Programa: Estatística Orientador: Prof a. Dr a. Chang Chiann

Testes para avaliação das previsões do Valor em Risco Jaime Enrique Lincovil Curivil

Dissertação apresentada

Instituto de Matemática e Estatística ao Universidade de São Paulo da

obtenção do título para Mestre em Ciências de

Programa: Estatística

Orientador: Prof

. Dr

. Chang Chiann

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio nanceiro da CNPq São Paulo, janeiro de 2015

Testes para avaliação das previsões do Valor em Risco

Esta é a versão original da dissertação elaborada pelo candidato Jaime Enrique Lincovil Curivil, tal como submetida à Comissão Julgadora.

Agradecimentos

Em primeiro lugar agradeço à Universidade de São Paulo pela oportunidade de fazer o mestrado no Brasil. Em segundo lugar, agradeço innitamente a minha professora orientadora, pela paciência e dedicação nas correções feitas no trabalho. Em terceiro lugar, agradeço a todos meus amigos chilenos, brasileiros e de outras nacionalidades, pelo apoio moral.

iii

iv

Resumo

Curivil,J.E.L. Testes para avaliação das previsões do Valor em Risco. 2015. 120 f. Disserta- ção (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2015.

Neste trabalho, apresentamos alguns procedimentos para avaliação das previsões do Valor em Risco (VaR). Estes procedimentos testam um tipo de eciência, denominada cobertura condicional correta. O poder empírico e a probabilidade do erro do tipo I são comparados através de uma simulação de Monte Carlo. Além disso, avaliamos um novo método de previsão do VaR, o qual é aplicado em dados do Ibovespa. Os resultados obtidos mostram que o p-valor de Monte Carlo é mais adequado que o uso dos valores críticos assintóticos e que considerar a inuência das previsões do VaR na probabilidade de ocorrer uma violação aumentam o poder empírico dos testes.

Palavras-chave: Valor em Risco, Teste de Avaliação, Cobertura Condicional,.

v

vi

Abstract

Curivil,J.E.L. Backtesting for Value at Risk Models. 2010. 120 f. Tesis (Master) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2050.

In this paper, we present some procedures for assessing forecasts for the Value at Risk (VaR).

These procedures test a type of eciency, referred as correct conditional coverage. The empirical power and type I error probability are compared through a Monte Carlo simulation. Furthermore, we evaluate a new VaR forecasting methodology, which is applied in the Bovespa index data. The results show that the p-value obtained through Monte Carlo simulation is more appropriate than the use of asymptotic critical values and to consider the inuence of VaR estimates on the proba- bility of a violation occurs improve the empirical power of the tests.

Keywords: Value at Risk, backtesting , Condition Coverage.

vii

viii

Sumário

Lista de Abreviaturas xi

Lista de Símbolos xiii

Lista de Figuras xv

Lista de Tabelas xvii

1 Introdução 1

1.1 Objetivos . . . 1

1.2 Contribuições . . . 1

1.3 Organização do trabalho . . . 2

2 Conceitos e denições básicas. 3 2.1 Retornos . . . 3

2.1.1 Fatos Estilizados dos Retornos . . . 3

2.2 Valor em Risco (VaR) . . . 4

2.3 Teoria dos Valores Extremos . . . 4

2.4 Teste da Razão de Verossimilanças Generalizada (TRVG) . . . 5

2.5 Sequência de previsões . . . 6

2.6 Análise de tempos de falha discretos . . . 7

3 Métodos de previsão do Valor em Risco. 9 3.1 Introdução. . . 9

3.2 Estimação do VaR usando Simulação Historica (SH) . . . 9

3.3 Previsão do VaR usando modelos ARMA e GARCH . . . 9

3.4 Previsão do VaR utilizando Teoria dos Valores Extremos . . . 10

3.5 Previsão do VaR usando o método POT . . . 11

3.6 O método POT baseado em durações de excessos (DPOT) . . . 12

3.7 Agrupamento das violações do VaR . . . 13

4 Testes para avaliar a previsão do VaR 15 4.1 Introdução. . . 15

4.2 Eciência dos intervalos de previsão . . . 15

4.3 Testes baseados na sequência I_T . . . 17

4.3.1 Teste do tipo Bernoulli (TB) . . . 17

ix

x SUMÁRIO

4.3.2 Ampliação da informação passada . . . 19

4.3.3 Teste de Quantis Dinâmicos . . . 20

4.3.4 Testes do tipo CAViaR . . . 21

4.4 Testes baseados em Durações . . . 23

4.4.1 Testes baseados na distribuição Weibull Contínua . . . 25

4.4.2 Testes usando a distribuição Weibull Discreta. . . 26

4.4.3 Testes usando Modelos de Regressão Weibull Discreto . . . 28

4.4.4 Testes baseados no Método dos Momentos Generalizado (MMG) . . . 32

4.4.5 Teste de Independência da Razão do Máximo e a Mediana (MM) . . . 34

4.5 Considerações nais . . . 37

5 Simulações e Aplicações 39 5.1 Introdução. . . 39

5.2 Estudo de Simulação Comparativa . . . 40

5.2.1 Estudo de Simulação sob a Hipóteses de Independência . . . 41

5.2.2 Estudo de Simulação sob Hipóteses de Cobertura Condicional . . . 41

5.2.3 Taxa empírica de erro do tipo I para os testes de independência . . . 42

5.2.4 Estudo de Simulação sob a hipótese de independência das violações da pre- visão do VAR . . . 42

5.3 Aplicações . . . 43

6 Conclusões e trabalhos futuros 47 A 49 A.1 Dominio Máximo de Atração . . . 49

A.2 P-valor de Monte Carlo . . . 49 B Programação Testes baseados em modelos de Regressaão Weibull Discreto 51

Referências Bibliográcas 55

Lista de Abreviaturas

TRVG Teste da Razão de Verossimilanças Generalizada VaR Valor em Risco

POT Peaks - over - threshold SH Simulação Histórica

TVE Teoria dos Valores Extremos

DGP Distribuição Generalizada de Pareto MMG Método dos Momentos Generalizado

xi

xii LISTA DE ABREVIATURAS

Lista de Símbolos

L(θ,X) A função de verossimilhança de θcorrespondente à amostra observada X logL(θ,X) A função de log-verossimilhança deθ correspondente à amostra observadaX χ²_k Variável aleatória qui quadrado com kgraus de liberdade

→D Convergência em Distribuição R Conjunto dos números reais N Conjunto dos números naturais

N^∗ Conjunto dos números naturais não-nulos

xiii

xiv LISTA DE SÍMBOLOS

Lista de Figuras

3.1 Agrupamento das Violações . . . 14 5.1 Gráco do Índice da Ibovespa e os log-retornos no período 04/07/1994-07/08/02 . . . 44 5.2 Pós-amostra e previsões do VaR utilizando os métodos POT e DPOT . . . 45

xv

xvi LISTA DE FIGURAS

Lista de Tabelas

5.1 Poder Empírico sob a Hipóteses de Independência. APARCH(1,1),α^∗= 0,1,ws= 250. 41 5.2 Poder Empírico sob a Hipóteses de Independência.GARCH(1,1)-t(v),α^∗= 0,1,p=

0,05 . . . 41

5.3 Poder Empírico sob a Hipótese de Cobertura Condicional. APARCH(1,1),α^∗ = 0,1,ws= 250. . . 42

5.4 Poder Empírico sob a Hipótese de Cobertura Condicional. GARCH(1,1)-t(v),α^∗ = 0,1,p= 0,05 . . . 42

5.5 Taxa empírica de erro do tipo I para os testes de independência.GARCH(1,1)-t(v), α^∗ = 0,1,p= 0,05 . . . 43

5.6 Poder empírico dos testes de independência da previsão do VaR . . . 44

5.7 Estatísticas dos log-retornos do índice da Ibovespa . . . 44

5.8 Avaliação das previsões do VaR gerada pelos métodos POT e DPOT. . . 45

5.9 Tabela de rejeicões para α^∗= 0,05. . . 46

xvii

xviii LISTA DE TABELAS

Capítulo 1

Introdução

No contexto do mercado nanceiro uma atividade muito importante é a medição do risco. Em 1996, o Comitê de Basileia estabeleceu como medida básica para o risco de mercado o Valor em Risco (VaR). A estimação do modelo de previsão do VaR apresenta grandes diculdades, pois a distribuição condicional dos retornos é geralmente desconhecida e difícil de modelar. A avaliação do VaR é de grande importância, pois é uma métrica muito popular e os modelos usualmente utilizados na sua previsão não são efetivos. Na prática, esta avaliação é geralmente realizada através de testes de avaliação, denominados comumente na literatura como backtesting.

É importante destacar que tais testes avaliam o conjunto de previsões do VaR e não o modelo em si. Contudo, considerando uma certa denição de eciência, os testes podem rejeitar a ecácia das previsões, mas serem inconclusivos com respeito à adequação do modelo. Considerando tais diculdades, neste trabalho apresentamos e discutimos sobre os testes mais comuns de avaliação do VaR , comparamos sua capacidade na detecção de previsões não ecientes e apresentamos uma aplicação utilizando dados reais.

1.1 Objetivos

Os principais objetivos deste trabalho são:

1. Mostrar como uma sequência de previsões do VaR pode ser avaliada segundo a denição de eciência de intervalos de previsão apresentada emChristoersen [1998];

2. Apresentar procedimentos clássicos e novos para testar a eciência de uma sequência de pre- visões do VaR;

3. Comparar o poder empírico, via simulação de Monte Carlo, dos testes que apresentaram um melhor desempenho no estudo de simulação discutido emAraújo Santos e Fraga Alves[2012]

com uma nova classe de testes, derivada de Pelletier e Wei[2014];

4. Avaliar as previsões do VaR geradas pelos métodos P eaks−over−threshold e sua exten- são apresentada em (Araújo Santos e Fraga Alves [2013]), utilizando os valores do índice da Ibovespa.

1.2 Contribuições

As principais contribuições do trabalho são:

1. Apresentação e implementação (no sof twareR) de três novas opções para o teste proposto emPelletier e Wei[2014];

2. A comparação do poder empírico proposta no terceiro objetivo é inédita e fornece conclusões práticas, as quais podem ser úteis na aplicação dos testes.

1

2 INTRODUÇÃO 1.3

1.3 Organização do trabalho

No Capítulo 2, descrevemos os conceitos básicos utilizados no decorrer deste trabalho. No Ca- pítulo 3, apresentamos e discutimos alguns modelos de previsão do VaR comumente utilizados.

Os testes de avaliação das previsões são apresentados no Capítulo 4. No capitulo 5 discutimos os resultados obtidos pelas simulações e a aplicação. Finalmente, no capítulo 6, concluímos sobre os resultados obtidos e propomos possíveis extensões deste trabalho.

Capítulo 2

Conceitos e denições básicas.

Neste capítulo, apresentaremos alguns conceitos e notações que serão utilizados ao longo deste trabalho.

2.1 Retornos

O Risco do mercado nanceiro está relacionado à mudança de preços dos ativos. SejaPto preço de um ativo no instantet, supondo que não haja dividendos pagos no período, denimos a variação de preços deste ativo do instante t−1 até o instante tcomo :

∆P_t=P_t−Pt−1, e a variação relativa de preços deste ativo é dada por:

R_t= ∆P_t Pt−1. Denominamos a 1 +R_t= _P^Pt

t−1 comoretorno bruto simples, geralmente expressado em porcen- tagem. Sejap_t=log(P_t), o log-retorno é denido como (ao menos que se especique o contrariolog é considerado o logaritmo com base e):

rt=log Pt

Pt−1

=log(1 +Rt) =pt−pt−1.

Dado que para um xpequenolog(1 +x)≈xsegue que os retornos simplesR_t e os log-retornos r_t são valores muito próximo.

2.1.1 Fatos Estilizados dos Retornos

As séries econômicas e nanceiras têm características comuns a outras séries temporais como:

tendência, sazonalidade, pontos inuentes, heterocedasticidade condicional e não linearidade.

Os retornos nanceiros apresentam algumas características particulares, entre elas os fatos esti- lizados. Os quais resumimos a seguir: (a)em geral, não são autocorrelacionados.(b) Os quadrados dos retornos são autocorrelacionados. (c) Apresentam agrupamentos de volatilidade ao longo do tempo; ou seja, em sua dinâmica durante um período prolongado a variância da série é elevada para depois ter uma queda prolongada.(d)Sua distribuição não condicional apresenta caudas mais pesadas do que uma distribuição normal, além disso, em geral é leptocúrtica. (e) Alguns retornos são não lineares, no sentido de responder de maneira diferente, por exemplo, ao choques positivos ou negativos. Para maiores detalhes ver Morettin[2008].

3

4 CONCEITOS E DEFINIÇÕES BÁSICAS. 2.3

2.2 Valor em Risco (VaR)

Neste trabalho estaremos interessados em calcular uma medida de um tipo particular de risco, o chamado risco nanceiro de mercado. Neste caso, o Valor em Risco (VaR) é uma medida do grau de incerteza sobre retornos líquidos futuros segundo a posição nanceira considerada, a qual será ou uma posição comprada ou vendida. Uma posição comprada signica possuir determinado ativo (ou carteira de ativos) e uma posição vendida envolve vender um ativo que não se possui, mas que é alugado.

Informalmente, oV aRé denido como uma medida a variação potencial máxima do valor de um ativo que quantica quanto se pode perder sobre um período pré-xadohe com dada probabilidade p. Para uma denição mais formal suponhamos que no instante t precisamos calcular o risco de uma posição nanceira para o horizonteh >0. Seja

∆P(h) =P(t+h)−P(t)

a variação dos ativos entre o instantetet+h. A quantidade∆P(h) representa o lucro ou a perda (L&P) da posição sobre o horizonte h. Seja F_h(x) a função de distribuição de ∆P(h), a denição do V aRpara uma posição comprada é dada a seguir:

Denição 2.1 Denimos oV aRde uma posição comprada sobre um horizonteh, com probabilidade p, 0< p <1, por meio de:

p=P r(∆P(h)< V aR) =F_h(V aR).

Notemos que o VaR depende de p e de h , assim poderíamos escrever V aRh(p). Além disso consideremos as seguintes observações:

(i) Geralmente o VaR é dado em unidades monetárias, por exemplo em reais, e os retornos simples R_t são dados em porcentagem, lembramos que os log-retornosr_tsão aproximadamente iguais aRt, podemos supor quertmede, aproximadamente, as variações percentuais. Neste trabalho consideraremos a variação dos ativos entre o instantete t+ 1dada por∆P(1) =log(P_t+1)− log(P_t) =r_t+1.

(ii) A denição (2.1) mostra que o VaR é o p-quantil da distribuiçãoF_h(.) que na prática deve ser estimado.

(iii) O VaR para uma posição comprada tem valor negativo, pois acontece uma perda se∆P(h)<0.

Acontece uma perda no caso de uma posição vendida se ∆P(h)≥0, ou seja, o preço do ativo aumenta. Neste caso o VaR é denido por

p=P r(∆P(h)≥V aR) = 1−F_h(V aR), que comumente é positivo parap pequeno.

As denições anteriores implicam que o VaR para uma posição comprada é calculado utilizando a cauda esquerda da função de distribuição F_h(.) e a cauda direita para uma posição vendida.

Também podemos aplicar a denição (2.1) para calcular o VaR de uma posição vendida se usarmos a distribuição de −∆P(h). Portanto, basta considerar o cálculo do VaR para uma dessas posições.

Neste trabalho estaremos interessados na previsão doV aRfeita no instantetcom um horizonte h= 1 com probabilidadep denotado por V aRt+1|t(p).

2.3 Teoria dos Valores Extremos

A teoria de valores extremos (TVE) clássica estuda o comportamento de máximos, mínimos e outras estatísticas de ordem de sequências de variáveis aleatórias independentes e identicamente

2.4 TESTE DA RAZÃO DE VEROSSIMILANÇAS GENERALIZADA (TRVG) 5 distribuídas. Também foram feitas extensões para o caso de séries estacionárias com dependência fraca e séries não estacionárias foram consideradas na literatura.

Dada uma sequênciar₁, . . . , r_L, denimosr_(L)=max{r₁, . . . , r_L}. Em resumo, a Teoria dos Va- lores Extremos (TVE) clássica centranda emr_(L), estuda a distribuição aproximada para o máximo padronizador^∗_(L) dado por:

r_(L)^∗ = r_(L)−β_L α_L ,

para as sequências de constantes {α_L > 0} e {β_L}, as quais são escolhidas de modo a estabilizar a posição e escala de r^∗_(L), quando L → +∞. Supondo que os retornos são independentes com distribuiçãoF, se existirem tais sequências, tal que a distribuição der^∗_(L)converge para a distribuição não degenerada G(z), então G pertence a uma das três familias da distribuição generalizada de valores extremos (GVE), com função de distribuição dada por:

G(z) =exp

"

−

1 +ξ

z−τ σ

−1/ξ# ,

denida sobre {z : 1 +ξ(^z−τ_σ ) > 0}, para −∞ < τ < +∞, −∞ < ξ < +∞ e σ > 0. Em que τ é o paramêtro de posição, σ o parâmetro de escala e ξ o parâmetro de forma. Esta familia de distribuições é determinada pelo parâmetro ξ, se ξ = 0 a familia é do tipo Gumbel, seξ > 0 é do tipo Frechét e seξ <0 a familia é do tipo Weibull.

2.4 Teste da Razão de Verossimilanças Generalizada (TRVG)

Seja Θo espaço paramétrico, X = (x1, . . . , xn) à amostra observada da variável aleatória X e L(θ;X)a função de verossimilhança de θdada a amostraX. Consideremos uma situação geral em que as hipóteses de interesse são:

H0 :θ∈Θ0

H₁ :θ∈Θ₁, em que Θ = Θ₀∪Θ₁ ,Θ₀∩Θ₁ =∅,Θ₀ 6=∅ eΘ₁ 6=∅.

O TRVG pode ser denido como o teste com região crítica dada por:

A1={X :λ(X) = supθ∈Θ₁L(θ;X) supθ∈Θ0L(θ;X) ≥c}.

Por facilidades computacionais, a região critica doT RV G também pode ser denida como:

A^∗₁={X :λ(X) = supθ∈Θ0L(θ;X) supθ∈ΘL(θ;X) ≤c}.

Em relação à interpretação do TRVG, observemos que 0 ≤ λ(X) ≤ 1, pois o numerador é o supremo com relação a θ que pertence a um subconjunto de Θ ( Θ0 ∈ Θ ), enquanto que o denominador é o supremo sobre todo o conjunto Θ. Se H₀ for verdadeira , λ(X) estaria próximo de 1, se for falsa, esperamos que o denominador seja grande em relação ao numerador, e , portanto λ(X) deve ser próximo de 0.

O valor dec é obtido resolvendo a equação:

α=supθ∈Θ0P(λ(X)≤c),

para o qual, precisamos da distribuição de λ(X) que, em geral, não é simples de ser obtida ou é desconhecida.

6 CONCEITOS E DEFINIÇÕES BÁSICAS. 2.5 Seja θ = (θ₁, . . . , θ_r) o vetor de parâmetro r-dimensional e θˆ = (ˆθ₁, . . . ,θˆ_r) seu estimador de máxima verossimilhança (EMV).Bickel e Doksumapresentam oT RV Gusando oEM V θˆdeθ ∈Θ e ˆθ⁰ de θ∈Θ₀ para calcular

λ(X) =L(ˆθ⁰;X)/L(ˆθ;X).

Se podemos encontrar uma função h tal queh(λ(X))tenha uma forma simples e distribuição conhecida sobre H₀, é possível obter c, resolvendo a equaçãoα=P_H0(h(λ(X)))≤c.

Se a distribuição deλ(X)é desconhecida ou não é possível encontrar a funçãoh, podemos usar a distribuição assintótica da estatística do TRVG, dada no seguinte teorema.

Teorema 2.1 (Sen e Singer [1994]) SejaX1, . . . , Xn uma amostra aleatória da variávelX com função de densidade de probabilidade f(x|θ). Sob as condições de regularidade, se θ∈Θ₀, então a distribuição da estatística−2log(λ(X))converge para a distribuição quiquadrado quando o tamanho da amostra ntende ao innito. O número de graus de liberdade da distribuição limite é a diferença entre o número de parâmetros não especicados em Θe Θ₀.

2.5 Sequência de previsões

Neste trabalho consideramos a avaliação de sequência de previsões, utilizando valores pós- amostrais. A seguir apresentamos o procedimento que consideramos para obter tal sequência.

(a) Dividimos uma amostra Zt = {z₁, z2, , . . . , zto, zto+1, . . . , zT−1, zT, zT+1} do processo Zt, em duas sub-amostras dadas porZ_1,t ={z_t}^t_t=1^o e Z_2,t ={z_t+1}^T_t=t

o.

(b) Ajustamos um modelo adequado, utilizando inicialmente os dados da amostraZ_1,t. Sejazˆ_t0(h) = ˆ

z_to+h|to a previsão de z_t0+h de origem t_o e horizonte h. Consideramos um horizonte h = 1, uma origem de previsão dinâmicotorige um tamanho amostral xows. Para obter a primeira previsão, usamostorig=to ews=to, deste modo usamos{z₁, z2, , . . . , zto−1, zto}para ajustar o modelo de previsão e obter zˆ_to+1|to.

Para a segunda previsão, consideramost_orig=t_o+1e para manter o mesmo tamanho amostral (ws) usamos os valores{z₂, z3, , . . . , zto, zto+1}para obterzˆ_to+2|t_o+1, análogo ao caso anterior.

O processo segue até a última previsão, que considera torig = T e uma amostra dada por:

{z_T−ws, z_T−ws−1, . . . , z_T−1, z_T}. No nal do processo é obtida a seguinte sequência de previ- sões:

{ˆz_to+1|t_o,zˆ_to+2|t_o+1, . . . ,zˆ_T|T−1,zˆ_T+1|T}.

O número de previsões obtidas considerando um horizonte deh= 1, éT + 1−t₀. (c) A sub-amostraZ_2,t={z_t}^T_t=t⁺¹

o+1 será usada para avaliar a qualidade da previsão. Na literatura Z1,t e Z2,t são denominadas como valores amostrais e pós-amostrais, respectivamente. Para mais detalhes sobre estes experimentos verTashman[2000].

Dada uma sequência de previsões do V aR obtidas pelo procedimento anterior, este trabalho considera a avaliação da seguinte sequência de intervalos de previsão:

{(−∞, V aR_t+1|t(p))}^T_t=t

o. (2.1)

Dada uma pós-amostra de retornosr_to+1, . . . , r_T+1, dizemos que ocorreu uma violação do VaR, para uma posição comprada, no tempot+ 1sert+1< V aRt+1|t(p), deste modo denimos a variável indicadora da violação do VaR, por:

2.6 ANÁLISE DE TEMPOS DE FALHA DISCRETOS 7

I_t+1 =

1 , ser_t+1 < V aR_t+1|t(p) 0 , caso contrario.

Tambén será importante considerar a duração entre duas violações do VaR consecutivas, dada por:

D_i=t_i−ti−1, (2.2)

em que t_i denota o instante dai-esima violação e t₀ = 0implica que D₁ é o tempo até a primeira violação.

O estudo da sequência binária {I_t+1}^T_t=t

o e as respectivas durações {D_i}^N_i=1 serão parte da informação utilizada na aplicação dos testes de avaliação.

2.6 Análise de tempos de falha discretos

A duração entre as violações no tempot_i eti−1, dada porD_i, pode ser considerada como tempo de falha discreta e pode ser estudada através de sua função de risco. Consideremos aDi como uma variável aleatória discreta, que assume valores em{1,2, . . .}, com função de probabilidade dada por f(d) =P(D_i=d) e função de sobrevivência dada por:

S(d) =P(D_i> d) =

+∞

X

j=d+1

f(j), (2.3)

parai= 1, . . . , N .

A função de risco de D_i no tempo d é denida como a probabilidade condicional de falhar ao tempod, dado que ai-esima duração sobreviveu até o tempod−1, é dada por:

λ_d=P(Di=d|D_i ≥d) = P(Di =d)

P(D_i ≥d) = f(d)

S(d−1), (2.4)

para d=1,2, . . . .

As seguintes propriedades, mostram a relação de λ_d com a função de probabilidade e sobrevi- vência deD_i:

S(d) = Y

j|j≤d

(1−λ_j) (2.5)

f(d) =λ_d

d−1

Y

j=1

(1−λ_j). (2.6)

Como no caso continuo, a função de risco discretaλ_d, determina uma única distribuição para o tempo de falhaD_i. Para maiores detalhes ver Kalbeisch e Prentice[2011].

8 CONCEITOS E DEFINIÇÕES BÁSICAS. 2.6

Capítulo 3

Métodos de previsão do Valor em Risco.

3.1 Introdução

Na literatura há vários métodos de previsão doV aR. Neste capítulo apresentamos os seguintes: o método de Simulação Histórica (SH), a abordagem econométrica que utiliza os modelos da familia ARM A-GARCH e uma nova abordagem do método Peaks - over - threshold (P OT) dada em Araújo Santos e Fraga Alves[2013] denominado método P OT baseado em durações.

3.2 Estimação do VaR usando Simulação Historica (SH)

Seja V aRt+1(p) o p-quantil da distribuição condicional do retorno rt+1 denido como p = P(rt+1 < V aRt+1), o qual também pode ser expressado por:

V aRt+1(p) =F_t+1⁻ (p),

em queF_t+1(.)denota a função de distribuição condicional der_t+1. O método de Simulação Histórica utiliza os valores passados (um ou dois anos, por exemplo) dos retornos, para construir um estimador empírico de F_t+1⁻ (p) dado por:

V aRˆ ^sh_t+1|t(p) =percentil {r_s}^t_s=t−ws+1, p

. (3.1)

Em que ws é o tamanho da amostra móvel (rolling window) que é usado para aproximar a distribuição condicional.

Na prática, usamos ws= 250ou500que corresponde ao período de1ou2anos de negociações ( ou em dias trabalhados) aproximadamente.

O método SH é amplamente utilizado pelas instituições nanceiras, uma vez que este método é não paramétrico e de fácil implementação. No entanto, o método tem algumas deciências como:

(i) Os retornos passados usados para a previsão são assumidos como independentes e identicamente distribuídos.

(ii) O método tem uma baixa sensibilidade à dinâmica de uma série com uma volatilidade evoluindo no tempo.

3.3 Previsão do VaR usando modelos ARMA e GARCH

Em geral, uma série de retornos é não correlacionada, mas dependente, por isso, a volatilidade é modelada por um dos modelos heterocedásticos. Além disso, algumas delas ainda exibem a presença de auto-correlação, havendo a necessidade de eliminá-la por meio do ajuste inicial de um modelo linear. A estratégia é, portanto, modelar a media da série dos retornos utilizando modelos lineares do

9

10 MÉTODOS DE PREVISÃO DO VALOR EM RISCO. 3.4 tipoARM Ae depois modelar os residuos deste modelo por um membro da famíliaGARCH. Nesta abordagem supomos que o retornortsegue um processo ARMA(m, q)-GARCH(u, s), de forma que:

rt=φ0+

m

X

i=1

φirt−i+at+

q

X

j=1

θjat−j

a_t=σ_tt σ_t² =α₀+

u

X

i=1

α_ia²_t−i+

s

X

j=1

β_jσ_t−j² .

Seja Ψ_t={r_t, rt−1, . . .}e assumindo que os parâmetros são conhecidos, a previsão, a um passo da média condicional e da variância condicional dert+1,E(rt+1|Ψ_t) = ˆrt(1)eV ar(rt+1|Ψ_t) = ˆσ²_t(1), respectivamente, são :

ˆ

r_t(1) =φ₀+

m

X

i=1

φ_irt−i+1+

q

X

j=1

θ_jat−j+1

ˆ

σ²_t(1) =α0+

u

X

i=1

αia²_t−i+1+

s

X

j=1

βjσ²_t−j+1.

Se t segue uma distribuiçãoN(0,1), então

r_t+1|Ψ_t∼ N rˆ_t(1),σˆ_t²(1) , logo de

P rt+1< V aR_t+1|t(p)

=P

rt+1−rˆt(1) ˆ

σ_t(1) < V aR_t+1|t(p)−rˆ_t(1) ˆ

σ_t(1)

=p, temos que

V aRt+1|t(p)−rˆt(1) ˆ

σt(1) =z_p.

Portanto, o VaR é dado por rˆ_t(1) +z_pˆσ_t(1), em que z_p corresponde ao p-esimo quantil da distribuição normal padrão.

Se t tem distribuição t-Student padronizada com v graus de liberdade, a previsão do V aR é dada porrˆ_t(1) +t^∗_v(p)ˆσ_t(1)( em quet^∗_v(p) é o p-quantil da distribuiçãot_v padronizada).

Seja t_v(p) o p-quantil de uma t-Student(v), a relação de t_v(p)com t^∗_v(p), é dada a seguir:

p=P(t_v ≤t_v(p)) =P tv

pv/(v−2) ≤ tv(p) pv/(v−2)

!

=P t^∗_v ≤ tv(p) pv/(v−2)

! ,

se v > 2, logo t^∗_v(p) = tv(p)/p

v/(v−2). Por tanto, se t segue uma distribuição t-Student com v graus de liberdade, a previsão do VaR no instante t com um horizonte h = 1 denotado por V aRˆ

A.G

t+1|t(p) é dada por:

V aRˆ

A.G

t+1|t(p) = ˆr_t(1) + tv(p)ˆσt(1)

pv/(v−2) (3.2)

3.4 Previsão do VaR utilizando Teoria dos Valores Extremos

Dada uma sequênciar_L={r₁, . . . , r_L}, denimosr₍₁₎=min{r₁, . . . , r_L}er_(L)=max{r₁, . . . , r_L}. O mínimo e o máximo da sequência são relevantes para o cálculo do VaR para as posições nanceiras comprada e vendida, respectivamente.

3.5 PREVISÃO DO VAR USANDO O MÉTODO POT 11 Na prática, basta considerar uns dos casos, devido ao fato que

r₍₁₎=−max{r^c₁, . . . , r^c_L},

em que r^c_t é o retorno simétrico de r_t dado por:r_t^c=−log(P_t+1/P_t) = −r_t. Neste caso a previsão do V aR é positiva, pois feita para uma posição comprada e notamos que a violação do VaR dada porr^c_t+1 > V aRt+1|t(p) é equivalente art+1 <−V aR_t+1|t(p) .

O procedimento para obter a previsão do VaR, aplicando a TVE e utilizando a série de retornos r_L, é dada a seguir:

(a) Divedimosr_L emm blocos de tamanho n.

(b) Obtemos os máximosr_(n),i =max1≤j≤n{r_(i−1)n+j}respectivos de cada bloco, em quer_(i−1)n+j denota oj-esimo retorno do i-esimo bloco parai={1, . . . , m}. Logo, obtemos os EMV deτ, σ e ξ ajustando uma distribuição GVE para esses máximos e umn xo.

(c) É possível obter uma expressão para os quantis da distribuição, a partir do qual podemos obter a previsão do VaR, dada por:

V aRˆ ^{T V E}_t+1|t(p) =

( τˆ_n−^σˆ_ˆⁿ

ξn

{1−(−nlog(1−p))^−ξˆn} , seξˆ_n6= 0 ˆ

τ_n−σˆ_nlog(−nlog(1−p)) , seξˆ_n= 0,

em queτˆ_n,σˆ_neξˆ_nsão os EMV deτ,σ eξ respectivamente, considerando um tamanhondos blocos.

Duas criticas feitas a abordagem são: a escolha dos blocos (o tamanho n) não é claramente denida e dado que é um método não condicional os efeitos de variáveis explicativas não podem ser considerados.

3.5 Previsão do VaR usando o método POT

O método POT enfoca-se na medida de excesso dos retornos com respeito a um limiar ótimo denotado por µ dado por yt=rt−µ. Para uma posição vendida, se xamos µ= 0.025, o i-esimo excesso yi acontece no tempo ki se r_ki ≥0.025. Esta abordagem utiliza a informação contida em (k_i, r_ki−µ). Segundo a literatura, a escolha deµnão pode ser baseada somente na teoria estatística, pois depende da amostra observada, para maiores detalhes verDanielsson e de Vries [1997].

Para modelar o excesso utilizamos a distribuição Generalizada de Pareto (DGP), a qual tem a seguinte função de distrbuição:

G_γ,σ(y) =

1−(1 +γy/σ)^−1/γ , seγ 6= 0 1−exp(−y/σ) , seγ = 0,

em que σ >0, o suporte da distribuição é y≥0quando γ ≥0 e0≤y≤ −σ/γ quando γ <0. A função de distribuição do excesso Y =r−µdado quer > µé dada por:

F_u(y) =P(r−µ≤y|r > µ) = P(r ≤y+µ)−P(r≤µ)

1−P(r ≤µ) = F(y+µ)−F(µ)

1−F(µ) , (3.3) para0≤y < r^F−µ, em quer^F :=sup{r :F(r)<1}. Notemos também queF_u(y)é a probabilidade que o excesso da variavel aleatoriarpor sobre o limiarµseja pelo menosy. A distribuição do excesso pode ser aproximada à DGP para um limiarµsucientemente grande, utilizando o seguinte teorema:

Teorema 3.1 É possível encontrar uma função σ(µ)>0 tal que:

lim_µ→r^Fsup_0≤y<r^F_−µ|F_µ(y)−Gγ,σ(y)|= 0,

12 MÉTODOS DE PREVISÃO DO VALOR EM RISCO. 3.6 se e somente se F está no domínio máximo de atração de uma distribuição de valores extremos.

A denição de domínio máximo de atração é apresentada no Apêndice A.1 e a demonstração do teorema é dada em Embrechts et al.[1997].

Seja F¯(x) = 1−F(x)e r^∗ =y+µ um valor particular der, de (3.3) temos que:

F¯µ(y) = F¯(r^∗) F¯(µ), logo F¯(r^∗) = ¯F(µ) ¯F_µ(y).

Consideremos a proposta de Smith [1987] de um estimador de cauda para F(r¯ ^∗) =P(r > r^∗) baseado em uma aproximação da distribuição do excesso pelaDGP. SejaM o número de excessos sobre µ em uma amostra r1, . . . , rL, utilizamos M/L como um estimador para F¯(µ) e F¯µ(y) é estimada usando aDGP aproximada. Para estimar os parâmetrosγ eσdaG_γ,σ(y)ajustamos uma DGP para o excesso sobre um limiar xo µ. O estimador de cauda deF¯(r^∗) é obtido por:

Fˆ¯(r^∗) = ˆ¯F(µ) ˆ¯F_µ(y)

= ˆ¯F(µ) ˆ¯Fµ(r^∗−µ),fazendoy=r^∗−µ

= (M/L)(1−G_γ,ˆˆσ(r^∗−µ)) = M L

1 + ˆγr^∗−µ ˆ σ

−1/ˆγ

, r^∗> µ.

Para p <F(µ)¯ , invertendoFˆ¯(r^∗) obtemos o estimadorP OT doV aR dado por:

V aRˆ ^{P OT}_t+1|t(p) =µ+σˆ ˆ γ

M Lp

γˆ

−1

! .

Para maiores detalhes ver Tsay[2005].

3.6 O método POT baseado em durações de excessos (DPOT)

O seguinte método considera uma distribuição condicional do excesso que permite incluir cova- riaveis na estimação do VaR. Seja y₁, . . . , y_M os excessos sobre o limiar µ obtidos até o tempo t, d₁ a duração até o primeiro excesso (tempo até acontecer pela primeira vezr_t ≥µ ) e d₂, . . . , d_M denidas por:

d_i=k_i−ki−1,

em que k_i denota o tempo do i-esimo excesso. Considerando as durações d_i, . . . , di−λ+1, a duração ao tempo k_i dosλexcessos anteriores, é denida por:

d_i,λ =d_i+. . .+di−λ+1=k_i−ki−λ.

Seja k_M o tempo do último excessoy_M, ao tempot,d^t denota a duração desdek_M atét dada por d^t =t−k_M + 1 e d_M = k_M −k_M−1 a duração do ultimo excesso. Finalmente, considerando dt,1=d^t,dt,2 =d^t+dM, paraλ= 3,4, . . . ,a duração até o tempota partir dosλexcessos passados é dada por:

dt,λ=d^t+dM,λ−1=d^t+dM +. . .+dM−λ+2.

ConsiderandoΨ^∗_t ={d^t, dM, dM−1, . . . , dM−λ+2}, assumimos a seguinte distribuição condicional para o excessoY_t sobreµ:

Yt|Ψ^∗_t ∼ GPD γ, σt=g(α1, . . . , α_k, . . . , d^t, dM, dM−1, . . . , d_M−λ+2) ,

3.7 AGRUPAMENTO DAS VIOLAÇÕES DO VAR 13 em queγ, α₁, . . . , α_k são parâmetros a ser estimados. É proposta a seguinte classe de estimadores para o V aR:

V aRˆ ^{DP OT}_t+1|t (p) =µ+σˆ_t ˆ γ

M Lp

ˆγ

−1

! ,

com σˆ_t = g( ˆα₁, . . . ,αˆ_k, . . . , d^k, d_M, d_M−1, . . . , dM−λ+2). O método DP OT proposto implica um valor esperado e variância condicionais para o excesso dados por:

E(Yt|Ψ^∗_t) = σt

1−γ,para γ <1, e

V ar(Y_t|Ψ^∗_t) = σ²_t

(1−2γ),paraγ < ¹₂.

Resultados empíricos obtidos sugerem uma relação inversa entre o excesso y_i e d_i,λ, e uma correlação positiva com 1/(di,λ)^c, para c > 0. É proposta a especicação σt = α/(dt,λ)^c e o V aR estimado por:

V aRˆ ^{DP OT}_t+1|t (λ, c)(p) =µ+ αˆ ˆ γ(dt,λ)^c

M Lp

γˆ

−1

!

, (3.4)

em queγˆeαˆsão osEM V deγeα. ConsiderandoY ={y₁, . . . , y_M}, a função de log-verossimilhança dos parâmetrosγ e α para à amostraY, é dada por:

logL((γ, α);Y) =log

M

Y

i=λ

fYi(yi) =log

M

Y

i=λ

α γ(d_i,λ)^c

−1

1 + γ

αyi(di,λ)^c

−(1/γ+1)

=−

M

X

i=λ

log α

(d_i,λ)^c

− 1

γ + 1 M

X

i=λ

log

1 + γ

αyi(di,λ)^c

.

Os parâmetros podem ser obtidos usando otimização numérica por meio do algoritmo Newton- Rapson. O pacote evt0 no R implementa uma função para obterV aRˆ ^{DP OT}_t+1|t (λ, c)(p). Da aplicação e sua análise do V aRbaseado no DPOT é observado que o método é robusto para c∈[0.7,0.8]e é proposto trabalhar comc= 0.75 considerandoλ= 3 .

3.7 Agrupamento das violações do VaR

A avaliação da sequência de previsões do VaR, que consideramos neste trabalho, é baseada em uma denição de eciência que apresentamos no próximo capítulo. Tal denição exige que:

• E(It+1) =p,∀t.

• As violações doV aR deveriam ocorrem aleatoriamente ao longo do tempo.

Analisemos tais características no seguinte caso. Na gura (3.1a) observamos os log-retornos simulados por um modelo heterocedástico e as previsões do VaR utilizando o método Simulação Histórica, apresentado na seção (3.1), para ws = 250, p = 0.05 e uma pós-amostra de tamanho 500. Observamos que as violações do VaR acontecem em períodos de alta volatilidade da série, em quanto em períodos calmos não acontecem.

Podemos vericar a primeira característica comparando a proporção de violações observadas com a probabilidade p. Para vericar se as previsões do VaR satisfazem a segunda característica, observemos a gura (3.1b), nela os tempos entre cada violação do VaR são peqenos em períodos de alta volatilidades e longo em períodos calmos, o qual é denominado agrupamento das violações.

Segundo a denição de Daníelsson et al. [2000], ocorre um agrupamento das violações do VaR se

14 MÉTODOS DE PREVISÃO DO VALOR EM RISCO. 3.7

0 50 100 150 200 250

−4−2024

Tempo

Serie

retorno VaR.SH 0.05

(a) Retorno simulado eV aR^SH, p=0.05.

Indicadora violações

Time

hit

0 50 100 150 200 250

0.00.20.40.60.81.0

(b) Sequencia de indicadoras, p=0.05.

Figura 3.1: Agrupamento das Violações

a os tempos entre violações não são independentes é identicamente distribuidos. Muitos autores consideram este agrupamento como evidência em contra do suposto de aleatoriedade das violações.

Capítulo 4

Testes para avaliar a previsão do VaR

4.1 Introdução

Um dos temas centrais da gestão quantitativa de risco nanceiro é o cálculo preciso do VaR. O VaR é uma medida padrão de risco, amplamente utilizada pelas instituições nanceiras e regulado- ras.No ponto de vista estatística, o VaR é um quantil da distribuição condicional dos retornos. A estimação do VaR não é trivial uma vez que a distribuição condicional de retornos é, em geral, desconhecida. Consequentemente, alguns métodos populares de previsão do VaR são construídos baseados em suposições irreais, tais como, a suposição de distribuição i.i.d para os retornos, des- considerando os fatos estilizados de retornos (agrupamento de volatilidade e retornos variando no tempo). Assim a avaliação do desempenho do VaR é de grande importancia.

Neste Capítulo, apresentamos a denição de eciência para intervalos de previsão e os testes de avaliação, os quais são divididos em dois grupos: testes baseados na sequência binária das violações do VaR e testes baseados nas durações entre violações, apresentadas na seção (2.5).

4.2 Eciência dos intervalos de previsão

Seja R_T ={r_t+1}^T

t=to uma série pós-amostral, cuja sequência de intervalos de previsão é dada por:

F_T ={ L_t+1|t(p), U_t+1|t(p) }^T

t=t0, (4.1)

em que L_t+1|t(p) e U_t+1|t(p) são os limites inferior e superior da previsão para o tempo t+ 1, feita na origemt, com probabilidade de cobertura igual ap.

Consideremos também a variável indicadora das coberturas, dada seguinte denição.

Denição 4.1 A variável indicadora It+1, para um intervalo de previsão L_t+1|t(p), U_t+1|t(p)

, para o tempo t+ 1 na origemt, é denida como:

I_t+1= (

1 ,se rt+1 ∈

L_t+1|t(p), U_t+1|t(p) 0 ,caso contrario.

Denotamos por I_T ={I_t+1}^T_t=t

0 a sequência de variáveis indicadoras das coberturas gerada por FT e pela pós-amostra RT.

A denição geral de eciência da sequência de intervalos de previsão F_T dada em (4.1), com respeito à informação passadaΩ_t, apresentada emChristoersen [1998] é :

15

16 TESTES PARA AVALIAR A PREVISÃO DO VAR 4.2 Denição 4.2 Dizemos que a sequência de intervalos de previsão F_T dado em (4.1) é eciente com respeito ao conjunto de informação Ωt, seE(It+1|Ω_t) =p ,∀t .

Notamos que uma forma equivalente para expressar esta denição de eciência, é a seguinte:

dizemos que F_T é eciente com respeito à informaçãoΩ_t se

P(I_t+1= 1|Ω_t) =p,∀t. (4.2)

Ou seja, a probabilidade do retorno cair no intervalo de previsão não é afeitada pela informação passada e é igual ap∀t.

Por outro lado, esta denição permite a construção testes de avaliação de intervalos de previsão, sem depender de qualquer suposição sobre distribuição dos retornos.

O autor propõe considerar a informação passada até o tempo tdada por:

Ω1,t={I_t, It−1, . . . , I1} (4.3) e o seguinte procedimento para testar a eciência de FT com respeito à informaçãoΩ1,t :

Lema 4.1 Testar E(It+1|Ω_1,t) = E(It+1|I_t, It−1, . . . , I1) = p , ∀t, é equivalente a testar se as variáveis da sequência I_T são independentes e identicamente distribuídas, segundo a distribuição Bernoulli de parâmetro p, ou seja, testar se I_t^i.i.d∼ Bernoulli(p), ∀t.

Destacamos que a denição de eciência (4.2) é geral, no sentido que vale para qualquer tipo de informação passada Ωt. Em particular, para armar que FT é eciente com respeito a Ω1,t, utilizamos a seguinte denição:

Denição 4.3 Dizemos que a sequência de intervalos de previsão FT, dada em (4.1), tem uma cobertura condicional correta se It

i.i.d

∼ Bernoulli(p),∀t.

Uma observação simples, mas muito importante, que precisamos fazer ao lema (4.1) é que testar E(It+1|Ω_1,t) = p ∀t, também é equivalente a testar (conjuntamente) se as variáveis da sequência I_T são independentes e E(I_t+1) = p,∀ t. Assumindo esta independência, temos que P(I_t+1 = 1|Ω_1,t) = P(I_t+1 = 1) = π,∀t, para algum π ∈ (0,1), isto é, a probabilidade de ocorrer uma violação do VaR no instante t+ 1 não depende das violações passadas. Se a condição E(I_t+1) =p,∀tfor válida, dizemos queF_T tem cobertura não condicional correta. Esta observação é importante, pois frequentemente a avaliação deF_T é feita testando a independência e a cobertura não condicional correta separadamente, para depois vericar a Cobertura Condicional correta.

Considerando a denição (2.1) para o VaR de uma posição comprada, temos quep=P(r_t+1<

V aR_t+1|t(p)) =P(r_t+1 ∈ (−∞, V aR_t+1|t(p)). De este modo, a previsão do VaR pode ser conside- rada como o límite superior de um intervalo de previsão unilateral, do tipo(−∞, U_t+1|t(p)). Assim, no decorrer do trabalho consideramos FT = {(−∞, V aR_t+1|t(p))}^T_t=to e It+1 dada em (4.1) como equivalente à indicadora da violação do VaR, apresentada na seção (2.5). As coberturas não con- dicional e condicional são denotadas por UC e CC, respectivamente (unconditional e conditional coverage).

Eciência das previsões do VaR

Até aqui, temos considerado a denição de eciência de intervalos de previsão com respeito à informação passada Ω_1,t. Esta denição é utilizada na avaliação das previsões do VaR, vericando por meio de testes a eciência da sequênciaF_T ={(−∞, V aR_t+1|t(p))}^T_t=t

o. Deste modo, conside- raremos que a sequência{V aR_t+1|t(p)}^T_t=t

o é eciente, seF_T for eciente com respeito à informação passadas

No seguir do trabalho, consideramos queFT é eciente com respeito àΩtse tem uma CC correta com respeito aΩ_t . Em particular, F_T é eciente com respeito a Ω_1,t, seF_T tem uma CC correta

4.3 TESTES BASEADOS NA SEQUÊNCIAIT 17 com respeito a Ω_1,t. Na literatura, também é de interesse avaliar a UC correta e a independência das variáveis da sequência IT, que é valida se

E(It+1|Ω_1,t) =π,∀ t, (4.4)

ou seja, a sequênciaF_T tem um cobertura condicional, com probabilidade de cobertura π ∈(0,1).

4.3 Testes baseados na sequência I

Os seguintes procedimentos consideram a sequência de indicadoras das violações do VaR para avaliar a a sequênciaFT. Consideramos as seguintes hipóteses nulas y procedimentos de testes:

• Para a hipótese de CC correta com respeitoΩ1,t, testamos seIt i.i.d

∼ Bernoulli(p),∀t.

• Para a hipótese de CC com respeitoΩ_1,t, com probabilidade de coberturaπ∈(0,1), testamos seIti.i.d

∼ Bernoulli(π),∀t.

• Para a hipótese de UC correta, assumimos que I_t^i.i.d∼ Bernoulli(π),∀te testamos π=p. 4.3.1 Teste do tipo Bernoulli (TB)

Além da denição geral de eciência para intervalos de previsão, Christoersen [1998] propõe um procedimento para testar a hipótese de CC correta com respeito a Ω_1,t. Isto pode ser feito convenientemente utilizqando o TRGV. A seguir apresentamos testes do tipo TRVG para UC correta, Independência e um procedimento que combina os dois testes anteriores para formar um teste completo para CC.

Teste Bernoulli de Cobertura não Condicional

Assumindo que a sequência de indicadoras I_T ={I_t+1}^T_t=t

0 são independentes com distribuição Bernoulli(π). O teste da UC correta procura vericar seE(I_t) =p,∀t. As hipóteses propostas são:

( H₀:π=p H₁:π6=p.

Considerando Θ0 = {π = p} e Θ = {π : 0 < π < 1}. A função de verossimilhança sob H0 é dada por:

L(p;I_T) =

T

Y

t=to

(1−p)^1−it+1×p^it+1 = (1−p)ⁿ⁰ ×pⁿ¹,

em queit+1 é o valor observado de It+1 e n0 e n1 são as quantidades de zeros e uns na sequência I_T.

A função de verossimilhança sob H1 é dada por:

L(π;I_T) =

T

Y

t=to

(1−π)^1−it+1×π^it+1 = (1−π)ⁿ⁰ ×πⁿ¹.

Logo, a estatística do T RV G para a U C correta, denotada porT B_uc, é dada por:

T Buc=−2 (logL(p;IT)−logL(ˆπ;IT))→^D χ²₁, em que ˆπ= _nⁿ¹

0+n1 =

PT t=toIt+1

n0+n1 é o EMV de π.

18 TESTES PARA AVALIAR A PREVISÃO DO VAR 4.3 Este procedimento, também conhecido como o teste de Kupiec, somente avalia a correta propor- ção de violações, sem considerar a possível dependencia entre elas. O seguinte procedimento propõe testar un tipo particular de dependência.

Teste Bernoulli de Independência Consideremos que{I_t+1|I_t}^T_t=t

o é cadeia de Markov de primeira ordem, com matriz de probabi- lidade de transição dada por:

Π1 =

1−π01 π01

1−π11 π11

,

considerando queπ_ij =P(I_t+1=j|I_t=i), parai, j∈ {0,1}. A função de verossimilhança de processo é dada por:

L(Π₁;IT) =

T

Y

t=to

P(It+1=j|I_t=i)

= Y

{t:It=0}

P(I_t+1=j|I_t= 0)× Y

{t:It=1}

P(I_t+1=j|I_t= 1)

=πⁿ₀₁⁰¹(1−π₀₁)ⁿ⁰⁰πⁿ₁₁¹¹(1−π₁₁)ⁿ¹⁰. O EMV deΠ1 é dado por:

Πˆ1 =

_n00

n00+n01

n01

n00+n01

n10

n10+n11

n11

n10+n11

,

em quenij é a quantidades de observações con valoriseguido porj na sequência IT. Se as variáveis da sequencia I_T forem independentes, então temos que

P(It+1=j|I_t=i)) =P(It+1 =j) =πj. Assim, testar a hipótese Iti.i.d

∼ Bernoulli(π),∀tcountra a alternativa,{I_t+1|I_t}^T_t=to é cadeia de Markov de primeira ordem, é equivalente a testar:











H₀ : Π^∗₁ =

1−π1 π1

1−π₁ π₁

H₁ : Π₁ =

1−π01 π01

1−π₁₁ π₁₁

.

ConsiderandoΘ₀={π₁ : 0< π₁ <1}eΘ ={(π₁₀, π₀₁, π₁₁, π₀₀) : 0< π_ij <1}parai, j∈ {0,1}. A função de verossimilhança sobH₀ é dada por:

L(Π^∗₁;I_T) = (1−π1)^n00+n10πⁿ₁⁰¹⁺ⁿ¹¹. Sob a hipótese de independência, os EMV de π₁ e Π^∗₁ são

ˆ

π1 = n01+n11

n₀₀+n_n10+n₀₁+n₁₁ e

Πˆ^∗₁=

1−πˆ1 πˆ1

1−πˆ₁ πˆ₁

, respectivamente.

A estatística do TRVG para a Independência, denotada por T B_ind, é dada por:

T B_ind=−2

logL( ˆΠ^∗₁;I_T)−logL( ˆΠ₁;I_T) _D

→χ²₁.

4.3 TESTES BASEADOS NA SEQUÊNCIAIT 19 Na Literatura o teste é conhecido também como teste Markov de Independência.

Teste Bernoulli de Cobertura Condicional

Os testes para a correta U C e independência das variáveis da sequência IT são combinados em um único procedimento para formar um teste completo CC correta com respeito a Ω_1,t, que considera as seguintes hipóteses.











H0 : Π^∗₁ =

1−p p 1−p p

H1 : Π1 =

1−π₀₁ π₀₁ 1−π11 π11

.

ConsiderandoΘ₀ ={π₁=p}eΘ₌{(π₁₀, π₀₁, π₁₁, π₀₀) : 0< π_ij <1}parai, j∈ {0,1}. A estatística do T RV Gpara a correta CC com respeito aΩ1,t, denotada por T Bcc, é dada por:

T B_cc =−2

logL(Π^∗₁;I_T)−logL( ˆΠ₁;I_T) _D

→χ²₂.

Notemos que esta estatística também pode ser calculada por T Bcc =T Buc+T Bind. 4.3.2 Ampliação da informação passada

Christoersen[1998] também propõe ampliar o conjunto de informação passadaΩ1,t, para avaliar o efeito de outras cováriaveis (além das indicadoras da cobertura) na probabilidade de cobertura dos intervalos de previsão. Consideremos a informação

Ω^∗_t ={M_t, . . . , M1},

em que Mt é um vetor de q covariáveis, que contem o retorno rt e It. Consideramos a seguinte regressão, que relacionaI_t+1 com a informação passada:

I_t+1 =β₀+β^>ρ(M_t) +u_t+1, (4.5) em que ρ:R^q → R^f ,β^> um vetor f-dimensional e E(u_t+1) = 0,∀t.

A relação dada em (4.5), assume queI_t+1depende apenas da informação imediatamente anterior.

O seguinte lema, estabelece o procedimento para testar a eciência deFT com respeito aΩ^∗_t, dada a regressão em (4.5).

Lema 4.2 Testar a hipótese nula de eciência de F_T com respeito à informação Ω^∗_t, dada por E(I_t+1|Ω^∗_t) =p,∀t, contra a alternativa E(I_t+1|Ω^∗_t) =β₀+β^>ρ(M_t), é equivalente a testar β₀=p e β=0_f, em que 0_f é um vetor de zeros f-dimensional.

Este teste, pode ser considerado como um teste conjunto de independência da informação pas- sada (β=0_f) e de UC correta(β0 =p). Esta construção permite uma interessante inferência a ser aplicada na métodologia de avaliação intervalos de previsão. Se o teste rejeitaβ_i 6= 0(β_i pertencente ao vetorβ ), então não rejeitamos a hipótese que a probabilidade de rt+1 cair fora do intervalo de previsão, depende necesariamente deρi(Mt).

Aplicando isto na avaliação das previsões do VaR, suponhamosV aR_t+1|t(p)contida na informa- ção passada, é posivel testar se probabilidade de acontecer uma violação do VaR, no instantet+ 1, será consta e igua p,∀t.Engle e Manganelli [2004] mostram que o lema (4.1) não é suciente para provar isto. Apresentam um exemplo em que, sobre uma certa especicação do modelo de previsão do VaR, a probabilidade P(It+1 = 1|V aR_t+1|t(p)) não é igual a p ∀t, contudo FT tem uma CC correta com respeito aΩ1,t.

É posivel construir testes para avaliar a CC com respeito a um conjunto de informação que inclua as violações e a previsão do VaR, utilizando o lema (4.2). Consideremos a informação passadaΩ^∗_1,t, dada por