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Para Briggs (1980) e Marshall, Murphy e Boston (2006), o primeiro trabalho publicado a utilizar a programação matemática para resolver o POSF foi o de Smith e Harrell (1961). Kivinen (2007) afirma que os autores utilizaram o Simplex para maximizar o lucro líquido ao encontrar os sortimentos ótimos de um povoamento florestal agrupado em seis classes de DAP. As variáveis de decisão representavam o número de fustes por centro de classe traçados sob determinada estratégia de corte. A fim de limitar o número de variáveis de decisão e tornar o modelo executável computacionalmente, somente três padrões de corte por centro de classe foram inclusos no modelo o que, segundo Briggs (1980), poderia levar a resultados subótimos.

Posteriormente, formulações similares foram propostas por Jackson e Smith (1961) e Pearse e Sydneysmith (1966). O modelo de Jackson e Smith (1961), entretanto, também poderia ser utilizado para maximizar a produção de madeira e continha restrições que se baseavam em limitar o número de produtos comercializados. O modelo de Pearse e Sydneysmith (1966), por sua vez, levava em consideração os custos de processamento ao invés do custo da madeira para calcular o lucro líquido (JOYCE, 1983; GEERTS, 1984; BURGER; JAMNICK, 1995; HERRERA MEDINA et al., 2015).

No geral, as formulações propostas por Smith e Harrell (1961), Jackson e Smith (1961) e Pearse e Sydneysmith (1966) apresentam os seguintes problemas: limitação do número de padrões de corte analisados, pressuposição de que haja uma linearidade entre os custos e as receitas ao considerá-los todos determinísticos e suposição que as dimensões ao longo do fuste sejam todas conhecidas. Estas duas últimas hipóteses são as mais graves pois, na realidade a receita é dada em função das dimensões e do volume da tora vendida. Além disso, o formato conoidal dos fustes

está geralmente associado a uma equação de afilamento (PNEVMATICOS; MANN, 1972; ARCE, 2000).

O ponto fraco desses modelos era a exigência de se conhecer todos os possíveis sortimentos e seus respectivos valores econômicos para conseguir de fato maximizar os lucros. Dependendo do mix de produtos desejados, a formulação do modelo poderia ser muito complicada, levando a um crescimento extremamente rápido do número de variáveis de decisão (BRIGGS, 1980), especialmente se fosse possível o corte de muitas toras pequenas (NÄSBERG, 1985; BOBROWSKI (1990). Nesse sentido, Maness e Adams (1991) reitera que os modelos “sofriam” para enumerar todos os possíveis padrões de corte, tornando computacionalmente infactível processar o modelo de PLI quando o número de variáveis era muito grande.

McPhalan (1978) combinou a PL com recursos da PD para resolver, por meio da decomposição de Dantzig–Wolfe (DANTZIG; WOLFE, 1960), o POSF com um número maior de alternativas de corte. Com isso, o autor afirma ter conseguido reduzir significantemente o número de sortimentos a serem avaliados, tornando o modelo exequível. Métodos semelhantes de decomposição em duas fases foram implementados por Eng e Daellenbach (1985), Mendoza e Bare (1986), Arce (2000) e Santana (2013).

Os métodos de decomposição consistem em decompor um problema inicial de grande porte em problemas com dimensões menores (subproblemas), permitindo substituir um grande volume de cálculos centrais por cálculos locais. O problema principal recebe informações dos subproblemas e altera a cada iteração os parâmetros dos subproblemas, possibilitando chegar a uma aproximação da solução ótima global (GILMORE; GOMORY, 1963; SANTANA, 2013). Segundo Eng, Daellenbach e Whyte (1986), PD é utilizada para resolver os subproblemas encontrando os sortimentos que maximizem individualmente o valor dos fustes. Já a PL é utilizada para resolver o problema principal, selecionando, dentre um conjunto de sortimentos alternativos por classe de diâmetro, aqueles que maximizam a receita global e satisfaçam às restrições de disponibilidade e demanda.

Um modelo matemático mais completo foi proposto por Maturana e Pizani (2009) a fim de planejar a produção de uma serraria chilena durante um horizonte de planejamento de um mês, levando em consideração diversas restrições inerentes à colheita dos multiprodutos. Os sortimentos adotados deveriam seguir o planejamento da produção, regido pelas demandas do mercado, o que poderia ocasionar algumas vezes na escolha de sortimentos subótimos. As informações inseridas no modelo

foram: disponibilidade das máquinas, tempo de produção por produto, demandas e custos. O objetivo do estudo foi comparar os resultados do modelo com uma heurística informal usada por alguns comerciantes para planejar a produção nas serrarias. Os resultados mostraram que ambos os métodos encontravam a solução ótima, embora o modelo proposto tenha sido mais eficiente em determinados cenários.

Os benefícios da conversão de árvores em multiprodutos da madeira foram analisados por Campos et al. (2013) por meio de um modelo de PLI a fim de aumentar a renda e a segurança de um empreendimento florestal de um produtor rural de Minas Gerais. A ideia era otimizar a retirada dos produtos considerando 4 alternativas uso: energia, celulose, escora e serraria. Cada uma delas envolvia a comercialização de apenas um produto. O método de solução utilizado foi o B&B implementado através do software OtimToras. Os resultados foram comparados com aqueles que seriam obtidos caso a floresta fosse submetida à retirada de somente um produto, sem estudo de otimização. Os resultados das simulações mostraram haver um acréscimo médio de 33,69% na receita e 16,86% no volume útil caso a conversão do povoamento em multiprodutos fosse feita.

Dems, Rousseau e Frayret (2015) proporam um modelo de PLI para resolver, conjuntamente, o POSF em nível de floresta e o problema do planejamento da produção florestal. Esse modelo levava em consideração a origem da madeira, a demanda dos clientes e os custos de colheita. A ideia era encontrar um plano para a colheita durante um horizonte de planejamento de um ano, sendo que cada produto deveria ser obtido a partir de uma lista de prioridades utilizada na escolha do sortimento. O objetivo era aumentar o lucro líquido diminuindo os custos operacionais. O software de otimização CPLEX foi utilizado como método de solução com tempo limite de processamento definido em 6 horas. Por fim, os autores concluíram que o modelo gerava boas soluções e que as estratégias adotadas poderiam ser lucrativas para as empresas, embora reconheçam que a lista de prioridades utilizada no modelo tenha sido relativamente simples.

A maioria dos modelos matemáticos encontrados na literatura são baseados em uma função mono objetivo com foco unicamente no critério econômico de maximização da renda (BOUKHERROUB; LEBEL; RUIZ, 2015). Contudo, Vergara, Palma e Sepúlveda (2015) formularam e avaliaram 5 modelos matemáticos com diferentes objetivos a fim de encontrar os padrões de corte ótimos para uma serraria no sudeste do Chile. Um dos modelos maximizava os lucros e outro minimizava os custos de produção. O terceiro e o quarto modelo consistiam, respectivamente, em

minimizar o número de toras particionadas e minimizar o tempo de processamento da madeira. Por último, o quinto modelo objetivava minimizar os resíduos. Ao final, os autores constataram que somente os modelos para maximização dos lucros e minimização dos resíduos apresentavam retornos econômicos positivos.

Encontram-se ainda inúmeros outros trabalhos na literatura com o objetivo de avaliar diferentes modelos para estimar o volume e a altura ao longo do fuste visando a análise/otimização do sortimento florestal. Dentre eles, destacam-se: Chichorro, Resende e Leite (2003), Soares, Leite e Vale (2004), Mendonça et al. (2007), Souza et al. (2008b), Campos et al. (2014) e Lumbres et al. (2017).