A equação (23) fornece um método direto para levar em conta a variação da credibilidade nos demais casos. Basta considerar que a credibilidade cresce a uma taxa constante, e que essa taxa é algum parâmetro multiplicado pela velocidade de ajuste da
assintoticamente estável na vizinhança do equilíbrio. Quando o sistema não-linear original é autônomo, o sistema linearizado é uniformemente uma boa aproximação. Ver Gandolfo (1997, p. 360-362).
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função de reação cujo objetivo é alcançar a meta de inflação. Se o desvio da taxa de inflação em relação à sua meta entra nas duas funções de reação, essa taxa pode ser interpretada como alguma combinação das duas velocidades de ajuste. Genericamente, o comportamento de
t ao longo do tempo pode então ser representado como
, 0 t t (3.1) Novamente, pode-se levar em conta não só a persistência com a qual se persegue a meta de inflação por meio de uma ou duas políticas, mas também o afastamento da taxa de inflação efetiva da taxa meta e/ou o desvio da taxa de inflação esperada da taxa meta. Então as equações (24), (25) e (26) tornam-se
t
t
p t
pT
, 0, 0 (24.1),
t
t
p te
pT
, 0, 0 (25.1),
t
t
p t
pT
p te
pT
, 0, 0, 0 (26.1). O procedimento é o mesmo da seção anterior. Basta considerar o sistema de equações diferenciais de cada caso, tomando a credibilidade não mais como um parâmetro, e introduzir uma das equações acima. Cada caso então fornece quatro sistemas não-lineares. Nos seis primeiros casos, no estado estacionário de qualquer sistema, inflação, inflação esperada, produto e credibilidade são tais que p pe pT, y yT e 0. Em cada um desses casos, a matriz jacobiana da aproximação linear ao redor do equilíbrio é a mesma para os quatro sistemas.Deixando temporariamente de lado o caso 7, há então seis matrizes nas quais é possível verificar se certas condições de estabilidade são satisfeitas. Como todos os sistemas não-lineares originais são autônomos, as propriedades das soluções dos sistemas linearizados se transferem para as soluções dos sistemas originais nas proximidades do equilíbrio, exceto quando a matriz jacobiana da aproximação linear tem todas as raízes
latentes com parte real menor ou igual a zero e no mínimo uma raiz latente com parte real igual a zero122.
No modelo básico acima, estendido para tornar a credibilidade endógena, todas as raízes latentes da matriz jacobiana são reais e negativas. Logo os sistemas autônomos não-lineares originais têm soluções localmente assintoticamente estáveis. Tal propriedade independe dos valores que as autoridades de política estabelecem para os coeficientes das funções de reação. Esse resultado se repete em alguns casos e pode ser utilizado para caracterizar um alto grau de compatibilidade entre as políticas empreendidas com a estrutura da economia.
Dois outros resultados são observados. Num deles, a estabilidade é condicional a restrições sobre os parâmetros que as autoridades de política controlam. Noutro, há sempre instabilidade. O primeiro se refere ao tipo de estabilidade que só existe quando há uma regra simples para a escolha das velocidades de ajuste das funções de reação. Ele é da mesma espécie encontrada na maioria dos casos do capítulo anterior. Mas, diferente destes, a regra não advêm da identificação de uma matriz diagonal negativa dominante, mas da observação direta dos autovalores da matriz jacobiana. A regra é agora não só uma condição suficiente para a estabilidade do sistema linearizado, mas também uma condição necessária. Isso significa que ela é única.
No capítulo anterior, a inexistência de regras simples aplicáveis às velocidades de ajuste para alcançar as metas está relacionada tanto a sistemas cujas soluções são inexoravelmente instáveis quanto àqueles nos quais não é possível imputar uma restrição singela aos coeficientes das funções de reação a fim de se alcançar o equilíbrio. Por enquanto, o terceiro tipo de resultado deste capítulo diz respeito apenas aos sistemas cujas soluções são instáveis em qualquer ocasião, independentemente dos valores que os parâmetros podem assumir.
A tabela 2 apresenta os principais resultados. As matrizes jacobianas das aproximações lineares são mostradas nos apêndices B a G.
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Isso é um resultado parcial do teorema de Hartman-Grobman. Ver Guckenheimer e Holmes (1986, p. 12- 13).
Tabela 2 – Credibilidade endógena
Casos Autovalores da matriz jacobiana Solução do sistema
linearizado
Soluções dos sistemas não-lineares originais
1 , , , Estável Localmente estáveis
2 , , 1
2 42
Estável Localmente estáveis
3 , , 1
2 4
2
Instável Localmente instáveis
4 , , 1
2 4
2
Instável Localmente instáveis
5 , , 1
2 42
Instável Localmente instáveis
6 , , 1
2 4
2 Estável, se e somente se 0 Localmente estáveis, se e somente se 0O caso 1 é análogo ao modelo básico: ele permite estabelecer em separado metas para inflação e produto, persegui-las e efetivamente alcançá-las sem que haja custos inflacionários ou sobre o nível de atividade, fixar livremente as velocidades de ajuste das políticas monetária e de rendas e alcançar credibilidade máxima.
O caso 2 sempre apresenta soluções localmente estáveis, mas é levemente distinto, porque existe uma família de soluções periódicas para seus sistemas de equações diferenciais. Então tudo o que se alcança no modelo básico e no caso 1 também se consegue no caso 2, mas a convergência das taxas de inflação efetiva e esperada, do produto e da credibilidade para as metas de inflação e produto e a credibilidade máxima nem sempre acontece monotonamente.
De maneira semelhante ao capítulo 4, os casos 3 e 4 sempre exibem soluções localmente instáveis. No capítulo anterior, o caso 5 apresentava uma contradição que agora se desfaz: com credibilidade endógena, ele sempre gera soluções localmente instáveis.
O caso 6 é o único que exige uma regra simples para se alcançar os pontos críticos quando se está suficientemente próximo a eles: 0. Logo, das quatro velocidades de ajuste, as autoridades de política podem escolher três livremente. Mas, mantendo-se 0, nem sempre acontece convergência monótona, porque existe uma família de soluções periódicas, como no caso 2.