4.4 Testes baseados em Durações
4.4.3 Testes usando Modelos de Regressão Weibull Discreto
A seguir, apresentamos a construção dos testes baseados em modelos de regressão discretos, utilizando um modelo paramétrico para a função de riscoλid, denida em (4.11), condicionada a um vetor de covariáveisxi(d). A onstrução deste modelo, apresentado emKalbeisch e Prentice[2011], utiliza uma função de risco basal arbitrária, que denotamos por λd. Para este tipo de modelo, a construção da função de log-verossimilhança é descrita emFahrmeir L [2001].
Posteriormente, apresentamos algumas opções para modelar a função de risco das duracões que incluem a previsão do V aR como covariável. Deste modo, é possível construir procedimentos baseados nas durações, para testar a independência entre IT e a informação Ω∗1,t e testar a CC coreta com respeito a Ω∗1,t.
Modelo paramétrico para a função de risco usando covariaves
Dada a natureza das durações, denidas em 4.5, estas são consideradas tempos de falha real-mente discretos, e não como agrupamentos intervalares de um processo contínuo.
Seja xi1, . . . , xid uma sequência de covariáveis observadas desde Di = 1 até Di = d, em que xij é um vetor de covariáveis q-dimensional, observado no tempo Di = j, para j= 1, . . . , d , não inuenciada pelos tempos de falha (do tipo externa) exTi (d) = (xTi1, . . . , xTid) o vetor que considera as covariáveis durante a sobrevivência de Di. A função de risco de Di, a qual depende do vetor xTi (d), é denida por:
λid=λi(d|xi(d)) =P(Di =d|D≥d;xi(d)). (4.19) O princial objetivo desta abordagem é estudar a possível dependência entreλide as observações xTi (d). Para modelar λid, consideremos a função de ligação g(.) e o preditor ηid, que depende do tempodtal que λid=g(ηid). Em particular, podemos considerar o preditor linear :
ηid=β0d+zTidβ, (4.20)
em que β0d é o efeito basal dependente do tempo d, zidT é um elemento do vetor de covariáveis zTi (d) = (zTi1, . . . , zidT), construido a partir do vetor de covariáveis originalxTi (q)eβ= (β1, . . . , βk)T são os efeitos das covariáveis. Os modelos paraλid são obtidos segundo a escolha deg(.).
De modo geral, consideramos:
h λid
=h(λd) +zTidβ, (4.21)
em que λd é uma função de risco discreta arbitrária no tempo d, para zid =0, eh(.) uma função monótona crescente, duplamente diferenciável, tal que h : [0,1] → R e h(0) = −∞. Algumas possíveis escolhas parah são:
h(u) =log(−log(1−u)), (4.22)
4.4 TESTES BASEADOS EM DURAÇÕES 29
h(u) =log(u), (4.23)
h(u) =log(u/(1−u)) (4.24)
e
h(u) = Φ−1(u), (4.25)
em que Φ é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Considerando para os quatro casos queg:R→[0,1], tal queg(u) =h−1(u), o modelo geral para λidpode ser expresso como:
λid=g(ηid) =g h(λd) +zTidβ
. (4.26)
Os modelos particulares paraλidsão obtidos selecionando uma função de riscoλde a função de ligaçãog(.), correspondente à funçãoh(.)considerada. Para as funçõesh(.)em (4.22), (4.23), (4.24) e (4.25) as funções de ligação respectivas são: complementar log-log, g(u) = 1−exp{−exp(u)}; exponencial, g(u) = exp(u) ; logito, g(u) = exp(u){1 +exp(u)}−1 ; e probito, g(u) = Φ(u). Em todos os casos, o efeito basal é dado porβ0d=h(λd). Note que, seβ=0, entãoλid=λd,∀i.
Assumindo a censura dada em (4.16), a contribuição da i-ésima da duração, Di, à função de verossimilhança, é dada por:
Li=P(Di =di|xi(d))1−ciP(Di> di|xi(d))ci. Logo, pelas propriedades (2.5) e (2.6), temos que:
Li =λidi1−ci e a respectiva função de log-verossimilhança tem a forma:
logLW D(θ;D∗) =
Modelo de Regressão utilizando a distribuição Weibull Discreta Tipo II
Lai[2013] mostra que a funçãoλ(k),k={1,2, . . .}, é uma função de risco discreta se e somente se 0 ≤ λ(k) ≤ 1 e P+∞
i=1λ(i) = +∞. Além disso, são apresentadas formas de construir uma
30 TESTES PARA AVALIAR A PREVISÃO DO VAR 4.4 distribuição de tempos de falha discretos a partir de uma distribuição contínua. Duas dessas formas são: discretização da função de distribuição acumulada e discretização da função de risco.
Nakagawa e Osaki[1975] consideram a discretização da função de distribuição acumulada dada em (4.36) para obter a distribuição Weibull discreta tipo I. SegundoRinne[2010], a função de risco λW D(d), apresentada em (4.18), para a distribuição Weibull discreta, denominada como do Tipo II, é obtida por meio da discretização da função de risco λW(d), dada em (4.15). Lembrando que λW(d) =abbdb−1, consideramos o parâmetro π como uma combinação dos parâmetros de escala e forma, dado porπ =abb. Desta forma, obtemos
Baseados em Pelletier e Wei [2014], consideramos λW D(d) como a função de risco basal λd, β = β, e zi(d) = (V aRti−1+1, . . . , V aRti−1+d). Por simplicidade de notação, a previsão do VaR no tempo Di = j é dada por V aRti−1+j = V aRti−1+j|ti−1+j−1(p). Neste caso, xij representa um elemento dexTi (d)que contém a informação necessária para obter V aRti−1+j.
Dada as especicações anteriores, o modelo para a função de risco das durações dado em (4.26), condicionado na previsão do VaR, pode ser escrito como:
λid=g h(λwd(d)) +βV aRti−1+d
(4.28) Finalmente, para as especicações dehem (4.22), (4.23), (4.24) e (4.25), os modelos respectivos paraλidsão: pre-visãoV aRti−1+dfor um valor grande. Este modelo em particular foi considerado emPelletier e Wei [2014] para a construção dos procedimentos de testes. Adicionalmente, neste trabalho, consideramos os modelos (4.31) e (4.32).
Assumindo que λid em (4.28) é o modelo para a função de riscos das durações condicionada na previsçao do VaR, é possível construir testes para CC correta deFT com respeito aΩ∗1,t denindo hipóteses adequadas a respeito da distribuição condicional das durações. Sob a hipótese de que as violações do VaR ocorrem independentemente da sua previsão, temos que β = 0. Sob a hipótese que IT é independente da informação Ω∗1,t, β = 0 e b= 1. Logo, sob a hipótese da CC correta de FT com respeito aΩ∗1,t,θ= (p,1,0).
4.4 TESTES BASEADOS EM DURAÇÕES 31 Teste Weibull discreto de Independência do V aR
O procedimento que testa se λid, dada em (4.28), depende da previsão do V aR é o teste que
Teste de Independência do V aR e correta Cobertura Condicional
EmPelletier e Wei[2014] o procedimento é denominado como teste Geométrico-VaR, pois com-bina o teste Geométrico da seção () e o teste de Independência da previsão do VaR, considerando as seguintes hipóteses:
Teste Weibull discreto de independência entre violações e do VaR
Neste trabalho propomos um procedimento análogo ao teste CAViaR de independência , apre-sentado na seção (), o qual considera as seguintes hipóteses:
( H0 :b= 1e β = 0
i=1Di. Denominamos o proce-dimento como Teste de Independência Violação-VaR .
Os testes que consideram Di seguindo uma distribuição Weibull continua ou discreta tem a diculdade que os valores dos paramêtros propostos emH0estam na fronteira do espaço parâmetrico Θ(beβ), o qual pode afetar a distribuição assintótica da estatística doT RV G. Além disso, estamos trabalhamos com dados binários (IT) e a distribuição desta estatística não é contínua. Os trabalhos que propuseram estes testes , utilizaram uma técnica de Monte Carlo para obter op-valore decidir sobre a rejeição deH0.
32 TESTES PARA AVALIAR A PREVISÃO DO VAR 4.4 4.4.4 Testes baseados no Método dos Momentos Generalizado (MMG)
A seguir apresentamos as ideias base do abordagem MMG para testes de distribuições no caso discreto apresentado em Bontemps [2006]. A família Ord é conhecida como a extensão da família de distribuições de Pearson para o caso discreto, que inclui as distribuições de Poisson, Binomial e Geométrica. A variável aleatória Y com f dp dada por f pertence à família Ord se a razão
f(y+1)−f(y)
f(y) é igual à razão dos polinômios A e B, que são linear e quadrático respectivamente. Esta razão é dada por:
em que∆ é o operador de diferença. Podemos encontrar o j-esimo polinômio ortogonal associado a determinada distribuição, denotado por Mj com j ∈ N, usando a formula de Rodriges para diferença nitas dada por: elementos são dados por Mj(Yi). Sobre as anteriores suposições os Mj(Yi) são assintoticamente independentes, E(Mj(Yi)) = 0 e V ar(Mj(Yi)) = 1 para j = 1, . . . , k. Isto permite um teste estatístico baseado na distribuição assintótica de Fj dada por:
Fj = Finalmente consideremos a estatística J(k) dada por:
J(k) =
Testes do tipo MMG para a distribuição Geométrica
EmCandelon et al. [2010] a abordagem do MMG para testar a CC correta com respeito a Ω1,t
de FT, utiliza a estatística J(k)baseada nos polinômios ortogonais da distribuição Geométrica. O j+ 1-esimo polinômio ortogonal associado à distribuição Geométrica é dado na seguinte denição.
Denição 4.6 O polinômio ortogonal associado à distribuição Geométrica com probabilidade de sucesso π é denida pela seguinte relação recursiva
Mj+1(d, π) = (1−π)(2j+ 1) +π(j−d+ 1)
O resultado central que utiliza a abordagem é o seguinte: se D tem distribuição Geométrica com probabilidade de sucesso π, então:
E(Mj(D;π)) = 0,∀ j∈ N∗.
4.4 TESTES BASEADOS EM DURAÇÕES 33 Teste do tipo MMG de Cobertura Condicional
Considerando um número xo k de polinômios ortogonais, a hipótese nula do teste da correta CC com respeito aΩ1,t é dada por:
H0 :E(Mj(Di;p)) = 0, j ={1, . . . , k}.
A estatística do teste denotada por Jcc(k) é dada na seguinte proposição:
Proposição 4.1 Assumindo que o processo das durações {Di : 1 ≤ i} é estacionário e ergódigo.
Sobre a hipótese de Cobertura Condicional
Jcc(k) = 1
Em que M(Di, p) denota o vetor cujos componentes são os polinômios ortogonais Mj(Di;p), para j={1, . . . , k}.
A demonstração é fornecida em Hansen [1982].
Teste do tipo MMG de Cobertura não Condicional
Assumindo a independência das durações e que Di ∼Geometrica(π), a correta UC dada por E(It) =p,∀té equivalente aE(Di) = 1/p,∀i(ou sejaπ=p). A hipótese nula do teste é expressada por:
H0 :E(M1(Di;p)) = 0.
A estatística para o testeU C, denotada porJuc é obtida como um caso particular da estatística Jcc(k), quando é considerado somente o primeiro polinómio ortogonal dado porM1(Di;p). Assim Juc é equivalente a Jcc(1), a qual é dada por:
Teste do tipo MMG de Independência
O Teste do tipo MMG de independência testa se Di ∼ Geometrica(π),∀i que é equivalente a testar se IT é independente da informação Ω1,t, neste caso π não necesariamente igual a p. A hipótese nula é dada por:
H0 :E(Mj(Di;π)) = 0, ∀ j= 1, . . . , k . Sobre a hipótese desta Independência, a estatística Jind(k) é dada por:
Jind(k) = 1 Neste casoπ deve ser estimado, mudando a distribuição assintótica da estatística.Bontemps[2006]
mostra que neste caso, utilizandoM(dj,ˆπ) a estatística de independência é dada por:
34 TESTES PARA AVALIAR A PREVISÃO DO VAR 4.4
Neste trabalho consideramos a implementação de Araújo Santos e Fraga Alves[2012] que con-siderak igual 3 e 5. A estatística para testar a correta CC com respeito a Ω1,t parak= 5 é dada
Também para a estatística para o teste de independência de IT da informaçãoΩ1,t é dada por:
Jind(5) =
4.4.5 Teste de Independência da Razão do Máximo e a Mediana (MM)
Em Araújo Santos e Fraga Alves[2012] é proposto um teste nivel α∗ baseada na razão entre o máximo e a mediana das durações. Començamos apresentando duas motivações sobre a utilidades de considerar esta razão no procedimento do teste da hipótese de independência deIT da informação Ω1,t.
No agrupamento de violações do VaR que foi observado na gura (3.1) usando o método de Simu-lação Historica comp= 0.05a sequênciaI250obtida gera as duraçõesD ={13,5,69,3,3,2,5,2,5,67, 1,6,29,6,17,5,8,3}em que a maioria delas são curtas e algumas delas longas. SejaD1:N, . . . , DN:N as estatísticas de ordem de D com N = 18. Dado que maioria das durações são pequenas a medi-ana D9:18= 5 é muito menor que o máximo D18:18 = 69, consideremos também a razão dada por R18:9= DD18:18
9:18 = 13.8.
Sobre a hipótese de independência de IT da informação Ωt, podemos obter o valor esperado da estatística de ordemDr:N utilizando a expressão obtida porMargolin e Winokur Jr[1967] para uma distribuição Geométrica de parâmetroπ, dada por :
E(Dr:N) =N de agrupamento das violações do VaR DDN:N
[N/2]:N
> E(DE(DN:N)
[N/2]:N) o qual é uma forte evidência em contra a hipótese de Independência e mostra a utilidade da estatística DN:N/D[N/2]:N .
A seguir apresentamos as denicões e resultados necesarios para obter a classe de teste de Independência dada em Araújo Santos e Fraga Alves [2012] . Seja ab
o número de combinações
4.4 TESTES BASEADOS EM DURAÇÕES 35
a função de distribuição de uma variávelW eibull(a, b).
Consideremos a sequência de variáveis D1, . . . , DN , denotaremos por FRW
N:k =PW(RN:k ≤r) a função de distribuiçaõ de RN:k dado em (4.35) quando Di ∼ W eibull(a, b),∀i com função de distribuição dada em (4.36) e denotamos por FRE
N:k = PE(RN:k ≤ r) a função de distribuição de RN:k quando Di ∼ Exponencial(a),∀i com função de densidade dada em (4.13). A seguinte proposição apresenta a função de distribuição FRW
N:k.
Proposição 4.2 SejaD1, . . . , DN uma sequência i.i.dde uma variável aleatória Weibull com fun-ção de distribuifun-ção dada em (4.36). A funfun-ção de distribuifun-ção deRN:k dado em (4.35) é dada por:
FRWN:k = 1−bγN do parâmetro a. A seguinte proposição mostra a relação entre a mediana de RN:k e a hipótese alternativa de dependência para os testes tipo Weibull discreto e continuo, dada porH1: 0< b <1.
Proposição 4.3 Seja r1/2,N,k o valor tal que FRE
N:k(r) = 1/2 . Se D1, . . . , DN é uma sequência i.i.d de uma variável aleatória Weibull com função de distribuição dada em (4.36), logo:
FRW−
N:k(1/2)> r1/2,N,k é equivalente a 0 < b <1, em queFRW−
N:k(t) =inf{x:FRW
N:k(x) ≥t} denota a função inversa generalizada deFRW
N:k.
É considerado também, o estimador de mediana não viesado de bdado por:
ˆbk=log(r1/2,N,k)
Baseado nas motivações anteriores é proposta a seguinte classe de estatística, baseada na razão DN:N/Dk:N :
SN,k= DN:N −1
Dk:N (4.38)
parak= 1, . . . , N−1. A correção−1 feita em DN:N permitirá obter um teste pivotal.
A proposição4.4permite estavelecer que o teste que apresentaremos é de nivelα∗e a proposição 4.5padronizaRN,k para obter sua distribuição assintótica quando Di∼Exponencial(a).
Proposição 4.4 Seja D1, . . . , DN uma sequência i.i.d com distribuição Geométrica de parâmetro π=p∈(0,1). ConsideramosSN,k dado em (4.38) eRN:kdado em (4.35), seDi ∼Exponencial(a)
N:k denotan a função inversa generalizada deFSN:k e FRE
N:k respectivamente.
36 TESTES PARA AVALIAR A PREVISÃO DO VAR 4.5 Proposição 4.5 Se consideramos k = [ξN], com 0 < ξ <1, e a sequência D1, . . . , DN i.i.d com distribuição Exponencial(a) cuja função de densidade é dada em (4.13), então:
TN,kR =−log(1−ξ)RN,k−log(N)N→+∞→D G, (4.39) em que G é uma variável aleatória Gumbel com função de distribuição dada por:
FG(g) =exp{−exp(−g)} (4.40)
para −∞< g <+∞ .
Classe de Teste exato de Independência
A seguir apresentamos o procedimento que testa a Independência deIT da informaçãoΩ1,t(ou que as variaveis{It+1}Tt=to são independentes) com uma região crítica não assintótica de nivelα∗. Proposição 4.6 Seja D ={D1, . . . , DN} uma amostra de durações de tamanho N, associadas à sequência IT. Denimos a classe
Tk={TN,k =−log(1−ξ)SN,k−log(N),0< ξ <1}, em que:
k=
[ξN] ,se [ξN]≥1 1 , se [ξN]<1.
Denotamos por M ed(SN,k) a mediana de SN,k e r1/2,N,k∗ o valor particular sobre o modelo Geométrico. Ao nivel α∗, para testar a hipótese de independência dada por:
H0:Di ∼Geometrica(π),
com π ∈ (0,1) e i ={1, . . . , N}, contra a hipótese alternativa que expressa a tendência a padrões de agrupamento das violações do VaR, dada por
H1 :M ed(SN,k)> r1/2,N,k∗ ,
a região de rejeição é denida por {TN,k > tα∗,N,k}, em quetα∗,N,k denota o quantil 1−α∗ de TN,kR dado em (4.39) sobre o modelo exponencial dado em (4.13). Para um teste assintótico análogo, usamos os quantis da distribuição Gumbel.
Como a distribuição deRN:knão depende do parâmetroae queb= 1, seDi∼Exponencial(a), podemos utilizar a função de distribuição da proposição (4.2) para obter os quantistα∗,N,k . Através de simulações foi obtido um alto poder para os testes ξ = 0.5 e para otros valores de ξ um poder levemente menor. A estatística proposta para o teste da proposição (4.6) é dada por:
TN,[0.5N]=log2DN:N −1
D[0.5N]:N −logN. (4.41)
O teste é exato no sentido que o quantiltα∗,N,k poder ser obtido considerandor= tα−log(1−ξ)∗,N,k+logN na função de distribuição de RN:k, supondob= 1, na seguinte expressão:
P(TN,[0.5N]R ≥tα∗,N,[0.5N]) =P
4.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 37
4.5 Considerações nais
Outros trabalhos não considerados aqui, mas importantes de ser mencionados são por exemplo Dumitrescu et al. [2012], que extende o teste de Quantis Dinâmico para estudar a dependência não linear entre a probabilidade das violações do VaR e variáveis explicativas eEscanciano e Olmo [2011] . Além dos testes, existem outras opções para avaliar a previsão do V aRcomo a abordagem do teste de Densidade de Previsão apresentado em Berkowitz[2001].
38 TESTES PARA AVALIAR A PREVISÃO DO VAR 4.5
Capítulo 5
Simulações e Aplicações
5.1 Introdução
Nesta seção apresentamos um estudo simulação comparativa para alguns dos testes apresentados no Capítulo4. Também expomos uma avaliação das previsões do VaR geradas pelos métodos POT e DPOT, utilizando dados do índice da Ibovespa.
Geralmente, o poder empírico é utilizado para comparar o desempenho dos testes de avalição, rejeitando as previsões do VaR não ecientes. A maioria das referências que apresentamos na bi-bliogrâfía, geram dados de um processo heterocedástico e utilizam o método de simulação histórica (SH) para fazer as previsões, as quais não são ecientes, pois geram agrupamentos das violações do VaR. O poder empírico é calculado pelas frequencia de rejeições desta previsões sobre um determi-nado número de replicas. A taxa empírica do erro do tipo I é considerada para avaliar a escolha da região crítica utilizando a distribuição assintótica da estatistica do teste.
Consideremos alguns resultados destes estudos comparativos. Christoersen e Pelletier [2004]
mostra que o teste de independência Weibull contínuo tem melhor desempenho (maior poder em-pírico ) que o teste Bernoulli (do mesmo tipo). EmHaas [2005] o teste do tipo Weibull discreto de independência supera ao procedimento continuo . EmCandelon et al.[2010], o teste do tipo MMG de CC correta supera a teste do tipo Bernoulli e Weibull contínuo do mismo tipo. Berkowitz et al.
[2011] mostra que o teste CAViaR de CC correta supera a muitos testes presentes na literatura. Em Araújo Santos e Fraga Alves[2012] o teste do tipo MM de independência tem um bom desempenho e conrma o bom desempenho do teste CAViaR de CC correta.Pelletier e Wei[2014] não realiza um estudo comparativo, mas mostra o desempenho do teste Geométrico-VaR em diferentes escenarios.
Em geral, a escolha da região critica utlizando a distribuição assintótica da estatística dos testes discretos ... .
Neste trabalho comparamos o poder empírico dos testes que tiveram um melhor desempenho em Araújo Santos e Fraga Alves[2012] ( do tipo MMG, MM, CAViaR) com aqueles baseados Modelos de Regressão Weibull Discreto. Também, para avaliar o uso da distribuição qui quadrado como distribuição assintótica da estatísticado dos testes de independência, calculamos a taxa empirica do error do tipo I.
Com respeito à aplicação. EmAraújo Santos e Fraga Alves[2013], foi aplicado o método DPOT para a previsão do VaR com um horizonte h = 1, v = 3 e c= 0.75, para as série dos log-retornos dos índices S&P500,DAX e F T SE. Foi utilizando o teste de tipo Bernoulli de UC, o teste MM e CAViaR de Independência. Os testes, não rejeitaram ambas hipóteses para as três sequências de previsões, com um nivel de signicancia de α∗ = 0,1. Na aplicação que consideraremos neste trabalho, adicionaremos o teste do tipo Violação-VaR, Geométrico -VaR e do tipo MMG para avaliar as previsões dos métodos POT e DPOT.
39
40 SIMULAÇÕES E APLICAÇÕES 5.2
5.2 Estudo de Simulação Comparativa
Neste estudo realizaremos as simulações utilizando processos do tipo heteroscedásticos. A seguir apresentamos os processos geradores dos dados (PGD) que consideraremos neste trabalho.
O PGD 1 é dado pelo modelo AP ARCH(1,1):
rt+1=σt+1t+1
σt+1δ =w+α(|rt| −γrt)δ+βσtδ,
em queté segue uma distribuiçãot-Student assimétrica com vgraus de liberdade e parâmetro de assimetria dado porϑConsideramosw= 0,03,α= 0,086,γ = 0,64,β = 0,91,δ= 1,15,ϑ= 0,88
em que t+1 tem distribuição t-Student comv graus de liberdade. Os paramêtros são selecionados como em Candelon et al. [2010], em queα= 0,1 ,θ= 0,5,β = 0,85 ,w= 3,9683e−6 e v= 8.
OP GD 3é dado pelo seguinteGARCH(1,1)Gaussiano:
rt+1=σt+1t+1 σt+12 =w+αr2t +βσ2t,
utilizando a parametrização dada em Christoersen [1998], em quew= 0,05 ,α= 0,1 ,β = 0,85 e t+1∼N(0,1).
Nas simulações que apresentamos, são considerados os tamanhos pós-amostraisP = 250,500,750 e1000. As previsões são feitas do VaR são feitas como foi descrito na seção (2.5), considerando um horizonteh= 1,ws= 250e 500, e as probabilidades de coberturasp= 0,01e 0,05.
O criterio de seleção das amostras é o seguinte: para os testes do tipo M M G,M M e CAV iaR precisamos pelo menos 2 violações do VaR, para os testes Violação-VaR e Geométrico-VaR pelo menos três durações. Reportamos a frequência de amostras rejeitadas (FAR) como FAR1 e FAR2 para os respectivos casos anteriores. Para os testes do tipo Violação-VaR e Geométrico-VaR, deno-tadas porV V aRi eGV aRi nas tabelas, os subíndicesi= 0,1,2designam que a função de risco das durações foi modelada utilizando as ligações exponencial, logito e probito respectivamente. Também M M Gk denotam os teste do tipo MMG, utilizando k polinômios ortogonais.
Para obter o poder empírico e a taxa empírico do erro do tipo I, utilizamos as frequências de rejeições(F R) sobre un número de 5000replicas para um nivel de signicancia de α∗ = 0,1. Para decidir sobre a rejeição da hipoteses nula, na simulação do poder empirico usamos o p−valor de Monte Carlo segundo o procedimento apresentado em Dufour [2006] ( ver Apêndice A.2 ), com excepção do teste MM. Para o caso da taxa empírico do erro do tipo I, a região critica utiliza a distribuição assintótica da estatística, exceptuando o caso do teste MM, no qual utilizamos os valores críticos tabulados.
É importante destacar que para as hipótese de independência e CC correta, os teste não consi-deram a mesma informação passada Ωt. Os testes do grupo I ( do tipo MMG e MM) consideram Ω1,t = {It, . . . , I1}. Os testes do grupo II, consideram duas tipos informações. O teste CAViaR considera Ω∗1,t={It, V aRt+1|t(p)} e os testes do tipo Violação-VaR e Geométrico-VaR consideram Ω∗1,t ={It, . . . , I1, V aRt+1|t(p)}.
5.2 ESTUDO DE SIMULAÇÃO COMPARATIVA 41 5.2.1 Estudo de Simulação sob a Hipóteses de Independência
Nas seguintes tabelas, apresentamos os resultados da simulação para obter o poder empírico dos teste de independência. Em quase todos os casos, foi utilizado o p-valor de Monte Carlo para rejeitar H0, com excepção do teste da razão MM, para o qual usamos seus valores críticos tabulados.
Na tabela (5.1), a excepçãoP = 250, o teste da razão MM supera aos testes dos tipo MMG para p= 0,01. Parap= 0,05os testes MMG superaram por valores levementa maiores ao do tipo MM.
No grupo II, para p= 0,01 o teste Violação-VaR com ligação probito foi mais poderoso em todos os casos. Para p = 0,05 o teste Violação-VaR com ligações exponencial e logito foram levemente melhores.
Tabela 5.1: Poder Empírico sob a Hipóteses de Independência. APARCH(1,1),α∗= 0,1,ws= 250.
p= 0,01 p= 0,05
P = 250 P = 500 P = 750 P = 1000 P = 250 P = 500 P = 750 P = 1000
M M G3 0,363 0,543 0,716 0,840 0,582 0,859 0,956 0,981
M M G5 0,444 0,616 0,752 0,858 0,571 0,860 0,948 0,980
M M 0,368 0,637 0,777 0,859 0,526 0,835 0,925 0,968
CAV iaR 0,539 0,640 0,713 0,771 0,547 0,710 0,798 0,858
VV aR0 0,495 0,732 0,868 0,942 0,664 0,918 0,981 0,993
VV aR1 0,505 0,741 0,869 0,943 0,673 0,919 0,981 0,993
VV aR2 0,582 0,773 0,874 0,946 0,477 0,789 0,922 0,967
F AR1 0,216 0,011 0 0 0,013 0 0 0
F AR2 0,219 0,011 0 0 0,014 0 0 0
Na tabela (5.2). No grupo I, teste MM foi melhor somente para ws= 250e P = 250,500. Para ws= 500os testes do tipo MMG superaram o do tipo MM. No grupo II, o teste CAViaR foi melhor somente paraP = 250quando ws= 250 e para P = 500 quandows= 500, em os outros casos foi supero pelos testes do tipo Violação-VaR.
Tabela 5.2: Poder Empírico sob a Hipóteses de Independência. GARCH(1,1)-t(v),α∗= 0,1,p= 0,05.
ws= 250 ws= 500
P = 250 P = 500 P = 750 P = 1000 P = 250 P = 500 P = 750 P = 1000
M M G3 0,487 0,236 0,755 0,836 0,349 0,581 0,745 0,830
M M G5 0,308 0,296 0,747 0,827 0,451 0,577 0,752 0,828
M M 0,413 0,452 0,697 0,773 0,373 0,571 0,699 0,755
CAV iaR 0,258 0,484 0,676 0,757 0,419 0,486 0,579 0,653
VV aR0 0,506 0,413 0,846 0,866 0,282 0,616 0,791 0,863
VV aR1 0,470 0,413 0,845 0,865 0,282 0,616 0,791 0,863
VV aR2 0,494 0,417 0,851 0,871 0,284 0,617 0,792 0,864
F AR1 0,002 0,003 0 0 0,0038 0 0 0
F AR2 0,002 0,003 0 0 0,0044 0 0 0
5.2.2 Estudo de Simulação sob Hipóteses de Cobertura Condicional
Nas seguintes tabelas, apresentamos os resultados da simulação para obter o poder empírico dos teste de CC correta. Em todos os casos, foi utilizado o p-valor de Monte Carlo para rejeitar H0.
Na tabela (5.3), no grupo I, os testes do tipo MMG foram melhores, con duas excepçoes. NO grupo II, para p = 0,05, os testes do tipo Violação-VaR foram mais poderosos que o do tipo CAViaR.
42 SIMULAÇÕES E APLICAÇÕES 5.2 Tabela 5.3: Poder Empírico sob a Hipótese de Cobertura Condicional. APARCH(1,1),α∗= 0,1,ws= 250.
p= 0,01 p= 0,05
P = 250 P = 500 P = 750 P = 1000 P = 250 P = 500 P = 750 P = 1000
M M G3 0,379 0,619 0,685 0,780 0,687 0,866 0,935 0,971
M M G5 0,389 0,661 0,741 0,827 0,688 0,898 0,930 0,968
M M 0,550 0,527 0,709 0,803 0,552 0,753 0,936 0,970
CAV iaR 0,599 0,732 0,786 0,871 0,691 0,832 0,804 0,864
GV aR0 0,491 0,729 0,845 0,940 0,765 0,932 0,974 0,993
GV aR1 0,478 0,732 0,852 0,941 0,749 0,934 0,974 0,992
GV aR2 0,525 0,772 0,860 0,944 0,796 0,940 0,975 0,992
F AR1 0,0042 0,002 0 0 0,013 0 0 0
F AR2 0,0052 0,002 0 0 0,014 0 0 0
Na tabela (5.4), no grupo I, o testes da razão MM foi mais poderoso, a excepção do casows= 500 eP = 500. O grupo II, para ws= 500, os testes do tipo Violação-VaR foram mais poderosos que o do tipo CAViaR.
Tabela 5.4: Poder Empírico sob a Hipótese de Cobertura Condicional. GARCH(1,1)-t(v), α∗ = 0,1, p= 0,05.
ws= 250 ws= 500
P = 250 P = 500 P = 750 P = 1000 P = 250 P = 500 P = 750 P = 1000
M M G3 0,427 0,549 0,637 0,743 0,459 0,599 0,696 0,777
M M G5 0,427 0,550 0,633 0,745 0,462 0,600 0,695 0,772
M M 0,429 0,624 0,709 0,784 0,420 0,624 0,723 0,797
CAV iaR 0,503 0,560 0,652 0,719 0,461 0,538 0,566 0,630
GV aR0 0,430 0,572 0,703 0,793 0,477 0,621 0,752 0,824
GV aR1 0,429 0,567 0,695 0,787 0,477 0,619 0,750 0,820
GV aR2 0,430 0,570 0,693 0,790 0,476 0,620 0,748 0,823
F AR1 0,008 0,003 0 0 0,0038 0 0 0
F AR2 0,008 0,003 0 0 0,0038 0 0 0
F AR2 0,008 0,003 0 0 0,0038 0 0 0