A TIVIDADE 9

Antes de dar início à atividade 9, a professora/pesquisadora realizou, em conjunto com os alunos, o levantamento das características dos quadriláteros que poderiam ser construídos durante o terceiro conjunto de atividades com o objetivo de clarificar, para os alunos, as diferenças existentes entre eles. Com estas propriedades foi elaborada uma tabela (Tabela 5.2) que ficou à disposição das duplas para consulta durante as atividades seguintes.

Quadrilátero Propriedades

Quadrado 4 lados iguais

4 ângulos de 90º

Retângulo Lados opostos iguais

4 ângulos de 90º

Paralelogramo Lados opostos iguais

Ângulos opostos iguais

Losango 4 lados iguais

Ângulos opostos iguais

A Atividade 9 tinha como objetivo inicial que os alunos realizassem a construção de um losango robusto usando apenas as transformações geométricas. A partir desta construção, os alunos deveriam utilizar-se das propriedades obtidas nos conjuntos de atividades anteriores para justificar que sua construção possui, necessariamente, as propriedades listadas na Tabela 5.2.

5.1.2.1.SISTEMA DE APRENDIZAGEM A

Nenhuma orientação foi dada às duplas no início da atividade, porém, ocorreu o questionamento sobre o significado do termo robusto utilizado no enunciado. A professora/pesquisadora esclareceu que o termo robusto significa que a figura deve manter as características da figura original após a manipulação de suas primitivas, ou seja, que o losango deveria permanecer com as mesmas características após a manipulação do ângulo ou dos lados da figura.

Figura 5.4: Exemplo de construção do losango da Atividade 8

Após essa intervenção, as duplas iniciaram sua construção, seguindo o modelo apresentado na Atividade 8. De fato, este modelo funcionou pois, obtendo o quadrado, bastava à dupla manipular o ângulo de rotação obtendo o losango. Esta estratégia foi adotada pela dupla Paula/Guilherme. As demais duplas preferiram alterar o valor do ângulo logo no início da construção (Figura 5.4). Este fato pode ser atribuído à falta de manipulação da figura na atividade anterior e conseqüentemente, a falta de percepção de que a construção realizada, no sentido da manipulação do ângulo, era mole.

A professora questionou as duplas sobre a robustez da construção realizada e iniciou a manipulação do ângulo para comprová-la. Todas as figuras obtidas foram robustas pois, manipulando o ângulo ou o segmento inicial, permaneceram

com as características do losango.Quando o valor do ângulo atingiu o valor 90º , o

losango se transformou no quadrado, ou seja, no caso particular ilustrado na Atividade 8.

Após esta manipulação, as duplas realizaram a descrição de sua construção na apostila (por exemplo, a Figura 5.5).

Figura 5.5: Exemplo da descrição da construção da Atividade 9 do sistema de aprendizagem A

Em seguida, as duplas foram instruídas a preencher a tabela da página seguinte. Orientando-se pelos passos da Atividade 8 (Figura 5.3), cada dupla começou a construção de sua prova.

A estratégia utilizada pelas duplas foi estabelecer um paralelo entre a prova dada na Atividade 8 e a construção realizada pela dupla no início da Atividade 9. Estas provas serão apresentadas em seguida, iniciando-se pela dupla Júlia/Maíra (Figura 5.6).

Figura 5.6: Prova construída pela dupla Júlia/Maíra para a Atividade 9

Segue parte do diálogo da dupla que ilustra claramente a estratégia adotada pela dupla:

Maíra: - AD é uma rotação de AB (lendo o exemplo de Marcelo). ...

Maíra: - Faz assim. AB = AC porque AC é uma rotação: a gente tinha essa linha, a gente fez a rotação usando o ângulo em relação a esse ponto e formou AC. Entendeu? (desenhando na lousa) A gente tinha essa linha aqui aí, a gente fez a rotação, a gente fez a rotação em relação a esse ponto. A gente nomeou esse C, então AC é rotação de AB.

Aparentemente, a dupla conseguiu compreender o que está sendo requerido na atividade, embora esta compreensão envolva apenas o que é necessário para se fornecer uma justificativa local - de cada um dos passos da construção realizada - do que uma prova global, em especial, quando a propriedade requerida

baseava-se na congruência de segmentos.

A mesma estratégia foi utilizada inclusive quando as construções não apresentavam semelhança:

Maíra: - AB é perpendicular a AD.

Júlia: - A perpendicular não é o negócio de 90º ? Maíra: - É.

Júlia: - Não é perpendicular. Objetos não perpendiculares. (usando a

ferramenta de verificação). Então pode por aqui...

Observando que a medida do ângulo entre os segmentos AB e AC era congruente à medida do ângulo usada na construção (já que esta foi uma rotação), a dupla Júlia/Maíra acrescentou esta informação à sua afirmação. Em seguida, passaram para a afirmação da prova da Atividade 8 sobre triângulo isósceles e concluíram que o triângulo ABC construído pela dupla também tinha esta característica, já que seus lados foram obtidos através da rotação e portanto, seus ângulos seriam congruentes. Após a medição dos demais ângulos, a dupla realizou uma nova afirmação sobre a igualdade dos mesmos ao valor de 70,7º . A dupla prosseguiu sua prova tentando calcular o valor dos demais ângulos do losango. Para isso, utilizaram a propriedade (presente na prova da atividade

anterior) sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo, porém, devido às

aproximações realizadas pelo software, as medidas não coincidiam com os valores encontrados pelas alunas por questão de décimos. A dupla decidiu, então, pedir auxílio à professora que interferiu na elaboração desta prova esclarecendo que não havia necessidade de colocar o valor exato do ângulo pois a prova deve ter um caráter geral e caso houvesse um valor específico, a prova perderia esse caráter, restringindo-se apenas ao losango da figura da tela. Devido a esta interferência, a dupla decidiu riscar os valores dos ângulos de sua prova.

Prosseguindo através da estratégia adotada, a dupla afirmou então que, os triângulos ABC e DBC são congruentes devido à reflexão (apesar da reflexão ter sido realizada para cada um dos segmentos e não do triângulo como um todo) e concluíram que todos os lados do losango construído são iguais, o que poderia ser justificado utilizando-se a afirmação sobre a congruência dos triângulos, porém, para justificar esta afirmação, a dupla recorreu à justificativa da afirmação de número 9 da Atividade 8 sobre o perpendicularismo dos lados (a construção realizada era de um quadrado). A dupla observou que, em sua construção, os lados não eram perpendiculares e sim paralelos:

Maíra: - AC são paralelos a BD.

Júlia: - Então... o que que tem a ver com todos os lados são iguais? Maíra: - Porque eles sendo paralelos vão ser iguais... Eu acho. Júlia: - AD é paralelo a CD.

Pode-se observar como a dependência da prova da Atividade 8 acabou por atrapalhar as duplas, em especial, a prova desta dupla seria mais adequada caso as alunas não tivessem incluído o último passo (sobre a congruência dos lados devido ao paralelismo dos segmentos), já que, a congruência dos lados e dos ângulos, necessária para garantir que a figura é um losango, já havia sido considerada. Porém, motivadas a produzir mais um passo, as alunas utilizaram uma propriedade baseada em suas observações mas não provada (paralelismo) e ainda, a noção prévia sobre pares de segmentos paralelos e congruência de medidas. Isso demonstra a confusão sobre qual conhecimento pode ser incluído nas justificativas, se todo aquele que se detém, inclusive o previamente adquirido, ou apenas aquele provado e justificado.

A prova da dupla Júlia/Maíra mostra algumas características pertencentes à classificação de Balacheff do tipo exemplo genérico, ou seja, as alunas escolheram como um representante da classe losango, a figura construída, com suas particularidades como, por exemplo, as medidas dos ângulos e, a partir deste exemplo, explicitaram sua prova.

A segunda prova a ser apresentada é da dupla Paula/Guilherme (Figura 5.7). Esta dupla tentou utilizar a mesma estratégia utilizada pela dupla anterior, ou seja, comparando cada afirmação da prova da Atividade 8 com a construção realizada, porém, com maior dificuldade que a dupla Júlia/Maíra.

Figura 5.7: Prova construída pela dupla Paula/Guilherme para a Atividade 9

Pode-se dizer que a grande dificuldade presente nesta prova foi a ausência de seqüência lógica nas afirmações realizadas, por exemplo, a dupla afirma inicialmente que os triângulos são congruentes e em seguida, afirma que o triângulo inicial é isósceles apesar de não ter realizado qualquer afirmação referente à rotação inicial. A última afirmação também aparece fora de ordem já que anteriormente a dupla afirmou que todos os lados da construção realizada seriam iguais. Percebe-se que, pensando a prova em sentido global, a mesma não possui sentido, porém, localmente, ou seja, pensando-se apenas na afirmação isolada, as justificativas são coerentes.

Uma das preocupações desta dupla, presente em seu diálogo referia-se à quantidade de afirmações necessárias para se construir uma prova. A professora interferiu dizendo não haver necessidade de um número exato de afirmações, pois isso dependeria da construção realizada. Porém, mesmo após esta interferência, esta preocupação parece ter interferido no resultado final.

A terceira e última prova deste sistema refere-se à construção de Letícia/Ana (Figura 5.8).

Figura 5.8: Prova construída pela dupla Letícia/Ana para a Atividade 9

Semelhantemente às provas citadas até então, a dupla Letícia/Ana também realizou um paralelo entre sua construção e a prova da Atividade 8. O principal problema encontrado nesta prova foi o uso, por parte das alunas, daquilo que deveriam provar, ou seja, a dupla afirmou que AB=CD e AD=BC e justificou tal afirmação através da sentença: “os lados opostos de um losângulo são iguais”, fato este que deveria ser provado. Percebe-se então, o caráter cíclico apresentado pela prova da dupla utilizando-se justamente uma das afirmações que deveria ser provada.

Após todas as duplas finalizarem sua prova, a professora explicitou a todos que a prova tem um caráter geral ou seja, sua validade deve ocorrer a todas as figuras de seu grupo (o que já havia sido discutido com a dupla Júlia/Maíra). Ressaltou ainda que a prova não deve ter um caráter cíclico (como a apresentada pela dupla Letícia/Ana), ou seja, que os alunos não podem utilizar como justificativas aquilo que se deseja provar. Outro fato esclarecido pela professora foi de que a figura em si mesma não é uma prova mas uma representação da construção, ou seja, não se pode realizar uma afirmação baseando-se apenas nesta representação.

5.1.2.2. SISTEMA DE APRENDIZAGEM B

A estratégia, adotada pelas duplas deste sistema de aprendizagem na construção do losango, foi a utilização, como modelo, da construção do quadrado da Atividade 8. As três duplas utilizaram esta estratégia, sendo que o valor inicialmente utilizado para o ângulo de rotação variou entre 20º e 40º , ou seja, apesar de utilizarem a mesma estratégia da Atividade 8 todas as duplas perceberam que deveriam alterar o valor do ângulo de rotação pois este seria o responsável pela configuração final.

Figura 5.9: Exemplo da descrição da construção da Atividade 9 do sistema de aprendizagem B

Desta forma, todas as figuras construídas foram robustas pois, manipulando o ângulo e/ou os vértices do segmento original, a figura permaneceria sendo um losango, a não ser no caso especial do ângulo de 90º com o qual se obtém o quadrado.

Após a construção, a professora/pesquisadora orientou as duplas para que redigissem suas construções e em seguida, iniciassem a elaboração da prova, completando a tabela apresentada na apostila. Além disso, a professora explicitou que a conclusão da prova deve ser que a figura construída é realmente um losango, ou seja, de acordo com as características da Tabela 5.2., tem 4 lados iguais e ângulos opostos iguais.

O sistema de aprendizagem B, durante o processo de prova, também utilizou como estratégia a redação de afirmações semelhantes às da Atividade 8, porém, ao contrário do sistema de aprendizagem A, os alunos não ficaram presos a esta prova, traçando paralelos de afirmações que não eram mais válidas. Outro ponto

relevante foi o fato de que estas duplas não fixaram um número de afirmações para a prova.

Uma primeira dificuldade presente nas provas elaboradas pelos alunos deste sistema de aprendizagem é a falta de ordem das afirmações. Pode-se observar através do trecho abaixo que, inicialmente, os alunos não conseguiram perceber a importância da ordem na elaboração de sua prova:

Pedro: - Ô, professora, mas não importa a ordem. Importa o pensamento nosso.

Professora: - Você tem certeza que não importa a ordem? Eu podia chegar aqui e falar assim “todos os lados consecutivos são perpendiculares” sem falar que esse era perpendicular a esse e esse era reflexo do outro...

Pedro: - Não.

Professora: - Então, precisa ter uma ordem sim e essa ordem depende da construção.

Apesar da interferência da professora o resultado obtido por esta dupla em sua prova não apresentou uma seqüência lógica em suas afirmações (Figura 5.10).

Figura 5.10: Prova construída pela dupla Pedro/Felipe para a Atividade 9

A dupla não realizou nenhuma afirmação sobre os ângulos da figura construída o que impossibilitaria a afirmação de que se trata realmente de um losango.

Outro fato importante sobre a prova da Figura 5.10 é a presença da afirmação “as diagonais AC e BD são perpendiculares” fato este conhecido previamente pelos alunos, porém, a justificativa fornecida não validaria tal afirmação.

A ausência de uma ordem lógica para as afirmações também foi uma das dificuldades presentes na prova realizada pela dupla Cínthia/Flávia (Figura 5.11), apesar de não ser explícita nos diálogos como ocorreu com a dupla anterior.

Figura 5.11: Prova construída pela dupla Cínthia/Flávia para a Atividade 9

Outra dificuldade, presente nos diálogo desta dupla foi o fato das alunas persistirem na crença de que a figura é uma prova:

Flávia: - É só desenhar. Professora: - Não.

Cínthia: - Porque você falou tudo isso que são reflexos. ...

Flávia: - A resposta está nos itens anteriores (escrevendo). Os ângulos opostos são iguais (escrevendo). Por que a gente não desenha e mostra logo.

A interferência da professora fez com que as alunas terminassem sua prova sem utilizar desenhos, seguindo o modelo da Atividade 8, mas, através dos diálogos, parece que a dupla preferiria ter-se utilizado deste recurso.

A prova da dupla Lylli/Henrique encontra-se na Figura 5.12.

Figura 5.12: Prova construída pela dupla Lylli/Henrique para a Atividade 9

Apesar da ausência de alguns passos que revelariam a construção nesta prova, a dupla conseguiu elaborar suas afirmações numa seqüência que permitiu a afirmação de que a figura construída possui as características do losango, ou seja, quatro lados iguais e ângulos opostos iguais.

A justificativa da dupla para a última afirmação (BCˆ =D DAˆB) apresenta coerência

com a resposta desta dupla à Atividade 6, na qual, a dupla observou que para obter um segmento perpendicular a sua imagem, o “espelho fica no meio do caminho entre a figura original e a espelhada, para formar o ângulo reto, use a metade, 45º ”. Transferindo para a situação do losango, a dupla afirmou que o eixo de reflexão divide o ângulo do losango ao meio, ou seja, no ângulo do triângulo a ser refletido. Como o triângulo é isósceles, os ângulos do losango seriam iguais.

5.1.2.3. CONCLUSÃO

Observando as provas elaboradas, percebe-se forte influência da prova de Marcelo (Atividade 8), referente à utilização da linguagem formal.

Sendo que os alunos do sistema de aprendizagem A ficaram mais presos a esta atividade, criando afirmações paralelas às originais inclusive quando a construção realizada foi muito diferente do modelo apresentado na Atividade 8. Os alunos do sistema de aprendizagem B arriscaram-se um pouco mais não seguindo exatamente a ordem dos passos dados na prova-exemplo, o que transformou algumas provas em coleções de afirmações sem ordem lógica.

A abordagem predominante em todas as provas construídas é a interfigural pois foram estabelecidas relações entre as primitivas externas das transformações e os resultados obtidos. Pode-se citar, por exemplo, a associação do ângulo formado entre os lados AB e AC e a medida do ângulo utilizada na rotação.

As provas construídas pelas duplas apresentam características tanto pragmáticas quando conceituais. O pragmatismo encontra-se presente, por exemplo, na necessidade da explicitação das medidas dos lados e ângulos da figura para que os alunos pudessem realizar suas justificativas. Já o enfoque conceitual tem como influência a prova da Atividade 8 que serviu de modelo para os alunos na construção de suas provas mas que mostrou ser um salto muito grande pois os tornou dependentes desta durante a construção de suas próprias provas.