Trabalhos relacionados - Mecanismos de controle em redes de comutação de rajadas óticas

infinito. O objetivo do problema ´e selecionar uma sub-lista I′ _{⊆ I de tarefas de peso}

m´aximo, e alocar I′ _{nas W m´aquinas. O escalonamento gerado deve satisfazer o fato de}

que em cada máquina não poder existir sobreposi¸cão de tempo entre as tarefas.

Caso não seja imposta nenhuma restri¸cão sobre quais tarefas possam ser processadas em cada máquina, tem-se um problema de job scheduling com máquinas idênticas. Caso haja restri¸cões de que algumas tarefas não possam ser processados em um determinado conjunto de máquinas, tem-se um problema de job scheduling com máquinas não idênticas. O problema de escalonamento de canais em redes OBS pode ser reduzido ao pro- blema de job scheduling, onde os canais e as requisi¸cões das redes OBS correspondem, respectivamente, às máquinas e tarefas no problema de job scheduling.

No problema de escalonamento de lotes em redes OBS tem-se, formalmente, um conjunto de W canais, e uma lista I = {J1 = (s1, e1), . . . , Jn = (sn, en)} de n rajadas

(correspondente a um lote), onde (si, ei) ´e o tempo de in´ıcio e fim da rajada Ji. Tem-se

também uma lista S de rajadas já previamente alocadas nos canais. A lista S corresponde a rajadas que foram processadas em lotes anteriores. Objetiva-se, neste problema, alocar o maior número poss´ıvel de rajadas (ou o conjunto de rajadas cuja soma dos pesos é máxima) nos W canais. Duas rajadas em um mesmo canal não podem se sobrepor, ou seja, seus tempos de execu¸cão não podem ter uma interseçcão.

Na se¸cão 9.3, apresenta-se uma modelagem do problema de escalonamento em redes OBS, através da formula¸cão de um problema job scheduling com máquinas não idênticas, que é NP-Dif´ıcil [35]. Na se¸cão 9.4, mostra-se como resolver o problema de escalonamento em redes OBS utilizando algoritmos polinomiais para o problema job scheduling com

m´aquinas idˆenticas.

9.3 Trabalhos relacionados

Em [35], o problema de escalonamento de canais é resolvido através de uma formula¸cão do problema de job scheduling com máquinas não idênticas. Neste caso, o conjunto S de

9.3. Trabalhos relacionados 140

rajadas previamente alocadas representam intervalos de tempo nos quais algumas rajadas de I não podem ser alocadas. Como algumas rajadas de I não podem ser alocadas em um subconjunto de canais (quando há interseçcão com rajadas de S), Kaheel e Alnuweiri assumem uma modelagem direta do problema de escalonamento de canais para o problema de job scheduling em máquinas não idênticas.

Figura 9.3: Modelagem do problema de escalonamento em lote de canais como job sche-

duling com máquinas não idênticas.

A Figura 9.3 ilustra a modelagem do problema de escalonamento em lote de canais em redes OBS como um problema de job scheduling com máquinas não idênticas. Na figura, existem dois canais de dados que podem ser utilizados para acomodar as requisi¸cões. É poss´ıvel perceber que o canal 1 está reservado no intervalo de tempo compreendido entre os instantes 8 e 14 e os voids formados pelos intervalos [0, 8) e (14, ∞) podem ser usados para novas reservas. Dessa forma, os voids são modelados como máquinas distintas (M1 e M2) com per´ıodos de funcionamento restrito. Da mesma forma, o canal 2 possui reservas nos intervalos [3, 9] e [15, 20]. Assim, os per´ıodos usados para acomodar novas reservas são: [0, 3), (9, 15) e (20, ∞), o que na modelagem do problema de job scheduling seria equivalente a três máquinas distintas, M3, M4 e M5. Dessa forma, tem-se cinco máquinas com diferentes per´ıodos de opera¸cão (diferentes capacidades).

9.3. Trabalhos relacionados 141

Em [6], apresenta-se um algoritmo ótimo para job scheduling com máquinas não idênticas cuja complexidade computacional é da ordem de O(n|W |+1_{), o que é proibiti-}

vamente alto em redes OBS [35], dada a exponencialidade em |W |, onde W é o conjunto de máquinas. Dessa forma, em [35] são propostas 4 heur´ısticas para o problema de escalonamento em lote em redes OBS.

A seguir, serão brevemente descritas as heur´ısticas propostas por [35]. Em todas elas, as requisi¸cões são vistas como um grafo de intervalos G.

9.3.1 Algoritmo Smallest Vertex Ordering (SLV)

Os vértices v1, ..., vn de G são ditos ordenados segundo o critério smallest-last, se vi tem

o menor grau no subgrafo induzido pelos v´ertices v1, ..., vi (sendo vn o v´ertice de G com

menor grau). No algoritmo Smallest Vertex Ordering (SLV), os intervalos são alo- cados na ordem smallest last, ou seja, a requisi¸cão correspondente a v1 é alocada ao

primeiro comprimento de onda dispon´ıvel ou descartada, depois v2 e assim por diante at´e

o processamento de vn.

A complexidade computacional do algoritmo ´e de O(n + n2_{+ n|W |log(|S|)), dado que}

demanda-se O(n) opera¸c˜oes para realizar a ordena¸c˜ao smallest-last [45], O(n2_{) para reali-}

zar a constru¸cão do grafo de intervalos e O(n|W |log(|S|)) para a aloca¸cão da reserva [35]. A idéia central do SLV é que tendo o grafo alguns poucos nós de grau elevado, o processamento prévio desses evitará a necessidade de se usar um número grande de com- primentos de onda. Contudo, ao contrário do que afirmam os autores de [35], o processamento prévio das requisi¸cões com alto grau de interseçcão pode ocasionar um número elevado de perdas.

A Figura 9.4 ilustra o problema mencionado: suponha que as requisi¸cões se dispõem na forma apresentada na Figura 9.4(a). O grafo de intervalos correspondente é apresentado na Figura 9.4(b). Pode-se notar que o vértice “A” é o vértice com maior grau na ordena¸cão

smallest last (e portanto o primeiro a ser processado), entretanto, ao se alocar o canal 1

9.3. Trabalhos relacionados 142

Periodo sem reserva Periodo reservado

Tempo 1

B C D E F G

(a) Padr˜ao de chegadas de requisi¸c˜oes.

B A G E D C F (b) Grafo de intervalos correspondente.

Figura 9.4: Problema ocasionado no escalonamento em lote.

9.3.2 Algoritmo Maximal Cliques First (MCF)

Caso haja no grafo uma clique com tamanho M e no máximo W canais para aloca¸cão das requisi¸cões (com M > W ), necessariamente M − W requisi¸cões são descartadas. O algoritmo Maximal Cliques First (MCF) determina, além da ordem de processamento das requisi¸cões, quais requisi¸cões deverão ser descartadas caso necessário. Para isso, o algoritmo determina todas as cliques maximais de G e as ordena, de forma crescente em rela¸cão ao tempo. Seja {C1, C2, ..., Cm, } o conjunto de cliques maximais de G ordenado

tal que Ci ≺ Cj para i < j (ou seja existe uma requisi¸c˜ao em Ci que possui tempo de

in´ıcio menor ou igual a cada uma das requisi¸c˜oes em Cj). O algoritmo processa primeiro

as requisi¸cões pertencentes à clique C1depois à C2e assim por diante. Se o tamanho de Cj

exceder o número de canais, requisi¸cões com o menor tempo de término são descartadas. A implementa¸cão da ordena¸cão MCF possui complexidade computacional de O(n2₎

e a reserva do recurso possui complexidade de O(n|W |log(|S|)). Isso resulta em uma complexidade computacional da ordem de O(n2_{+ n|W |log(|S|)) [35].}

Assim como o algoritmo SLV, a estratégia adotada pelo algoritmo MCF pode não produzir os melhores resultados. Considere novamente, a Figura 9.4, a primeira clique a ser processada é a clique formada pelos vértices “A” e “B”. Como só existe um canal dispon´ıvel, a requisi¸cão “B” é descartada e a requisi¸cão “A” é alocada no canal, o que faz com que todas as outras requisi¸cões sejam descartadas.

9.3. Trabalhos relacionados 143

9.3.3 O algoritmo Smallest Start-time First Ordering (SSF)

No algoritmo Smallest Start-time First Ordering (SSF), as requisi¸cões são ordenadas de acordo com seu tempo de in´ıcio. Assim, as requisi¸cões com menor tempo de in´ıcio são processadas primeiro. O algoritmo SSF possui claramente complexidade de O(nlog(n) + n|W |log(|S|)).

A mesma situa¸cão de perdas apresentada na Figura 9.4 pode ocorrer no algoritmo SSF. A primeira requisi¸cão processada seria a requisi¸cão “A”, o que resultaria nas perdas descritas.

9.3.4 O algoritmo Largest Interval First Ordering (LIF)

No algoritmo Largest Interval First Ordering (LIF), as requisi¸cões são ordenadas de acordo com o tamanho da rajada que consiste da diferen¸ca entre o instante de término e de in´ıcio da requisi¸cão. As requisi¸cões que possuem maior tamanho são processadas primeiro. Assim como o SSF, o algoritmo LIF possui complexidade de O(nlog(n) + n|W |log(|S|)). Assim como os algoritmos SLV, MCF e SSF, a situa¸cão descrita na Figura 9.4 pode ocasionar perdas se a requisi¸cão “A” for maior do que as demais. É importante observar que mesmo que a soma dos tamanhos das demais requisi¸cões seja superior ao tamanho da requisi¸cão “A”, elas não serão consideradas.

9.3.5 Algoritmo Max-SS

Em [12], é proposto um algoritmo denominado Max-SS (Max Stable Set Algorithm). A idéia do algoritmo é encontrar o conjunto independente de cardinalidade máxima, garan- tindo, assim, que o maior número de requisi¸cões disjuntas será alocado.

O algoritmo usa uma busca em largura lexicográfica para obter um esquema de eli- mina¸cão perfeito σ. A partir da´ı, uma sequência de vértices v1, ..., vn, formando um con-

junto independente máximo é formada como segue: v1= σ(1), vié o primeiro vértice em

No documento Mecanismos de controle em redes de comutação de rajadas óticas (páginas 161-166)