Probabilidades e Estatística

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PROBABILIDADES E ESTAT´ISTICA

ISABEL NAT ´

ARIO

Departmento de Matem´atica, Faculdade de Ciˆencias e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, 2829-516, Caparica, Portugal

Especial agradecimento `a Profa

Fátima Miguéns por contribui¸cões várias

Notas produzidas no ˆambito da disciplina

de Probabilidades e Estat´ıstica para os cursos de Engenharia

Qualquer gralha ou incorreçcão encontrada agradece-se que seja reportada à autora

[email protected]

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Conte´

udo

1 Estat´ıstica Descritiva 4

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 4

1.2 Distribui¸cões de frequência e representa¸cão gráfica de dados . . . 5

1.3 Medidas descritivas . . . 8 1.3.1 Medidas de localiza¸c˜ao . . . 8 1.3.2 Medidas de dispers˜ao . . . 10 1.3.3 Medidas de forma . . . 10 1.4 Diagrama de caixa-e-bigodes . . . 12 1.5 Exerc´ıcios Propostos . . . 13

2 Teoria das Probabilidades 16 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 16

2.2 Espa¸co amostral . . . 17

2.3 Axiom´atica das probabilidades . . . 18

2.4 T´ecnicas de contagem para espa¸cos amostrais finitos . . . 22

2.5 Probabilidade condicionada e Teorema de Bayes . . . 23

2.6 Independˆencia entre acontecimentos . . . 26

2.7 Exerc´ıcios Propostos . . . 26

3 Variáveis aleatórias 34 3.1 Defini¸cão . . . 34

3.2 Fun¸c˜ao distribui¸c˜ao . . . 35

3.3 Vari´aveis aleat´orias discretas . . . 36

3.4 Vari´aveis aleat´orias cont´ınuas . . . 37

4 Momentos e outros parâmetros de uma distribui¸cão de probabilidade 42 4.1 Momentos de uma distribui¸cão . . . 42

4.2 Parˆametros descritivos das distribui¸c˜oes . . . 45

5 Vectores aleat´orios 51 5.1 Par aleat´orio discreto . . . 51

5.2 Par aleat´orio cont´ınuo‡ _{. . . .} ₅₅

5.3 Independência entre variáveis aleatórias . . . 56

5.4 Momentos de vectores aleat´orios . . . 58

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6 Distribui¸c˜oes especiais 68

6.1 Algumas distribui¸c˜oes discretas . . . 68

6.1.1 Distribui¸c˜ao Uniforme Discreta . . . 68

6.1.2 Distribui¸c˜ao de Bernoulli . . . 69

6.1.3 Distribui¸c˜ao Binomial . . . 70

6.1.4 Distribui¸c˜ao Hipergeom´etrica . . . 73

6.1.5 Distribui¸c˜ao Geom´etrica . . . 74

6.1.6 Distribui¸c˜ao Poisson . . . 76

6.2 Algumas distribui¸c˜oes cont´ınuas . . . 78

6.2.1 Distribui¸c˜ao Uniforme Cont´ınua . . . 78

6.2.2 Distribui¸c˜ao Exponencial . . . 80

6.2.3 Distribui¸c˜ao Normal . . . 82

6.2.4 Distribui¸c˜ao Qui-quadrado . . . 84

6.2.5 Distribui¸c˜ao T de Student . . . 86

7 Teorema Limite Central 96 7.1 Teorema Limite Central . . . 96

8 Inferência Estat´ıstica. Estima¸cão Pontual. Distribui¸cões por Amostragem. 101 8.1 Popula¸cões, amostras aleatórias e estat´ısticas . . . 101

8.2 Estima¸c˜ao pontual . . . 103

8.3 M´etodos de Obten¸c˜ao de Estimadores‡ . . . 104

8.3.1 M´etodos dos Momentos . . . 105

8.3.2 M´etodo da M´axima Verosimilhan¸ca . . . 105

8.4 Algumas Propriedades dos Estimadores . . . 107

8.5 Distribui¸c˜oes por amostragem . . . 110

8.5.1 Distribui¸c˜oes por amostragem da m´edia amostral, ¯X . . . 111

8.5.2 Distribui¸cão por amostragem para a diferen¸ca de médias amostrais, ¯X1− ¯X2 . 112 8.5.3 Distribui¸cão por amostragem da propor¸cão, P . . . 112

8.5.4 Distribui¸c˜ao por amostragem da variˆancia amostral, S2 _{. . . 113}

9 Intervalos de Confian¸ca 117 9.1 Intervalos de Confian¸ca . . . 117

9.2 Intervalos de Confian¸ca para a m´edia populacional, µ . . . 120

9.2.1 Popula¸c˜ao Normal com variˆancia conhecida . . . 120

9.2.2 Popula¸c˜ao Normal com variˆancia desconhecida . . . 121

9.2.3 Popula¸c˜ao Normal com variˆancia desconhecida e n > 30 . . . 121

9.2.4 Popula¸c˜ao desconhecida com variˆancia conhecida e n > 30 . . . 122

9.2.5 Popula¸c˜ao desconhecida com variˆancia desconhecida e n > 30 . . . 123

9.3 Intervalo de Confian¸ca para a diferen¸ca de m´edias populacionais, µ1− µ2 . . . 123

9.4 Intervalo de Confian¸ca para propor¸c˜ao populacional, p . . . 124

9.5 Intervalo de Confian¸ca para a variˆancia populacional, σ2_{, e para o desvio padr˜ao} pop-ulacional, σ . . . 125

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Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₃

10Testes de Hip´oteses 131

10.1 Testes de Hip´oteses . . . 131

10.2 Testes de hip´oteses para a m´edia populacional, µ . . . 133

10.2.1 Popula¸c˜ao Normal(µ, σ2_{), σ}2 _{conhecido . . . 133}

10.2.2 Popula¸c˜ao Normal(µ, σ2_{), σ}2 _{desconhecido . . . 139}

10.2.3 Popula¸c˜ao Normal(µ, σ2), σ2 desconhecido, n > 30 . . . 141

10.2.4 Popula¸c˜ao desconhecida com σ2 _{conhecido e n > 30 . . . 144}

10.2.5 Popula¸c˜ao desconhecida com σ2 desconhecido e n > 30 . . . 146

10.3 Teste de hipóteses para a igualdade entre médias populacionais, µ1= µ2, de popula¸cões Normais com variâncias conhecidas . . . 149

10.4 Testes de hipóteses para a propor¸cão p de uma popula¸cão . . . 151

10.5 Testes de hipóteses para a variância σ2de uma popula¸cão Normal com média desconhecida155 10.6 Testes de hipóteses para o pressuposto da normalidade de uma popula¸cão . . . 159

11Regress˜ao Linear Simples 169 11.1 Regress˜ao Linear Simples . . . 169

11.2 Estimadores dos M´ınimos Quadrados dos Parˆametros de Regress˜ao . . . 170

11.3 Qualidade do Ajuste e Estima¸c˜ao de σ2 . . . 171

11.4 Distribui¸c˜ao dos Estimadores ˆβ0 e ˆβ1 . . . 172

11.4.1 Distribui¸c˜ao de ˆβ1 . . . 172

11.4.2 Distribui¸c˜ao de ˆβ0 . . . 173

11.5 Intervalos de Confian¸ca e Testes de Hipóteses para os Parâmetros de Regressão . . . . 174

11.5.1 Intervalos de Confian¸ca e Testes de Hip´oteses para β1 . . . 175

11.5.2 Intervalos de Confian¸ca e Testes de Hip´oteses para β0 . . . 176

11.6 Intervalos de Confian¸ca e Testes de Hipóteses para a Recta de Regressão ou Resposta Média . . . 177

11.7 Predi¸c˜ao . . . 178

11.8 Um exemplo . . . 178

12Exerc´ıcios variados 186

13Solu¸c˜oes dos exerc´ıcios propostos 198

14Formul´ario 231

15Tabelas 233

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Estat´ıstica Descritiva

1.1 Introdu¸c˜

ao

Neste cap´ıtulo come¸camos por rever conceitos de estat´ıstica descritiva. A estat´ıstica descritiva tem por objectivo descrever, resumir e representar a informa¸cão contida num conjunto de dados, através da constru¸cão de tabelas e gráficos ou através da determina¸cão de medidas numéricas que adequadamente sintetizem os dados.

A dificuldade do Homem em interpretar grandes conjuntos de dados é aqui ultrapassada pela distribui¸cão dos dados em classes e pelo no cálculo de medidas resumo que os descrevam de forma fiel.

A forma de analisar os dados depende, em primeira instância, da sua natureza. Os dados numéricos podem ser discretos, quando se referem a contagens ou números inteiros, ou cont´ınuos, quando podem tomar qualquer valor dentro de um determinado intervalo de números.

Para além disso os dados estat´ısticos são ainda classificados de acordo com a sua escala de medi¸cão. Assim temos dados qualitativos e quantitativos. Os primeiros dizem respeito a dados cujos atrib-utos de interesse são categorias e dividem-se em dados nominais e ordinais.

Os dados nominais não são na verdade dados numéricos, mas apenas etiquetas ou valores atribu´ıdos que designam uma classe, não havendo uma rela¸cão de ordem entre as classes. Por exemplo, a situa¸cão em que os dados se referem à cor dos olhos de um conjunto de indiv´ıduos (1=preto, 2=castanho, 3=azul, 4=verde, 5=cinzento).

Os dados ordinais referem-se a dados do tipo dos nominais, com a diferen¸ca que para estes se estabelece uma rela¸c˜ao de ordem entre as classes. Por exemplo, as classifica¸c˜oes de cada aluno num determinado teste dadas por ”Mau”, ”Suficiente”e ”Muito Bom”.

Os dados quantitativos são aqueles em que a sua caracter´ıstica de interesse é intrinsecamente numérica. Dividem-se em dados com escala intervalar ou com escala absoluta, residindo a distin¸cão no facto de estes últimos terem a si associado uma origem definida. Para decidir se determinado tipo de dados está em qual das escalas pergunte a si próprio se o dobro do valor do que está a estudar corresponde ao dobro de intensidade. Por exemplo, 20oC é duas vezes mais quente que 10oC? A resposta é não e, por isso, dados deste tipo são de escala intervalar. Agora um campo com 4 hectares é o dobro de outro com 2 hectares? Sim, por isso temos agora dados de escala absoluta. Notamos que as técnicas estat´ısticas não fazem distin¸cão entre estes dois tipos de dados.

´

E exclusivamente sobre esta ´ultima classe de dados, os quantitativos, que vamos trabalhar.

(7)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₅

1.2 Distribui¸c˜

oes de frequˆ

encia e representa¸c˜

ao gr´

afica de dados

Quando lidamos com grandes conjuntos de dados podemos obter uma boa ideia global dos mesmos se os agruparmos em classes ou intervalos disjuntos. Ao procedermos assim perdemos informa¸c˜ao mas esta perda ´e largamente compensada pelo conhecimento que ganhamos acerca da forma dos dados.

Assuma que estamos a tratar com dados cont´ınuos. No caso discreto os valores observados definem eles pr´oprios as classes a considerar.

Para escolher o n´umero de classes k a usar ´e usual aplicar-se a regra de Sturges: k ≈ 1 + log nlog 2,

onde n ´e a dimens˜ao do conjunto de dados.

Sabendo k e a amplitude total do conjunto de dados, L, dada por: L = m´_{aximo{dados} − m´ınimo{dados},} obt´em-se a amplitude de cada classe, l, como:

l = L_k.

Podemos então definir os limites de cada classe e contar o número de observa¸cões que caiem dentro de cada uma delas, obtendo assim as frequências absolutas de cada classe - fi para a classe

i, i = 1, . . . , k. Este procedimento vem facilitado se ordenarmos os dados. Notamos que: Pk

i=1fi= n

O conjunto das frequências absolutas de todas as classes, eventualmente colocadas numa tabela, chama-se distribui¸cão de frequências.

Para o conjunto das frequências absolutas obtêm-se as chamadas frequências absolutas acu-muladas de cada classe, Fi, como a soma das frequências absolutas dessa classe e de todas as outras

que a precedem:

Fi =Pij=1fj

Repare que Fk = n. Ao conjunto das {Fi, i = 1, . . . , k} chama-se distribui¸c˜ao de frequˆencias

absolutas.

Obervamos que ´e usual identificar cada classe pelo seu ponto m´edio, calculado como a metade da soma dos seus extremos, e denotado aqui como P Mi para a classe i, i = 1, . . . , k.

Definem-se ainda as chamadas frequˆencias relativas de cada classe, aqui designadas por f∗ i,

como:

f∗ i = fni

Observe-se que estas frequˆencias se encontram em [0, 1] e que: Pk

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Associadas a f_i∗ encontram-se as correspondentes frequˆencias relativas acumuladas: F∗ i = Pi j=1fj∗ Temos que F∗

k = 1. Ao conjunto das frequências relativas chama-se distribui¸cão de frequências

relativas e ao conjunto das frequências relativas acumuladas chama-se distribui¸cão de frequências relativas acumuladas.

Nota: Se depois de seleccionadas as classes se verificar que, por existirem observa¸cões muito ex-tremas, surgem ”nas pontas”classes com apenas 1 ou 0 observa¸cões, é usual agregá-las, obtendo as classes abertas ”menor que”e ”maior que”. Essas observa¸cões que se destacam por serem muito ex-tremas, muito distantes das restantes, designam-se por outliers.

Uma vez tendo as distribui¸cões de frequências podemos construir vários dispositivos gráficos para as representar, já que uma imagem vale 1000 palavras... Assim podemos ter histogramas, pol´ıgonos de frequência, pol´ıgonos de frequências acumuladas representando graficamente a distribui¸cão de frequência dos dados, ou ainda diagramas de caixa-e-bigodes, que apresentaremos mais tarde no texto.

O histograma é um gráfico de barras que se constrói escolhendo para abcissas os limites de cada uma das classes e para ordenadas, resultando na altura de cada uma das barras que o constitui, a frequência (absoluta ou relativa) dos dados na classe correspondente.

O pol´ıgono de frequências é obtido unindo os pontos de ordenada correspondente à altura de cada barra e abcissa dada pelo respectivo ponto médio da classe. Os pol´ıgonos de frequências são usualmente melhores que os histogramas para comparar a forma de duas ou mais distribui¸cões de frequências.

O pol´ıgono de frequências acumuladas obtém-se unindo os pontos formados por ordenadas dadas pela altura das barras do histograma e respectivas abcissas que são um dos limites da classe que lhe corresponde - caso seja o superior fala-se de distribui¸cão acumulada ”acima de”; se for o inferior temos distribui¸cão acumulada ”abaixo de”. A curva aqui resultante toma o nome de ogiva. É uma curva importante quando estamos interessados em determinar que percentagem dos dados está abaixo de um certo valor.

Exemplo 1.1 Seguem-se as percentagens de gordura de manteiga fornecidas por 120 vacas Ayrshire,

de 3 anos de idade, seleccionadas ao acaso de um livro de registos de gado canadiano: 4.32 4.24 4.29 4.00 3.96 4.48 3.89 4.02 3.74 4.42 4.20 3.87 4.10 4.00 4.33 3.81 4.33 4.16 3.88 4.81 4.23 4.67 3.74 4.25 4.28 4.03 4.42 4.09 4.15 4.29 4.27 4.38 4.49 4.05 3.97 4.32 4.67 4.11 4.24 5.00 4.60 4.38 3.72 3.99 4.00 4.46 4.82 3.91 4.71 3.96 3.66 4.10 4.38 4.16 3.77 4.40 4.06 4.08 3.66 4.70 3.97 3.97 4.20 4.41 4.31 3.70 3.83 4.24 4.30 4.17 3.97 4.20 4.51 3.86 4.36 4.18 4.24 4.05 4.05 3.56 3.94 3.89 4.58 3.99 4.17 3.82 3.70 4.33 4.06 3.89 4.07 3.58 3.93 4.20 3.89 4.60 4.38 4.14 4.66 3.97 4.22 3.47 3.92 4.91 3.95 4.38 4.12 4.52 4.35 3.91 4.10 4.09 4.09 4.34 4.09 4.88 4.28 3.98 3.86 4.58

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Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₇

Olhando para este conjunto de 120 números é dif´ıcil retirar algo de útil daqui, ao contrário do que acontece se os dispusermos num gráfico.

Para tal come¸camos por determinar o n´umero de classes a usar para agrupar os dados, atrav´es da regra de Sturges:

k ≈ 1 + log nlog 2 = 1 + log 120

log 2 ≈ 1 + 6.907 = 7.907 ≈ 8 classes.

Notando agora que o máximo do conjunto de dados é 5.00 e o m´ınimo é 3.47, temos que a amplitude dos dados vale L = 5.00 − 3.47 = 1.53 e, portanto, a amplitude de cada classe deve ser de l = Lk =

1.53

8 = 0.19125 ≈ 0.2. Obtemos então as seguintes distribui¸cões de frequências (absoluta, absoluta

acumulada, relativa e relativa acumulada):

Frequˆencia Freq. absoluta Frequˆencia Freq. relativa Classe absoluta, acumulada relativa, acumulada

i i fi Fi fi∗ F ∗ i 1 ]3.4 ; 3.6] 3 3 0.025 0.025 2 ]3.6 ; 3.8] 8 11 0.067 0.092 3 ]3.8 ; 4.0] 30 41 0.250 0.342 4 ]4.0 ; 4.2] 29 70 0.242 0.583 5 ]4.2 ; 4.4] 28 98 0.233 0.817 6 ]4.4 ; 4.6] 12 110 0.100 0.917 7 ]4.6 ; 4.8] 5 115 0.042 0.958 8 ]4.8 ; 5.0] 5 120 0.042 1.000

Usando agora as frequˆencias absolutas, por exemplo, pode construir-se o seu histograma e desenhar o correspondente pol´ıgono de frequˆencias (a vermelho):

Percentagem de manteiga F re qu ˆen ci a ab so lu ta , fi 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 0 5 10 15 20 25 30

(10)

Daqui facilmente verificamos que a grande maioria destas vacas produz percentagens de manteiga entre 3.8 e 4.4, havendo aproximadamente o mesmo número de vacas melhores e piores produtoras em termos de manteiga - simetria na distribui¸cão das frequências.

Repare ainda nos valores das frequˆencias relativas acumuladas de onde se pode verificar que mais de 50% das observa¸c˜oes correspondem a uma percentagem de manteiga inferior a 4.2%.

2

1.3 Medidas descritivas

Anteriormente vimos como resumir um conjunto de dados num gr´afico. Adicionalmente pode ser ´

util reduzir esses mesmos dados a um ou mais números que os representem, como por exemplo a uma média. Estes números vão tomar o nome de medidas descritivas.

As medidas descritivas dividem-se em 3 tipos: medidas de localiza¸cão, medidas de dispersão e medidas de forma. Servem, respectivamente, para responder a questões do tipo:

1. Onde ´e o ”meio”dos dados? Que dado ocorre mais vezes? Como se posiciona o meu valor comparado com todos os outros?

2. Quão ”espalhados”se encontram os dados? 3. São os meus dados simétricos?

1.3.1 Medidas de localiza¸c˜ao

As medidas de localiza¸cão servem para determinar o ”meio”dos dados ou o seu valor ”mais t´ıpico”ou ainda para determinar como determinado valor se posiciona em rela¸cão aos restantes. As medidas mais usuais são a média, a mediana, moda, os quartis e os percentis.

Dado um conjunto de dados D = {x1, . . . , xn} temos as seguintes defini¸c˜oes:

M´edia amostral: ¯ x = _n1Pn i=1xi Mediana: Me =      n+1 2 ´esimo

valor do conjunto D ordenado, n ´e ´ımpar

M´edia dos 2 valores centrais do conjunto D ordenado, n ´e par Moda:

Mo= Valor em D que ocorre mais vezes

Percentil de ordem p: qp=n × ₁₀₀p

´esimo

(11)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₉

1o

Quartil:

Q1 = d0.25ne´esimo valor do conjunto D ordenado

3o

Quartil:

Q3 = d0.75ne´esimo valor do conjunto D ordenado

Note-se que os quartis não são mais do que percentis - o 1o quartil é o percentil 25 e o 3o quartil é o percentil 75. O 2o quartil não é mais do que o percentil 50, que por sua vez não é mais do que a mediana.

Quando os dados se encontram agrupados, as medidas anteriores não podem assim ser determi-nadas, tendo de se recorrer a uma interpola¸cão linear. Notamos que a moda deverá encontrar-se contida na classe com maior frequência absoluta - dita classe modal - e a mediana deverá estar con-tida na primeira classe cuja correspondente frequência relativa acumulada ultrapasse 0.5 - dita classe mediana.

Denotando Li e Ls os limites inferior e superior, respectivamente, das classes onde se encontram as medidas de localiza¸cão a serem determinadas, P Mi o ponto médio da classe i, me o número da

classe mediana, mo o número da classe modal, mq1 o número da classe do 1o quartil, mq3 o número da classe do 3o _{quartil, mpp o n´}_{umero da classe do percentil p e l a amplitude das classes, temos que:}

M´edia amostral: ¯ x = 1_nPk i=1fiP Mi Mediana: Me= Li + n+1 2 − Fme−1 Fme+1−Fme−1 × l Moda:

Mo= Li + _f_mo−1fmo+1_{+ f}_mo+1 × l

1o Quartil: Q1 = Li + n+1 4 − Fmq1−1 Fmq1+1−Fmq1−1 × l 3o Quartil: Q3 = Li + 3(n+1) 4 − Fmq3−1 Fmq3+1−Fmq3−1 × l Percentil de ordem p: qp = Li + p(n+1) 100 − Fmpp−1 Fmpp+1−Fmpp−1 × l

(12)

Notas: Quando tratamos com dados suscept´ıveis de conter outliers a mediana verifica-se ser uma medida de localiza¸cão melhor que a média, uma vez que é menos sens´ıvel a esse tipo de valores extremos. Notamos ainda que a moda não tem de ser única.

1.3.2 Medidas de dispers˜ao

A dispersão é a tendência dos dados se espalharem em torno da média. As medidas mais habituais são a amplitude dos dados, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de varia¸cão, que se passam a definir, relativamente ao conjunto de dados D = {x1, . . . , xn}.

Amplitude:

L = max D − min D Variˆancia amostral:

s2= _n−11 Pn

i=1(xi− ¯x)2 = _n−11 Pni=1x2i − n¯x2

Desvio padr˜ao amostral:

s =√s2 ₌q 1 n−1

Pn

i=1(xi− ¯x)2

Coeficiente de varia¸c˜ao:

cv = _xs_¯ _{× 100}

Note-se que o coeficiente de varia¸cão representa a percentagem da média amostral a que corres-ponde o desvio padrão amostral.

No caso de dados agrupados devemos reformular as nossas defini¸c˜oes. Sendo P Mi o ponto m´edio

da classe i e fi a correspondente frequˆencia absoluta:

Variˆancia amostral:

s2₌ 1 n−1

Pk

i=1fi(P Mi− ¯x)2

Desvio padr˜ao amostral:

s =√s2₌q 1 n−1

Pk

i=1fi(P Mi− ¯x)2

1.3.3 Medidas de forma

Servem para estudar a simetria dos dados. Vamos aqui apenas considerar o coeficiente de enviesa-mento de Pearson:

Coeficiente de enviesamento de Pearson: Sk = 3(¯x−Me)_s

(13)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₁

Os valores de Sk variam entre −3 e 3. Se os dados forem perfeitamente simétricos então Sk = 0, já que a mediana e a média dos dados coincidem. Se Sk > 0 (respectivamente, Sk < 0) tal significa que a média é maior (respectivamente menor) que a mediana, sendo os dados enviesados para a direita (respectivamente, enviesados para a esquerda).

Exemplo 1.2 Retomemos o exemplo 1.1. Uma vez que dispomos dos dados desagregados podemos

calcular:

M´edia amostral: ¯x = _n1Pn

i=1xi = ₁₂₀1 Pni=1xi = 4.166;

Mediana: como n=120 ´e par, M e=M´edia dos 2 valores centrais do conjunto ordenado de dados, {3.47, 3.56, 3.58, 3.66, 3.66, 3.70, 3.70, 3.72, 3.74, 3.74, 3.77, 3.81, 3.82, 3.83, 3.86, 3.86, 3.87, 3.88, 3.89, 3.89, 3.89, 3.89, 3.91, 3.91, 3.92, 3.93, 3.94, 3.95, 3.96, 3.96, 3.97, 3.97, 3.97, 3.97, 3.97, 3.98, 3.99, 3.99, 4.00, 4.00, 4.00, 4.02, 4.03, 4.05, 4.05, 4.05, 4.06, 4.06, 4.07, 4.08, 4.09, 4.09, 4.09, 4.09, 4.10, 4.10, 4.10, 4.11, 4.12, 4.14, 4.15, 4.16, 4.16, 4.17, 4.17, 4.18, 4.20, 4.20, 4.20, 4.20, 4.22, 4.23, 4.24, 4.24, 4.24, 4.24, 4.25, 4.27, 4.28, 4.28, 4.29, 4.29, 4.30, 4.31, 4.32, 4.32, 4.33, 4.33, 4.33, 4.34, 4.35, 4.36, 4.38, 4.38, 4.38, 4.38, 4.38, 4.40, 4.41, 4.42, 4.42, 4.46, 4.48, 4.49, 4.51, 4.52, 4.58, 4.58, 4.60, 4.60, 4.66, 4.67, 4.67, 4.70, 4.71, 4.81, 4.82, 4.88, 4.91, 5.00} Logo, M e = 4.14+4.15₂ = 4.145.

Moda: Mo = Valor que ocorre mais vezes = 3.97 e 4.38 (aparecem ambos 5 vezes, 2 modas).

1o

Quartil: Q1 = d0.25ne = d0.25 × 120e = 30´esimo valor do conjunto de dados ordenado =3.96

3o

Quartil: Q3 = d0.75ne = d0.75 × 120e = 90´esimo valor do conjunto dados ordenado =4.34

Amplitude: L=5.00-3.47=1.53 Variˆancia amostral: s2= _n−11 Pn

i=1(xi− ¯x)2 = 0.091

Desvio padr˜ao amostral: s =q_n−11 Pn

i=1(xi− ¯x)2 = 0.302

Coeficiente de varia¸c˜ao: cv = _xs_¯ _{× 100 = 7.258%}

Coeficiente de enviesamento de Pearson: Sk = 3(¯x−Me)_s = 0.209.

Confirma ligeiro enviesamento direito verificado no histograma. A distribui¸cão é pois apenas ligeiramente assimétrica, o que é corroborado pelo facto de a média amostral, a mediana e a moda estarem relativamente próximas.

Apesar de neste exemplo concreto termos os dados desagregados, vamos usar as classes definidas no exemplo 1.1 para calcular algumas das medidas atr´as e comparar resultados. Assim:

M´edia amostral: ¯x = _n1Pk

(14)

Mediana: A classe 4, ]4.0; 4.2], é a primeira cuja frequência relativa acumulada ultrapassa os 50% dos dados, pelo que é esta a classe mediana.

Me= Li + n+1 2 − Fme−1 Fme+1−Fme−1 × l = 4.0 + 120+1 2 − 41 98−41 × 0.2 = 4.068

Moda: A classe modal é a classe 3, ]3.8; 4.0], já que é aquela a que corresponde maior frequência absoluta. Assim:

Mo = Li +_f_mo−1fmo+1_{+ f}_mo+1 × l = 3.8 +_{8 + 29}29 × 0.2 = 3.957

1o

Quartil: A classe 3, ]3.8; 4.0], é a primeira cuja frequência relativa acumulada ultrapassa os 25% dos dados, pelo que é esta a classe do 1o

quartil: Q1 = Li + n+1 4 − Fmq1−1 Fmq1+1−Fmq1−1 × l = 3.8 + 120+1 4 − 11 70−11 × 0.2 = 3.865 3o

Quartil: A classe 5, ]4.2; 4.4], é a primeira cuja frequência relativa acumulada ultrapassa os 75% dos dados, pelo que é esta a classe do 3o

quartil: Q3 = Li + 3(n+1) 4 − Fmq3−1 Fmq3+1−Fmq3−1 × l = 4.2 + 3(120+1) 4 − 70 110−70 × 0.2 = 4.304

Naturalmente que tanto a mediana, como os quartis e a moda devem estar contidos nas respectivas classes, o que constitui uma forma de confirmarmos se os nossos c´alculos est˜ao correctos.

Variˆancia amostral: s2₌ 1 n−1

Pk

i=1fi(P Mi− ¯x)2= 3×(3.5−4.153)

2_{+8×(3.7−4.153)}2_+...

119 = 0.095

Desvio padr˜ao amostral: s =√s2 _{= 0.308}

Coeficiente de varia¸c˜ao: cv = _xs_¯ _{× 100 = 7.406%}

Vemos pois que as aproxima¸cões obtidas a partir dos dados agrupados estão próximas dos ver-dadeiros valores. Quanto mais distantes estiverem os verver-dadeiros valores dos obtidos através dos dados agrupados, maior é a perda de informa¸cão devida ao agrupamento.

2

1.4 Diagrama de caixa-e-bigodes

Apresentamos por último um outro dispositivo gráfico bastante útil, o chamado diagrama de caixa-e-bigodes.

Para construir este diagrama temos de conhecer quanto valem os máximo e m´ınimo dos dados, a sua mediana e os 1o e 3o quartis. Com estes desenha-se uma caixa rectangular em que o topo inferior é dado pelo 1o _{quartil e o superior pelo 3}o _{quartil. A caixa é dividida em duas partes pelo valor da}

mediana dos dados. Acrescentam-se-lhe então 2 bigodes que partem, respectivamente, um do extremo inferior da caixa até ao m´ınimo dos dados e o outro do extremo superior para o máximo - ver exemplo 1.3.

Este diagrama ´e muito ´util para identificar assimetrias nos dados, caso a caixa esteja partida em dois peda¸cos muito diferentes, e para identificar outliers, no caso de os bigodes serem, relativamente `

(15)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₃

Exemplo 1.3 Construamos o diagrama de caixa-e-bigodes para dos dados do exemplo 1.1, lembrando

que M e = 4.145, Q1 = 3.96, Q3 = 4.34, m´ınimo dos dados é 3.47 e máximo dos dados é 5.00:

3.5 4.0 4.5 5.0

Confirma-se ligeira assimetria direita dos dados.

2

1.5 Exerc´ıcios Propostos

1.1 No âmbito dos inquéritos que são efectuados por determinado organismo de obten¸cão de dados, é importante ter no¸cão dos erros de digita¸cão que os entrevistadores cometem ao anotarem informaticamente as respostas dos seus entrevistados. Assim, para um inquérito de 50 questões registaram-se, para 90 entrevistas, os seguintes números de erros:

No _{de erros} _Frequˆencia 0 5 1 17 2 29 3 23 4 11 5 5

(a) Determine as frequências relativas e as frequências relativas acumuladas. Coloque-as em gráfico.

(b) Que percentagem de entrevistas tiveram menos de 3 erros? Que n´umero de erros ´e mais comum?

(c) Determine a média do número de erros, o seu desvio padrão e o coeficiente de varia¸cão. 1.2 Suponha que os dados seguintes se referem ao número de palavras que constituem o vocabulário

de crian¸cas de 5 anos:

(16)

(a) Estes dados são de natureza discreta ou cont´ınua? Construa uma sua distribui¸cão de frequências absoluta, absoluta acumulada, relativa e relativa acumulada. Esboce o his-tograma das frequências relativas e o correspondente pol´ıgono de frequências. Construa uma ogiva.

(b) Existe algum outlier presente nos dados?

(c) Determine a m´edia, a mediana, a moda, e os 1oe 3o quartis dos dados. Construa o diagrama de caixa-e-bigodes dos dados.

(d) Determine o desvio padrão e o coeficiente de varia¸cão dos dados. (e) O que pode dizer quanto à simetria dos dados? Justifique.

1.3 Os chamados movimentos rápidos dos olhos durante o sono (REM - rapid eye movement) estão associados a per´ıodos de sonho. A dura¸cão da actividade REM foi registada para 18 indiv´ıduos (em segundos):

7.00, 7.75, 9.50, 11.60, 10.55, 7.75, 12.00, 10.75, 12.51, 10.91, 8.30, 9.71, 10.50, 11.60, 6.25, 11.75, 9.75, 10.00

(a) Construa uma distribui¸c˜ao de frequˆencia dos dados usando uma amplitude de classe l de 1 segundo. Represente-a graficamente. Esboce uma ogiva.

(b) Determine a média, a mediana e os 1o e 3o quartis dos dados. (c) Determine o desvio padrão e o coeficiente de varia¸cão dos dados.

1.4 Segue-se a distribui¸cão por faixas etárias da popula¸cão de uma certa cidade, com idades entre 5 e 40 anos, relativas ao ano de 1987:

Idade N´umero [5 − 10[ 30116 [10 − 15[ 14633 [15 − 20[ 29424 [20 − 25[ 40146 [25 − 30[ 29424 [30 − 35[ 44555 [35 − 40] 40100

(a) Construa um histograma de frequˆencias. O que indica a sua forma?

(b) Se o histograma tivesse sido calculado com base nas frequências relativas a sua forma diferiria do histograma desenhado na al´ınea anterior? Se não tiver a certeza construa-o para compara¸cão.

(c) Determine duas medidas de localiza¸c˜ao dos dados e duas medidas de dispers˜ao.

1.5 Os dados que se seguem dizem respeito aos sal´arios mensais l´ıquidos (Euro) de um conjunto de 36 pessoas de determinada cidade entrevistadas na rua ao acaso:

1195, 660, 870, 1150, 1225, 2465, 1100, 2480, 1300, 2330, 2020, 1540, 685, 867, 1000, 1470, 1085, 1060, 1790, 2690, 1535, 3995, 1615, 1230, 670, 590, 1100, 1040, 4200, 1030, 1165, 3320, 1260, 1790, 2740, 1490

(17)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₅

(a) Construa uma distribui¸cão de frequências relativas e ponha-a em gráfico. Construa ainda uma ogiva.

(b) Qual a percentagem de pessoas que ganha menos que 1100e l´ıquidos?

(c) Determine a m´edia, a mediana, a moda, os 1o _{e 3}o _{quartis e o desvio padr˜ao dos dados.}

(d) Comente a simetria da distribui¸c˜ao com base no coeficiente de enviesamento de Pearson e com base no diagrama de caixa-e-bigodes.

1.6 Inserido num estudo antropólogo procura-se determinar algumas caracter´ısticas fisiológicas de uma popula¸cão. Os números seguintes representam os n´ıveis de colesterol no sangue encontrado em 25 membros de uma tribo Africana, medido em miligramas de colesterol por decilitro de sangue:

200, 241, 232, 177, 207, 181, 195, 182, 181, 233, 176, 170, 217, 164, 188, 164, 211, 204, 160, 172, 212, 186, 160, 203, 191

(a) Construa as distribui¸c˜oes de frequˆencias absolutas e relativas correspondentes.

(b) Construa o histograma e o pol´ıgono de frequências das frequências relativas. Comente. (c) Determine a média, a mediana e a moda dos dados. Comente.

(d) Determine o coeficiente de varia¸c˜ao dos dados.

1.7 Um psicólogo desenvolveu uma técnica para ajudar as pessoas a melhorarem a sua memória. Certo material é dado a 30 pessoas para o memorizarem antes de aprenderem a técnica e semel-hante material é dado às mesmas pessoas para o memorizarem depois de apreendida a referida técnica. A diferen¸ca de tempo que as pessoas demoraram a memorizar os materiais antes e depois de aprendida a técnica seguem-se (minutos):

5, 40, 45, 11, 13, 20, 14, 5, 23, 18, 17, 4, 4, 5, 29, 18, 15, 21, 24, 16, 2, 15, 19, 30, 24, 21, 14, 18, 26, 40

(a) Construa uma distribui¸cão de frequências, o seu histograma e o seu pol´ıgono de frequências. (b) Tome uma classe e escreva por palavras exactamente o que ela lhe diz.

(c) Calcule 3 medidas de localiza¸c˜ao dos dados e discuta a simetria da distribui¸c˜ao dos dados, construindo um diagrama de caixa-e-bigodes.

1.8 ‡Prove que a área total dos rectângulos de um histograma é igual à área limitada pelo pol´ıgono de frequência correspondente e pelo eixo dos XX. Considere, para facilitar, o caso concreto de um histograma constitu´ıdo, por exemplo, por 3 classes da mesma amplitude.

(18)

Teoria das Probabilidades

2.1 Introdu¸c˜

ao

Apesar da estat´ıstica descritiva ser um ramo importante da estat´ıstica, muito frequentemente a in-forma¸cão que dispomos existe apenas para um subgrupo de um grande conjunto de items de interesse (uma amostra), significando a necessidade de generaliza¸cões para além dos dados. O objectivo da inferência estat´ıstica prende-se precisamente com estas generaliza¸cões.

Neste processo estão sempre presentes incertezas, quer porque a informa¸cão não é completa ou porque é apenas parte de um todo ou ainda porque é de natureza indirecta. Estas incertezas são quantificadas através da teoria das probabilidades.

A teoria das probabilidades tem assim como objectivo a formula¸cão de modelos de fenómenos naturais em que intervém o acaso. As suas origens remontam aos chamados jogos de azar, como sendo a roleta do casino ou os jogos de cartas ou de dados!

Defini¸cão 2.1 Uma experiência aleatória é uma experiência na qual: - todos os poss´ıveis resultados da experiência são conhecidos à partida;

- para qualquer realiza¸cão da experiência não se sabe, antes desta ocorrer, qual dos seus poss´ıveis resultados vai acontecer;

- a experiência pode sempre ser repetida sob idênticas condi¸cões.

Vários são os exemplos do nosso dia-a-dia de experiências aleatórias - lan¸camento de uma moeda ao ar (assumindo que não ”aterra”de lado!), lan¸camento de um dado, a extraçcão do totoloto, o tempo de vida de dura¸cão de uma lâmpada, o tempo que se demora na fila de espera dos correios, o sorteio dos turnos práticos de Probabilidades e Estat´ıstica!...

O nosso objectivo é então estudar a incerteza associada a estas experiências aleatórias, se poss´ıvel quantificá-la. Laplace, em 1812, forneceu a primeira defini¸cão de probabilidade, dita defini¸cão clássica de probabilidade ou Lei de Laplace:

Defini¸cão 2.2 Se uma experiência aleatória tem a si associado um número finito N de resultados mutuamente exclusivos e igualmente prováveis e se, desses resultados, NA têm um certo atributo A,

ent˜ao a probabilidade de A, P (A), ´e dada por:

(19)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₇

P (A) = NA

N =

no

de resultados favor´aveis no

de resultados poss´ıveis

Esta defini¸cão é no entanto restritiva e inadequada em muitas situa¸cões, por exemplo se os resul-tados da experiência aleatória não forem equiprováveis. Surge então o conceito frequencista de probabilidade:

Defini¸cão 2.3 A probabilidade de um acontecimento A é avaliada através de informa¸cão existente sobre A, sendo dada pela propor¸cão de vezes em que se observou o resultado A, nA, num número n

suficientemente grande de realiza¸cões da experiência aleatória:

P (A) = lim

n→∞

nA

n

Este é o conceito de probabilidade que trataremos neste curso. Notamos que esta interpreta¸cão não é única. No entanto, a matemática das probabilidades que vamos aprender de seguida é desenvolvida numa base inteiramente axiomática, independente da referida interpreta¸cão. Deve-se a Kolmogorov, que a apresentou em 1933.

De acordo com o desenvolvimento de Kolmogorov os acontecimentos aleatórios são representados por conjuntos e a probabilidade é uma medida normada definida sobre estes conjuntos.

2.2 Espa¸co amostral

Defini¸cão 2.4 O espa¸co amostral de uma experiência aleat´_{oria é um par (Ω, S) onde:}

1. Ω ´e o conjunto de todos os poss´ıveis resultados da experiˆencia (espa¸co de resultados ou universo);

2. S ´e uma σ−´algebra, i.e.: (i) ∅ ∈ S;

(ii) Se A ∈ S então ¯A ∈ S, onde ¯A é o conjunto complementar de A; (iii) Se A1, A2, . . . , An, . . . ∈ S então S∞i=1Ai ∈ S.

Observa¸c˜oes:

1. Os pontos em Ω designam-se por pontos amostrais.

2. Muito frequentemente S é o conjunto de todos os subconjuntos de Ω, S ≡ P(Ω). Este conjunto é sempre uma σ−álgebra.

3. Qualquer conjunto A ∈ S ´e chamado um acontecimento. A ´e um conjunto de pontos amostrais. 4. Qualquer acontecimento A diz-se ter ocorrido se algum ponto de A corresponder ao resultado

de uma experiˆencia aleat´oria.

5. Cada conjunto formado por apenas um ponto amostral ´e dito um acontecimento simples ou elementar.

(20)

6. Ao conjunto Ω chamamos acontecimento certo. 7. Ao conjunto ∅ chamamos acontecimento imposs´ıvel.

8. A álgebra assim constru´ıda, também designada por álgebra de acontecimentos, é ”pare-cida” com a álgebra de conjuntos, ”herdando” propriedades desta. Assim salientamos:

(i) A é subacontecimento de B, e escreve-se A ⊂ B, se e só se a realiza¸cão de A implica a realiza¸cão de B;

(ii) Dado o acontecimento A, chama-se acontecimento complementar de A e escreve-se A, ao acontecimento constitu´ıdo pelos elementos de Ω que n˜ao est˜ao em A;

(iii) Dados os acontecimentos A e B, d´a-se o nome de uni˜ao de A com B ao acontecimento que consiste na realiza¸c˜_{ao de pelo menos um deles e representa-se por A ∪ B;}

(iv) Interseçcão de A com B é o acontecimento que se realiza se e só se realizam em simultâneo os acontecimentos A e B. Representa-se por A ∩ B;

(v) A uni˜ao de acontecimentos disjuntos A e B representa-se por A + B.

(vi) Chama-se diferen¸_{ca dos acontecimentos A e B ao acontecimento A − B = A ∩ B, ou} seja, ao acontecimento que se realiza se e s´o se A se realiza mas n˜ao se realiza B.

9. Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente exclusivos se n˜ao tˆem elementos em comum, ou seja se A ∩ B = ∅.

10. Se Ω contiver apenas um n´_{umero finito de elementos dizemos que (Ω, S) é um espa¸co amostral} finito. Se Ω for no m´_{aximo um conjunto numerável de pontos dizemos que (Ω, S) é um espa¸co} amostral discreto. Se os pontos em Ω não forem cont´_{aveis dizemos que (Ω, S) é um espa¸co} amostral não contável. Em particular, se Ω = Rk, dizemos que temos um espa¸co amostral cont´ınuo.

Exemplo 2.1 Considere-se a experiˆencia aleat´oria simples do lan¸camento ao ar de uma moeda

equi-librada. Representando ”Ca” o resultado ”sair cara” e ”Co” o resultado ”sair coroa”, temos que Ω = {Ca, Co}. Escolhemos ent˜ao a seguinte σ−´algebra, S = P(Ω) = {∅, {Ca}, {Co}, {Ca, Co}}, formando o espa¸co amostral (Ω, S).

Consideremos agora a experiˆencia aleat´oria do lan¸camento ao ar de duas moedas equilibradas. Temos que Ω = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} e podemos escolher S = P(Ω) = {∅, {(Ca, Ca)}, {(Ca, Co)}, {(Co, Ca)}, {(Co, Co)}, {(Ca, Ca), (Ca, Co)}, {(Ca, Ca), (Co, Ca)}, {(Ca, Ca), (Co, Co)}, {(Ca, Co), (Co, Ca)}, {(Ca, Co), (Co, Co)}, {(Co, Ca), (Co, Co)}, {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca)}, {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Co)}, {(Ca, Ca), (Co, Ca), (Co, Co)}, {(Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}, Ω}, for-mando o espa¸co amostral (Ω, S).

2

2.3 Axiom´

atica das probabilidades

Defini¸c˜ao _{2.5 Seja (Ω, S) um espa¸co amostral. Uma fun¸c˜ao P : S → [0, 1] diz-se uma probabilidade}

se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes ou axiomas: 1. P (A) ≥ 0, ∀A ∈ S;

(21)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₁₉

2. P (Ω) = 1;

3. Sejam {Ai, i = 1, 2, . . .}, Ai ∈ S, uma sucess˜ao de conjuntos disjuntos (Aj∩ Ak = ∅, j 6= k).

Ent˜ao: P ∞ [ i=1 Ai ! = ∞ X i=1

P (Ai) Aditividade cont´avel

Nota: Como caso particular do 3o _{axioma temos a chamada aditividade finita, para Ω finito:}

Sejam A, B ∈ S : A ∩ B = ∅. Ent˜ao P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

Defini¸c˜ao _{2.6 Chama-se espa¸co de probabilidades ao triplo (Ω, S, P ).}

Exemplo _{2.2 Relativamente ao exemplo 2.1, onde Ω = {Ca, Co} e S = P(Ω), podemos definir a}

fun¸c˜_{ao P em S como P (∅) = 0, P ({Ca}) =} 1₂_{, P ({Co}) =} 1₂ e P (Ω) = 1. Facilmente se verifica que esta fun¸c˜ao satisfaz os axiomas acima sendo, por isso, uma probabilidade.

J´_{a se Ω = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} e S = P(Ω), podemos definir a fun¸c˜ao P por:} P (∅) = 0

P ({(Ca, Ca)}) = P ({(Ca, Co)}) = P ({(Co, Ca)}) = P ({(Co, Co)} = 1₄

P ({(Ca, Ca), (Ca, Co)}) = P ({(Ca, Ca), (Co, Ca)}) = P ({(Ca, Ca), (Co, Co)}) = = P ({(Ca, Co), (Co, Ca)}) = P ({(Ca, Co), (Co, Co)}) = P ({(Co, Ca), (Co, Co)}) = 1₂ P ({(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca)}) = P ({(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Co)}) =

= P ({(Ca, Ca), (Co, Ca), (Co, Co)}) = P ({(Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}) = 3₄ P (Ω) = 1

Também esta fun¸cão satisfaz os axiomas acima enunciados sendo, por isso, uma probabilidade. Notemos que em ambas as situa¸cões anteriores, ao definirmos os valores que a fun¸cão P deve tomar para os acontecimentos elementares, estes necessariamente implicam os valores que P deve assumir para os restantes acontecimentos, de forma a que P seja de facto uma probabilidade.

2 Passam-se a enumerar de seguida algumas consequências da axiomática das probabilidades acima definida, esbo¸cando as suas demonstra¸cões, sem grande detalhe.

Proposi¸c˜ao 2.1 P (∅) = 0.

Demonstra¸c˜_{ao: ∅ ∩ Ω = ∅. Logo ∅ e Ω s˜ao conjuntos disjuntos. Ent˜ao, pela aditividade e porque} ∅ ∪ Ω = Ω,

P (∅ ∪ Ω) = P (∅) + P (Ω) ⇔ P (Ω) = P (∅) + P (Ω) ⇔ (pelo 2o axioma) 1 = P (∅) + 1 ⇔ P (∅) = 0

(22)

Teorema _{2.1 Se A, B ∈ S e A ⊆ B ent˜ao:}

- P (A) ≤ P (B)

- P (B − A) = P (B) − P (A).

Demonstra¸c˜_{ao: Se A ⊆ B, B = (A ∩ B) ∪ (B − A) = A ∪ (B − A). Assim, sendo A e (B − A) disjuntos,} temos pelo axioma da aditividade que:

P (B) = P (A + (B − A)) = P (A) + P (B − A) ⇔ (2.3.1)

P (B − A) = P (B) − P (A)

Note-se que de (9.5.1), P (B) ≥ P (A), j´a que P (B − A) ≥ 0, pelo 1o _axioma.

Corol´ario _{2.1.1 ∀A ∈ S, 0 ≤ P (A) ≤ 1.}

Demonstra¸c˜_{ao: Como ∀A ∈ S, A ⊆ Ω e como, pelo axioma 2, P (Ω) = 1, segue o pretendido como} consequˆencia do primeiro ponto do teorema anterior.

Corol´ario _{2.1.2 ∀A, B ∈ S, P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B).}

Demonstra¸c˜ao:

P (A − B) = P (A − (A ∩ B)) = (Pelo 2o ponto do teorema anterior e porque (A ∩ B) ⊆ A) = P (A) − P (A ∩ B)

Teorema 2.2 (Regra da adi¸c˜_{ao) Para A, B ∈ S, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).} Demonstra¸c˜ao:

1. A ∪ B = (A − B) + (B − A) + (A ∩ B);

2. A = (A ∩ B) + (A − B) ⇔ (A − B) = A − (A ∩ B) 3. B = (A ∩ B) + (B − A) ⇔ (B − A) = B − (A ∩ B) Assim, pelo axioma da aditividade:

P (A ∪ B) = P (A − B) + P (B − A) + P (A ∩ B) =

= P (A − (A ∩ B)) + P (B − (A ∩ B)) + P (A ∩ B) = (Pelo corol´ario (2.1.2)) = P (A) − P (A ∩ B) + P (B) − P (A ∩ B)) + P (A ∩ B) =

(23)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₂₁

Corol´ario _{2.2.1 ∀A ∈ S, P ( ¯}_{A) = 1 − P (A).}

Demonstra¸c˜ao: Tome-se na regra da adi¸c˜ao anteriormente enunciada B = ¯A:

P (A ∪ ¯A) = P (A) + P ( ¯_{A) − P (A ∩ ¯}_{A) ⇔}

P (Ω) = P (A) + P ( ¯_{A) + P (∅) ⇔} (Pelo 2o axioma e prop. (2.1)) 1 = P (A) + P ( ¯_{A) + 0 ⇔}

P ( ¯_{A) = 1 − P (A)}

Corol´ario 2.2.2 Para Ai∈ S, i = 1, . . . , n,

P n [ i=1 Ai ! = n X i=1 P (Ai) − X i6=j P (Ai∩ Aj) + X i6=j6=k P (Ai∩ Aj∩ Ak) − . . . + (−1)n−1P n \ i=1 Ai ! Observa¸c˜oes:

1. Dois acontecimentos A e B dizem-se incompat´ıveis se P (A ∩ B) = 0.

2. Se temos um acontecimento A 6= Ω mas tal que P (A) = 1 dizemos que A ´e um acontecimento quase certo.

3. Se temos um acontecimento B 6= ∅ mas tal que P (B) = 0 dizemos que B ´e um acontecimento quase imposs´ıvel.

Exemplo 2.3 Relativamente ao exemplo 2.1, continuado em 2.2, relativamente à experiência aleatória

do lan¸camento de 2 moedas equilibradas, definamos os seguintes acontecimentos: A-”Sair pelo menos uma cara”

B-”Sair pelo menos uma coroa” Temos que:

A = {(Ca, Co), (Co, Ca), (Ca, Ca)} P (A) = 3 4 B = {(Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} P (B) = 3 4 A partir daqui consideremos os seguintes acontecimentos:

Ocorrerem os dois acontecimentos simultaneamente: A ∩ B = {(Ca, Co), (Co, Ca)} P (A ∩ B) = 1

(24)

Ocorrer A mas n˜ao B:

A − B = {(Ca, Ca)} P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B) = 3₄ −1₂ = 1 4 Ocorrer pelo menos um dos acontecimentos:

A ∪ B = Ω P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 3₄+3 4 − 1 2 = 1 N˜ao ocorrer B: ¯ B = {(Ca, Ca)} P ( ¯_{B) = 1 − P (B) = 1 −}3 4 = 1 4 2

2.4 T´

ecnicas de contagem para espa¸cos amostrais finitos

Em espa¸cos amostrais finitos é frequente termos situa¸cões em que todos os acontecimentos ele-mentares têm igual probabilidade. Nestes casos a determina¸cão das probabilidades de acontecimentos reduz-se a problemas de contagem combinatória. Enumeramos seguidamente algumas regras de con-tagem necessárias a essa determina¸cão.

1. Multiplica¸cão de escolhas: O número de formas diferentes em que podemos escolher um elemento de cada um de dois grupos - um com n elementos e outro com m - é dado por:

n × m

2. Consideremos um conjunto de n elementos dos quais estamos interessados em extrair p (p ≤ n) elementos, anotando a ordem pela qual eles saem.

(i) Se a extraçcão for efectuada sem reposi¸cão, no caso de extrairmos todos os n elementos (p = n), o número de formas diferentes de o fazer é permuta¸cões de n,

Pn= n! = n × (n − 1) × . . . × 2 × 1

Recordemos que por conven¸c˜ao 0! = 1.

Caso p < n, o número de conjuntos diferentes de p elementos que podemos formar a partir dos n elementos à escolha é dado por arranjos de n elementos p a p,

An

p = _(n−p)!n!

(ii) Se a extraçcão for efectuada com reposi¸cão, o número de conjuntos diferentes de p elementos que podemos formar a partir dos n elementos à escolha é np. A este número chama-se arranjos com repeti¸cão e designa-se por:

(25)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₂₃

3. Finalmente podemos estar interessados em determinar quantos subconjuntos de p elementos conseguimos formar a partir de um conjunto de n elementos, não interessando a ordem pela qual eles saem. Tal número é dados pelas combina¸cões de n elementos p a p:

Cn

p = _(n−p)!p!n!

Repare-se que as combina¸cões são obtidas a partir dos arranjos descontando-lhes as diferentes ordena¸cões do conjunto formado pelos p elementos. Usamos arranjos quando os elementos que escolhemos são distingu´ıveis entre si e combina¸cões quando não são.

Notamos ainda que as combina¸c˜oes podem tamb´em ser denotadas por (n_p) = nCp = Cpn e que

C_pn= C_n−pn .

Exemplo 2.4 Consideremos as seguintes situa¸c˜oes:

X _{O n´}_{umero de toilettes poss´ıveis ao combinar 3 gravatas diferentes com 4 camisas s˜}_{ao 3 × 4 = 12.} X _{Num teste de escolha m´}_{ultipla de 10 quest˜}_{oes com 3 op¸c˜}_{oes cada, o n´}_{umero de diferentes}

con-juntos de respostas ´e 310_.

X _{Num parque de estacionamento com 10 lugares o n´}_{umero de formas distintas em que se a´ı podem} arrumar 6 carros diferentes ´e de A10

6 = 151.200.

X _{No totoloto, onde de 49 n´}_{umeros se tenta acertar num conjunto de 6 n´}_{umeros sorteados ao} acaso, o n´umero de poss´ıveis chaves ´e dado por C49

6 = 13.983.816!

2

2.5 Probabilidade condicionada e Teorema de Bayes

O cálculo de probabilidades de acontecimentos associados a uma experiência aleatória pode ser alterado quando existe informa¸cão dispon´ıvel para além do espa¸co amostral da experiência em questão. Vejamos o seguinte exemplo:

Exemplo 2.5 Em determinada aldeia apareceu um surto de c´olera, que se pensa estar associado

ao consumo de água de um determinado po¸co. São conhecidas as seguintes propor¸cões relativas à quantidade de pessoas que desenvolveram a doen¸ca (representando esse acontecimento pela letra D) e `

as pessoas que beberam ´agua do referido po¸co (representando esse acontecimento pela letra B):

B B Total

D 0.18 0.02 0.20

D 0.01 0.79 0.80

(26)

Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso na popula¸c˜ao da aldeia ter contra´ıdo c´olera? P (D) = 0.2

De entre as pessoas que beberam água do po¸co, qual a probabilidade de se escolher ao acaso uma pessoa que contraiu cólera? Agora só estamos interessados no universo das pessoas que beberam água do po¸co, B, pelo que a probabilidade pretendida é:

0.18

0.19 ' 0.95

Repare-se que por sabermos que a pessoa bebeu água do po¸co tal altera o valor da probabilidade do acontecimento ”contrair cólera”de 0.2 para 0.95! O espa¸co de resultados foi encolhido de toda a popula¸cão da aldeia, Ω, para apenas os que consumiram água do tal po¸co, B. Isto reflecte-se na forma como o novo acontecimento ”contrair cólera sabendo (ou condicionado a que) que bebeu água do po¸co” passa a ser designado: D|B. A sua probabilidade é dada por:

P (D|B) = P (D ∩ B)_{P (B)}

2

Defini¸c˜ao _{2.7 Seja (Ω, S, P) um espa¸co de probabilidades e seja B ∈ S : P (B) > 0. Para ∀A ∈ S}

definimos a probabilidade condicionada de A dado B por:

P (A|B) = P (A ∩ B)_{P (B)}

Exerc´ıcio 2.1 Provar que se B ´e um acontecimento tal que P (B) > 0, ent˜_{ao P (· |B ) ´e uma}

proba-bilidade sobre Ω.

Teorema _{2.3 (Teorema da probabilidade composta) Seja (Ω, S, P) um espa¸co de probabilidades}

e sejam A, B ∈ S : P (A) > 0, P (B) > 0. Ent˜ao, P (A ∩ B) = P (A |B ) P (B) = P (B |A) P (A)

Nota: Este teorema ´e facilmente generaliz´avel a mais de dois acontecimentos.

Teorema _{2.4 (Teorema da probabilidade total) Seja (Ω, S, P) um espa¸co de probabilidades e}

formem {E1, . . . , En} uma parti¸c˜ao do espa¸co de resultados Ω1, com P (Ei) > 0, ∀i. Dado um

qualquer acontecimento A ∈ S, tem-se

P (A) = P (A |E1) P (E1) + . . . + P (A |En) P (En)

Demonstra¸c˜ao:

Se {E1. . . , En} é uma parti¸cão de Ω, então E1∪ . . . ∪ En = Ω e Ei∩ Ej = ∅, ∀i 6= j.

Por outro lado, A = (A ∩ E1) ∪ . . . ∪ (A ∩ En).

1_{Ou seja, E}

(27)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₂₅

Como os acontecimentos (A ∩ E1) , . . . (A ∩ En) s˜ao disjuntos, pelo axioma da aditividade,

P (A) = P (A ∩ E1) + . . . + P (A ∩ En)

O que se pretende demonstrar sai finalmente notando que, pelo teorema da probabilidade composta, P (A ∩ Ei) = P (A |Ei) P (Ei) , ∀i = 1, 2, . . . , n.

Teorema _{2.5 (Teorema de Bayes) Seja (Ω, S, P) um espa¸co de probabilidades e {E}1, . . . , En} uma

parti¸c˜ao do espa¸co de resultados Ω, com P (Ei) > 0, ∀i. Dado um qualquer acontecimento A ∈ S,

com P (A) > 0, tem-se P (Ei|A) = P (A |Ei ) P (Ei) Pn i=1P (A |Ei) P (Ei) . Demonstra¸c˜ao:

Pelos teoremas da probabilidade total e da probabilidade composta e pela defini¸c˜ao de probabili-dade condicional, P (Ei|A) = P (Ei∩ A) P (A) = P (A |Ei) P (Ei) Pn i=1P (A |Ei) P (Ei)

Exemplo 2.6 Suponha que existe um teste para diagnosticar uma certa doen¸ca, mas que esse teste ´e

fal´ıvel. Assim sabe-se que, para um indiv´ıduo portador da doen¸ca (D), a probabilidade de o teste dar positivo (T ) é de 0.98 e que, para um indiv´ıduo são (D), a probabilidade de o teste dar negativo (T ) é 0.99. Sabe-se ainda que na popula¸cão 10% são portadores da doen¸ca. Assim:

P (T |D) = 0.98 P (T |D) = 0.99 P (D) = 0.10

A probabilidade de um indiv´ıduo n˜ao ter a doen¸ca sabendo que o teste deu positivo ´e de:

P (D|T ) = P (T |D)P (D)

P (T |D)P (D) + P (T |D)P (D) =

0.01 × 0.90

0.98 × 0.10 + (1 − 0.99) × (1 − 0.10) ' 0.084 e a probabilidade de um indiv´ıduo ter a doen¸ca se o teste deu negativo ´e de:

P (D|T ) = P (T|D)P (D)

P (T |D)P (D) + P (T |D)P (D) =

0.02 × 0.10

(1 − 0.98) × 0.10 + 0.99 × (1 − 0.10) ' 0.002 2

(28)

2.6 Independˆ

encia entre acontecimentos

Defini¸c˜ao 2.8 Dois acontecimentos A e B dizem-se independentes se e s´o se P (A ∩ B) = P (A) P (B)

Teorema 2.6 Se A e B s˜ao acontecimentos independentes, ent˜ao: P (A|B) = P (A) se P (B) > 0

e

P (B|A) = P (B) se P (A) > 0.

Portanto, se dois acontecimentos s˜ao independentes, o conhecimento de um deles em nada influencia a probabilidade de ocorrˆencia do outro.

Teorema 2.7 Se A e B são acontecimentos independentes, também o são A e B, A e B e ainda A e B.

Exemplo 2.7 A probabilidade de um atirador acertar no alvo, em cada tiro, ´e de 0.6,

independente-mente do tiro. Qual a probabilidade de:

a) Serem necess´arios exactamente 10 tiros para acertar uma vez? 0.49_{× 0.6.} b) Em trˆes tiros acertar uma vez? C₁3_{× 0.4}2_{× 0.6.}

c) Acertar pela terceira vez ao quinto tiro? C₂4_{× 0.4}2_{× 0.6}3.

d) Necessitar de pelo menos 4 tiros para acertar duas vezes? 1 − 0.62− C13× 0.41× 0.62.

2

2.7 Exerc´ıcios Propostos

2.1 Considere a experiˆencia aleat´oria de lan¸car simultaneamente 2 dados equilibrados de 4 faces cada, variando estas de 1 a 4 pintas.

(a) Descreva o espa¸co de resultados e o espa¸co amostral associados a esta experiˆencia.

(b) Quais s˜_{ao os elementos de S que descrevem, respectivamente, os acontecimentos ”sair um} ´

unico 4”, ”sair pelo menos um 4”, ”sair no m´aximo um 4”?

2.2 Num concurso de escultura participam 15 candidatos. De quantas formas diferentes pode o j´uri atribuir os 1o_{, 2}o _{e 3}o _lugares?

2.3 Quatro casais compraram 8 lugares para o teatro na mesma fila de cadeiras. De quantas formas diferentes se podem sentar se:

(a) Os elementos de cada casal se sentarem junto do respectivo par. (b) Todos os homens se sentarem juntos e as mulheres tamb´em.

(29)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₂₇

(c) Todos os homens se sentarem juntos.

(d) Os homens e as mulheres se sentarem alternadamente.

2.4 Seis livros de f´ısica, quatro de matem´atica e dois de qu´ımica devem ser arrumados numa prateleira. De quantas formas diferentes se pode fazer tal arruma¸c˜ao se:

(a) Os livros de cada mat´eria ficarem juntos? (b) Apenas os livros de matem´atica ficarem juntos?

2.5 Numa determinada pizzeria o cliente pode escolher para a sua pizza 3 ingredientes de 15 `a escolha, n˜ao sendo poss´ıvel repetir ingredientes. Quantas pizzas diferentes se podem fazer? 2.6 Para preencher 6 vagas de trabalho numa determinada firma concorreram 6 homens e 8 mulheres.

De quantas formas diferentes podem ser preenchidas as vagas se: (a) Qualquer dos candidatos puder ser escolhido?

(b) Tiverem de ser contratados exactamente 3 homens e 3 mulheres, podendo qualquer can-didato ser escolhido?

(c) Tiverem de ser contratadas (quaisquer) 3 mulheres e 3 homens, dos quais um homem em particular deve ser escolhido.

(d) Tiverem se ser contratados 2 homens e 4 mulheres e, destas, 2 em particular n˜ao devem ser escolhidas.

2.7 Demonstre que C_pn= C_n−pn _{, p ≤ n.}

2.8 No lan¸camento de um dado equilibrado determine a probabilidade de sair: (a) A face 6.

(b) Um n´umero par de pontos. (c) A face 2 ou a face 3.

2.9 Extrai-se ao acaso uma carta de um baralho de 40. Determine a probabilidade de essa carta ser: (a) Um ´as.

(b) Um ouro. (c) O ´as de ouros. (d) Um ´as ou um ouro.

2.10 Num jogo de cartas (sueca) distribuem-se 10 cartas por cada jogador. Determine a probabilidade de sair a um determinado jogador:

(a) Quatro ases e quatro manilhas (7). (b) Pelo menos um ´as.

(c) Quatro cartas do naipe trunfo, entre elas o ´as.

(d) Todas as cartas dos mesmo naipe. E do naipe trunfo?

2.11 Num dado não equilibrado a probabilidade de sair um número par de pintas é o dobro de sair um número ´ımpar. Determine essas probabilidades.

(30)

2.12 Por engano misturaram-se 4 pilhas novas com 3 usadas. Escolhendo-se, ao acaso e sem reposi¸c˜ao, 2 destas pilhas determine a probabilidade de:

(a) Ambas serem novas. (b) Nenhuma ser nova.

(c) Pelo menos uma ser nova.

2.13 Para se conseguir entrar na ´area de trabalho do computador do Sr. Speck-Trum tem de se introduzir uma palavra-chave de 4 d´ıgitos. Qual a probabilidade de se conseguir entrar ao acaso se:

(a) Na constitui¸c˜ao da palavra-chave puderem entrar quaisquer das 26 letras do alfabeto; (b) Na constitui¸c˜ao da palavra-chave puderem entrar quaisquer das 26 letras do alfabeto, sem

repeti¸c˜oes de letras;

(c) A palavra-chave ´e constitu´ıda por quaisquer duas letras seguidas de quaisquer dois algaris-mos.

2.14 Três amigos vão ao bar Pentagunus e pedem ao empregado de mesa que lhes sirva três bebidas diferentes. Este, na hora de servir as referidas bebidas, esquece-se de quem pediu o quê e decide colocar em frente de cada amigo uma bebida ao acaso. Qual a probabilidade de:

(a) Todos receberem a bebida que efectivamente escolheram; (b) Ningu´em receber a bebida correcta;

(c) Apenas um dos amigos receber a bebida que efectivamente escolheu.

2.15 Sejam A, B e C acontecimentos tais que P (A) = P (B) = P (C) = 1₄_{, P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = 0} e P (A ∩ C) = 18. Qual a probabilidade de se verificar pelo menos um dos 3 acontecimentos?

2.16 Sabendo que A e B s˜ao acontecimentos tais que P (A) = 2₃, P (B) = 1₂ _{e P (A∩B) =} 1₃, determine P (A − B), P (A ∪ B), P ( ¯A ∪ ¯B), P ( ¯_{A ∩ B) e P (A ∪ ¯}B).

2.17 De 100 agricultores, 50 produzem vinho, 30 produzem milho e 10 produzem vinho e milho. Escolhendo um deste agricultores ao acaso qual a probabilidade de:

(a) Ele produza vinho ou milho? (b) Ele n˜ao produza vinho nem milho?

2.18 A probabilidade de um homem estar vivo daqui a 25 anos é 3₅ e a probabilidade da sua mulher ainda viver na mesma ocasião é de 2₃. Determine a probabilidade de daqui a 25 anos:

(a) Ambos estarem vivos. (b) Apenas o homem estar vivo.

(c) Apenas a mulher estar viva. (d) Apenas um estar vivo.

2.19 Em determinada gelataria 40% dos clientes escolhem o sabor chocolate, 30% escolhem o sabor lim˜ao e 15% escolhem os dois. Seleccionou-se ao acaso um cliente dessa gelataria.

(31)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₂₉

(a) Se escolheu o sabor lim˜ao, qual a probabilidade de ter escolhido tamb´em o sabor chocolate? E vice-versa?

(b) Qual a probabilidade de escolher lim˜ao ou chocolate?

2.20 Suponha que 10% da popula¸cão de certo pa´ıs sofre de problemas card´ıacos e que, de entre estes, 70% são fumadores. De entre os que não sofrem de problemas card´ıacos 45% fumam. Seleccionada ao acaso uma pessoa desta popula¸cão:

(a) Qual a probabilidade de ser fumadora?

(b) Se for fumadora, qual a probabilidade de sofrer de problemas card´ıacos?

2.21 Admita que existem 3 tipos de v´ırus diferentes que provocam gripe, sendo as probabilidades de um indiv´ıduo ser atacado por cada um deles de 0.3, 0.5 e 0.2, respectivamente, só podendo ser atacado por um único tipo de v´ırus. Existe uma vacina para esta doen¸ca, sendo as probabilidades de imuniza¸cão a cada um dos v´ırus atrás mencionados de 0.8, 0.9 e 0.95, respectivamente.

(a) Qual a probabilidade de um indiv´ıduo vacinado n˜ao contrair a gripe (estar, por isso, imune)? (b) Se um indiv´ıduo vacinado resistiu ao ataque (um indiv´ıduo imune), qual a probabilidade

de ter sido atacado por um v´ırus do tipo 2?

2.22 Um detector de mentiras tem uma probabilidade de 0.08 de n˜ao detectar um mentiroso e uma probabilidade de 0.01 de acusar uma pessoa inocente (n˜ao mentirosa). Se 2% das pessoas que passam por este detector de mentiras mentem, qual a probabilidade de:

(a) Uma pessoa acusada pelo detector de mentiras ter de facto mentido? (b) Uma pessoa n˜ao acusada pelo detector ser na verdade inocente.

2.23 Dos registos dos correios sabe-se que 60% das cartas enviadas demoram 1 dia a chegar ao seu destino, enquanto que as restantes demoram mais tempo do que isso. Quanto a encomendas, 10% demoram apenas um dia a chegar, 40% dois dias e as restantes mais tempo ainda. O número de cartas enviadas é superior ao número de encomendas, estando na propor¸cão de 3 para 2. Calcule a probabilidade de:

(a) Um artigo enviado demore pelo menos dois dias a chegar.

(b) Um artigo enviado, que demorou mais de um dia a chegar, seja uma carta.

2.24 Nas suas desloca¸cões de casa para o emprego a menina Flora pode usar um de três meios de transporte distintos - metro, autocarro ou automóvel. Sabe-se que a probabilidade de ela chegar atrasada ao emprego é de 0.24 e as probabilidades de chegar atrasada tendo usado, respectivamente, o metro ou o autocarro são de 0.1 e 0.7. A probabilidade de chegar a horas tendo usado o automóvel é de 0.8. Sabendo ainda que a probabilidade de ir de metro ou de autocarro é a mesma, determine a probabilidade de a menina Flora ir de automóvel.

2.25 Sejam A e B acontecimentos independentes. Mostre que A e B s˜ao tamb´em acontecimentos independentes.

2.26 Um aluno conhece bem 60% da mat´eria dada. Num exame com cinco perguntas, sorteadas ao acaso, sobre toda a mat´eria, qual a probabilidade de vir a responder correctamente a duas perguntas?

(32)

2.27 Numa certa rua existem duas caixas Multibanco - A e B. A probabilidade de as m´aquinas avariarem ´e, independentemente uma da outra, de 0.05 para a A e 0.01 para a B. Determine a probabilidade de, num dia qualquer:

(a) Ambas as m´aquinas estarem avariadas. (b) Apenas a m´aquina A estar avariada.

(c) Pelo menos uma das m´aquinas estar avariada.

2.28 Diga, justificando, se a seguinte afirma¸c˜ao ´e verdadeira ou falsa:

Dados 2 acontecimentos A e B pode acontecer que P (A ∪ B) = P (A) + P (B). 2.29 Diga, justificando, se as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras ou falsas:

(a) Dados 3 acontecimentos A, B e C tais que P (A) > 0, P (B) > 0, P (C) > 0 , com A ⊆ B ⊆ C, ent˜_{ao P (A ∪ B ∪ C) = P (C).}

(b) Estamos interessados em formar palavras de 5 letras, a partir das 23 constituintes do alfabeto português (sem repeti¸cão de letras), por seleçcão aleatória das letras. Nestas condi¸cões, a probabilidade de formarmos a palavra ”PROVA” é de ₂₃5 .

(c) Suponha que A e B s˜_{ao acontecimentos tais que P (A) = 0.6, P (B) = 0.3 e P (A ∩ B) = 0.2.} Ent˜ao P (B| ¯A) = 0.5.

(d) Um estudante sabe que ter´a 3 exames durante a 1a _{semana do per´ıodo de exames (2}a _{a 6}a

feira, 5 dias). A probabilidade de que os exames sejam em dias consecutivos ´e de ₁₀3 . (e) De um conjunto de 25 artigos 8 s˜ao defeituosos, 6 tendo apenas pequenos defeitos e 2 tendo

defeitos de considerável gravidade. Então a probabilidade de que um artigo escolhido ao acaso tenha um defeito considerado grave, sabendo que tem defeitos, é de 1₄.

(f) Para um determinado exame de PED, 80% dos alunos estudam e os restantes não. Se um aluno estudar para o exame, a probabilidade de ele passar é de 0.85. Se o aluno não estudar certamente que não passa. Se determinado aluno não passou no exame, a probabilidade de ele não ter estudado para o mesmo é de 0.2.

(g) Sendo A e B dois acontecimentos tais que P (A) + P (B) = x e P (A ∩ B) = y ent˜ao a probabilidade de n˜_{ao se realizar qualquer um dos acontecimentos ´e x − y.}

(h) Dois algarismos distintos entre si s˜ao escolhidos aleatoriamente de entre os inteiros de 0 a 5 (inclusivamente). A probabilidade de a sua soma ser menor que 3 ´e de 0.1.

(i) O Sr. Zé compra um bilhete de lotaria para 20 sorteios distintos, em cada um dos quais tem uma probabilidade de ₁₀₀1 de ganhar um prémio. Consequentemente, na globalidade dos sorteios, a probabilidade de ele ganhar pelo menos um prémio é de 0.182.

(j) Um comerciante tem 3 lojas - L1, L2 e L3 - sendo o volume de vendas de L1 igual ao de L2 e o volume de vendas de L3 o dobro do volume de vendas de cada uma das outras duas lojas. Sabe-se que a percentagem de d´ıvidas incobráveis nestas lojas é de 6%, 10% e 12%, respectivamente para as lojas L1, L2 e L3. Então, a probabilidade de não se conseguir cobrar uma qualquer factura é de 0.5.

(k) De uma lista de 25 doadores de de sangue, 12 têm sangue do tipo A. Escolhidas 5 pessoas ao acaso desta lista a probabilidade de que todas tenham sangue do tipo A é de ₁₂5 . (l) A probabilidade do Joãozinho passar no exame de condu¸cão de trotinetes é de 0.6 se não

(33)

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₃₁

cometer ou não o suborno, a probabilidade de o fazer é igual à de não o fazer. Então, sabendo que o Joãozinho conseguiu tirar a carta de trotinetes, a probabilidade de ele ter subornado o examinador é de 0.7.

(m) A joalharia Dourex permite a devolu¸cão de alian¸cas de casamento dentro de um prazo de um mês após a compra das mesmas. Sabe-se que 10% dos pares de alian¸cas comprados são devolvidos. Então, a probabilidade de em 10 pares de alian¸cas vendidos no máximo 1 par ser devolvido é de 0.74.

(n) Em certa casa coabitam 3 periquitos - um amarelo, um verde e um malhado (verde e amarelo) - e ainda um gato. Sempre que a dona destes animais sai de casa, o gato tenta comer os periquitos, atacando indiferentemente qualquer um deles. A probabilidade de o gato comer o periquito amarelo é de 0.3, de comer o periquito verde é 0.2 e o malhado é 0.1. No dia em que a dona chegue a casa e só ou¸ca cantar 2 periquitos (por um deles ter sido comido), a probabilidade de que o periquito em falta seja o amarelo é de 0.5.

(o) Em determinado pa´ıs sabe-se que 70% dos contribuintes são profissionais liberais e os restantes são trabalhadores por conta de outrem. Se um contribuinte é profissional lib-eral, a probabilidade de ele pagar impostos voluntariamente é de 0.6, enquanto que esta probabilidade aumenta para 0.9 para os trabalhadores por conta de outrem. Se determi-nado contribuinte não pagou os seus impostos de forma voluntária, a probabilidade de ele ser um profissional liberal é de 0.85.

(p) Imagine que recebe uma caixa com 50 doces. Esta caixa contém 5 caramelos, 5 bombons recheados com cerejas, 5 trufas, 5 chocolates de passas e 30 chocolates de leite. Alguém selecciona ao acaso 5 doces da caixa para lhe dar e coloca-os num prato. A probabilidade de que o prato contenha pelo menos um caramelo, pelo menos um bombom recheado com cerejas, pelo menos uma trufa e pelo menos um chocolate de passas é de 0.3.

(q) Três máquinas A, B e C produzem botões, respectivamente, 15%, 25% e 60% da produ¸cão total. As percentagens de botões defeituosos fabricados por estas máquinas são respec-tivamente 5%, 7% e 4%. Se ao acaso, da produ¸cão total de botões, for encontrado um defeituoso, a probabilidade de ele ter sido produzido pela máquina B é de cerca de 36%. (r) A probabilidade do medicamento XOP provocar efeitos secundários numa crian¸ca (i.e.

pessoa com menos de 14 anos) é de 0.2, enquanto que para os adultos (restante popula¸cão) é de 0.1. Sabemos que percentagem de crian¸cas na popula¸cão é de 15%. Uma pessoa queixou-se de ter sofrido de efeitos secundários após a ingestão deste medicamento. A probabilidade de que essa pessoa seja um adulto é de 0.3.

(s) Se P (A) = 0.5, P (B) = 0.2 e P (A ∩ B) = 0.1 então os acontecimentos A e B são indepen-dentes mas não incompat´ıveis.

(t) O José tem de ir buscar um amigo ao aeroporto. A sua experiência diz-lhe que o avião se atrasa 60% das vezes quando chove, mas apenas 20% das vezes quando não chove. A previsão do tempo diz que há uma probabilidade de 0.4 de chover. Então a probabilidade de que o avião não se atrase é de 0.5.

(u) Num determinado exame, 10 alunos receberam o enunciado A, 15 alunos receberam o enunciado B e 20 alunos receberam o enunciado C. Seleccionando ao acaso 6 do total destes alunos, a probabilidade de um deles ter recebido o enunciado A, dois deles terem recebido o enunciado B e os restantes três terem recebido o enunciado C é de aproximadamente 0.98. (v) O exame de PE do Zé decorre em simultâneo com um importante jogo de futebol. Não podendo ver o jogo em directo o Zé programa os seus dois gravadores de v´ıdeo para o gravar.