Testes preliminares de verificação de convergência

Para os casos em que não há o fenômeno transiente é necessário verificar apenas a malha, ou seja, àquela que melhor se adequa a fim de se obter o resultado mais próximo possível dos resultados analíticos, que são tidos como os valores de referência. Assim, pode-se afirmar que há convergência quando os valores numéricos se aproximam dos analíticos, assumindo uma única tendência.

As equações de Laplace e Poisson não tem variação temporal, portanto, verifica-se apenas a malha. Já para a Equação de Fourier e a equação completa necessitam de um parâmetro em que uma razão entre o espaço e o tempo seja atendida.

Desta forma, houve a verificação da malha utilizada na Equação de Laplace e esta foi utilizada para as demais situações, sendo igual ou menor, consequentemente, com o mesmo número ou mais elementos, pois, quanto mais refinada a malha, maior o número de elementos e mais preciso os resultados.

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Teste 1 – Análise Estática

Considerando-se um corpo com L1 = 1 m e L2 = 1m, Figura 5.19, para haver sempre um

ponto central, foi verificada a malha de forma que houvesse simetria, a mesma quantidade de elementos em ambos os lados. No modelo, as CC foram consideradas 0°C, exceto no lado B que teve temperatura de 100°C. Na análise, primeiro foi verificado o ponto central do corpo, e em seguida, a linha central em L, eixo x, representados na Figura 5.19, pelo ponto indicado e a linha tracejada.

Figura 5.19 – Corpo analisado na convergência estática.

A Figura 5.20 mostra a malha de 0.5, 0.1 e 0.05 com, respectivamente, 4, 100 e 400 elementos, evidenciando que quanto menor a malha maior o número de elementos e, consequentemente, maior a precisão dos resultados por haver matrizes maiores aproximando-se cada vez mais de um elemento infinitesimal. Ressalta-se que, dizer que a malha é de 0,5 significa que suas dimensões em forma quadrada serão de 0,5 m, com isso, sendo o comprimento do corpo de 1,0 m, para cada ordenada haverá dois elementos de 0,5 m. Isto é válido para ambos os métodos numéricos, MDF e MEF. Ressalta-se que as malhas apresentadas apenas mostram que existe uma diferença entre elas, mas outras malhas também foram estudadas, como é possível perceber nos gráficos.

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Figura 5.20 – Exemplo de malha com 4, 100, 400 elementos.

A primeira análise de convergência é feita para o ponto central, em x e y, Figura 5.21, em que no eixo das abscissas tem-se o número de elementos e o eixo das ordenadas a temperatura. Sabendo-se que o valor analítico da temperatura neste ponto será sempre 25°C, obtido pela Equação 6.1, é possível visualizar a aproximação entre o método numérico, MEF, e o analítico a partir do refinamento da malha.

Figura 5.21 – Convergência para o ponto central em Laplace.

Para os pontos ao longo da direção y, com x constante, linha apresentada na Figura 5.22, é traçado o gráfico com os valores obtidos de forma analítica, e os valores para diferentes malhas, obtidos com o MDF e o MEF (ANSYS). Observa-se no MDF, que o caso mais simples, malha 0,5 (x/2 = 0,5  4 elementos), já converge, obtendo o mesmo valor numérico. O MEF apresenta bons resultados com uma malha de 0,25.

10 14 18 22 26 0 100 200 300 400 T ( °C) Número de Elementos

Convergência Laplace

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Figura 5.22 – Convergência da Equação de Laplace no eixo y.

Teste 2 – Análise Transiente

Ao se tratar de um problema transiente, este será estável se eventuais distúrbios não são amplificados ao longo do tempo. Para evitar oscilações divergentes nas temperaturas nodais o passo de tempo deve ser mantido abaixo de certo limite estabelecido pelo critério da estabilidade no método explicito, utilizado neste trabalho. Isso pode ser representado pela Equação 5.38 ou 5.39 (Dabbene e Paillere, 2003; Çengel e Ghajar, 2012):

∆𝑡∙𝐷 ∆𝑥2 ≤ 1 2 (5.38) Ou ainda: ∆𝑡 ≤∆𝑥_2𝐷2 (5.39) Em que:  ∆𝑡 =Incremento de tempo;  ∆𝑥 = Incremento de espaço;  𝐷 =Difusividade térmica.

As Equações 5.38 e 5.39 são válidas para problemas unidimensionais. No caso de análise bidimensional, leva-se em consideração outra dimensão e o passo de tempo deve obedecer à Equação 5.39, a qual é denominada Número de Fourier (Çengel e Ghajar, 2012):

∆𝑡 ≤∆𝑥_4𝐷2 (5.40) 0 25 50 75 100 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 T e m p e ra tu ra ( °C) y (m)

Equação de Laplace Bidimencional (x=0,5 m)

Analítico MDF Malha 0.5 MDF Malha 0.25 MEF Malha 0.5 MDF Malha 0.25 MEF Malha 0.167

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Para esta verificação foi analisado uma viga unidimensional com variação térmica no tempo, com as CC de temperatura 0°C em A e 100°C em B e temperatura inicial 0°C, como mostra a Figura 5.23. Dadas as propriedades térmicas da Tabela 5.1.

Figura 5.23 – Corpo unidimensional para verificação de convergência transiente. Tabela 5.1 – Parâmetros térmicos utilizados na análise de convergência.

Condutividade Térmica (W/m.ºC) 1,79

Calor Específico (J/g.ºC) 1000

Massa Específica (kg/m³) 2388

A Figura 5.24 representa a Equação de Fourier unidimensional, analítica comparada com diferentes malhas pelo MEF – ANSYS, sendo o tempo representado no eixo das abcissas e a temperatura no eixo das ordenadas.

Figura 5.24 – Analise de convergência para fenômeno transiente.

Na Figura 5.24 é notável que apenas a malha de 0,5, dois elementos, se distancia um pouco da curva analítica, as demais seguem a mesma tendência. Isso acontece porque o passo de tempo utilizado com o programa é de 1 s, e levando em consideração que D representa a difusividade térmica e tem um valor muito baixo (≈0,00000078) no denominador, seria necessário um passo de tempo muito maior para que esses valores ficassem fora da curva, sabendo-se que o passo espacial também é pequeno. O mesmo acontece para o MDF que foi

0 5 10 15 20 25 30 35 0 6 12 18 24 30 36 42 48 T ( °C) t (h)

Equação de Fourier Transiente (x=0,5 m)

Malha 0.25 Malha 0.17 Malha 0.5 Analítico

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resolvido com _{∆𝑥 = 0,025 e ∆𝑡 = 1, neste caso ∆𝑡 ≤ 401, ou seja, apenas para a malha 0,5} ficou um pouco fora da curva, para a malha 0,25 já ficou dentro do esperado, por esta razão, não foram feitas mais aproximações.

Desta forma, é possivel observar que a malha a partir de 0,25 já converge, e neste trabalho foram utilizadas malhas muito menores, 0,02, portanto, o problema da convergência foi superado.

5.6 VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS NUMÉRICOS