino a regi˜ao de rejei¸c˜ao, denotando-a por Rα, como:

Rα≡ (0; c1) ∪ (c2; +∞), c1: P (X2 < c1) = α 2 ⇔ c1= Fχ−12 (n−1) α 2 = χα 2 c2: P (X2 < c2) = 1 − α 2 ⇔ c2= F −1 χ2 (n−1) 1 −α₂= χ₁₋α 2 Ent˜ao Rα≡ (0; χα 2) ∪ (χ1−α2; +∞)

X _{Regra de decis˜}_{ao do teste:}

Rejeitar H0 ao n´ıvel de significˆancia α se x2obs = (n − 1)s 2

σ2

0 ∈ R α.

Exemplo 10.8 Consideremos novamente o exemplo da popula¸c˜ao dos pesos das formigas Solenop-

sis, i.e. a popula¸c˜_{ao X ∼ N(µ, σ}2). Vamos testar a hipótese de que a variância populacional σ2 efectivamente vale 22, com base na amostra aleatória dos 4 pesos recolhida, (8, 13, 9, 8.5).

• H0 : σ2 = 22 vs H1: σ2 6= 22 • Estat´ıstica de teste: X2 = (4 − 1)S 2 22 = 3S2 4 sobH0 ∼ χ2₍₄₋₁₎ ≡ χ2(3)

• Região de rejei¸cão para α = 0.05: R0.05≡ (0; c1) ∪ (c2; +∞), c1 : P (X2 < c1) = 0.05 2 = 0.025 ⇔ c1 = F −1 χ2 (3) (0.025) = 0.216 c2: P (X2 < c2) = 1 − 0.05 2 = 0.975 ⇔ c2 = F −1 χ2 (3) (0.975) = 9.348 Então Rα ≡ (0; 0.216) ∪ (9.348; +∞)

• Regra de decis˜ao do teste:

Rejeitar H0 ao n´ıvel de significˆancia 5% se x2obs = 3s2/4 ∈ R0.05.

• Decis˜ao: Sendo s2= 1 n − 1 ( _n X i=1 x2_i _{− n¯x}2 ) = 1 3386.25 − 4 × 9.625 2_{= 5.229167,} ent˜ao xobs = 3 × 5.229167 4 = 3.921875 /∈ R0.05

Logo, não rejeitar H0 ao n´ıvel de significância 5%, vindo então os dados confirmar a validade

desta hip´otese.

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₅₇

Teste unilateral direito

X _{Testamos aqui a hip´}_{otese de que o parˆ}_{ametro variˆ}_{ancia populacional σ}2_{, da popula¸c˜}_{ao anteri-}

ormente definida, ´e inferior ou igual a σ2 0:

H0 : σ2≤ σ02 vs H1: σ2 > σ02

Nota: Repare que o valor σ2

0 pertence `a hip´otese nula.

X _{Estat´ıstica de teste:} X2 = (n − 1)S 2 σ2 0 sob H0 ∼ χ2_(n−1)

X _{Definamos a regi˜}_{ao de rejei¸c˜}_{ao do teste, para um n´ıvel de significˆancia α, pr´e-especificado. Vai}

corresponder aos valores maiores da estat´ıstica de teste - ver figura seguinte.

c α

Assim defino a regi˜ao de rejei¸c˜ao, denotando-a por Rα, como:

Rα≡ (c; +∞),

c : P (X2_{< c) = 1 − α ⇔ c = F}−1

χ2

(n−1)(1 − α) = χ1−α

Ent˜ao Rα≡ (χ1−α; +∞)

X _{Regra de decis˜}_{ao do teste:}

Rejeitar H0 ao n´ıvel de significˆancia α se x2obs = (n − 1)s 2

σ2

0 ∈ R α.

Teste unilateral esquerdo

X _{Finalmente estamos interessados em testar a hip´}_{otese de que o parˆ}_{ametro variˆ}_{ancia populacional}

σ2_{, da popula¸c˜}_{ao anteriormente definida, ´}_{e superior ou igual a σ}2 0:

H0 : σ2≥ σ02 vs H1: σ2 < σ02

Nota: Repare que o valor σ2

0 pertence `a hip´otese nula.

X _{Estat´ıstica de teste:} X2 = (n − 1)S 2 σ2 0 sob H0 ∼ χ2_(n−1)

X _{Definamos a regi˜}_{ao de rejei¸c˜}_{ao do teste, para um n´ıvel de significˆancia α, pr´e-especificado. Vai}

corresponder aos valores menores da estat´ıstica de teste - ver figura seguinte.

c α

Assim defino a regi˜ao de rejei¸c˜ao, denotando-a por Rα, como:

Rα≡ (0; c), c : P (X2_{< c) = α ⇔ c = F}−1 χ2 (n−1) (α) = χα Ent˜ao Rα≡ (0; χα)

X _{Regra de decis˜}_{ao do teste:}

Rejeitar H0 ao n´ıvel de significˆancia α se x2obs = (n − 1)s 2

σ2

0 ∈ R α.

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₅₉

10.6 Testes de hip´oteses para o pressuposto da normalidade de uma

popula¸c˜ao

Temos usado em diversas situa¸cões o pressuposto de que a popula¸cão X, de onde retiramos a nossa amostra aleatória (X1, . . . , Xn), é Normalmente distribu´ıda. Nesta seçcão usamos a amostra

para testar esse pressuposto da Normalidade populacional:

X _Hip´oteses:

H0 : X ∼ N(·, ·) vs H0 : X N (·, ·)

Observamos que o teste desta hipótese pode necessitar a estima¸cão dos parâmetros que identifi- cam a Normal, µ e σ2_{, caso n˜}_{ao se tenha ideia `}_{a partida de quanto estes devem valer.}

Este teste faz parte da classe mais vasta dos testes de ajustamento do Qui-quadrado.

Os dados observados (a amostra) são divididos em k classes, como aprendemos na fazer no cap´ıtulo da estat´ıstica descritiva. Em cada classe i consideramos o número de observa¸cões que lhe correspondem (a frequência absoluta de cada classe), denotando esse número aqui por Oi.

Consideramos ainda o número de observa¸cões que esperar´ıamos observar em cada uma das classes se a hipótese nula fosse verdadeira, denotando-o por Ei. Este número é determinado como n×pi,

em que pi é a probabilidade de uma observa¸cão pertencer à classe i, caso a hipótese nula seja

verdadeira:

pi= P (X ∈ classe i|H0 verdadeira)

Assim, estat´ıstica de teste avalia se o que eu observei na classe i, Oi, se encontra pr´oximo do

que eu esperaria observar nessa classe se a hip´otese nula fosse verdadeira, Ei:

X _{Estat´ıstica de teste:} X2 = k X i=1 (Oi − Ei)2 Ei sob H0 ∼ χ2_(k−p−1)

O número de graus de liberdade da distribui¸cão por amostragem da estat´ıstica anterior é dado pelo número de classes em que os dados foram divididos, k, menos o número de parâmetros que foi necessário estimar, p (num máximo de 2, caso seja necessário estimar dos dados tanto µ como σ2), menos 1.

Regra 10.1 Depois de determinados os Ei, se os houver inferiores a 5, tipicamente correspon-

dendo às classes dos extremos, essas classes devem ser agrupadas até o correspondente novo número esperado Ei (dado pelas somas dos correspondentes antigos Ei0s) ultrapassar 5. Os cor-

respondentes Oi’s devem nesse caso ser tamb´em somados, diminuindo naturalmente o valor do

X _{Definamos a regi˜}_{ao de rejei¸c˜}_{ao do teste, para um n´ıvel de significˆancia α, pr´e-especificado. Esta}

vai corresponder a valores grandes da estat´ıstica de teste, indicando que o que eu observei se encontra longe daquilo que eu esperaria observar, caso a hip´otese nula fosse verdadeira.

Assim defino a regi˜ao de rejei¸c˜ao, denotando-a por Rα, como:

Rα≡ (c, +∞),

c : P (X2_{< c) = 1 − α ⇔ c = F}_χ−12

(k−p−1)(1 − α) = χ1−α

Ent˜ao Rα≡ (χ1−α; +∞)

X _{Regra de decis˜}_{ao do teste:}

Rejeitar H0 ao n´ıvel de significˆancia α se x2obs ∈ Rα.

Exemplo 10.9 Os artigos produzidos em determinada f´abrica s˜ao sujeitos a um controle de qualidade,

resultando num ´ındice de qualidade, X. De forma a avaliar essa qualidade recolheu-se uma amostra aleat´oria de 46 artigos da produ¸c˜ao, tendo-se medido os valores seguintes do referido ´ındice:

(100,110,122,132,99,96,88,75,45,154,153,161,142,99,111,105,133,142,150,153,121,126,117,97, 105,117,125,105,94,90,80,50,55,102,122,136,75,104,109,108,134,135,111,78,89,154)

Use estes dados para testar, ao n´ıvel de significância 5%, a hipótese de que este ´ındice tem distribui¸cão Normal.

• H0 : X ∼ N(·, ·) vs H1 : X N (·, ·)

Como n˜ao sabemos os valores populacionais de µ e σ2, vamos estim´a-los dos dados:

ˆ µ = ¯x = 1 46 46 X i=1 xi= 111.0652; ˆ σ2 _{= s}2 ₌ 1 46 − 1 46 X i=1 x2_i _{− 46 × ¯x}2 ! = 785.3068

O próximo passo é a divisão dos dados em classes e a determina¸cão dos correspondentes Oi e

Ei. Pela regra de Sturges o n´umero de classes a considerar ´e dado por:

k ≈ 1 + log(n)_log(2) = 1 +log(46)

log(2) ≈ 6.523562

Consideramos ent˜ao k = 7 classes. Seguidamente definimos os extremos das classes. A amplitude dos dados ´e dada por:

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₆₁

Ent˜ao a amplitude de cada classe deve ser dada por:

l = L k =

116

7 ≈ 16.57

Vamos aproximar este valor a 20, um n´umero mais redondo, e considerar as classes:

] − ∞; 60] ]60; 80] ]80; 100] ]100; 120] ]120; 140] ]140; 160] ]160; +∞[

Devemos contar quantas observa¸c˜oes caiem em cada um dos intervalos anteriores, para obter os valores de Oi, e devemos determinar os valores de Ei= n × pi= 46 × pi:

p1 = P (X ∈ classe 1|H0 verdadeiro) = P (X ≤ 60|H0 verdadeiro) =

= P X − 111.0652_√ 785.3068 ≤ 60 − 111.0652 √ 785.3068 = P (Z ≤ −1.82) = P (Z ≥ 1.82) = = _{1 − Φ(1.82) = 1 − 0.9656 = 0.0344} _⇒ E1 = 46 × 0.0344 = 1.5824

p2 = P (X ∈ classe 2|H0 verdadeiro) = P (60 < X ≤ 80|H0 verdadeiro) =

= P 60 − 111.0652_√ 785.3068 < Z ≤ 80 − 111.0652 √ 785.3068 = P (Z ≤ −1.11) − P (Z < −1.82) = = _{(1 − Φ(1.11)) − (1 − Φ(1.82)) = 0.9656 − 0.8665 = 0.0991} ⇒ E2= 46 × 0.0991 = 4.5586

p3 = P (X ∈ classe 3|H0 verdadeiro) = P (80 < X ≤ 100|H0 verdadeiro) =

= P 80 − 111.0652_√ 785.3068 < Z ≤ 100 − 111.0652 √ 785.3068 = P (Z ≤ −0.39) − P (Z < −1.11) = = _{(1 − Φ(0.39)) − (1 − Φ(1.11)) = 0.8665 − 0.6517 = 0.2148} ⇒ E3= 46 × 0.2148 = 9.8808

p4 = P (X ∈ classe 4|H0 verdadeiro) = P (100 < X ≤ 120|H0 verdadeiro) =

= P 100 − 111.0652_√ 785.3068 < Z ≤ 120 − 111.0652 √ 785.3068 = P (Z ≤ 0.32) − P (Z < −0.39) = = _{Φ(0.32) − (1 − Φ(0.39)) = 0.6255 − (1 − 0.6517) = 0.2772} ⇒ E4= 46 × 0.2772 = 12.7512

p5 = P (X ∈ classe 5|H0 verdadeiro) = P (120 < X ≤ 140|H0 verdadeiro) = = P 120 − 111.0652√ 785.3068 < Z ≤ 140 − 111.0652_√ 785.3068 = P (Z ≤ 1.03) − P (Z < 0.32) = = _{Φ(1.03) − Φ(0.32) = 0.8485 − 0.6255 = 0.223} ⇒ E5= 46 × 0.223 = 10.258

p6 = P (X ∈ classe 6|H0 verdadeiro) = P (140 < X ≤ 160|H0 verdadeiro) =

= P 140 − 111.0652√ 785.3068 < Z ≤ 160 − 111.0652_√ 785.3068 = P (Z ≤ 1.75) − P (Z < 1.03) = = _{Φ(1.75) − Φ(1.03) = 0.9599 − 0.8485 = 0.1114} ⇒ E6= 46 × 0.1114 = 5.1244 p7 = 1 − p1− p2− p3− p4− p5− p6 = = _{1 − 0.0344 − 0.0991 − 0.2148 − 0.2772 − 0.223 − 0.1114 = 0.0401} ⇒ E7= 46 × 0.0401 = 1.8446 i Classe Oi pi Ei 1 _{] − ∞; 60]} 3 0.0344 1.5824 2 ]60; 80] 4 0.0991 4.5586 3 ]80; 100] 9 0.2148 9.8808 4 ]100; 120] 12 0.2772 12.7512 5 ]120; 140] 10 0.223 10.258 6 ]140; 160] 7 0.1114 5.1244 7 _{]160; +∞[} 1 0.0401 1.8446

Como vemos as classes dos extremos tˆem Ei’s inferiores a 5. Como tal vamos aglutinar a classe

1 com a classe 2 e a classe 7 com a classe 6, somando os correspondentes valores de E_i0s e Oi’s:

i Classe Oi pi Ei 1 _{] − ∞; 80]} 7 0.1335 6.141 2 ]80; 100] 9 0.2148 9.8808 3 ]100; 120] 12 0.2772 12.7512 4 ]120; 140] 10 0.223 10.258 5 _{]140; +∞[} 8 0.1515 6.969

Passo então a ter k = 5 classes. Não nos esque¸camos que tivemos de estimar p = 2 parâmetros, µ e σ2. Então:

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₆₃ X2 = k X i=1 (Oi − Ei)2 Ei sobH0 ∼ χ2_(k−p−1)≡ χ2_(5−2−1) ≡ χ2(2)

• Definamos a região de rejei¸cão do teste, para o n´ıvel de significância 5%, R0.05, como:

R0.05≡ (c, +∞),

c : P (X2 _{< c) = 1 − 0.05 = 0.95 ⇔ c = F}_χ−12 (2)

(0.95) = χ0.95= 5.991

Ent˜ao R0.05≡ (5.991, +∞)

• Regra de decis˜ao do teste:

Rejeitar H0 ao n´ıvel de significˆancia 5% se x2obs ∈ Rα.

• Decis˜ao: x2 = 5 X k=1 (Oi− Ei)2 Ei = (7 − 6.141) 2 6.141 + (9 − 9.8808)2 9.8808 + + (12 − 12.7512) 2 12.7512 + (10 − 10.258)2 10.258 + (8 − 6.969)2 6.969 = 0.4019 /∈ R0.05

Logo, ao n´ıvel de significância 5% não rejeitamos a hipótese nula de que a distribui¸cão da popula¸cão é Normal.

10.7 Exerc´ıcios Propostos

10.1 Uma fábrica de gelados afirma que a procura do gelado de chocolate no verão, por dia e em euros, é uma v.a. Normalmente distribu´ıda com valor médio 200e e desvio padrão 40e.

Numa amostra aleat´oria constitu´ıda por 10 dias seleccionados ao acaso do per´ıodo de ver˜ao verificou-se que ¯x = 216e.

(a) Teste, ao n´ıvel de significância 5%, se de facto o consumo médio de gelado de chocolate no verão é de 200epor dia.

(b) Teste, ao ao n´ıvel de significância 5%, se de facto o consumo médio de gelado de chocolate no verão é menor do que 200epor dia.

10.2 Um produtor de azeite afirma que a acidez média do seu azeite é de 0.9o. De forma a confirmar tal facto recolheu-se uma amostra aleatória da sua produ¸cão de azeite, tendo-se medido os seguintes valores de acidez:

0.9 0.8 0.7 1.1 0.9 0.9 1.0 0.7 1.5 1.1 Admitindo a Normalidade da acidez do azeite:

(a) Teste, ao n´ıvel de significˆancia 1%, se o produtor tem raz˜ao.

(b) Teste, ao ao n´ıvel de significância 1%, se a acidez média é superior a 0.9o.

10.3 Um biólogo pretende demonstrar que o peso médio de uma determinada espécie de coelhos - coelhos anões - é superior a 250g. Para tal seleccionou aleatoriamente 40 coelhos, tendo obtido uma média dos pesos de 255.3g e um desvio padrão de 30g. Teste se o biólogo está certo, assumindo a Normalidade dos pesos dos coelhos (use o p-value do teste).

10.4 A Inês recebe, para além do seu salário, vencimento correspondente a 2 horas extra que devia fazer todos os dias. Contudo ela está desconfiada que tem andado a trabalhar, em média, mais do que 2 horas extra. Como a empresa onde trabalha regista sempre a hora de entrada e de sa´ıda dos seus funcionários, ela seleccionou aleatoriamente 12 dias de trabalho passados e registou os seguintes valores relativos ao horário extra: ¯x = 2.3h e s = 0.5h. Admitindo a Normalidade do tempo extra de trabalho, teste se as suas suspeitas se confirmam.

10.5 Uma companhia de seguros tem previsto no seu or¸camento um total de 5000e/dia para pagar os prémios dos seus segurados. De forma a confirmar se o valor médio dos prémios pagos por dia está bem previsto seleccionaram-se, de anos anteriores, 100 dias, tendo-se verificado ¯x = 5625ee P(xi− ¯x)2 = 6187500e2. Teste, ao n´ıvel de significância 5%, se a previsão se adequa.

10.6 Numa fábrica de massas embalam-se pacotes de esparguete que deveriam ter peso médio de 500g. O peso dos pacotes é uma v.a. Normal com variância σ2_{= 225g}2_{. De forma a confirmar o peso}

médio destes pacotes, seleccionaram-se ao acaso 40 embalagens que tinham um peso médio de 495g. Teste se o peso médio das embalagens é menor do que as 500g indicadas.

10.7 Seja X uma v.a. com distribui¸cão Normal de valor médio µ e desvio padrão σ. A partir de uma amostra de dimensão 30, retirada da popula¸cão, obtiveram-se os seguintes resultados:

30 X i=1 xi = 64.0 30 X i=1 (xi− ¯x)2 = 84.4

(a) Teste, ao n´ıvel de significˆancia 1%, as hip´oteses H0 : µ = 2 vs H1 : µ > 2.

(b) Suponha que está a testar a hipótese H0 : µ = 2 contra a hipótese H1 : µ = 2.5 e que

rejeita a hip´otese nula se ¯X30> 2.3. Calcule as probabilidades dos erros de 1a e 2a esp´ecie

do teste, se σ = 1.

10.8 De forma a poder comparar o desempenho de 2 corredores de Formula 1, seleccionaram-se ao acaso 15 corridas onde ambos participaram, tendo-se registado as seguintes diferen¸cas de pontua¸c˜ao entre os dois corredores (corredor 1 - corredor 2):

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₆₅

−1 − 2 0 − 3 − 1 1 2 − 3 − 3 − 1 − 4 − 4 1 − 6 − 8

Teste se o corredor 2 é em média melhor do que o corredor 1. Assuma a Normalidade das diferen¸cas de pontua¸cão (recorra ao p-value do teste).

10.9 De forma a comparar a longevidade dos homens com a das mulheres, seleccionaram-se ao acaso 50 pares de irmãos, um de cada sexo, já falecidos, tendo-se registado uma média de longevidade feminina de 85 anos e uma média de longevidade masculina de 84 anos. Assuma que tanto a longevidade masculina, X1, como a longevidade feminina, X2, seguem distribui¸cões Normais

com desvios padr˜ao de 4 anos e 2 anos, respectivamente.

Teste, ao n´ıvel de significância 1%, se há diferen¸cas de longevidades médias.

10.10 Uma amostra de 10 peixes foi apanhada de um lago A e as concentra¸c˜oes de chumbo nos peixes foi medida (em partes por milh˜ao):

11.5, 10.8, 11.6, 9.4, 12.4, 11.4, 12.2, 11.0, 10.6, 10.8

Apanharam-se tamb´em 8 peixes num outro lago B e mediram-se as correspondentes concentra¸c˜oes de chumbo:

11.8, 12.6, 12.2, 12.5, 11.7, 12.1, 10.4, 12.6

Assumindo que as concentra¸cões de chumbo nos peixes, em ambos os lagos, seguem distribui¸cões Normais com variâncias 0.09 e 0.16 para os lagos A e B, respectivamente, pode afirmar que os lagos estão igualmente contaminados com o elemento chumbo?

10.11 Numa opera¸cão stop da brigada de trânsito, de 120 camiões TIR que foram parados, 42 iam com excesso de peso. Com base nesta amostra aleatória, teste a hipótese de que a propor¸cão deste tipo de camiões, que circulam nas nossas estradas em situa¸cão ilegal, ultrapassa os 30%. Use um n´ıvel de significância de 10%.

10.12 Determinada desordem genética no sangue pode ser prevista com base num teste de sangue muito simples. De forma a ter uma no¸cão da propor¸cão de pessoas que na popula¸cão possam vir a ter esta desordem, testaram-se 100 pessoas, seleccionadas ao acaso, para as quais 14 testes deram positivo. Efectue um teste de hipóteses, usando o p-value do teste para concluir, sobre se percentagem de pessoas com tal desordem é inferior a 10%.

10.13 No fabrico de parafusos admite-se, relativamente aos seus comprimentos, uma variabilidade máxima de 0.5mm2. Recolheu-se uma amostra aleatória de 20 parafusos que se verificou terem s2 = 0.3. Admitindo a Normalidade do comprimento dos parafusos, teste, ao n´ıvel de sig- nificância de 5% se a especifica¸cão sobre a variabilidade do comprimento dos parafusos está a ser respeitada.

10.14 Com base na amostra aleat´oria seguinte, teste H0 : σ = 1.3 vs H1 : σ 6= 1.3, a um n´ıvel de

significˆancia de 1%:

10.15 A resistência de um determinado metal é dito ter uma variabilidade inferior a 0.01 ohm2. Teste esta hipótese, a um n´ıvel de significância 10%, usando a seguinte amostra aleatória de resistências medidas para este metal:

0.14, 0.138, 0.143, 0.142, 0.144, 0.137

10.16 Teste a um n´ıvel de significância 5% que a seguinte amostra aleatória provêm de uma distribui¸cão Normal(3, 22_):

1.14, 3.11, 3.55, 2.81, 6.28, 1.61, 4.36, 0.90, 0.81, −0.18, 2.08, 2.68, 2.12, −0.33, 2.57, 3.55, 1.81, 2.56, 5.56, 2.46, 4.20, 1.63, 4.21, 4.85, 4.24, 3.98, 1.40, 3.00, 2.01, 3.31

10.17 Pensa-se que a altura a que os eucaliptos chegam aos 20 anos é uma v.a. Normal de média 2m. Para o confirmar seleccionou-se uma amostra aleatória de 30 eucaliptos, tendo observado as seguintes alturas:

0.2, 0.8, 3.6, 1.0, 0.2, 4.3, 3.1, 0.4, 3.3, 3.1, 3.2, 5.3, 1.7, 0.2, 2.8, 0.4, 0.5, 3.0, 1.2, 4.2, 4.8, 3.4, 2.1, 2.5, 2.4, 2.1, 0.8, 3.5, 1.7, 1.3

Teste, ao n´ıvel de significˆancia 1%, a conjectura referida.

10.18 Pensa-se que a pressão arterial nos homens segue uma distribui¸cão Normal de valor médio 14 e variância 1. De forma a confirmar se assim é recolheu-se uma amostra aleatória de 28 valores de tensão arterial, que se agruparam em classes no quadro abaixo. O que pode concluir a um n´ıvel de confian¸ca de 10%?

i Classe Frequˆencia observada

1 _{] − ∞; 13.5]} 4

2 ]13.5; 14] 7

3 ]14; 14.5] 8

4 ]14.5; 15] 5

5 _{]15; +∞[} 4

10.19 A quantidade de lixo (toneladas) produzida no concelho do Xeisal, por dia, é uma variável aleatória com distribui¸cão normal. De forma a avaliar o que se passa no concelho em rela¸cão a esta variável seleccionaram-se 15 dias ao acaso para os quais se registaram as correspondentes quantidades de lixo produzidas, resultando numa média de ¯x = 100100 toneladas e num desvio padrão amostral s = 1117 toneladas.

(a) Teste, ao n´ıvel de significância de 1%, se a variância desta quantidade de lixo é inferior a 1000000 toneladas2_{. Justifique o procedimento empregue.}

(b) Assumindo agora que σ = 1000 teste a hipótese de que a quantidade média de lixo por dia é inferior a 100000 toneladas. Use um n´ıvel de significância de 5%. Justifique.

(Exerc´ıcio de exame) 10.20 Determinado produtor de vinho afirma que a gradua¸cão média do seu vinho é de 13o - assuma

que a gradua¸cão segue uma distribui¸cão normal. Seleccionaram-se aleatoriamente 5 garrafas da produ¸cão tendo-se medido as correspondentes gradua¸cões (em o_{): 13.4 13.5 13.6 13.6 13.4.}

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₆₇

(a) Teste a hipótese de a gradua¸cão média deste vinho ser de facto 13o, ao n´ıvel de significância 5%. Justifique todos os passos empregues.

(b) Diga o que entende por n´ıvel de significˆancia de um teste de hip´oteses.

(c) O pressuposto da normalidade atrás considerado foi questionado por alguém. Assim recolheu- se nova amostra aleatória de 33 garrafas de vinho, tendo-se medido as correspondentes gradua¸cões, agrupadas em classes na tabela abaixo. Use estes dados para testar a hipótese de a gradua¸cão de vinho seguir uma distribui¸cão normal de média µ = 13.5o e desvio padrão σ = 1o_{, a um n´ıvel de significância de 10%. Justifique e comente.}

i Classe Frequˆencia observada

1 _{] − ∞; 11.5]} 5 2 ]11.5;12.5] 8 3 ]12.5;13.5] 9 4 ]13.5;14.5] 6 5 _{]14.5; +∞[} 5 (Exerc´ıcio de exame) 10.21 Diga, justificando, se as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras ou falsas:

(a) Se, com base numa determinada amostra, certa hip´otese H0 for rejeitada a um n´ıvel de

significância 5% então também o será a um n´ıvel de significância 10%.

(b) Suponha que para determinada média populacional µ conduzimos um teste de hipóteses para H0 : µ = 0.5 vs H1 : µ 6= 0.5 e que rejeitámos esta hipótese nula com um n´ıvel de

significância de 5%. Então é imposs´ıvel que a verdadeira média µ seja 0.5.

(d) O n´ıvel de significância de um teste é a probabilidade de a hipótese nula ser falsa.

(e) Pretendemos testar a hipótese nula de que determinado conjunto de dados provém de uma popula¸cão com distribui¸cão Normal. Assim, depois de dividirmos os dados em classes, contamos quantos dos elementos da amostra caem em cada uma dessas classes. A ideia do teste que vamos efectuar é então comparar os valores observados com os que esperar´ıamos observar, caso a hipótese nula fosse verdade. O número esperado de casos para cada classe é calculado pesando a dimensão da amostra pela correspondente propor¸cão de elementos que na referida popula¸cão Normal se encontram nessa classe.

(f) Se o número de observa¸cões numa amostra for aumentado de n para 2n então o n´ıvel de significância α de um teste de hipóteses para a média populacional, conduzido com base nessa amostra, diminui.

(Exerc´ıcio de exame) 10.22 Pensa-se que a idade (em anos) dos indiv´ıduos de determinada cidade segue uma distribui¸c˜ao

Normal(45, 202). Para se confirmar esta suposi¸cão seleccionou-se uma amostra aleatória de 30 indiv´ıduos dessa cidade, tendo-se registado as respectivas idades e agrupado os elementos da amostra na seguinte tabela de frequências:

Classes _{≤15 ]15,30]} ]30,45] ]45,60] >60

Teste, ao n´ıvel de significˆancia de 5%, a conjectura referida.

Cap´ıtulo 11

Regress˜ao Linear Simples

Em muitos problemas práticos temos interesse em estabelecer rela¸cões entre certas variáveis. Pense-se, por exemplo, que os resultados de muitas reaçcões qu´ımicas dependem da temperatura a que se dão as referidas reaçcões ou que a qualidade de um cimento depende da quantidade e qualidade da areia usada na sua confeçcão. O conhecimento das rela¸cões entre as várias variáveis permite-nos predizer o valor de umas variáveis em fun¸cão das outras.

11.1 Regress˜ao Linear Simples

Vamos estar aqui apenas interessados no caso em que temos uma única variável dita resposta ou dependente, Y , que queremos ver explicada ou modelada por uma outra variável dita explicativa ou independente, x, através de uma rela¸cão linear:

Y = β0+ β1 x

Sendo as vari´aveis Y e x relacionadas pela equa¸c˜ao anterior, conhecidos os valores de β0 e β1,

podemos prever o valor de Y para qualquer valor de x. Contudo, na prática, a equa¸cão anterior é válida a menos de algumas flutua¸cões aleatórias:

Y = β0+ β1 x + ε, ε ∼ N(0, σ2)

Ao termo ε chamamos erro aleatório e assumimos que tem distribui¸cão normal com média nula. Aos parâmetros β0 e β1 chamamos parâmetros da regressão. A este modelo designamos por

modelo de regressão linear simples. Os parâmetros de regressão, bem como a variância do erro σ2_{, s˜}_{ao usualmente estimados dos dados. Note-se que, assumindo independência entre os erros ε e a}

vari´avel explicativa x:

• E [Y |x] = E [β0+ β1 x + ε|x] = β0+ β1 x + E [ε] = β0+ β1 x + 0 = β0+ β1 x

• V[Y |x] = V[β0+ β1 x + ε|x] = V[ε] = σ2

• Y |x ∼ N(β0+ β1 x, σ2)

Observamos que o modelo de regress˜ao linear simples pode tornar-se mais complexo, se houver necessidade de incluir mais vari´aveis independentes no modelo. Por exemplo, o resultado de uma

reaçcão qu´ımica pode não depender apenas da temperatura mas também da pressão. Um modelo de regressão linear que inclui mais de uma variável independente designa-se por modelo de regressão linear múltipla.

No documento Probabilidades e Estatística (páginas 157-172)